知识讲解_一元二次不等式及其解法_提高

1 一元二次不等式及其解法 【学习目标】 1. 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能借助函数图象解一元二次不等式及一些简单的 高次不等式； 2. 对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图； 3. 应用一元二次不等式解简单的分式不等式. 【要点梳理】 要点一：一元二次不等式的概念 一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的 的值. 一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合.一般写为集合或区间形式. 一元二次不等式的一般形式： 或 . 要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究. 要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系 设 ，判别式 ，按照 ， ， 该函数图象(抛物线) 与 轴的位置关系也分为三种情况，相应方程的解与不等式的解集形式也不尽相同. 如下表所示： 函数 的图象 方程 的解 有两相异实根 有两相等实根 无实根 不等式 的解集 不等式 的解集 要点诠释： （1）一元二次方程 的两根 是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物 x 2 0ax bx c+ + > ( 0)a ≠ 2 0ax bx c+ + < ( 0)a ≠ ( ) 2f x ax bx c= + + ( 0)a > 2 4b ac∆ = − 0∆ > 0∆ = 0∆ < x 2 4b ac∆ = − 0∆ > 0∆ = 0∆ < ( )y f x= ( )=0f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 2 2 bx x a = = − ( ) 0f x > { }1 2x x x x x< >或 2 bx x a  ≠ −    R ( ) 0f x < { }1 2x x x x< < ∅ ∅ 2 0( 0)ax bx c a+ + = ≠ 1 2x x、2 线 与 轴的交点的横坐标； （2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为 二次项系数为正的形式，然后讨论解决； （3）解集分 三种情况，得到一元二次不等式 与 的解 集. 要点三：解一元二次不等式 1. 解一元二次不等式 的步骤 （1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程 ，计算判别式 ： ① 时，求出两根 ，且 （注意灵活运用因式分解和配方法）； ② 时，求根 ； ③ 时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集. 2. 一元二次不等式 的求解框图 y = 2ax bx c+ + x 0, 0, 0∆ > ∆ = ∆ < 2 0ax bx c+ + > 2 0ax bx c+ + < ( )2ax +bx+c a ≠> 0 0 2 0ax bx c+ + = ( 0)a > ∆ 0∆ > 1 2x x、 1 2x x< 0∆ = 1 2 2 bx x a = = − 0∆ < 2ax +bx+c > 03 要点诠释： 1．解一元二次不等式首先要看二次项系数 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法； 3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其 系数之间的关系； 5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 要点四：高次不等式 1. 一元高次不等式概念 解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式. 常用的解法有化为不等式组法、列表法和穿针引线（根轴法）来求解. 2. 一元高次不等式的解法 列表法 ① 等价转化：将不等式化为 形式（各项 的符号为正）； 开始 结束 将原不等式化成一般形式 2 0ax bx c+ + > 2 4b ac∆ = − 求 2 0=ax bx c+ + 的两根 x1、x2 方程 ax2+bx+c=0 没有实数根 原不等式解集为 R 原不等式解集为 { | }2 bx x a ≠ − 原不等式解集为{x|xx2} Δ≥0? x1=x2? 否 是 是 否 a ( )( ) ( ) ( )1 2 0 0nx x x x x x− − … − > < x4 ② 找分界点：令 ，求出根 ，不妨称之为分 界点. 一个分界点把（实数）数轴分成两部分， 个分界点把数轴分成 部分； ② 列出表格：按各根把实数分成的 部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应 较小根的因式开始依次自上而下排列）； ③ 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集. 在下列空白处填上因式的符号，完成下表： 区间 … - + + … + - - + … + - - - … + … - - - … + - - - … + 各因式积 要点诠释：一般地，表格中最后一行各因式积为正的，即为 的解集，反 之亦然. 穿针引线法 ① 等价转化：将不等式化为 的形式（各因式 的系数化“+ ”）； ② 求根，比方设 ，并在数轴上将 表示出来； ③ 由数轴最右端 的右上方出发，画出曲线依次经过表示各根的点； ④ 若不等式（ 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在 轴上方的区间；若不等式是“ < x 1 2 nx x x< < 0( ) ( ) f x xϕ < ( ), ( )f x xϕ ( ) 0xϕ ≠ 2 5 0x x− < 2 4 4 0x x− + > 2 4 5 0x x− + − > 0 0 0 0 0 0 A AA AB B BB < > < ⇔ < ⇔ > <    或 0 0 0 0 0 0 A AA AB B BB > < ⇔ > ⇔ > <  >   或 0 0 00 0 0 0 AB A AA B B BB ≤ ≥ ≤  ≤ ⇔ ⇔  ≠ < >   或 0 0 00 0 0 0 AB A AA B B BB ≥ ≥ ≤  ≥ ⇔ ⇔  ≠ > 2 5 0x x− = 1 0x = 2 5x = 2 5y x x= − 2 5 0x x− < { | 0 5}x x< < 2 5 0 ( 5) 0x x x x− < ⇔ − < 0 5 0 x x >⇔  −   0 【解析】若 a=0，原不等式化为-x+1>0，解集为{x|x 2 2 2 , 0,( ) 2 , 0 x x xf x x x x  + ≥= − +  2 0, 2 3, x x x  26 6 6x x− ≤ − − < 2 2 6 6 6 6 x x x x  − − ⇔ < ⇔ 2 1 1 1(1 ) 0 ( )( 1) 0x x x xa a a − + + < ⇔ − − < 1 a ⇔ x∈∅ ⇔ 1 1xa < < ⇔ 11 x a < < 1{ | 1}x x xa < >或 1{ |1 }x x a < 0时， 若 ， 即 时， ； 若 ， 即 时，x∈R； 若 ， 即 时， . ②当a0时，则Δ>0， . ②a 1 2 1 2 a b − = +  = × 3 2 a b = −  = 2 1 0bx ax+ + > 22 3 1 0x x− + > (2 1)( 1) 0x x− − > 1 2x < 1x > 2 1 0bx ax+ + > 1( , ) (1, )2 −∞ +∞ x ( )2 2( 4 5) 4 1 3 0m m x m x+ − − − + > x m13 的系数. 【解析】 (1)当 m2+4m-5=0 时，m=1 或 m=-5 若 m=1，则不等式化为 3>0， 对一切实数 x 成立，符合题意. 若 m=-5，则不等式为 24x+3>0，不满足对一切实数 x 均成立，所以 m=-5 舍去. (2)当 m2+4m-5≠0 即 m≠1 且 m≠-5 时， 由此一元二次不等式的解集为 R 知，抛物线 y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3 开口向上，且与 x 轴无交点， 所以 ， 即 ， ∴ 1 ( , 1] [1,2] [3, )−∞ − +∞  2 2( 3 2)( 2 3)=0x x x x− + − − ( )( )( )( )1 2 1 3 =0x x x x+ 1 2 3 41 1 2 3x x x x= = = =， ， ， 1x + 1x 2x 3x 2 2( 3 2)( 2 3) 0x x x x− + − − > ( , 1] [1,2] [3, )−∞ − +∞ 15 【变式】解下列关于 的不等式： （1） ； （2） ； （2） ； （4） . 【答案】（1） ∪ （2） （3） （4） 类型五：分式不等式 例 7. 解下来不等式： （1） ； （2） . 【思路点拨】先将不等式的右边化为是 0，再通过符号法则，将它转化为一元二次不等式，借助图 象求解. 【答案】（1） ∪ ； （2） 【解析】（1）该不等式等价于 方程 的解为 ， 函数 的图象是开口向上的抛物线，与 x 轴的交点为 和 . 观察图象可知，不等式 的解为 ∪ . 所以，该不等式的解集为 ∪ . （2）该不等式可化简为 ，等价于 解得 x 2( 1)( 2) 0x x− + < 2 2( 3 2)( 2 1) 0x x x x− + + + ≥ 2 32 ( 1)( 1) ( 3) 0x x x+ − − ≥ 2 3( 2) ( 4)( 1) ( 3) 0x x x x− + + − ≥ ( , 2)−∞ − ( 1,1)− { }1 2 1|x x x x≤ ≥ =或 或 { }| 1 3 1x x x≤ ≤ =或 { }| 3 4 1 2x x x x≥ ≤ ≤ =或 或 1 02 x x − >+ 1 23 2 x x + ≥− ( 2)−∞ −， (1 )+ ∞， 21 )3 ，  ( )( )1 2 0x x− + > ( )( )1 2 0x x− + = 1 22 , 1x x= = ( )( )1 2y x x= − + ( )-2,0 ( )1,0 ( )( )1 2 0x x− + > ( 2)−∞ −， (1 )+ ∞， ( 2)−∞ −， (1 )+ ∞， 1 03 2 x x + ≤− ( )( )1 3 2 0, 3 2 0. x x x  + − ≤ − ≠ 21 ,3 2.3 x x  ≤ ≤  ≠16 即 . 所以，该不等式的解集为 . 举一反三： 【变式 1】解下列不等式： （1） ； （2） . 【答案】（1） ∪ ； （2） 【变式 2】 （1） ； （2） . 【答案】（1） ∪ 该不等式可化为 ，其等价于 解得： 或 . 所以，该不等式的解集为 ∪ . （2）  该不等式可化为 ，由 ，则该不等式等价于 ， 解得： . 所以，该不等式的解集为  . 【巩固练习】 一、选择题 1. 不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 2．（2016 四川模拟）若不等式 x2+ax+b＜0 的解集为（―1，2），则 ab 的值为（ ） 21 3x≤ < 21 )3 ，  3 4 02 x x + ≥− 8 22 3 x x + >+ 4( , ]3 −∞ − ( )2,+∞ 3 2,2 3  −   2 1 1 x x x ≥ 2 8 22 3 x x x + 0 1 2 x x x + + + ( )21 2>0x + + ( )( )2 2 -1 0x x+ > 12 2x x< − >或 ( ), 2−∞ − 1 ,2  +∞   21- 0x > ( ), 1−∞ −  ( )1 +∞， ( )1,1− ( )1 +∞， ( ), 1−∞ −17 A．―1 B．1 C．―2 D．2 3．若 0＜t＜1，则不等式 的解集为(　　) A. B. C. D. 4．已知不等式 ax2－bx－1≥0 的解集是 ，则不等式 x2－bx－a＜0 的解集是(　　) A．(2,3) B．(－∞，2)∪(3，＋∞) C. D. 5．在 R 上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)＜1 对任意实数 x 恒成立，则(　　) A．－1＜a＜1 B．0＜a＜2 C． D． 6.（2015 天津校级模拟）设 0