知识讲解_正弦函数的图象与性质_提高

1 正弦函数的图象与性质 【学习目标】 1.借助单位圆，理解正弦线的概念及意义； 2.了解作正弦函数图象的三种方法，会用“五点法”作出正弦函数的图象； 3.理解正弦函数在区间 上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与 轴的交点等)． 【要点梳理】 要点一：单位圆中的正弦线 设任意角 的顶点在原点 O，始边与 轴非负半轴重合，终边与单位圆 O 相交于点 P（x,y），过 P 作 PM 垂直 轴于 M，则线段 MP 叫作 的正弦线. 要点诠释： (1)由三角函数定义知，P（cos ,sin ）,故 sin =MP． （2）正弦是用有向线段 MP 表示的，正弦线的方向表示正弦值的符号；同 轴一致，向上为正，向下 为负．M 为始点，P 是终点． （3）当角 的终边在 轴上时，M 与 P 重合，此时正弦线变成一个点，sin =0． 要点二：正弦函数的画法 1．描点法： 按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． 2．几何法 利用三角函数线作出正弦函数在 内的图象，再通过平移得到 的图象． 3．五点法 先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到 正弦曲线在一个周期内的图象． 在 确 定 正 弦 函 数 在 上 的 图 象 形 状 时 ， 起 关 键 作 用 的 五 个 点 是 要点诠释： 熟记正弦函数图象起关键作用的五点． 要点三：正弦曲线 （1）定义：正弦函数 的图象叫做正弦曲线． （2）图象 要点诠释： （1）由正弦曲线可以研究正弦函数的性质． ]2,0[ π x α x x α α α α y α x α ]2,0[ π xy sin= xy sin= ]2,0[ π )0,2(),1,2 3(),0,(),1,2(),0,0( ππππ − sin ( )y x x R= ∈2 （2）运用数形结合的思想研究与正弦函数有关的问题，如 ，方程 根的个数． 要点四：正弦函数的性质 正弦函数 y＝sinx 定义域：R 值域及最值：值域为[-1，1]，当 时， ，当 时， ． 奇偶性：奇函数 周期性：最小正周期 单调区间： 增区间 减区间 k∈Z 对称中心： k∈Z 对称轴： k∈Z 要点诠释： （1）正弦函数的值域为 ，是指整个正弦函数或一个周期内的正弦曲线，如果定义域不是全体实 数，那么正弦函数的值域就可能不是 ，因而求正弦函数的值域时，要特别注意其定义域． （2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求 的单调递增区间时，应先将 变换为 再求解，相当于求 的单调 递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先 求定义域． 【典型例题】 类型一：“五点法”作正弦函数的图象 例 1．用五点法作出函数 ， 的图象． 【思路点拨】取 上五个关键的点（0，2）、（ ，1）、 、 、（2 ，2）． 【解析】 找出五点，列表如下： x 0 0 1 0 －1 0 y=2－u 2 1 2 3 2 描点作图（如下图）． [ ]0,2x π∈ lg sinx x= 2 2x k ππ= + max 1y = 2 2x k ππ= − min 1y = − 2π ( )0kπ， 2x k ππ= + [ ]1,1− [ ]1,1− sin( )y x= − sin( )y x= − siny x= − siny x= 2 siny x= − [0,2 ]x π∈ [0,2 ]π 2 π ( ,2)π 3( ,3)2 π π 2 π π 3 2 π 2π sinu x= [2 2 ]2 2k k π ππ π− +， 3[2 2 ]2 2k k π ππ π+ +，3 【总结升华】 在精确度要求不太高时，我们常常先找出这五个关键点，再用光滑的曲线将它们连接 起来，即可得到函数的简图，这种近似的“五点法”是非常实用的． 举一反三： 【变式 1】用“五点法”作出函数 y=－sin x（0≤x≤2π）的简图： 【解析】 列表： x 0 sin x 0 1 0 －1 0 －sin x 0 －1 0 1 0 描点作图，如图： 类型二：三角函数图象的应用 【例 2】（2015 上海高考）若 sinθ= ，cosθ= ，θ∈（ ，π），则 m 的取值范围是　{8}　． 【思路点拨】通过平方关系得到关于 m 的表达式，求出 m 的值，结合三角函数的性质，判断 m 的值即 可． 【解析】∵sin2θ+cos2θ=1 ∴ + =1， ∴（m﹣3）2+（4﹣2m）2=（m+5）2 即 m2﹣6m+9+16﹣16m+4m2=m2+10m+25 即 25﹣22m+4m2=10m+25 即﹣32m+4m2=0 即 m=0，或 m=8 因为 ＜θ＜π，当 m=0 时，sinθ= ，矛盾，所以 m=8. 【总结升华】本题考查同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力，象限角三角函数值的符号. 举一反三： 【变式 1】（2014 春 湖南资阳区月考）求满足 的 x 的集合． 【答案】 【解析】由 ，可得 ，k∈Z， 2 π π 3 2 π 2π 3 5 − 1sin( )4 2x π− ≥ 5 13{ | 2 2 , }12 4 12x k x k k Z π π ππ π+ ≤ − ≤ + ∈ 1sin( )4 2x π− ≥ 52 26 4 6k x k π π ππ π+ ≤ − ≤ +4 解得 ，k∈Z， 故不等式的解集为 ． 例 3．（1）方程 的解的个数为（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 （2）若函数 ，x∈[0，2π]的图象与直线 y=k 有且仅有两个不同的交点，求 k 的取值范围． 【答案】 （1）D （2）1＜k＜3 【 解 析 】 （ 1 ） 作 出 与 的 图 象 ， 当 时 ， ， ， 当 时 ， ， 与 再无交点．如图所示，由图知有三个交点，∴方程有三个解． （2） ． 图象如图，由图象可知 1＜k＜3． 【总结升华】利用函数图象讨论不等式的解集和方程的实数根的个数，既直观又简捷，这就是我们常 说的“数形结合”思想在解题中的应用，请认真体会． 举一反三： 【变式 1】当 k 为何值时，方程 sin x+2|sin x|=k 有一解、两解、三解、四解？ 【解析】由图象易知 k=3 时，方程有一解；1＜k＜3 时，方程有两解；k=1 或 k=0 时， 方程有三解；0＜k＜1 时，方程有四解． 类型三：正弦函数的定义域与值域 例 4．求函数 的定义域. 【解析】由 (k∈Z). 又∵-1≤cosx≤1，∴0＜cosx≤1. 故所求定义域为 . 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时， 要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围． 举一反三： 【变式 1】已知 的定义域为［0，1)，求 的定义域. 【思路点拨】求函数的定义域：要使 0≤cosx＜1，这里的 cosx 以它的值充当角. 【解析】0≤cosx＜1 ，且 . πππ + lgy x= siny x= 3sin (0 )( ) sin ( 2 ) x xf x x x π π π ≤ ≤= − < ≤ )sin(coslg xy = )(xf )(cos xf 2 22 2k x k π ππ π⇒ − ≤ ≤ + ( )2x k k Zπ≠ ∈5 ∴所求函数的定义域为 . 例 5．求下列函数的值域： （1）y=|sin x|+sin x； （2） ， ； 【解析】 （1）∵ ， 又∵－1≤sin x≤1，∴y∈[0，2]，即函数的值域为[0，2]． （2）∵ ，∴ ． ∴ ．∴ ， ∴0≤y≤2．∴函数的值域为[0，2]． 【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数 是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质． 举一反三： 【变式 1】求函数 y=3sin2x－4sin x+1， 的值域． 【答案】 【解析】 ， 令 t=sin x，因为 ，所以 t∈[0，1]， ，t∈[0，1]，所以 ． 类型四：函数奇偶性的判断 例 6．判断下列函数的奇偶性： （1） ． （2） ． 【解析】 （1）由 1+sin x≠0，即 sin x≠－1，∴ （k∈Z）， ∴原函数的定义域不关于原点对称， [2 2 ) (2 2 ]2 2k k k k k Z π ππ π π π− + ∈， ， ， 2sin 2 3y x π = +   ,6 6x π π ∈ −   2sin (sin 0)| sin | sin 0 (sin 0) x xy x x x ≥= + =  > ≥ 5 5sin 12 20 10 xπ π= > = 2(1) 2f = (2) 1f = 2(3) 2f = (4) 0f = 2(5) 2f = − (6) 1f = − 2(7) 2f = − (8) 0f = ( )f x (1) (2) (8) 0f f f+ + = 2(1) (2) (2010) (2009) (2010) 1 2f f f f f+ + + = + = + 1 sin 01 sin x x − >+ ( )f x ,2x x R x k k Z ππ ∈ ≠ + ∈  且 1 sin (1 sin ) 2 211 sin 1 sin 1 sin x x x x x − − + += = − ++ + + 0 1 sin 2x< + < 1 1 1 sin 2x >+ 2 12 11 sin 2x > × =+ 21 1 1 01 sin x − + > − + =+ ( )f x 1 1 2 2 1 sin( ) 1 sin( ) log log1 sin( ) 1 sin x xf x x x − − +− = =+ − − 1 1 2 2 1 1 sinlog log ( )1 sin 1 sin 1 sin x f xx x x −= = − = −− + + ( )f x11