1
正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式
【学习目标】
1.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义，能由三角函数的定义求其定义域、函数值的符
号.
2.理解单位圆、正弦线、余弦线、正切线的概念及意义.
3．会应用三角函数的定义解决相关问题。
【要点梳理】
要点一：任意角的正弦函数、余弦函数
1．单位圆定义：
在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长为半径的圆称为单位圆．
作用：单位圆是研究三角函数的有利工具．
2．任意角的正弦、余弦函数的定义
在直角坐标系中，给定单位圆，对任意角α，使角α的顶点与原点重合，始边与 x 轴正半轴重合，终
边与单位圆交于点 P(u，v)，那么点 P 的纵坐标 v 叫作角α的正弦函数，记作 ；点 P 的横坐标 u
叫作角α的余弦函数，记作 ．若用 x 表示角的大小，y 表示函数值，这样我们就定义了任意角的
三角函数 y＝sinx，y＝cos x(x∈R)．
要点诠释：
(1)三角函数值只与角 的终边所在位置有关，与 P 点在终边上的位置无关．
(2)设角 终边上任一点 P(x，y)， ，则 ， 。
(3)定义域： 和 的定义域都是 R．值域： 和 的值域都是[-1，
1]．
要点二：正弦、余弦函数在各象限的符号
在记忆上述三角函数值在各象限的符号时，有以下口诀：一全正，二正弦，三全负，四余弦。
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限正弦、余弦函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限为负，在第四
象限余弦值为正。
要点三：三角函数的周期性
1．周期函数的定义及理解
(1)定义：一般地，对于函数 f(x)，若存在一个非零的常数 T，对定义域内任意一个 x，都有 f(x+T)＝
f(x)．我们就把 f(x)称为周期函数，T 称为这个函数的一个周期．
(2)规定：对于周期函数，若所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期．今后提到
的函数周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期．
(3)理解：
①以 T(T≠0)为周期的函数 f(x)，对于定义域 M 内的任意 x 值，x+T 也必属于 M，否则 f(x+T)没有
意义．因此，若一个周期函数的周期 T＞0，则其定义域必无上界；若 T＜0，则其定义域必无下界．
sinv α=
cosu α=
α
α | |OP r= sin y
r
α = cos x
r
α =
siny x= cosy x= siny x= cosy x=2
②周期函数的定义中“对定义域内的任意一个 x”的“任意一个 x”的含义是指定义域内的所有的 x
值，即如果有一个 ，使 ，那么 T 就不是函数 的周期．
③周期函数定义中的“T”是不为 0 的实数．
2．周期函数 具有的特殊性质(拓展)
(1)定义域：在周期函数 中，T 是周期，若 x 是定义域内的一个值，则 x+kT 也一定属于定
义域，因此周期函数的定义域一定是无限集．
(2)解析式：当 T 是函数 的周期时，对定义域中任意 x，总有 都成立．
(3)周期函数的周期有无限多个．若 T 是周期，则对定义域中的任意 x，总有 f(x+kT)＝f(x+(k-1)T)＝
f(x+(k-2)T)＝…＝f(x)都成立，即 f(x+kT)＝f(x)，所以 kT(k∈Z)也是周期．
(4)值域：由于对定义域中的任意 x，总有 都成立，则周期函数 的值域与函
数 在一个周期内的值域相同．
(5)图像：每隔一个周期，函数 的图像重复出现，即周而复始．由此可得判断周期函数的方
法：图像法，当函数 的图像每隔一段重复出现时，函数 是周期函数．
要点四：正弦、余弦函数的诱导公式
l．公式内容
(1) ，
(2)
(3) ，
(4)
(5) ，
要点诠释：
这五组公式都是将任意角的正弦、余弦值转化为求锐角的正、余弦值．
2．公式记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”．
①角一定要写成： 的形式，则 k 为奇数时，函数名改变，k 为偶数时，函数名不
变．
②“象限”是指将 看作锐角时， 所在象限的原函数值的符号．
3．与正弦、余弦函数有关的计算、求值、证明的解题技巧：
0x 0 0( ) ( )f x T f x+ ≠ ( )f x
( )y f x=
( )y f x=
( )y f x= ( ) ( )f x T f x+ =
( ) ( )f x T f x+ = ( )y f x=
( )y f x=
( )y f x=
( )y f x= ( )y f x=
sin( ) sinα α− = − cos( ) cosα α− =
sin( ) sin cos( ) cos
sin( ) sin cos( ) cos
α π α α π α
α π α α π α
+ = − + = −
− = − − = −
，
，
sin( ) sinπ α α− = cos( ) cosπ α α− = −
sin cos cos sin2 2
sin cos cos sin2 2
π πα α α α
π πα α α α
+ = + = − − = − =
，
，
sin(2 ) sinkπ α α+ = cos(2 ) cos ( )k kπ α α+ = ∈Z
( )2k k
π α± ∈Z
α ( )2k k
π α± ∈Z3
诱导公式的作用在于将任意负角的三角函数利用公式转化为任意正角的三角函数，然后再利用公式转
化为 0°～360°的三角函数，最后再利用公式转化为锐角的三角函数，最后运用特殊角的三角函数值或查
表求解，它是三角变换的基础．
（1）求值
利用诱导公式求值有两种题型：一是无条件的求值问题；二是有条件的求值问题．解题技巧是：整体
观察角的结构特征，将所求角的三角函数值中的角，转化为所给角与特殊角的和与差的形式，实现由未知
向已知方面的转化，这需要一定的观察能力，和掌握一些角的常用变形技巧．
（2）化简
利用诱导公式化简的思路是：利用诱导公式和题设条件逐一化简，化简到不能再化简为止．化简的基
本要求是：项数尽量少，次数尽量低，能不含分母的尽量不含分母，能不含根号的尽量不含根号，能合并
的尽量合并，能约分的就约分，能求值的就求值．
【典型例题】
类型一：三角函数的定义
例 1（2015 秋 巴彦淖尔校级期末）已知角 α 的终边经过 P（3，4），求 sinα，cosα，tanα．
【思路点拨】已知角 α 的终边经过点 P（3，4），直接利用任意角的三角函数的定义求 sinα，cosα，tanα 的
值；
【解析】∵角 α 的终边经过点 P（3，4），
∴r= =5，
∴sinα= = ，cosα= = ，
∴tanα= = ．
【总结升华】已知角终边上一点坐标，就可以利用三角函数定义求三角函数值.
举一反三：
【变式 1】（2015 秋 哈尔滨校级期末）已知角 α 的终边经过点 （x＞0），且 ，
求 sinα，cosα，tanα 的值．
【解析】∵角 α 的终边经过点 ，且 ，
∴ ，即 x2=1，
又∵x＞0，
∴x=1，则 P（1， ），
∴|OP|=2，
则 sinα= ，cosα= ，tanα= ．
【高清课堂：任意角的三角函数 385947 例 2】
【变式 2】已知角 的终边落在 y=|2x|上，求 值。
【答案】 或
【解析】 y=|2x|，
α cosα
5
5
5
5
−
2y x∴ = ±4
取点 P（1，2），
或
类型二：三角函数的符号
例 2．（1）若 sin ＜0，cos ＞0，则 是第几象限角？
（2）若 sin2 ＞0，且 cos ＜0，试确定 终边所在象限？
【答案】（1）四（2）三
【解析】
（1）因为 sin ＜0，所以 为第三或第四象限角，
又 cos ＞0，所以 为第一或第四象限角，
所以 为第四象限角。
（2）因为 sin2 ＞0，所以 2kπ＜2 ＜2kπ+π（k∈Z），
所以 （k∈Z）。
当 k 为偶数时， 是第一象限；当 k 为奇数是， 为第三象限象。所以 为第一或第三象限角。
又因为 cos ＜0，所以 为第二或第三象限角，或 终边在 x 轴的非正半轴上。
综上知，角 终边在第三象限。
【总结升华】第一象限角，函数值全为正；第二象限角，只有正弦值为正；第三象限角，正切值为正；
第四象限角，只有余弦角为正。
举一反三：
【变式 1】求函数 的值域。
【答案】{－2，0，2}
【解析】 由题意知，角 x 的终边不在坐标轴上。
当 x 是第一象限角时， ；
当 x 是第二象限角时， ；
当 x 是第三象限角时， ；
当 x 是第四象限角时， ，
故函数 的值域为{－2，0，2}
【总结升华】本题主要考查三角函数值在各象限的符号，并将其与函数的值域、绝对值等有关知识结
合进行综合考查。本题运用了分类讨论思想。分象限讨论各三角函数值的符号是解决这类问题的基本方法，
注意讨论时要不重不漏，所有可能的情况要考虑全面。
类型三：周期函数
例 3．若函数 (x∈R)满足 ， ，求 的
' ( 1,2)P −
'| | | | 5r OP OP= = =
1 5cos 55
x
r
α∴ = = = 5
5
−
α α α
α α α
α α
α α
α
α α
2k k
ππ α π< < +
α α α
α α α
α
sin | cos |
| sin | cos
x xy x x
= +
sin cos 2sin cos
x xy x x
= + =
sin cos 0sin cos
x xy x x
−= + =
sin cos 2sin cos
x xy x x
−= + = −−
sin cos 0sin cos
x xy x x
= + =−
sin | cos |
| sin | cos
x xy x x
= +
( )y f x= ( ) ( ) ( )( 0)f x f x a f x a a= − + + < (2 ) 1f a = (14 )f a5
值．
【思路点拨】本题属于抽象函数求函数值问题，可先考查函数周期性，然后利用其周期性去求解．
【解析】由 ， ①
得 ． ②
①+②得，
，
即 ， ③
∴ ． ④
③－④得 ．
∴ T＝6a 为函数 的一个周期，
∴ ．
举一反三：
【变式 1】已知 ，求证： 是周期函数，并求出它的一个周期．
【思路点拨】根据题目所给条件，构造函数，推导出符合周期函数定义的式子，即可得出结论．
【解析】由题意知： ．
∴ 为周期函数且 2 是它的一个周期．
【总结升华】证明某一函数是周期函数，要善于根据所给条件的式子结构进行分析、变形．
类型四：利用诱导公式进行求值和化简
例 4．求下列三角函数值
（1） ；
（2）
【思路点拨】按照“负化正、大化小，化到锐角再查表”思路进行。
【答案】（1） （2）
【解析】
（1）原式=
= +
( ) ( ) ( )f x f x a f x a= − + +
( ) ( ) ( 2 )f x a f x f x a+ = + +
( ) ( 2 ) 0 ( ) ( 2 )f x a f x a f x a f x a− + + = ⇒ − = − +
( ) ( 3 )f x f x a= − +
( 3 ) ( 6 )f x a f x a+ = − +
( ) ( 6 )f x f x a= +
( )y f x=
(14 ) (6 2 2 ) (2 ) 1f a f a a f a= × + = =
1( 1) ( )f x f x
+ = − ( )f x
1 1( 2) ( )1( 1)
( )
f x f xf x
f x
+ = − = − =+ −
( )f x
4 16 2sin( ) 2sin sin sin3 3 3 3
π π π π− + +
7 7 17cos sin sin( )3 4 6
π π π+ + −
3
2
2
2
−
4 4 2sin 2sin sin(4 ) sin3 3 3 3
π π π π π− + + +
sin 3
π− 2 42sin 3
π+ sin 3
π6
= = =
（2）原式=
=
=
=
=
【总结升华】本题主要考查诱导公式，可先将负角化为正角，再化为 的角，最后化为锐角
求值。
举一反三：
【变式 1】（1） ；
（2）sin（―1740°）·cos1470°+cos（―660°）+sin750°。
【思路点拨】首先把任意角的正弦、余弦、正切的函数分别化为 0°到 360°角的同一三角函数值，
然后再求值。
【答案】（1） （2）1
【解析】（1）原式
。
（2）原式=sin(―10×180°+60°)·cos(8×180°+30°)+cos(―4×180°+60°)·sin(4×180°+30
°)=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°= .
【总结升华】 在弧度制下，与角 终边相同的角为 ，k∈Z，在角度制下终边相同的角为
k·360°+ ，k∈Z。利用公式化简或求值时要熟记特殊角的函数值。
【变式 2】设 ，其中 a，b， ， 都是非零实数，若 f（2006）
=1，求 f（2010）的值。
【答案】1
【解析】 由 ，即 ，得 。
22sin 3
π 232 ( )2
× 3
2
5cos(2 ) sin(2 ) sin(2 )3 4 6
π π ππ π π+ + − − +
5cos sin sin3 4 6
π π π− −
cos sin sin3 4 6
π π π− −
1 2 1
2 2 2
− −
2
2
−
0 360
11 12sin cos sin3 cos6 5 4
π π ππ − + + −
1 2
2
+
12sin 2 cos sin(2 ) cos6 5 4
π π ππ π π = − + + + + −
12sin cos sin cos6 5 4
π π ππ = + + −
1 2 1 2
2 2 2
+= + =
3 3 1 1 12 2 2 2
× + × =
α 2kπ α+
α
( ) sin( ) cos( )f x a x b xπ α π β= + + + α β
(2006) 1f = sin(2006 ) cos(2006 ) 1a bπ α π β+ + + = sin cos 1a bα β+ =7
故 。
例 5．（1）已知 ，求 的值．
（2）已知 ，且 为第四象限角，求 sin(105°+ )的值．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ．
（2）∵ ，且 为第四象限角，
∴ ―75°是第三象限角，
∴ ，
∴ ．
【总结升华】注意观察角，若角的绝对值大于 2π，可先利用 2kπ+ 转化为 0～2π之间的角，然后
利用π± 、2π－ 等形式转化为锐角求值，这是利用诱导公式化简求值的一般步骤．
举一反三：
【变式 1】 已知 ，其中 为第三象限角，求 cos(105°― )+sin( ―105°)的
值．
【答案】
【解析】 ∵cos(105°－ )=cos[180°－(75°+ )]=－cos(75°+ )= ,
sin( ―105°)=―sin[180°－(75°+ )]=－sin(75°+ )，
∵ 为第三象限角，
∴75°+ 为第三、四象限角或终边落在 y 轴负半轴上．
又 cos(75°+ )= ＞0，∴75°+ 为第四象限，
(2010) sin(2010 ) cos(2010 ) sin cos 1f a b a bπ α π β α β= + + + = + =
3cos 6 3
π α − =
25cos sin6 6
π πα α + − −
1cos( 75 ) 3
α − ° = − α α
2 3
3
+− 2 2
3
5cos cos6 6
π πα π α + = − −
3cos 6 3
π α = − − = −
2
2 2 2 3 2sin sin 1 cos 16 6 6 3 3
π π πα α α − = − − = − − = − =
25 3 2 2 3cos sin6 6 3 3 3
π πα α + + − − = − − = −
1cos( 75 ) 03
α − ° = − < α
α
2sin( 75 ) 1 cos ( 75 )α α− ° = − − − °
21 2 21 3 3
= − − − = −
2 2sin(105 ) sin[180 ( 75 )] sin( 75 ) 3
α α α°+ = °+ − ° = − − ° =
α
α α
1cos(75 ) 3
α°+ = α α α
2 2 1
3
−
α α α 1
3
−
α α α
α
α
α 1
3
α8
∴ ．
∴ ．
【总结升华】 解答这类给值求值的问题，关键在于找到已知角与待求角之间的相互关系，从而利用
诱导公式去沟通两个角之间的三角函数关系，如：75°+ =180°－(105°－ )或 105°－ =180°－(75
°+ )等．
例 6．化简： .
【思路点拨】化简时，要认真观察“角”，显然利用诱导公式，但要注意公式的合理选用.
【解析】
①当 时，原式 .
②当 时，原式 .
【总结升华】诱导公式应用的原则是：负化正，大化小，化到锐角就终了。本题关键抓住题中的整数
是表示 的整数倍与公式一中的整数 有区别，所以必须把 分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.
举一反三：
【变式 1】化简
（1） ；
（2） ， ．
【解析】
（1）
（2）由(kπ+ )+(kπ― )=2kπ，[(k―1)π― ]+[(k+1)π+ ]=2kπ，
得 ，
．
故原式 ．
【总结升华】 常见的一些关于参数 k 的结论：
（1） ；
2
2 1 2 2sin(75 ) 1 cos (75 ) 1 3 3
α α °+ = − − °+ = − − = −
1 2 2 2 2 1cos(105 ) sin( 105 ) 3 3 3
α α −°− + − ° = − + =
α α α
α
sin( ) sin( ) ( )sin( )cos( )
n n n Zn n
α π α π
α π α π
+ + − ∈+ −
2 ,n k k Z= ∈ sin( 2 ) sin( 2 ) 2
sin( 2 )cos( 2 ) cos
k k
k k
α π α π
α π α π α
+ + −= =+ −
2 1,n k k Z= + ∈ sin[ (2 1) ] sin[ (2 1) ] 2
sin[ (2 1) ]cos[ (2 1) ] cos
k k
k k
α π α π
α π α π α
+ + + − += = −+ + − +
n
π k n
( )sin 2
n n Z
π ∈
sin( )cos[( 1) ]
sin[( 1) ]cos( ]
k k
k k
π α π α
π α π α
− − −
+ + + ( )k z∈
1,( 4 1)
sin 1,( 4 3)2 0,( 2 )
n k
n n k
n k
π
= +
= − = +
=
α α α α
cos[( 1) ] cos[( 1) ] cos( )k k kπ α π α π α− − = + + = − +
sin[( 1) ] sin( )k kπ α π α+ + = − +
sin( )[ cos( )] 1sin( )cos( )
k k
k k
π α π α
π α π α
− + − += = −− + +
sin( ) ( 1) sin ( )kk k Zπ α α+ = − ∈9
（2） ；
（3） ；
（4） ．
类型五：单位圆的应用
例 7．在单位圆中画出满足下列条件的角 的终边范围，并由此写出角 的集合：
（1） ；（2） 。
【思路点拨】利用单位圆中的三角函数线去解。
【答案】（1） （2）
【解析】（1）作直线 交单位圆于 A、B 两点，连接 OA、OB，则 OA 与 OB 围成的区域，如
下图①中阴影部分，即为角 的终边的范围。
故满足条件的角 的集合为 。
（2）作直线 交单位圆于 C、D 两点，连接 OC 与 OD，则 OC 与 OD 围成的区域如上图②中
阴影部分，即为角 的终边的范围。
故满足条件的角 的集合为 。
【总结升华】 利用单位圆中三角函数线，可以非常直观方便地求出形如 或 的三
角函数的角的范围，起到“以形助数”的作用。
举一反三：
【变式 1】 求满足 的 的取值范围。
【答案】
cos( ) ( 1) cos ( )kk k Zπ α α+ = − ∈
1sin( ) ( 1) sin ( )kk k zπ α α+− = − ∈
cos( ) ( 1) cos ( )kk k Zπ α α− = − ∈
α α
3sin 2
α ≥ 1cos 2
α ≤ −
22 2 ,3 3k k k Z
π πα π α π + ≤ ≤ + ∈
2 42 2 ,3 3k k k Z
π πα π α π + ≤ ≤ + ∈
3
2y =
α
α 22 2 ,3 3k k k Z
π πα π α π + ≤ ≤ + ∈
1
2x = −
α
α 2 42 2 ,3 3k k k Z
π πα π α π + ≤ ≤ + ∈
( )f mα ≥ ( )f mα ≤
3cos 2
α ≤ α
11| 2 2 ,6 6k k k Z
π πα π α π + ≤ ≤ + ∈ 10
【解析】作直线 与单位圆交于 A、B 两点，连接 OA、OB，阴影部分便是角
的终边范围，如图所示。
终边在 OA 上的最小正角为 ，终边在 OB 上的最小正角为 。
∴角 的集合为 。
类型五：三角函数定义域的求法
例 8．求函数 的定义域
【思路点拨】要使式子有意义，则必须使被开方数大于等于零，然后再解三角不等式。
【答案】
【解析】 ∵sin2x＞0，∴2kπ＜2x＜2kπ+π（k∈Z），
∴ （k∈Z）。 ①
又 9－x2≥0，∴－3≤x≤3。 ②
求①与②的交集如图所示，
得 或 。
故函数的定义域为 。
【总结升华】求函数的定义域是一种重要题型，要注意利用数形结合的方法求解，特别注意 tan 本
身的定义域；在求不等式的交集时，应注意利用数轴求解，有些三角不等式，我们还可以利用单位圆来求
解。
举一反三：
【高清课堂：任意角的三角函数 385947 例 6】
【变式 1】求函数 的定义域
【答案】
【解析】
，
3
2x =
α
6
π 112 6 6
π ππ − =
α 11| 2 2 ,6 6k k k Z
π πα π α π + ≤ ≤ + ∈
2lgsin 2 9y x x= + −
| 3 02 2x x x
π π − ≤ < − <
,α β tan tanα β>
3sin( )cos(2 ) tan 2( ) cos( )f
ππ α π α α
α π α
− − − + = − −
31
3f
π −
1
2
1
2
− 3
2
3
2
−
3cos 6 3
π α − =
2 5sin cos6 6
π πα α − − +
2 3
3
+ 2 3
3
+− 2 3
3
− 2 3
3
− +12
10．若 ， 为第三象限角，则 的值是 ．
11．已知 ，则 __________.
12．（1）cos1°+cos2°+cos3°+…+cos180°的值为________；
（2）cos21°+cos22°+cos23°+…+cos289°的值为________。
13．（2015 秋 友谊县校级期中）已知角 α 的终边经过点 P（ ，﹣ ）．
（1）求 sinα 的值．
（2）求式 • 的值．
14. 已 知 、 均 为 锐 角 ， 。 若 ， 求
的值。
15．化简： ，k∈Z
16．求下列三角函数的定义域：
（1） ；（2） ．
( )θ+75cos 3
1= θ ( ) ( )θθ ++−− 435sin255cos
1sin( )4 3
πα − = cos( )4
πα + =
α β cos( ) sin( )α β α β+ = − ( ) sin cos4 4f
π πα α α = + + −
2f
π α −
3 1 3 1cos cos3 3
k kπ α π α+ − + + −
2cos 1y x= − 2lg(3 4sin )y x= −13
【答案与解析】
1. 【答案】A
【解析】
2．【答案】C
【解析】 ，所以
3.【答案】B
【解析】∵点 P（cosα，sinα）在直线 y=﹣2x 上，
∴sinα=﹣2cosα，
∴tanα=﹣2．
∴ =﹣sin2α=﹣ = 故选 B．
4．【答案】A
【解析】 。
5．【答案】C
【解析】由已知 ，得 ，所以 或 ，故选 C。
6. 【答案】D
【解析】画出三角函数线即可．
7．【答案】B
【解析】 ，因为 ，
所以 。故选 B。
8．【答案】A
【解析】因为 ， ，故
9.【答案】-3，
【解析】∵α 是第二象限角，P（x，4）为其终边上的一点，∴x＜0，
∵cosα= = ，
∴x=﹣3，
∴tanα=﹣ ，
0 0 0 0 1sin390 sin(360 30 ) sin30 2
= + = =
1sin( ) cos2 3
π α α+ = = − 2 2 2sin( ) sin 1 cos 3
π α α α− = = − = −
(sin30 ) (cos60 ) cos180 1f f° = ° = ° = −
sin( 2 ) sin( 2 )C Bπ π− = − sin 2 sin 2C B= C B=
2B C
π+ =
cossin cos sin( ) coscosf
αα α αα αα= = −−
31 103 3
π ππ− = − −
31 1cos3 3 2f
π π − = − − = −
6 6
π πα α − = − −
5
6 6
π πα π α + = − −
2 25 1 3 2 3sin cos 1 cos cos 16 6 6 6 3 3 3
π π π πα α α α + − − + = − − + − = − + =
4
3
−14
10．【答案】
【解析】原式= =
=
=
11．【答案】
【解析】由已知得：
12．【答案】（1）－1 （2）
【解析】（1）因为 cos(180°― )=―cos ，所以 cos +cos(180°― )=0，故 cos1°+cos2°+cos3°+…
+cos180°=(cos1°+cos179°)+(cos2°+cos178°)+…+cos(89°+cos91°)+cos90°+cos180°=―1。
（2）cos21°+cos22°+cos23°+…cos289°=cos21°+cos22°+cos244°+cos245°+sin244°+…+sin22°
+sin21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+sin22°)+…+(sin244°+cos244°)+cos245°= .
13.【解析】（1）∵|OP|= ，
∴点 P 在单位圆上．
由正弦函数的定义得
sinα=﹣ （5 分）
（2）原式=
=
由余弦的定义可知，cosα=
即所求式的值为
14．【解析】由 ，得 。
又 、 均为锐角，则 ，即 。
于是， 。
1 2 2
3
+−
cos(255 ) sin(435 )θ θ+ + + sin(165 ) sin(75 )θ θ− + + +
cos(75 ) sin(75 )θ θ− + + +
21 1 1 2 213 3 3
+ − − − = −
1
3
−
1sin( ) sin( ) cos ( ) cos( )4 4 2 4 4 3
π π π π πα α α α − − = − = − − = + = −
89
2
α α α α
44
1 891 1 1 2 2
+ + + + =个
cos( ) sin( )α β α β+ = − cos( ) cos ( )2
πα β α β + = − −
α β ( )2
πα β α β+ = − −
4
πα =
sin cos0 22 2f
π πα − = + = 15
15．【解析】（1）当 k=2n，n∈Z 时，
原式
。
（2）当 k=2n+1，k∈Z 时，
原式
。
16．【解析】（1）如图（1），∵2cos x－1≥0，∴ ，
∴ （k∈Z）．
（2）如图（2），∵3－4sin2x＞0，∴ ．
∴ ．
∴ （k∈Z），
即 （k∈Z）．
cos cos3 3k k
π ππ α π α = + + + − + cos 2 cos 23 3n n
π ππ α π α = + + + − −
cos cos 2cos3 3 3
π π πα α α = + + − − = +
cos cos cos 2 cos 23 3 3 3k k n n
π π π ππ α π α π π α π π α = + + + − − = + + + + + − −
cos cos cos cos 2cos3 3 3 3 3
π π π π ππ α π α α α α = + + + − − = − + − + = − +
1cos 2x ≥
2 ,23 3x k k
π ππ π ∈ − +
2 3sin 4x <
3 3sin2 2x− < <
2 42 ,2 2 ,23 3 3 3x k k k k
π π π ππ π π π ∈ − + + +
,3 3x k k
π ππ π ∈ − +
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