知识讲解_基本不等式_提高

1 基本不等式 【学习目标】 1. 理解基本不等式的内容及其证明. 2. 能应用基本不等式解决求最值、证明不等式、比较大小求取值范围等问题. 【要点梳理】 要点一：基本不等式 1.对公式 及 的理解. （1）成立的条件是不同的：前者只要求 都是实数，而后者要求 都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当 时取等号”. 2.由公式 和 可以引申出常用的常用结论： （1） （ 同号）； （2） （ 异号）； （3） 或 . 要点诠释： 可以变形为： ， 可以变形为： . 要点二：基本不等式 的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形 中有四个全等的直角三角形. 设直角三角形的两条直角边长为 、 ，那么正方形的边长为 .这样，4 个直角三角形的面积 的和是 ，正方形 的面积为 .由于 4 个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以： .当直角三角形变为等腰直角三角形，即 时，正方形 缩为一个点，这时有 . 得到结论：如果 ，那么 （当且仅当 时取等号“=”） 特别的，如果 ， ，我们用 、 分别代替 、 ，可得： 如果 ， ，则 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ ,a b ,a b a b= 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 2b a a b + ≥ ,a b 2b a a b + ≤ − ,a b 2 22 ( 0, 0)1 1 2 2 a b a bab a b a b + +≤ ≤ ≤ > > + 2 2 2( ) ( 0, 0)2 2 a b a bab a b + +≤ ≤ > > 2 2 2a b ab+ ≥ 2 2 2 a bab +≤ 2 a b ab + ≥ 2( )2 a bab +≤ a + bab 2 ≤ ABCD a b 2 2a b+ 2ab ABCD 2 2a b+ 2 2 2a b ab+ ≥ a b= EFGH 2 2 2a b ab+ = +, Ra b∈ 2 2 2a b ab+ ≥ a b= 0a > 0b > a b a b 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ a b=2 通常我们把上式写作：如果 ， ， ，（当且仅当 时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵ ， 当 时， ； 当 时， . 所以 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 要点诠释： 特别的，如果 ， ，我们用 、 分别代替 、 ，可得： 如果 ， ，则 ，（当且仅当 时取等号“=”）. 通常我们把上式写作： 如果 ， ， ，（当且仅当 时取等号“=”）. 要点三：基本不等式 的几何意义 如图， 是圆的直径，点 是 上的一点， ， ，过点 作 交圆于点 D，连 接 、 . 易证 ，那么 ，即 . 这个圆的半径为 ，它大于或等于 ，即 ，其中当且仅当点 与圆心重合，即 时，等号成立. 要点诠释： 1. 在数学中，我们称 为 的算术平均数，称 为 的几何平均数. 因此基本不等式可叙述 为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2. 如果把 看作是正数 的等差中项， 看作是正数 的等比中项，那么基本不等式可以叙 述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 要点四：用基本不等式 求最大（小）值 0a > 0b > 2 a bab +≤ a b= 2 2 22 ( ) 0a b ab a b+ − = − ≥ a b≠ 2( ) 0a b− > a b= 2( ) 0a b− = 2 2( ) 2a b ab+ ≥ a b= 0a > 0b > a b a b 0a > 0b > 2a b ab+ ≥ a b= 0a > 0b > 2 a bab +≤ a b= a + bab 2 ≤ AB C AB AC a= BC b= C DC AB⊥ AD BD ~Rt ACD Rt DCB∆ ∆ 2CD CA CB= ⋅ CD ab= 2 a b+ CD 2 a b ab + ≥ C a b= 2 a b+ ,a b ab ,a b 2 a b+ ,a b ab ,a b a + bab 2 ≤3 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三等. ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值. 要点诠释： 1．两个不等式： 与 成立的条件是不同的，前者要求 a，b 都是实数，后者要 求 a，b 都是正数.如 是成立的，而 是不成立的. 2．两个不等式： 与 都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号 这句话的含义要有正确的理解. 当 a=b 取等号，其含义是 ； 仅当 a=b 取等号，其含义是 . 综合上述两条，a=b 是 的充要条件. 3．基本不等式的功能在于“和积互化”.若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑 使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的 各项的“和”为定值，则“积”有最大值. 4．利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值. 5．基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案. 【典型例题】 类型一：对公式 及 的理解 例 1. ， ，给出下列推导，其中正确的有 . （1） 的最小值为 ； （2） 的最小值为 ； 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 2 2( 3) ( 2) 2 ( 3) ( 2)− + − ≥ × − × − ( 3) ( 2) 2 ( 3) ( 2)2 − + − ≥ − × − 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 2 a ba b ab += ⇒ = 2 a b ab a b + = ⇒ = 2 a b ab + = 2 2 2a b ab+ ≥ 2 a b ab + ≥ 0a > 0b > 1a b ab + + 2 2 1 1( )( )a b a b + + 44 （3） 的最小值为 . 【思路点拨】利用基本不等式求最值，要注意使用的条件“一正、二定、三相等”，三个条件缺一不 可 【答案】（1）；（2） 【解析】 （1）∵ ， ，∴ （当且仅当 时取等号）. （2）∵ ， ，∴ （当且仅当 时取等号）. （3）∵ ，∴ ， （当且仅当 即 时取等号） ∵ ，与 矛盾，∴上式不能取等号，即 . 【总结升华】在用基本不等式求函数的最值时，必须同时具备三个条件：“一正”，“二定”，“三等”， 缺一不可. 举一反三： 【变式 1】下列结论正确的是(　　) A．当 且 ≠1 时， B．当 >0 时， C．当 ≥2 时， 的最小值为 2 D．当 0< ≤2 时， 无最大值 【答案】　B 【变式 2】（2016 上海模拟）已知函数 ，（a＞0），x∈（0，b），则下列判断正确的是（ ） A．当 时，f（x）的最小值为 B．当 时，f（x）的最小值为 C．当 时，f（x）的最小值为 D．对任意的 b＞0，f（x）的最小值均为 1 4a a + + 2− 0a > 0b > 1 12 2 2a b ab ab ab + + ≥ + ≥ 2 2a b= = 0a > 0b > 1 1 2( )( ) 2 4a b aba b ab + + ≥ ⋅ = a b= 0a > 1 1 14 4 2 ( 4) 4 24 4 4a a aa a a + = + + − ≥ + ⋅ − = −+ + + 14 4a a + = + 4 1 3a a+ = = −， 0a > 3a = − 1 24a a + > −+ 0x > x 1lg 2lgx x + ≥ x 1 2x x + ≥ x 1x x + x 1x x − 2 ( ) a xf x x += b a> 2 a 0 b a< ≤ 2 a 0 b a< ≤ 2a b b + 2 a5 【答案】∵ ， ∴当 时， ， 当且仅当 ，即 时取等号； 当 ，y=f（x）在（0，b）上单调递减， ∴ ，故 f（x）不存在最小值； 故选 A。 类型二：利用基本不等式证明不等式 例 2. 已知 、 、 都是正数，求证： . 【思路点拨】要把基本不等式和不等式左右两边的结构形式一起来考虑. 【解析】∵ 、 、 都是正数 ∴ （当且仅当 时，取等号） （当且仅当 时，取等号） （当且仅当 时，取等号） ∴ （当且仅当 时，取等号） 即 . 【总结升华】 1. 在运用 时，注意条件 、 均为正数，结合不等式的性质，进行变形. 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号. 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当 的数、式，以便于利用基本不等式. 举一反三： 【变式】已知 、 都是正数，求证： . 【答案】∵ 、 都是正数，∴ ， ， ， ， ， （当且仅当 时，取等号） （当且仅当 时，取等号） 2 ( ) a x af x xx x += = + b a> ( ) 2f x a≥ ax x = x a= 0 b a< ≤ 2 ( ) a bf x b +< a b c ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ a b c 2 0a b ab+ ≥ > a b= 2 0b c bc+ ≥ > b c= 2 0c a ca+ ≥ > c a= ( )( )( ) 2 2 2 8a b b c c a ab bc ca abc+ + + ≥ ⋅ ⋅ = a b c= = ( )( )( ) 8a b b c c a abc+ + + ≥ 2 a b ab + ≥ a b x y 2 2 3 3 3 3( )( )( ) 8x y x y x y x y+ + + ≥ x y 0x > 0y > 2 0x > 2 0y > 3 0x > 3 0y > 2 0x y xy+ ≥ > x y= 2 2 2 22 0x y x y+ ≥ > x y=6 （当且仅当 时，取等号） ∴ （当且仅当 时，取等号） 即 . 例 3. 已知 ，求证: . 【思路点拨】对于“和”式求最小值时，要设法配凑得“积”为定值，常采用“配分母”的办法. 【解析】 （当且仅当 即 ，等号成立）. 【总结升华】注意凑出条件，再利用基本不等式证明. 举一反三： 【变式 1】已知 、 都是正数，求证： . 【答案】∵ 、 都是正数 ，∴ ， ， ∴ （当且仅当 即 时，等号成立） 故 . 【高清课堂：基本不等式 392186 例题 3】 【变式 2】已知 a＞0，b＞0，c＞0，求证： . 【答案】证明：　∵a＞0，b＞0，c＞0， ∴ ， ， . ∴ . 类型三：利用基本不等式求最值 例 4. 求函数 ( )的最小值. 【思路点拨】本题采用“配分母”的办法，所以整式部分一定应为（x-5）的倍数. 3 3 3 32 0x y x y+ ≥ > x y= 2 2 3 3 2 2 3 3 3 3( )( )( ) 2 2 2 8x y x y x y xy x y x y x y+ + + ≥ ⋅ ⋅ = x y= 2 2 3 3 3 3( )( )( ) 8x y x y x y x y+ + + ≥ 3a > 4 73 aa + ≥− 4 4 4( 3) 3 2 ( 3) 3 2 4 3 73 3 3a a aa a a + = + − + ≥ ⋅ − + = + =− − − 4 33 aa = −− 5a = x y 2y x x y + ≥ x y 0x y > 0y x > 2 2x y x y y x y x + ≥ ⋅ = y x x y = x y= 2y x x y + ≥ bc ca ab a b ca b c + + ≥ + + 2 2 2bc ac abc ca b ab + ≥ = 2 2 2ac ab a bc ab c bc + ≥ = 2 2 2bc ab ab c ba c ac + ≥ = bc ca ab a b ca b c + + ≥ + + 9( ) 4 5f x x x = + − 5x >7 【解析】∵ ，∴ ∴ （当且仅当 即 时，取等号） 故当 时，函数 ( )的最小值为 32. 【总结升华】 1. 形如 （ ， ， ）的函数的最值可以用基本不等式求最值； 2. 利用基本不等式求最值时，应注意“一正”，“二定”，“三相等”的条件. 举一反三： 【变式 1】已知 ，当 取什么值时，函数 的值最小？最小值是多少？ 【答案】∵ ，∴ ，∴ （当且仅当 即 时，取等号） 故当 时， 的值最小为 18. 【变式 2】已知 ，求 的最大值. 【答案】∵ ，∴ ， ∴ （当且仅当 ，即 时，等号成立） ∴ （当且仅当 ，即 时，等号成立） 故当 时， 的最大值为 4. 例 5. 已知 ＞0， ＞0，且 ，求 的最小值. 【思路点拨】要求 的最小值，根据基本不等式，应构建某个积为定值，这需要对条件进行必要的 变形，下面给出三种解法，请认真体会. 【解析】 方法一：∵ ，∴ ∵x＞0，y＞0，∴ （当且仅当 ，即 y=3x 时，取等号） 5x > 5 0x − > 9 9( ) 4( 5) 20 2 4( 5) 20 325 5f x x xx x = − + + ≥ − ⋅ + =− − 94( 5) 5x x − = − 35 2x − = 13 2x = 9( ) 4 5f x x x = + − 5x > ( ) Bf x Ax x = + 0x > 0A > 0B > 0x ≠ x 2 2 81( )f x x x = + 0x ≠ 2 0x > 2 2 2 2 81 81( ) 2 18f x x xx x = + ≥ ⋅ = 2 2 81x x = 3x = ± 3x = ± 2 2 81x x + 0x < 16( ) 20 4f x x x = + + 0x < 0x− > 4 4( ) 2 ( ) 2 2 4x xx x − + ≥ − ⋅ = × =− − 4x x − = − 2x = − 4( ) 20 4[( ) ] 20 4 4 4f x x x = − − + ≤ − × =− 4x x − = − 2x = − 2x = − ( )f x x y 1 9 1x y + = x y+ x y+ 1 9 1x y + = 1 9 9( ) 10 y xx y x y x y x y  + = + ⋅ + = + +   9 92 6y x y x x y x y + ≥ ⋅ = 9y x x y =8 又 ，∴x=4，y=12 ∴当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16. 方法二：由 ，得 ∵x＞0，y＞0，∴y＞9 ∵y＞9，∴y－9＞0， ∴ （当且仅当 ，即 y=12 时，取等号，此时 x=4） ∴当 x=4，y=12 时，x+y 取最小值 16. 【总结升华】方法一是求条件最值时常用的方法，方法二用了消元的方式化为函数的最值来求. 举一反三： 【高清课堂：基本不等式 392186 例题 1】 【变式 1】已知 ＞0， ＞0，且 ，则 的最小值为________. 【答案】 【变式 2】(2015 福建文)若直线 过点(1，1)，则 a+b 的最小值等于( ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】 由已知得 ， 则 ， 因为 a＞0，b＞0，所以 因为 a＞0，b＞0，所以 故 a+b≥4，当 ，即 a=b=2 时取等号． 例 6. 已知 . （1）若 ，求 的最小值； （2）若 ，求 的最大值. 1 9 1x y + = 1 9 1x y + = 9 yx y = − 9 9 9 91 ( 9) 109 9 9 9 y yx y y y y yy y y y − ++ = + = + = + + = − + +− − − − 9 99 2 ( 9) 69 9y yy y − + ≥ − ⋅ =− − 99 9y y − = − x y 2 1x y＋ ＝ 1 1 x y + 3 2 2+ 1( 0 0)x y a ba b + = > >， 1 1 1a b + = 1 1( )( ) 2 b aa b a b a b a b + = + + = + + 2 2，+ ≥ ⋅ =b a b a a b a b 2 2，+ ≥ ⋅ =b a b a a b a b b a a b = 0a b >， 4ab = a b+ 4a b+ = ab9 【解析】（1） 方法一：∵ 且 ， ∴ ，即 （当且仅当 时取等号） ∴ ， 的最小值为 4. 方法二：∵ 且 ， ∴ ，即 （当且仅当 时取等号） ∴ ， 的最小值为 4. （2） 方法一：∵ ，∴ ，即 （当且仅当 时取等号） ∴ ， 的最大值为 4. 方法二：∵ ，∴ ，（当且仅当 时取等号） ∴ ， 的最大值为 4. 方法三：∵ ， ， ∴ （当且仅当 时取等号） ∴ ， 的最大值为 4. 【总结升华】 1. 两个正数的和为定值时，它们的积有最大值，即若 ，且 ， 为定值，则 ，等号当且仅当 时成立. 2. 两 个 正 数 的 积 为 定 值 时 ， 它 们 的 和 有 最 小 值 ， 即 若 ， 且 ， 为 定 值 ， 则 ，等号当且仅当 时成立. 举一反三： 【变式 1】已知 ， ， ，求 的最小值. 【答案】∵ ， ， ， ∴由 （等号当且仅当 时成立） 故当 时， 的最小值为 6. 【变式 2】已知 ， ， ，求 的最大值. 【答案】 , 0a b > 4ab = 2 4a b ab+ ≥ = 4a b+ ≥ 2a b= = 2a b= = a b+ , 0a b > 4ab = 4 42 4a b a aa a + = + ≥ ⋅ = 4a b+ ≥ 2a b= = 2a b= = a b+ , 0a b > 4 2a b ab= + ≥ 4 ab≥ 2a b= = 2a b= = ab , 0a b > 2( ) 42 a bab +≤ = 2a b= = 2a b= = ab , 0a b > 4a b+ = 2 2(4 ) 4 ( 2) 4 4ab a a a a a= − = − + = − − + ≤ 2a b= = 2a b= = ab ,a b R+∈ a b M+ = M 2 4 Mab ≤ 2 Ma b= = ,a b R+∈ ab P= P 2a b P+ ≥ a b P= = 0x > 0y > 9xy = x y+ 0x > 0y > 9xy = 2 6x y xy+ ≥ = 3x y= = 3x y= = xy 0x > 0y > 8x y+ = xy10 解法一：∵ ， ， ， ∴ （当且仅当 即 时，等号成立） 故当 时， 的最大值为 16. 解法二：∵ ， ， ， 即 ，可得 ，（当且仅当 时，等号成立） 故当 时， 的最大值为 16. 类型四：利用基本不等式解应用题 例 7. 某单位用木料制作如图所示的框架， 框架的下部是边长分别为 、 (单位： )的矩形.上部是 等腰直角三角形. 要求框架围成的总面积为 . 问 、 分别为多少(精确到 0.001m) 时用料最省? 【解析】由题意可得 ， ∴ . 于是，框架用料长度为 . 当 ，即 时等号成立. 此时， ， . 故当 约为 2.343 m， 约为 2.828 m 时用料最省. 【总结升华】 用均值不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值； (4)正确写出答案. 举一反三： 0x > 0y > 8x y+ = 28(8 ) ( ) 162 x xxy x x + −= − ≤ = 8x x= − 4x = 4x = xy 0x > 0y > 8 2x y xy= + ≥ 8 42 2 x yxy +≤ = = 16xy ≤ 4x y= = 4x = xy x y m 28m x y 1 82 2 xx y x⋅ + ⋅ = 2 8 84 (0 4 2)4 x xy xx x − = = − < < 22 2 2 2l x y x= + + × 3 16 3( 2) 2 16( 2) 4 6 4 22 2x x = + + ≥ + = + 3 16( 2)2 x x + = 4 8 4 2 3 22 x = = − + 2.343x ≈ 2 2 2.828y = ≈ x y11 【变式 1】如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四周，一面可利用原有的墙，其他各面用 钢筋网围成． (1)现有可围 36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为 24 m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总 长最小？ 【解析】　 (1)设每间虎笼长为 x m，宽为 y m，则由条件知 4x＋6y＝36，即 2x＋3y＝18.设每间虎笼面积为 S，则 S＝xy. 由于 ， ∴ ，得 ， 即 ，当且仅当 2x＝3y 时等号成立． 由 ，解得 故每间虎笼长为 4.5 m、宽为 3 m 时，可使每间虎笼面积最大． (2)由条件知 S＝xy＝24.设钢筋网总长为 l，则 l＝4x＋6y. ∵ ， ∴l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥48， 当且仅当 2x＝3y 时等号成立． 由 ，解得 . 故每间虎笼长为 6 m、宽为 4 m 时，可使钢筋网总长最小． 【变式 2】(2014 湖北)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F(单位时间内经过测 量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 (单 位：米)的值有关，其公式为 F＝ ． (Ⅰ)如果不限定车型， ＝6.05，则最大车流量为　　辆/小时； (Ⅱ)如果限定车型， ＝5，则最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加　　辆/小时． 【答案】(Ⅰ)F＝ ， ∵v＋ ≥2 ＝22，当 v＝11 时取最小值， ∴ ， 故最大车流量为：1900 辆/小时； 2 3 2 2 3 2 6x y x y xy+ ≥ ⋅ = 2 6 18xy ≤ 27 2xy ≤ 27 2S ≤ 2 3 18 2 3 x y x y + =  = 4.5 3 x y =  = 2 3 2 2 3 2 6 24x y x y xy+ ≥ ⋅ = = 2 3 24 x y xy =  = 6 4 x y =  = l lvv v 2018 76000 2 ++ l l 18121 76000 2018 76000 2 ++ =++ vvlvv v v 121 121 1900 18121 76000F ≤ ++ = vv12 (Ⅱ)F＝ ＝ ＝ ， ∵v＋ ≥2 ＝20， ∴F≤2000， 2000－1900＝100(辆/小时) 故最大车流量比(Ⅰ)中的最大车流量增加 100 辆/小时． lvv v 2018 76000 2 ++ 10018 76000 2 ++ vv v 18100 76000 ++ vv v 100 10013 【巩固练习】 一、选择题 1. 下列结论正确的是(　　) A．当 x>0 且 x≠1 时， B．当 x>0 时， C．当 x≥2 时， 的最小值为 2 D．当 00，b>0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的 a，b 恒成立的个数为(　　) ①ab≤1；② ；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤ . A．1　　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．4 3. 若 log4(3a＋4b)＝log2 ，则 a＋b 的最小值是(　　) A．6＋2 B． 7＋2 C． 6＋4 D． 7＋4 4．若-4+− bb axb ay＝ b zxb ay +−＝ 522 ＝ba + 0522 ＝−+ ba16 则 a2＋b2 的最小值为 ． 故选：B． 7．【答案】　3 【解析】　由 为定值知 . ∴当且仅当 时 xy 有最大值 3. 8．【答案】 【解析】设 x+2=s，y+1=t，则 s+t=x+y+3=4， 。 因为 所以 。 故答案为 。 9. 【答案】 【解析】 ，当且仅当 时取等号． 10. 答案: 【解析】　 又 4 5 52 2 ＝      − 13 4 x y+ = 2 3 412 12 33 4 2 x y x yxy  +  = ⋅ ⋅ ≤ =      3 4 x y= 1 4 2 2 2 2( 2) ( 1) 4 1( 4 ) ( 2 )2 1 4 1 4 1( ) ( ) 6 ( ) 2 x y s t s tx y s t s t s t s t s t − −+ = + = − + + − ++ + = + + + − = + − 4 1 1 4 1 1 4 9( )( ) ( 4)4 4 4 t ss ts t s t s t + = + + = + + ≥ 2 2 1 2 1 4 x y x y + ≥+ + 1 4 1 16 21 1 4 144 4 2 16 x yxy x y + = ⋅ ≤ =   14 2x y= = 1 5a ≥ 2 1 13 1 3 xa x x x x ≥ =+ + + + 1 2x x + ≥17 ∴ ∴ 11. 【答案】2500 m2 【 解 析 】 设 所 围 场 地 的 长 为 x ， 则 宽 为 ， 其 中 0 1 11 1 2 1 11 1x xx x + = + + − ≥ − =+ + 11 1x x + = + 0x = 1 1a b c b c a a a a + += = + + 1 1a b c a c b b b b + += = + + 1 1a b c a b c c c c + += = + + 1 1 1 1 1 1 3b c a c a b b a c b a c a b c a a b b c c a b b c c a + + = + + + + + + + + = + + + + + + 3 2 2 2b a c b a c a b b c c a ≥ + ⋅ + ⋅ + ⋅ 1 1 1 9a b c + + ≥ 1 4 1 4 5 2 5 2 5 9( ) 2 22 2 2 2 2 2 2 a b b a b a a b a b a b a b ++ = + ⋅ = + + ≥ + ⋅ = + = min 1 4 9( ) 2a b + = 2 4,3 3a b= = 1 4 | 2 1| | 1|x xa b + ≥ − − + , (0, )a b∀ ∈ +∞ 19| 2 1| | 1| 92 2 1 1 2 x x x x x ≤ −− − + ≤ ⇔ − + + + ≤ 11 2 92 1 1 2 x x x − < ≤ − + − − ≤ 1 2 92 1 1 2 x x x  >  − − − ≤18 或 或 ， ，∴ 。 15. 【解析】 (1)每次购买原材料后，当天用掉的 400 千克原材料不需要保管费，第二天用掉的 400 千克原材料需保 管 1 天，第三天用掉的 400 千克原材料需保管 2 天，第四天用掉的 400 千克原材料需保管 3 天，…，第 x 天(也就是下次购买原材料的前一天)用掉最后的 400 千克原材料需保管(x－1)天． ∴每次购买的原材料在 x 天内总的保管费用为 y1＝400×0.03×[1＋2＋3＋…＋(x－1)]＝(6x2－6x)(元)． (2)由(1)可知，购买一次原材料的总费用为 6x2－6x＋600＋1.5×400x 元， ∴购买一次原材料平均每天支付的总费用为 . ∴ ， 当且仅当 ，即 x＝10 时，取等号． ∴该厂 10 天购买一次原材料可以使平均每天支付的总费用 y 最小，为 714 元． 5 12 x⇔ − ≤ ≤ − 11 2x− < ≤ 1 13 2 2x< ≤ 5 13 2 2x⇔ − ≤ ≤ 5 13[ , ]2 2x∈ − 21 600(6 6 600) 1.5 400 6 594y x x xx x = − + + × = + + 6002 6 594 714y xx ≥ ⋅ + = 600 6xx =