知识讲解_二元一次不等式（组）与平面区域_提高

1 二元一次不等式（组）与平面区域 【学习目标】 1. 了解不等式有丰富的实际背景,是刻画区域的重要工具. 2. 会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 3. 理解并能画出二元一次不等式表示的平面区域. 【要点梳理】 要点一：二元一次不等式（组）的定义 1.二元一次不等式：含有两个未知数，并且未知数的最高次数是 1 的不等式叫做二元一次不等式. 2.二元一次不等式组：由几个二元一次不等式组成的不等式组称为二元一次不等式组. 3.二元一次不等式（组）的解集：满足二元一次不等式（组）的 和 的取值构成有序实数对 ， 所有这样的有序实数对 构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集. 要点诠释：注意不等式（组）未知数的最高次数. 要点二：二元一次不等式（组）表示平面区域 二元一次不等式（组）的解集与平面直角坐标系内的点之间的关系： 二元一次不等式（组）的解集是有序实数对，而点的坐标也是有序实数对，因此，有序实数对就可以 看成是平面内点的坐标，因此，二元一次不等式（组）的解集就可以看成是直角坐标系内的点构成的集合. 二元一次不等式所表示的平面区域： 在平面直角坐标系中，直线 将平面分成两部分，平面内的点分为三类： ①直线 上的点（x，y）的坐标满足： ； ②直线 一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足： ； ③直线 另一侧的平面区域内的点（x，y）的坐标满足： . 即二元一次不等式 或 在平面直角坐标系中表示直线 的某一侧所有点组成的平面区域，直线 叫做这两个区域的边界，（虚线 表示区域不包括边界直线，实线表示区域包括边界直线）. 要点三：二元一次不等式表示哪个平面区域的确定 二元一次不等式表示的平面区域 由于对在直线 同一侧的所有点 ，把它的坐标 代入 ，所得到 实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点 ，从 的正负即可判断 表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当 时，常把原点作为此特殊点） x y ( , )x y ( , )x y : 0l Ax By C+ + = l 0=++ CByAx l 0>++ CByAx l 0Ax By C+ + < 0Ax By C+ + > 0Ax By C+ + < 0Ax By C+ + = 0Ax By C+ + = 0Ax By C+ + = ( , )x y ( , )x y Ax By C+ + 0 0( , )x y 0 0Ax By C+ + 0Ax By C+ + > 0C ≠2 以上判定方法简称为“直线定界、特殊点定域”法. 不等式组所表示的平面区域 由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分. 1. 判断二元一次不等式 Ax+By+c>0(或0(或 ≥ 0( 0)Ax By C+ + < ≤ : 0l Ax By C+ + = 0≠C 0C = 2 4 0x y+ − > 2 4 0x y+ − = (0,0) 2 4x y+ − 2 0 0 4 4 0× + − = − < 2 4 0x y+ − > 2 4 0x y+ − > 0≠C 4 3 12x y+ ≤ 1≥x3 （1） （2） 类型二：二元一次不等组表示的平面区域 例 2. 用平面区域表示不等式组 【思路点拨】 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区 域的公共部分。 【解析】不等式 －y+5≥0 表示直线 －y+5＝0 上及右下方的点的集合， +y≥0 表示直线 x+y＝0 上及右上方的点的集合，x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的点的集合.不等式组表示平面区域即为图示的三角 形区域： 【总结升华】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所 表示的平面区域的公共部分. 举一反三： 【变式 1】用平面区域表示不等式组 . 【解析】不等式 表示直线 右下方的区域， 表示直线 右上方的区域， 取两区域重叠的部分，如图的阴影部分就表示原不等式组的解集. x x x    ≤ ≥+ ≥+− 3 0 05 x yx yx 3 12 2 y x x y ≤ − +  ≤ 3 12y x≤ − + 3 12y x= − + 2x y≤ 2x y=4 【变式 2】画出下列不等式组表示的平面区域. （1） ； （2） ； （3） . 【答案】 （1） （2） （3） 【变式 3】由直线 ， 和 围成的三角形区域（如图）用不等式组可 表示为 . 【答案】 例 3. 画出下列不等式表示的平面区域 (1) ； (2) 【思路点拨】将原不等式等价转化为不等式组，然后画图. 【解析】 3 2 3 2 6 2 6 x y x x y y x −  − −   − ≤  − ≥ 0 0 2 0 y x y x y ≤  + ≤  + ≥ ( 1)( 4 0x y x y+ − − + ≥） 1y x≥ + x y≥ x y≥6 【变式 3】（2015 开封模拟）设不等式 ，表示的平面区域为 D，若指数函数 y=ax 的图 象上存在区域 D 上的点，则 a 的取值范围是________。 【答案】作出区域 D 的图象，联系指数函数 y=ax 的图象，能够看出， 当图象经过区域的边界点 C（2，9）时，a 可以取到最大值 3，而显然只要 a 大于 1，图象必然经过区 域内的点。 则 a 的取值范围是 1＜a≤3。 故答案为：1＜a≤3。 类型三：求平面区域的面积 【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域 392663 例题 1】 例 4：求不等式组 表示的平面区域的面积. 【解析】 【法 1】（特殊三角形） 显然 为等腰直角三角形， ， ， 易得 B 点坐标为 ，C 点坐标为 ，则 11 0 3 3 0 5 3 9 0 x y x y x y + − ≥  − + ≥  − + ≤    ≤ ≥+ ≥+− 3 0 06 x yx yx ABC∆ °=∠ 90A ACAB = )3,3( − )9,3( 12|| =BC7 ∴ . 【法 2】（面积公式） 易得 A 点坐标为 ，B 点坐标为 ，C 点坐标为 ， 则 由点到直线的距离公式得高 ∴ . 【法 3】（向量法） 易得 A 点坐标为 ，B 点坐标为 ，C 点坐标为 ， 则 ， ∴ . 故不等式组 表示的平面区域的面积等于 36. 【总结升华】这一类问题的关键是正确画出所求平面区域，其实质是二元一次不等式组表示的平面区 域的应用，注意图形的分解转化 举一反三： 【变式 1】若 A 为不等式组 表示的平面区域，则当 a 从-2 连续变化到 1 时，动直线 扫过 A 中的那部分区域的面积为 【答案】 【变式 2】（2015 衡阳二模）如果不等式组 表示的平面区域是一个直角三角形，则 该三角形的面积为( ) A． B． C． D． 【答案】 有两种情形： （1）直角由 y＝2x 与 kx-y+1＝0 形成（如图），则 366122 1 =××=∆ABCS )3,3-( )3,3( − )9,3( 26)39()33(|| 22 =−++=AC 26 2 |6)3(3| =+−−=ACh 3626262 1 =××=∆ABCS )3,3-( )3,3( − )9,3( )6,6(=AC )6,6( −=AB 3666)6(62 1 =×−−××=∆ABCS    ≤ ≥+ ≥+− 3 0 06 x yx yx 0, 0, 2 x y y x ≤  ≥  − ≤ x y a+ = 7 4 0 2 1 0 x y x kx y ≥  ≥  − + ≥ 1 1 2 5 或 1 1 2 3 或 1 1 5 4 或 1 1 4 2 或8 ∵ 2×k＝-1， ∴ 与 的交点坐标为 ， 三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)， ， ∴ 该三角形的面积为 ； （2）直角由 x＝0 与 kx-y+1＝0 形成（如图），则 k＝0， ∴ 由 x＝0 与-y+1＝0 交于点 三角形的三个顶点为(0，0)，(0，1)， ， ∴ 该三角形的面积为 ． 综上所述，三角形的面积为 或 故选 C． 【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域 392663 例题 3】 【变式 3】若不等式组 所表示的平面区域被直线 分为面积相等的两部分， 则 值是( ) A、 B、 C、 D、 1 22k y x= − =， 1 1 02 x y− − + = 2 4( )5 5 ， 2 4( )5 5 ， 1 2 112 5 5S = × × = 1( 1)2 ， 1( 1)2 ， 1 1 112 2 4S = × × = 1 5 1 4    ≤+ ≥+ ≥ 43 43 0 yx yx x 3 4+= kxy k 7 3 3 7 4 3 3 49 【答案】A. 【解析】不等式组表示的平面区域是 及其内部（如图），其顶点分别为 、 、 ∵直线 必过定点 ， ∴只有直线过 的中点 时，直线 才能平分平面区域 则 ，即 .故选 A. 例 5．(2015 重庆)若不等式组 ，表示的平面区域为三角形，且其面积等于 ，则 m 的值为( )． A．-3 B．1 C． D．3 【答案】B 【思路点拨】作出不等式组对应的平面区域，求出三角形各顶点的坐标，利用三角形的面积公式进行求 解即可． 【解析】 作出不等式组对应的平面区域如图： ABC∆ )1,1(A )4,0(B )3 4,0(C 3 4+= kxy )3 4,0(C AB )2 5,2 1(M 3 4+= kxy 3 4 22 5 += k 3 7=k 2 0 2 2 0 2 0 x y x y x y m + − ≤  + − ≥  − + ≥ 4 3 4 310 若表示的平面区域为三角形， 由 ，得 ，即 A(2，0)， 则 A(2，0)在直线 x-y+2m＝0 的下方， 即 2+2m＞0， 则 m＞-1， 则 A(2，0)，D(-2m，0)， 由 ，解得 ，即 B(1-m，1+m)， 由 ，解得 ，即 ． 则三角形 ABC 的面积 即 ， 即 解得 m＝1 或 m＝-3（舍）， 故选 B： 【总结升华】本题主要考查线性规划以及三角形面积的计算，求出交点坐标，结合三角形的面积公式是解 2 0 2 2 0 x y x y + − =  + − = 2 0 x y =  = 2 0 2 0 x y m x y − + =  + − = 1 1 x m y m = −  = + 2 0 2 2 0 x y m x y − + =  + − = 2 4 3 2 2 3 mx my − = + = 2 4 2 2( )3 3 m mC − +， 1 | || |2ABC ADB ADC B CS S S AD y y= − = −△ △ △ 1 2 2(2 2 )(1 )2 3 2 2 4(1 )(1 )3 3 mm m mm m += + + − += + + − = ， 1 4(1 ) 3 3 mm ++ × = 2(1 ) 4m+ =11 决本题的关键。 举一反三： 【变式】在平面直角坐标系中，若不等式组 (a 为常数)所表示的平面区域的面积等于 2，则 a 的值为(　　) A．－5 B．1 C．2 D．3 【答案】　D 类型四：实际应用问题 例 6. 某运输公司有 7 辆重量为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重量为 10t 的 B 型卡车，有 9 名驾驶员，在建 筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运 360t 沥青的任务，已知每辆卡车往返的次数为 A 型卡车 8 次，B 型卡车 6 次，列出满足搬运条件的数学关系式，并画出相应的平面区域. 【思路点拨】本题中条件较多，应分门列类列出约束条件后，再运用图解法进行求解。 【解析】　设每天出动 A 型车 辆，B 型车 辆，则 即 【总结升华】用平面区域来表示实际问题相关量的取值范围的基本方法是：先根据问题的需要选取起 关键作用的关联较多的量用字母表示，进而把问题中所有的量都用这两个字母表示出来，建立数学模型， 在画出表示的区域. 举一反三： 【高清课堂：二元一次不等式（组）与平面区域 392663 例题 4】 【变式 1】某人准备投资 1 200 万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数 据表格(以班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以 20～30 个班为宜，老师实行聘任 制). 学 段 班级学 生数 配备教 师数 硬件建 设 教师 年薪 初 中 45 2 26 万元 /班 2 万元 /人 1 0, 1 0, 1 0 x y x ax y + − ≥  − ≤  − + ≥ x y 7 4, 9, 6 8 10 6 360, 0, 0. x y x y x y x y ≤  ≤  + ≤ × + × ≥  ≥ ≥ 0 7, 0 4, 9, 4 5 30 x y x y x y ≤ ≤  ≤ ≤ + ≤  + ≥ y x o12 高 中 40 3 54 万元 /班 2 万元 /人 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件． 【答案】　设开设初中班 x 个，高中班 y 个．根据题意，总共招生班数应限制在 20～30 之间，所以有 20≤x＋y≤30. 考虑到所投资金的限制，得到 26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即 x＋2y≤40. 另外，开设的班数不能为负且为整数，即 ， . 把上面四个不等式合在一起，得到： 用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)． 【变式 2】一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表： 品种 电力/kW·h 煤/t 工人/人 甲 2 3 5 乙 8 5 2 该厂有工人 200 人，每天只能保证 160/kW·h 的用电额度，每天用煤不得超过 150t，试写出每天甲、 乙两种产品允许的产量范围. 【答案】设每天生产甲、乙两种产品为别为 xt 和 yt，有 【巩固练习】 一、选择题 1．满足不等式 y2－x2≥0 的点(x，y)的集合(用阴影表示)是(　　) x N∈ y N∈ 20 30, 2 40, , . x y x y x N y N ≤ + ≤  + ≤ ∈  ∈ 2 8 160, 3 5 150, 5 2 200, 0, 0, x y x y x y x y + ≤  + ≤ + ≤  ≥ ≥13 2．（2016 黄浦区一模）已知 P 为直线 y=kx+b 上一动点，若点 P 与原点均在直线 x―y+2=0 的同侧， 则 k，b 满足的条件分别为（ ） A．k=1，b＜2 B．k=1，b＞2 C．k≠1，b＜2 D．k≠1，b＞2 3．在直角坐标系内下图中的阴影部分表示的不等式(组)是(　　) A. B. C．x2－y2≤0 D．x2－y2≥0 4.（2015 桐城市一模）若不等式组 表示的平面区域经过所有四个象限，则实数 λ 的取值范围是( ) A．(-∞，4) B．[1，2] C．(1，4) D．(1，+∞) 5.（2015 宝鸡二模）在平面直角坐标系 xOy 中，不等式组 ，所表示平面区域的外接圆面 积等于( ) A．8π B．π C．4π D．2π 6. （2015 浙江模拟）已知函数 的图象经过区域 ，则 a 的取值 范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题 7. 不等式 表示的平面区域包含点 和点 ，则实数 的范围是 . 8.在平面直角坐标系中，不等式组 ,表示的平面区域的面积是 . 9.（2016 浙江理改编） 在平面上，过点 P 作直线 l 的垂线所得的垂足称为点 P 在直线 l 上的投 0 0 x y x y + ≥  − ≥ 0 0 x y x y + ≤  − ≥ 1 3 2 1 0 x y x y λ ≤  ≤  − + − ≥ 4 0 x y y x x + ≤  ≥  ≥ ( ) log ( 1)af x x a= > 6 0 2 0 3 6 0 x y x y x y + − ≤  − − ≤  − − ≥ (1 3 3]， (3 3 2]， (3 3 ]+ ∞， (2 )+ ∞， | 2 | 3x y m− + < (0,0) ( 1,1)− m 2 0 2 0 0 x y x y y + − ≤  − + ≥  ≥14 影．由区域 中的点在直线 x+y 2=0 上的投影构成的线段记为 AB，则│AB│= . 10. 已知 则 的最小值是 . 三、解答题 11.画出以下不等式组表示的平面区域： 12. △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(0,4)，B(－2,0)，C(2,0)，求△ABC 内任意一点(x，y)所满足的条件. 13．已知 D 是以点 A（4，1），B（－1，－6），C（－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内 部）。如图所示。 （1）写出表示区域 D 的不等式组； （2）设点 B（－1，－6），C（－3，2）在直线 4x－3y－a=0 的异侧，求 a 的取值范围。 14.某人准备投资 1 200 万元兴办一所完全中学，对教育市场进行调查后，他得到了下面的数据表格(以 班级为单位)(注：初、高中的教育周期均为三年，办学规模以 20～30 个班为宜，老师实行聘任制). 学 段 班级学 生数 配备教 师数 硬件建 设 教师 年薪 初 中 45 2 26 万元 /班 2 万元 /人 高 中 40 3 54 万元 /班 2 万元 /人 分别用数学关系式和图形表示上述限制条件． 15．画出不等式组 表示的平面区域，并回答下列问题： (1)指出 x、y 的取值范围． (2)平面区域内有多少个整点？ 2 0 0 3 4 0 x x y x y − ≤  + ≥  − + ≥ − 1, 1 0, 2 2 0 x x y x y ≥  − + ≤  − − ≤ 2 2x y+ 1 0 0 2 x y x y x + − ≥  − ≥  ≤ ① ② ③ 5 0 0 3 x y x y x − + ≥  + ≥  ≤15 【答案与解析】 1．【答案】　B 【解析】　取测试点(0,1)可知 C，D 错；再取测试点(0，－1)可知 A 错，故选 B. 2．【答案】　A 【解析】∵P 为直线 y=kx+b 上一动点， ∴设 P（x，kx+b）， ∵点 P 与原点均在直线 x―y+2=0 的同侧， ∴(x―kx―b+2)(0―0+2)＞0， 即 2[(1―k)x+2―b]＞0 恒成立， 即(1―k)x+2―b＞0 恒成立， 则 1―k=0，此时 2―b＞0， 得 k=1 且 b＜2， 故选 A。 3．【答案】　D 【解析】　在阴影部分内取测试点(－1,0)，x－y＝－1＜0，x＋y＝－1＜0，排除 A、B、C；故选 D. 其实 x2－y2≥0⇔ 或者 . 4．【答案】　D 【解析】 由约束条件 作出可行域如图， 则 λ-1＞0，即 λ＞1． ∴ 实数 λ 的取值范围是(1，+∞)． 故选：D． 5．【答案】C 【解析】 根据题意可知不等式组表示的平面区域为直角△OAB， 0 0 x y x y + ≥  − ≥ 0 0 x y x y + ≤  − ≤ 1 3 2 1 0 x y x y λ ≤  ≤  − + − ≥16 其中 OA 为直径， A(0，4)， 则直径 2r＝4， 则圆的半径为 r＝2， 则外接圆面积 ． 故选：C 6. 【答案】C　 【解析】作出区域 D 的图象，图中阴影部分． 联系函数 的图象，能够看出， 当图象经过区域的边界点 A(3，3)时，a 可以取到最小值： ， 而显然只要 a 大于 ， 函数 的图象必然经过区域内的点． 22 4S π π= × = ( ) log ( 1)af x x a= > 3 3 3 3 ( ) log ( 1)af x x a= >17 则 a 的取值范围是 故选 C． 7. 【答案】 【解析】将点（0，0）和点（-1，1）代入不等式中解得 8.【答案】4 【解析】不等式组表示的平面区域是三角形，如图所示， 则三角形的面积是 . 9.【答案】3 【解析】如图 为线性区域，区域内的点在直线 上的投影构成了线段 ，即 ， 而 ，由 得 ，由 得 ， ． 10.【答案】5 【解析】画出 所表示的平面区域，由 解得， A（1，2），而 表示阴影部分的点到原点的距离的平方，可求 A 到原点的距离为 . ∴ 的最小值为 5. 11.【解析】如图所示．不等式①表示直线 x＋y－1＝0 的右上方(包括直线)的平面区域； (3 3 ]+ ∞， 0 3m< < 0 3m< < 1 4 2 42 × × = 2 ∆PQR 2 0x y+ − = ′ ′R Q AB ′ ′ =R Q PQ 3 4 0 0 − + =  + = x y x y ( 1,1)−Q 2 0 =  + = x x y (2, 2)−R 2 2( 1 2) (1 2) 3 2= = − − + + =AB QR 1, 1 0, 2 2 0 x x y x y ≥  − + ≤  − − ≤ 1 0 1 x y x − + =  = 2 2x y+ 5 2 2x y+18 不等式②表示直线 x－y＝0 右下方(包括直线)的平面区域； 不等式③表示直线 x＝2 左方(包括直线)的平面区域． 所以，原不等式组表示上述平面区域的公共部分(阴影部分)． 12. 【答案】　 【解析】　分别求三边的直线方程，易得 y＝0,2x－y＋4＝0,2x＋y－4＝0.在三角形内找一点(0,1)以确 定各不等式的不等号的方向．因不包括边界，所求三个不等式为： y＞0,2x－y＋4＞0,2x＋y－4＜0. 13．【解析】 （1）直线 AB、AC、BC 的方程分别为 7x－5y－23=0，x+7y－11=0，4x+y+10=0 原点（0，0）在区域 D 内，表示区域 D 的不等式组： （2）将 B、C 的坐标代入 4x－3y－a，根据题意有(14－a)(－18－a)＜0， 得 a 的取值范围是－18＜a＜14. 14.【解析】　设开设初中班 x 个，高中班 y 个．根据题意，总共招生班数应限制在 20～30 之间，所 以有 20≤x＋y≤30. 考虑到所投资金的限制，得到 26x＋54y＋2×2x＋2×3y≤1 200，即 x＋2y≤40. 另外，开设的班数不能为负，则 x≥0，y≥0. 把上面四个不等式合在一起，得到： 。 用图形表示这个限制条件，得到如图中的平面区域(阴影部分)． 15.【解析】　不等式 x－y＋5≥0 表示直线 x－y＋5＝0 上及右下方的平面区域，x＋y≥0 表示直线 x＋y ＝0 上及右上方的平面区域，x≤3 表示直线 x＝3 上及左方的平面区域．原不等式组表示的平面区域如图阴 0 2 4 0 2 4 0 y x y x y >  − + >  + −