知识讲解_角的概念的推广与弧度制_提高

1 角的概念的推广与弧度制 【学习目标】 1.了解周期现象在现实生活中广泛存在，感受周期现象对实际生活的意义，理解周期函数的概念． 2.理解任意角的概念.掌握象限角、终边相同的角、终边在坐标轴上的角及区间角的表示方法． 3.了解弧度制的意义；掌握角的不同度量方法，能对弧度制和角度制进行正确的换算. 4.掌握弧度制下扇形的弧长和面积的计算公式，并能结合具体问题进行正确地运算． 【要点梳理】 要点一：周期现象 1．周期现象的含义 某种现象每隔一段时间就会重复出现，这种现象被称为周期现象． 2．如何判断一种现象是否为周期现象？ 判断一种现象是否为周期现象，关键是看这种现象是否能够按照一定规律重复出现．如时针、分针和 秒针每转一周就会重复一次，如潮汐周期、节气周期、人的生物钟周期等． 要点诠释： （1）周期现象是自然界和科学技术中的一类最基本的现象，它的特点是在事物的发展变化过程中，每 隔一定的时间 T，某些现象或特点就会重复出现．简言之，周期现象的特点就是有规律地重复出现． （2）要联系生活中的实例来感受周期性；要弄清现象与时间的关系，以防出错． 要点二：任意角的概念 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释： 角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角， 从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角 终边相同的角为 角的顶点与原点重合，角的始边与 轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们 就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； { }| 360k k Zβ β β α∈ = + ∈ ， x2 (3)终边相同的角有无数多个，它们相差 的整数倍. 3．常用的象限角 角的终边所在位置 角的集合 x 轴正半轴 y 轴正半轴 x 轴负半轴 y 轴负半轴 x 轴 y 轴 坐标轴 是第一象限角，所以 是第二象限角，所以 是第三象限角，所以 是第四象限角，所以 要点三：弧度制 1．弧度制的定义 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 1 弧度角，记作 1 ，或 1 弧度，或 1(单位可以省略不 写). 2．角度与弧度的换算 弧度与角度互换公式： 1rad= ≈57.30°=57°18′，1°= ≈0.01745(rad) 3．弧长公式： ( 是圆心角的弧度数)， 扇形面积公式： . 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 等等，一般地,正角的弧度数是 360° { }Zkk ∈°×= ,360|αα { }Zkk ∈°+°×= ,90360|αα { }Zkk ∈°+°×= ,180360|αα { }Zkk ∈°+°×= ,270360|αα { }Zkk ∈°×= ,180|αα { }Zkk ∈°+°×= ,90180|αα { }Zkk ∈°×= ,90|αα α ( ){ }| 360 360 90 ,k k k Zα α< < + ∈    α ( ){ }| 360 90 360 180 ,k k k Zα α+ < < + ∈     α ( ){ }| 360 180 360 270 ,k k k Zα α+ < < + ∈     α ( ){ }| 360 270 360 360 ,k k k Zα α+ < < + ∈     rad 180 radπ° = 0180 π      180 π rl ||α= α 2||2 1 2 1 rrlS α== 2π π− −，3 一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角 的弧度数的绝对值是： ，其中， 是圆心角所对的弧长， 是半径. 【典型例题】 类型一：周期现象 例 1．某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为 1 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 的顶点 A 出发沿棱向前 爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是 AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的 路线是 AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第 i+2 段与第 i 段所在 直线必须是异面直线（其中 i 是正整数）．设黑“电子狗”爬完 2006 段，黄 “电子狗”爬完 2007 段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电 子狗”间的距离是（　　）． A．0 B．1 C． D． 【思路点拨】根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电 子狗”爬完 2006 段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完 2007 段后实质是到达哪个点，最后计 算出它们的距离即可． 【答案】B 【解析】由题意，黑“电子狗”爬行路线为 AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过 6 段后又回到起点，可以 看作以 6 为周期，同理，黄“电子狗”也是过 6 段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完 2006 段后实质 是到达第二段的终点 D1，黄“电子狗”爬完 2007 段后到达第三段的终点 C1．此时的距离为|C1D1|=1． 举一反三： 【变式 1】今天是周三，7k(k∈z)天后的那一天是周几？80 天后的那一天是周几？ 【思路点拨】由题意知此问题具有周期为 7，据此可得到解答． 【解析】 每隔 7 天，周一到周日依次循环，故 7k 天后为周三； ，所以 80 天后为周六． 【总结升华】解答本题的关键是找出问题的周期并应用周期得到问题的结论． 类型二：终边相同的角的集合 例 2（2014 春 汪清县校级月考）已知 α= ． （1）写出所有与 α 终边相同的角； （2）写出在（﹣4π，2π）内与 α 终边相同的角； （3）若角 β 与 α 终边相同，则 是第几象限的角？ 【思路点拨】（1）有与 α 终边相同的角可以写成 2kπ+α，k∈Z． （2）令﹣4π＜2kπ+ ＜2π（k∈Z），解出整数 k，从而求得在（﹣4π，2π）内与 α 终边相同的角． （3）根据 β=2kπ+ （k∈Z），求得 =kπ+ （k∈Z），即可判断 是第几象限的角． α r l=α l r 2 3 80 7 11 3= × +4 【解析】（1）所有与 α 终边相同的角可表示为 {θ|θ=2kπ+ ，k∈Z}． （2）由（1）令﹣4π＜2kπ+ ＜2π（k∈Z），则有 ﹣2﹣ ＜k＜1﹣ ． 又∵k∈Z，∴取 k=﹣2，﹣1，0． 故在（﹣4π，2π）内与 α 终边相同的角是﹣ 、﹣ 、 ． （3）由（1）有 β=2kπ+ （k∈Z），则 =kπ+ （k∈Z），当 k 为偶数时， 在第一象限， 当 k 为奇数时， 在第三象限． ∴ 是第一、三象限的角． 【总结升华】本题考查终边相同的角的表示方法，及一元一次不等式的解法，体现了分类讨论的数学思 想． 举一反三： 【变式】（2015 春 临沂校级月考）已知角 α=2010°． （1）把 α 改写成 k•360°+β（k∈Z，0°≤β＜360°）的形式，并指出它是第几象限角； （2）求 θ，使 θ 与 α 终边相同，且﹣360°≤θ＜720°． 【解析】（1）由 2 010°除以 360°，得商为 5，余数为 210°． ∴取 k=5，β=210°， α=5×360°+210°． 又 β=210°是第三象限角， ∴α 为第三象限角． （2）与 2 010°终边相同的角： k•360°+2 010°（k∈Z）． 令﹣360°≤k•360°+2 010°＜720°（k∈Z）， 解得﹣6 ≤k＜﹣3 （k∈Z）． 所以 k=﹣6，﹣5，﹣4． 将 k 的值代入 k•360°+2 010°中， 得角 θ 的值为﹣150°，210°，570°． 例 3．已知 、 的终边有下列关系，分别求 、 间的关系式． （1） 、 的终边关于原点对称； （2） 、 的终边关于 x 轴对称； （3） 、 的终边关于 y 轴对称． 【答案】（1） （2） + =k·360°（3） + =(2k+1)·180° 【解析】 （1）由于 、 的终边互为反向延长线，故 、 相差 180°的奇数倍（如下图①），于是 α β α β α β α β α β (2 1) 180kβ α− = + ⋅ ° α β α β α β α β5 （k∈Z）． （2）由于 与－ 的终边相同（如下图②），于是 =－ +k·360°，即 + =k·360°（k∈ Z）． （3）由于－ 的终边与 的终边互为反向延长线（如下图③），故 －(－ )=(2k+1)·180°，即 + =(2k+1)·180°（k∈Z） 【总结升华】 首先在 0°～360°范围内找出两个角的关系，然后再根据终边相同的角的概念写出完 整答案． 举一反三： 【变式 1】已知 是任意角，则 与 的终边（ ） A．关于坐标原点对称 B．关于 轴对称 C．关于 轴对称 D．关于直线 对称 【答案】 B 类型三：角 所在象限的研究 例 4．若 是第二象限角，试分别确定 ， ， 的终边所在的位置． 【思路点拨】因为 是第二象限的角，所以 k·360°+90°＜ ＜k·360°+180°，把上式两边都乘 以 2、 、 ，然后对 进行讨论，就可得 ， ， 的终边所在的位置． 【答案】第三、第四象限的角或角的终边在 y 轴的负半轴上；第一或第三象限的角；第一或第二象限 或第四象限的角 【解析】 解法一：因为 是第二象限的角，所以 k·360°+90°＜ ＜k·360°+180°（k∈Z）． （1）因为 2k·360°+180°＜ ＜2k·360°+360°（k∈Z），故 是第三、第四象限的角或角的 终边在 y 轴的负半轴上． （2）因为 k·180°+45°＜ ＜k·180°+90°（k∈Z），当 k=2n（n∈Z）时，n·360°+45°＜ ＜n·360°+90°；当 k=2n+1（n∈Z）时，n·360°+225°＜ ＜n·360°+270°（k∈Z），所以 是 第一或第三象限的角． （3）因为 k·120°+30°＜ ＜k·120°+60°（k∈Z）．当 k=3n（n∈Z）时，n·360°+30°＜ ＜n·360°+60°；当 k=3n+1（n∈Z）时，n·360°+150°＜ ＜n·360°+180°；当 k=3n+2（n∈Z） 时，n·360°+270°＜ ＜n·360°+300°，所以 是第一或第二象限或第四象限的角． (2 1) 180kβ α− = + ⋅ ° α β α β α β β α α β α β α α α− x y y x= n α α 2α 2 α 3 α α α 1 2 1 3 k 2α 2 α 3 α α α 2α 2α 2 α 2 α 2 α 2 α 3 α 3 α 3 α 3 α 3 α6 解法二：以 为例讲解．把各象限均分 3 等份，再从 x 轴的正向的 上方起 依次将各区域标上 I、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并依次循环一周，则 原来是 第Ⅱ象限的符号所表示的区域即为 的终边所在的 区域.由图可知， 是第一、二、四象限角. 【总结升华】已知 的范围，确定 的范围，一般应先将 的范围用不等式表示，然后再两边同除 以 n，根据 k 的取值进行分类讨论，以确定 的范围，讨论角的范围时要做到不重不漏，尤其对象限界角 应引起注意． 举一反三： 【高清课堂：任意角与弧度数 385946 例 2】 【变式 1】若 是第三象限的角，则 2 ， 分别是第几象限的角？ 【答案】一、二象限或 轴的正半轴上；二、四象限 【变式 2】集合 ， ，则( ) A、 B、 C、 D、 【答案】C 【解析】( 法一) 取特殊值-1，-3，-2，-1，0，1，2，3，4 (法二)在平面直角坐标系中，数形结合 (法三)集合 M 变形 ， 集合 N 变形 ， 是 的奇数倍， 是 的整数倍，因此 . 类型四：弧度制与角度制的互化 例 5．用弧度表示顶点在原点，始边重合于 x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所 示（不包括边界）． 【思路点拨】这类题只要找到两射线对应的角，然后写成 即可，注意 3 α α 3 α 3 α α n α α n α α α 2 α y },42|{ ZkkxxM ∈+== ππ },24|{ ZkkxxN ∈+== ππ NM = NM ⊃ NM ⊂ Φ=NM  ,k Z k∈ ∴ (2 1)2 ,4 4 kkx k Z ππ π ++= = ∈ ( 2)2 ,4 4 kkx k Z ππ π ++= = ∈ (2 1)k π+ π ( 2)k π+ π M N ⊂ ≠ 2 2 ( )k x k k zα π β π+ < < + ∈ Ⅳ ⅢⅡⅠⅣ Ⅲ Ⅱ Ⅰ Ⅳ Ⅲ Ⅱ Ⅰ o y x7 ． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）如下图①，以 OB 为终边的角为 330°，可看成是－30°，化为弧度，即 ， 而 rad，∴所求集合为 ． （2）如上图②，以 OB 为终边的角 225°，可看成是－135°，化成弧度，即 ， 而 rad，∴所求集合为 ． 【总结升华】在表示角的集合时，一定要使用统一的单位，只能用角度制或弧度制中的一种，不能混 用． 例 6．设角 ， ， ， ． （1）将 ， 用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将 ， 用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们有相同终边的所有角． 【答案】（1） （2） ―612°和―252°； =―420°－60° 【解析】 要确定角 所在的象限，只要把 表示为 =2kπ+ 0（k∈Z，0≤ ＜2π）的形式，由 0 所在的象限即可判定出 所在的象限． （1） ， ． 所以 在第二象限， 在第一象限． （2） ， 设 =k·360°+ （k∈Z）， 因为－720°≤ ＜0°， 所以－720°≤k·360°+108°＜0， 解得 k=―2 或 k=―1， 所以在―720°～0°间与 有相同终边的角是―612°和―252°． 同理 =―420°，在―720°～0°间与 有相同终边的角是－60°． 【总结升华】 ①在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住πrad=180°， 这一关系．② α β< 5| 2 2 ,6 12k k k Z π πθ π θ π − < < + ∈   3 3| 2 2 ,4 4k k k Z π πθ π θ π − < < + ∈   6 π− 575 75 180 12 π π° = × = 5| 2 2 ,6 12k k k Z π πθ π θ π − < < + ∈   3 4 π− 3135 135 180 4 π π° = × = 3 3| 2 2 ,4 4k k k Z π πθ π θ π − < < + ∈   1 570α = − ° 2 750α = ° 1 3 5 β π= 2 7 3 β π= − 1 α 2 α 1 β 2 β 54 6 π π− + 4 6 ππ + 1 108β = ° 2 β α α α α α α α 1 19 5570 46 6 α π π π= − ° = − = − + 2 25750 46 6 πα π π= ° = = + 1 α 2 α 1 3 1085 β π= = ° θ 1 β θ 1 β 2 β 2 β 1 rad180 π° =8 用弧度作为单位时，常出现π，如果题目没有特殊的要求，应当保留π的形式，不要写成小数．③角度制 与弧度制不得混用，如 ，k∈Z； ，k∈Z 都是不正确的写法． 举一反三： 【高清课堂：任意角与弧度制 385946 例 4】 【变式 1】分别使用角度制与弧度制表示下列角的集合： (1) 与 终边相同的角 (2) 终边在 y 轴正半轴上的角的集合 (3) 终边在 y 轴负半轴上的角的集合 (4) 终边在 y 轴上的角的集合 【答案】 （1） ， （2） ， （3） ， （4） ， 类型五：扇形的弧长、面积与圆心角问题 例 7．已知一扇形的周长为 40 cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面 积是多少？ 【思路点拨】用弧长公式 和扇形面积公式 去求解 【答案】10 、2，100 【解析】设扇形的圆心角为 ，半径为 r，弧长为 ，面积为 S，则 +2r=40，∴ =40－2r， ∴ ． ∴当半径 r=10 cm 时，扇形的面积 最大，最大面积为 100 cm2，这时 ． 【总结升华】有关扇形的弧长 ，圆心角 ，面积 S 的题目，一般是知二求一的题目，解此类题目的 关键在于灵活运用 =| |·R， 两组公式，采用消元思想或二次函数思想加以解决． 举一反三： 【变式 1】如图，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心角 的弧度数及弦 AB 的长． 【答案】 ， 【解析】 设 长为 cm，扇形半径为 R cm，则由题意， 得 ，解得 或 （不合题意，舍去）． 2 30kα π= + ° 3360 2kβ π= ⋅ °+ α { }| 360 ,S S k k zα= ⋅ + ∈ { }| 2 ,S S k k zπ α= + ∈ { }| 360 90 ,S S k k z= ⋅ + ∈  | 2 ,2S S k k z ππ = + ∈   { }| 360 90 ,S S k k z= ⋅ − ∈  | 2 ,2S S k k z ππ = − ∈   { }| 180 90 ,S S k k z= ⋅ + ∈  | ,2S S k k z ππ = + ∈   rl ||α= 2||2 1 2 1 rrlS α== θ l l l 2 21 1 (40 2 ) 20 ( 10) 1002 2S lr r r r r r= = × − = − = − − + S 40 2 10 2 rad10 l r θ − ×= = = l α l α 21 1 | |2 2S lR Rα= = α 1 2 18sin 4 AB l 2 10 1 42 l R l R + = ⋅ = 4 2 R l =  = 1 8 R l =  =9 ∴ （rad）． ∴弦 （cm）． 例 8．将一条绳索绕在半径为 40 cm 的轮圈上，绳索的下端 B 处悬挂着物体 W，如果轮子按逆时针方 向每分钟旋转 6 圈，现想将物体 W 的位置向上提升 100 cm，需要多长时间才能完成这一工作？ 【思路点拨】关键是求弧长是 100 cm 时，弧长所对的圆心角是多少，进一步求出上升 所用时间． 【答案】4 【 解 析 】 如 图 ， 当 BB ＇ =100 cm 时 ， 的 长 是 100 cm ， 所 对 的 圆 心 角 ．∵轮子每分钟匀速旋转 6 圆，∴每秒匀速转过 ，即 ， 于是 t 秒转过 rad，∴ ，解得 ． 【总结升华】 轮子按逆时针方向旋转，点 A 转过的弧长 的长等于 B 点上升到 B＇时的距离， 这是本题中隐藏的等量关系． 举一反三： 【变式 1】一个视力正常的人，欲看清一定距离的文字，其视角不得小于 5′，试问： （1）离人 10 m 处能阅读的方形文字的大小如何？ （2）欲看清长、宽约 0.4 m 的方形方字，人离开字牌的最大距离为多少？ 【答案】（1）0.01454（2）275 【解析】（1）设文字的长、宽均为 ，则 =10 ，这里 =5′=0.001454， 所以 =10×0.001454=0.01454（m）． （2）设人离开字牌 x m，则 （m）． 2 1 4 2 α = = 1 12 4 sin 8sin4 4AB = × × = 'AA 'AA 100' rad40AOA∠ = 6 2 rad60 π× rad5 π 5 t π 100 5 40t π = 25 4(s)2t π= ≈ 'AA l l α α l 0.4 2750.001454 lx α= = ≈10 【巩固练习】 1．设钟摆每经过 1.8s 回到原来的位置，在图中钟摆达到最高位置点 A 时开始计时，经过 1min 后，钟摆 的大致位置是（ ）。 A．点 A 处 B．点 B 处 C．点 O，A 之间 D．点 O，B 之间 2．下列命题中正确的是（ ） A. 第一象限角必是锐角 B.终边相同的角必相等 C. 相等的角终边位置必定相同 D.不相等的角终边位置必定不相同 3．已知 为第三象限角，则 所在的象限是（ ） A．第一或第二象限 B．第二或第三象限 C．第一或第三象限 D．第二或第四象限 4．（2015 秋 通州区校级期末）在 0 到 2π 范围内，与角 终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 5．将分针拨快 20 分钟，则分针转过的弧度数为（ ） A． B． C． D． 6．半径为 1 cm，中心角为 150°的角所对的弧长为（ ） A． cm B． cm C． cm D． cm 7．设集合 ， ，则集合 A 与 B 之间的关 系为（ ） A．AB B．AB C．A=B D． 8．扇形圆心角为 ，半径为 a，则扇形内切圆的面积与扇形的面积之比为（ ） A．1∶3 B．2∶3 C．4∶3 D．4∶9 9．与 终边相同的最大负角是_______________． 10．一个半径为 的扇形中，弦长为 的扇形的圆心角的弧度数是 ． 11．若角 ，钝角 与 的终边关于 轴对称，则 = ；若任意角 的终边关于 轴对称，则 的关系是 ． 12．（2015 秋 苏州期末）如图，一根长为 2 米的竹竿 AB 斜靠在在直角墙壁上，假设竹竿在同一平面内 移动，当竹竿的下段点 A 从距离墙角 O 点 1 米的地方移动到 米的地方，则 AB 的中点 D 经过的路程为　　 米． α 2 α 2 3 π− 2 3 π 3 π− 3 π 2 3 2 3 π 5 6 5 6 π ( )| 1 ,2 kA x x k k z ππ = = + − ⋅ ∈   | 2 ,2B x x k k z ππ = = + ∈   A B = ∅ 3 π 02002− R R 6 πα = β α y α β+ ,α β y ,α β11 13．已知扇形 OAB 的中心角为 4，其面积为 2 cm2，求扇形的周长和弦 AB 的长． 14．（2014 春 会宁县校级期中）已知角 β 的终边在直线 x﹣y=0 上． （1）写出角 β 的集合 S； （2）写出 S 中适合不等式﹣360°＜β＜720°的元素． 15．如图，一长为 dm，宽为 1 dm 的长方形木块在桌面上做无滑动翻滚，翻滚到第三面时，被一小木 块挡住，使木块底面与桌面所成角为 ，试求点 A 走过的路程及走过的弧所在扇形的总面积． 3 6 π12 【答案与解析】 1．【答案】D 2．【答案】C 【解析】由角的定义知 C 正确． 3．【答案】D 【解析】如图所示， 所在的象限是第二或第四象限，故选 D． 4.【答案】C 【解析】与角 终边相同的角是 2kπ+（ ），k∈z，令 k=1，可得与角 终边相同的角是 ，故选 C 5．【答案】A 【解析】把分针拨快，即分针顺时针旋转，所以这个角度是负角，又 ，故选 A． 6．【答案】D 【解析】150°= ， （cm）． 7．【答案】C 【解析】对于集合 A，当 时， ；此时 表示终边在 轴正半 轴上的任意角． 当 时， ， 此时 仍表示终边在 轴正半轴上的任意角，综合，A=B． 8．【答案】B 【解析】 由右图可知，内切圆半径 r 与扇形半径 a 的关系为 a=3r． ∴ 9．【答案】 【解析】 10．【答案】 11．【答案】 ， 【解析】由已知，作出 角终边，依终边对称性可得 ，所以 ；由上述分析，换一个角 度 ， 可 以 得 出 一 般 性 结 论 ： 与 终 边 相 同 ， 所 以 ， 即 ． 2 α 2120 180 3 π π× =  5 6 π 5 6l r α π= ⋅ = 2k n= 22 ( 1) 2 ,2 2 nx n n n z π ππ π= + − = + ∈ x y 2 1k n= + ( )2 1(2 1) 1 2 2 ,2 2 2 nx n n n n z π π ππ π π π+= + + − = + − = + ∈ x y 2 2 2 2 2 ' 1 1 1( ) ( ) ( ) 9 2 32 2 3 2 3OS S r la r a r r π ππ π π     = = × × = × × =           扇∶ ∶ ∶ ∶ ∶ 0202− 0 0 02002 5 360 ( 202 )− = − × + − 3 π π (2 1) ,k k zα β π+ = + ∈ 6 π 5 6 β π= α β π+ = β π α− ( ) 2kβ π α π= − + (2 1) ,k k zα β π+ = + ∈13 12.【答案】 【解析】点 D 的路径是：以点 O 为圆心，1 为半径的圆弧，其圆的方程为：x2+y2=1． 当 OA=1 时，∠OAD=60°=∠DOA； 当 OA′= 时，∠D′A′O=30°=∠D′OA′， ∴∠DOD′= ． ∴ = m． 13．【解析】设 的长为 ，半径 OA=r． 则 ，所以 ． ① 设扇形的中心角的弧度数为 ， 则 ，所以 =4r．　　② 由①②解得 r=1， =4． 所以扇形的周长为 +2r=6（cm）． 如右图所示，作 OH⊥AB 于 H，则 （cm）． 14.【解析】（1）∵角 β 的终边在直线 x﹣y=0 上， 且直线 x﹣y=0 的倾斜角为 60°， ∴角 β 的集合 S={β|β=60°+k•180°，k∈Z}； （2）在 S={β|β=60°+k•180°，k∈Z}中， 取 k=﹣2，得 β=﹣300°， 取 k=﹣1，得 β=﹣120°， 取 k=0，得 β=60°， 取 k=1，得 β=240°， 取 k=2，得 β=420°， 取 k=3，得 β=600°． ∴S 中适合不等式﹣360°＜β＜720°的元素分别是： ﹣300°，﹣120°，60°，240°，420°，600°． 15 ．【 解 析 】 在 扇 形 ABA1 中 ， 圆 心 角 恰 为 ， 弧 长 ， 面 积 ． 在 扇 形 A1CA2 中 ， 圆 心 角 亦 为 ， 弧 长 ， 面 积 ． AmB l 1 22S lr= = 4lr = α | | 4l r α = = l l l 2 42 2 sin 2sin( 2)2AB AH r π π−= = = − 2 π 1 3 12 2l AB π π π= ⋅ = ⋅ + = 2 1 1 1 44 4S ABπ π π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 2 π 2 1 12 2 2l AC π π π= ⋅ = ⋅ = 2 2 2 1 1 1 14 4 4S AC ππ π= ⋅ ⋅ = ⋅ =14 在扇形 A2DA3 中，圆心角为 ，弧长 ， 面积 ． ∴点 A 走过路程的长 ， 点 A 走过的弧所在扇形的总面积 ． 2 6 3 π π ππ − − = 3 2 333 3 3l A D π π π= ⋅ = ⋅ = 2 2 3 2 1 1 ( 3)6 6 2S A D ππ π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = 1 2 3 3 (9 2 3) 2 3 6l l l l π π ππ += + + = + + = 1 2 3 7 4 2 4S S S S π π ππ= + + = + + =