知识讲解_简单的线性规划问题_基础

1 简单的线性规划问题 【学习目标】 1. 了解线性规划的意义，了解线性规划的基本概念； 2. 掌握线性规划问题的图解法. 3. 能用线性规划的方法解决一些简单的实际问题，提高学生解决实际问题的能力. 【要点梳理】 要点一：线性规划的有关概念： 线性约束条件： 如果两个变量 、 满足一组一次不等式组，则称不等式组是变量 、 的约束条件，这组约束条件 都是关于 、 的一次不等式，故又称线性约束条件． 线性目标函数： 关于 、 的一次式 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 、 的解析式，叫线性目标 函数． 线性规划问题： 一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． 可行解、可行域和最优解： 在线性规划问题中， ①满足线性约束条件的解 叫可行解； ②由所有可行解组成的集合叫做可行域； ③使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解. 要点诠释：线性规划问题，就是求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题. 要点二:线性规划的应用 1.线性规划也是求值的一种,是求在某种限制范围之下的最大值或最小值的问题,其关键是列出所有的 限制条件,不能有遗漏的部分,如有时变量要求为正实数或自然数,其次是准确找到目标函数,如果数量关系 多而杂,可以用列表等方法把关系理清. 2.线性规划的理论和方法经常被用于两类问题中:一是在人力、物力、资金等资源一定的条件下，如何 使用其完成最多的任务；二是给定一项任务，如何合理安排和规划，能用最少的人力、物力、资金等资源 来完成这项任务. 要点诠释：在生产和生活中，常用于下料问题；优化安排活动问题；优化运营问题等. 要点三:确定线性规划中的最优解 对于只有两个变量的线性规划(即简单的线性规划)问题，可以用图解法求解．其基本的解决步骤是： ① 设变量，建立线性约束条件及线性目标函数； ② 画出可行域； x y x y x y x y ( , )z f x y= x y ( , )x y2 ③ 求出线性目标函数在可行域内的最值(即最优解)； ④作答． 要点诠释： 确定最优解的思维过程： 线性目标函数 （A,B 不全为 0）中，当 时， ，这样线性目标函 数可看成斜率为 ，且随 变化的一组平行线，则把求 的最大值和最小值的问题转化为直线与可行域 有公共点，直线在 轴上的截距的最大值最小值的问题.因此只需先作出直线 ，再平行移动这条直 线，最先通过或最后通过的可行域的顶点就是最优解.特别注意，当 B>0 时， 的值随着直线在 y 轴上的截 距的增大而增大；当 B ,x y 1, 1, 2 2, x y x y x y + ≥  − ≥ −  − ≤ 2z ax y= + a 2 a− 2 a−6 【变式 2】已知实数 满足 如果目标函数 的最小值为-1，则实数 m 等于 A.7 B.5 C.4 D.3 【答案】B 类型三：实际问题中的线性规划. 【高清课堂：一元二次不等式及其解法 392664 例 4】 例 3. 某企业生产 A、B 两种产品，生产每一吨产品所需的劳动力和煤、电耗如下表： 产品品种 劳动力（个） 煤（吨） 电（千瓦） A 产品 3 9 4 B 产品 10 4 5 已知生产每吨 A 产品的利润是 7 万元，生产每吨 B 产品的利润是 12 万元，现因条件限制，该企业仅 有劳动力 300 个，煤 360 吨，并且供电局只能供电 200 千瓦，试问该企业生产 A、B 两种产品各多少吨， 才能获得最大利润？ 【解析】设生产 A、B 两种产品各 x、y 吨，利润为 z 万元 则 ，目标函数 作出可行域，如图所示， 作出在一组平行直线 7x+12y=t（t 为参数）中经过可行域内的点和原点距离最远的直线， 此直线经过点 M（20，24） 故 z 的最优解为（20，24），z 的最大值为 7×20+12×24=428（万元）. 【点评】简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么 实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的： （1）寻找线性约束条件，线性目标函数； （2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解 ,x y 1, 2 1, , y y x x y m ≥  ≤ −  + ≤ z x y= − 3 10 300 9 4 360 4 5 200 0, 0 x y x y x y x y + ≤  + ≤ + ≤ ≥ ≥ 7 12z x y= +7 举一反三： 【变式】家具公司制作木质的书桌和椅子，需要木工和漆工两道工序，已知木工平均四个小时做一把 椅子，八个小时做一张书桌，该公司每星期木工最多有 8000 个工作时；漆工平均两小时漆一把椅子、一 小时漆一张书桌，该公司每星期漆工最多有 1300 个工作时，又已知制作一把椅子和一张书桌的利润分别 是 15 元和 20 元，试根据以上条件，问怎样安排生产能获得最大利润? 【答案】设制作 x 把椅子，y 张桌子约束条件： ， 目标函数：z=15x+20y. 如图：目标函数经过 A 点时，z 取得最大值 即 A(200, 900) ∴ 当 x=200, y=900 时，zmax=15×200+20×900=21000(元) 答：安排生产 200 把椅子，900 张桌子时，利润最大为 21000 元. 例 4.某厂生产甲、乙两种产品，生产甲种产品每件要消耗煤 9 吨，电力 4 千瓦，使用劳动力 3 个，获 利 7000 元：生产乙种产品每件要消耗煤 4 吨，电力 5 千瓦，使用劳动力 10 个，获利 12000 元.有一个生产 日，这个厂可动用的煤是 360 吨，电力是 200 千瓦，劳动力是 300 个，问应该如何安排甲、乙两种产品的 生产，才能使工厂在当日的获利最大，并问该厂当日的最大获利是多少? 【解析】设生产甲产品 x 件，乙产品 y 件 约束条件： ， 目标函数：z=7000x+12000y 如图：目标函数经过 A 点时，z 取得最大值      ∈∈ ≤+ ≤+ Ny,Nx 1300yx2 8000y8x4    =+ =+ 1300yx2 8000y8x4    = = ⇒ 900y 200x        ∈∈ ≤+ ≤+ ≤+ Ny,Nx 300y10x3 200y5x4 360y4x98 ， 即 A（20，24） ∴ 当 x=20, y=24 时，zmax=7000×20+12000×24=428000（元）. 答：安排甲产品 20 件，乙产品 24 件时，利润最大为 428000 元. 【点评】注意本例中变量的取值限制. 举一反三： 【变式 1】（2016 新课标Ⅰ）某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg，乙材料 1 kg，用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg，乙材料 0.3 kg，用 3 个工 时，生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg，乙材料 90 kg，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【答案】 设生产产品 A、产品 B 分别为 、 件，利润之和为 元，那么由题意得约束条件 目标函数 . 约束条件等价于 ① 作出二元一次不等式组①表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.    = = ⇒    =+ =+ 24y 20x 300y10x3 200y5x4 216000 x y z 1.5 0.5 150, 0.3 90, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +         2100 900z x y= + 3 300, 10 3 900, 5 3 600, 0, 0. x y x y x y x y +  + +    3    9 将 变形，得 ，作直线： 并平移，当直线 经过 点 时， 取得最大值. 解方程组 ，得 的坐标为 . 所以当 ， 时， . 故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 元. 【变式 2】某运输公司有 7 辆载重量为 6 t 的 A 型卡车与 4 辆载重量为 10 t 的 B 型卡车，9 名驾驶员， 在建筑某段高速公路中，此公司承担了每天至少搬运 360 t 沥青的任务，已知每辆卡车每天往返的次数为 A 型卡车 8 次，B 型卡车 6 次，每辆卡车每天往返的成本费为 A 型卡车 160 元，B 型卡车 252 元，每天派出 A 型车与 B 型车各多少辆，才能使公司所花的成本费最低？ 【答案】设派出 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，所花成本费为 z=160x+252y，且 x、y 满足给条件如： ，即 如图所示，作出不等式表示的区域， 作直线 ，即 ， 作直线 的平行线 ： 当直线 经过可行域内 A 点时， 纵截距最小， 2100 900z x y= + 7 3 900 zy x= − + 7 3y x= − 7 3 900 zy x= − + M z 10 3 900 5 3 600 x y x y + =  + = M (60,100) 60x = 100y = max 2100 60 900 100 216000z = × + × = 216000 9 6 8 10 6 360 0 7 0 4 x y x y x x N y y N + ≤  ⋅ + ⋅ ≥ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ 且 且 9 4 5 30 0 7 0 4 x y x y x x N y y N + ≤  + ≥ ≤ ≤ ∈ ≤ ≤ ∈ 且 且 :160 252 0l x y+ = 40 63y x= − l 'l 40 63y x b= − + 'l 'l10 可得 A 点坐标为 . ∵z=160x+252y，∴ ，式中 代表该直线的纵截距 b， 而直线 的纵截距 b 取最小值时，z 也取得最小值， 即 过 时， ， 但此时 ， ∴z=1220.8 到不到，即它不是可行解，调整 x、y 的值， 当 x=5，y=2 时，点 在直线 4x+5y=30 上，且在可行域内符合 x、y 要求. ∴派 5 辆 A 型车，2 辆 B 型车时，成本费用最低， 即 zmin=160×5+2×252=1304（元） 【巩固练习】 一、选择题 1．若 ∈R，且 ，则 的最小值等于(　　) A．2　　　　　　　　B．3 C．5 D．9 2．（2016 浙江文）若平面区域 夹在两条斜率为 1 的平行直线之间，则这两条平行直 线间的距离的最小值是（ ） A. B. C. D. 3．x、y 满足约束条件 ，若 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为(　　) 　 A． 或－1 B．2 或 C．2 或 1 D．2 或－1 4. 若 x，y 满足 且 z＝y－x 的最小值为－4，则 k 的值为(　　) A． 2 B．－2 C． D． 5. 如图，目标函数 的可行域为四边形 OACB（含边 界），若 是该目标函数 的最优解，则 的取值范 3 0, 2 3 0, 2 3 0 x y x y x y + − ≥  − − ≤  − + ≥ 3 5 5 2 3 2 2 5 2(7, )5 40 63 252 zy x= − + 252 z 'l 'l 2(7, )5A min 2160 252 160 7 252 1220.85z x y= + = × + × = 2 5y N= ∉ '(5,2)A x y， 1 2 3 0 x x y y x ≥  − + ≥  ≥ +2z x y＝    ≥+− ≤−− ≤−+ 022 022 02 yx yx yx 2 1 2 1    ≥ ≥+− ≥−+ 0 02 02 y ykx yx 2 1 2 1− z ax y= − 2 4( , )3 5C z ax y= − a y x Ｃ 2 4( , )3 5 Ｂ Ｏ Ａ11 围是（ ） A. B . C. D. 6. 某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、质量、可获利润和托运能力限制数据在下表 中，那么为了获得最大利润，甲、乙两种货物应各托运的箱数为（　　） 体积（ｍ２／箱） 质量（５０ｋｇ／箱） 利润（１０２／箱） 甲 ５ ２ ２０ 乙 ４ ５ １０ 托运能力 ２４ １３ A.４，1 B.３，２ C.１，４ D.２，４ 二、填空题 7.已知变量 满足条件 ，设 ，取点（3，2）可求 ，取点（5，2）可求 ，去点（0，0）可求得 ，取点（3，2）叫做 ，取点（0，0）叫做 ；点（5， 2）和点（1，1）均叫做 . 8.（2016 新课标Ⅲ）若 满足约束条件 则 的最大值为_____________. 9. 在“家电下乡”活动中，某厂要将 100 台洗衣机运往邻近的乡镇．现有 4 辆甲型货车和 8 辆乙型 车可供使用．每辆甲型货车运输费用 400 元，可装洗衣机 20 台；每辆乙型货车运输费用 300 元，可 装洗衣机 10 台．若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 . 10. 线性目标函数 ，在线性约束条件 下取得最大值时的最优解只有一个，则实 数 的取值范围 . 11.若变量 x，y 满足约束条件 ，则 z＝3x＋y 的最小值为　　 ． ,x y 1 0 2 0 2 2 0 x y x y x y − + ≥  − ≤  + − ≤ z x y= + 10 5( , )3 12 − − 12 3( , )5 10 − − 3 12( , )10 5 12 3( , )5 10 − x y， 4 3, 3 5 25, 1, x y x y x − ≤ −  + ≤  ≥ 2z x y= + 8z = max 3z = 0z = z x y= + 3 0, 2 0, . x y x y y a + − ≤  − ≤  ≤ a    ≥ ≤−+ ≤+− 0 082 01 x yx yx12 三、解答题 12．已知 是以点 （4，1）， （－1，－6）， （－3，2）为顶点的三角形区域（包括边界与内 部）.如图所示. （1）写出表示区域 的不等式组； （2）设点 ， 两点在直线 的异侧，求 的取值范围. 13. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 原料 3 吨， 原料 2 吨；生产每吨乙产 品要用 原料 1 吨， 原料 3 吨，销售每吨甲产品可获得利润 5 万元，每吨乙产品可获得利润 3 万元.该企 业在一个生产周期内消耗 原料不超过 13 吨， 原料不超过 18 吨.求该企业可获得最大利润. 14．某公司准备进行两种组合投资，稳健型组合投资是由每份金融投资 20 万元，房地产投资 30 万元 组成；进取型组合投资是由每份金融投资 40 万元，房地产投资 30 万元组成.已知每份稳健型组合投资每年 可获利 10 万元，每份进取型组合投资每年可获利 15 万元.若可作投资用的资金中，金融投资不超过 160 万 元，房地产投资不超过 180 万元，那么这两种组合投资应注入多少份，才能使一年获利总额最多？ 15．设 满足约束条件 ，若目标函数 的最大值为 8，求 的最小值. D A B C D B C 4 3 0x y a =－ － a A B A B A B x y， 2 2 0 8 4 0 0, 0 x y x y x y − + ≥  − − ≤  ≥ ≥ = ( 0 0)z abx y a b> >＋ ， +a b13 【答案与解析】 1．【答案】　B 【解析】　作出可行域如图所示，目标函数 ，则过 B(1,1)时 z 取最小值 zmin＝3 2. 【答案】B 【解析】 画出不等式组的平面区域如题所示，由 得 ，由 得 ，由题意可知，当斜率为 1 的两条直线分别过点 A 和点 B 时，两直线的距离最小，即 ，故选 B 3.【答案】D 【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分 ABC)． 1 1 2 2y x z= − + 2 3 0 3 0 x y x y − + =  + − = (1,2)A 2 3 0 3 0 x y x y − − =  + − = (2,1)B 2 2(1 2) (2 1) 2AB = − + − =14 由 z＝y－ax 得 y＝ax＋z，即直线的截距最大，z 也最大． 若 a＝0，此时 y＝z，此时，目标函数只在 A 处取得最大值，不满足条件， 若 a＞0，目标函数 y＝ax＋z 的斜率 k＝a＞0，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y＝ax＋z 与直线 2x－y＋2＝0 平行，此时 a＝2， 若 a＜0，目标函数 y＝ax＋z 的斜率 k＝a＜0，要使 z＝y－ax 取得最大值的最优解不唯一， 则直线 y＝ax＋z 与直线 x＋y－2＝0，平行，此时 a＝－1， 综上 a＝－1 或 a＝2， 故选：D。 4．【答案】D 【解析】由约束条件 作出可行域如图， 由 kx－y＋2＝0，得 ， ∴ ． 由 z＝y－x 得 y＝x＋z． 由图可知，当直线 y＝x＋z 过 时直线在 y 轴上的截距最小，即 z 最小．    ≥ ≥+− ≥−+ 0 02 02 y ykx yx kx 2−=     − 0,2B k     − 0,2B k15 此时 ，解得： ． 故选：D． 5．【答案】B 【解析】∵C 点是目标函数的最优解，∴ ，解得 6.【答案】A 【解析】设托运货物甲 x 箱，托运货物乙 y 箱，由题意，得 利润为 由线性规划知识解得 时利润最大. 7.【答案】可行解；非可行解；最优解 8.【答案】 【解析】作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知，当目标函数 经过点 时 取得最大值，即 。 9. 【答案】2200 【解析】设需使用甲型货车 x 辆，乙型货车 y 辆，运输费用 z 元，根据题意，得线性约束条件 ，求线性目标函数 z＝400x＋300y 的最小值． 解得当 时，zmin＝2 200. 420min −=+= kz 2 1−=k AC BCk a k< < 12 3 5 10a− < < − 5 4 24, 2 5 13, , x y x y x y N + ≤  + 0，b>0)过直线 2x－y＋2＝0 与直线 8x－y－4＝0 的交点(1,4)时，目标函数 z＝abx ＋y(a>0，b>0)取得最大值 8，即 8＝ab＋4，ab＝4， ∴ .       ≤+ ≤+ > > 1832 133 0 0 yx yx y x yxz 35 += x y x y z ( 1.5 )z x y= + 20 40 160 30 30 180 0, 0 x y x y x y + ≤  + ≤  ≥ ≥ 2 8 6 0, 0 x y x y x y + ≤  + ≤  ≥ ≥ 2 8 6 x y x y + =  + = (4,2)M 1.5 0x y+ = l l z max (4 3) 10z = + × 2 4a b ab+ ≥ = （3，4）（0，6） O （ 3 13 ，0） y x9 1318