知识讲解_正切函数的性质和图象_提高

1 正切函数的性质与图象 【学习目标】 1.能画出 的图象，并能借助图象理解 在 上的性质； 2.会利用正切函数的单调性比较函数值大小； 3．理解正切函数的对称性． 【要点梳理】 要点一：正切函数的图象 正切函数 ，且 的图象，称“正切曲 线” （1）复习单位圆中的正切线： AT=tanα （2）利用正切线画函数 y= tanx，x∈ 的图象 步骤是：①作直角坐标系，并在 x= 的左侧作单位圆 ②把单位圆的右半圆分成 8 份，（每份 ）.分别在单位圆中作出正切线； ③把横坐标从 到 也分成 8 份 ④把正切线的端点移到对应的位置； ⑤把上面的点连成光滑的曲线． 由于 tan（x+π）=tanx , y=tanx 是周期为π的周期函数只把 y=tanx , x∈ 的图象左、右移动 kπ个单位（k∈z）就得到 y=tanx（x∈R 且 x≠kπ+ ）的图象. 要点二：正切函数的性质 1．定义域： ， 2．值域：R 由正切函数的图象可知，当 且无限接近于 时， 无限增大，记作 （ 趋向于正无穷大）；当 ， 无限减小，记作 （ 趋向于负无穷大）．也可以从单位圆上的正切线来考虑．因此 可以取任何实数值，但没有最 tany x= tany x= ,2 2 π π −   Rxxy ∈= tan ( )zkkx ∈+≠ ππ 2 )2,2( ππ− 2 π− 8 π 2 π− 2 π )2,2( ππ− 2 π   ∈+≠ zkkxx ,2| ππ ( )2x k k z π π< + ∈ 2 k π π+ tan x tan x → +∞ tan x ( )2x k k z π π> − + ∈ tan x tan x → −∞ tan x tan x2 大值和最小值．称直线 为正切函数的渐进线． 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即 ． 要点诠释： 观察正切函数的图象还可得到：点 是函数 ，且 的对称中心， 正切函数图象没有对称轴 5．单调性：在开区间 内，函数单调递增 要点诠释： 正切函数在开区间 内单调递增，不能说正切函数在整个定义域上是增函 数． 要点三：正切函数型 的性质 1．定义域：将“ ”视为一个“整体”．令 解得 ． 2． 值域： 3．单调区间：（1）把“ ”视为一个“整体”；（2） 时，函数单调性与 的相同（反）；（3）解不等式，得出 范围． 要点诠释： 若 ，一般先用诱导公式化为 ，使 的系数为正值，然后求单调区间． 4．奇偶性：当 时为奇函数，否则，不具备奇偶性． 5．周期：最小正周期为 ． 【典型例题】 类型一：正切函数的定义域 例 1．求下列函数的定义域： （1） ； （2） ． 【思路点拨】求函数的定义域应面面俱到，必须从各个角度来考虑，从各个角度来看，都必须有意义， 通常需要考虑的方面有：分母不为 0，真数大于 0，偶次根式内的数大于或等于 0 等． ,2x k k z ππ= + ∈ π ( ) xx tantan −=− ,0 ( )2 k k z π  ∈   tan ,y x x R= ∈ 2x k ππ≠ + zkkk ∈     ++− ππππ 2,2 zkkk ∈     ++− ππππ 2,2 tan( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + ≠ > xω ϕ+ ,2x k k z πω ϕ π+ ≠ + ∈ x ( ),−∞ +∞ xω ϕ+ 0( 0)A A> < tan ( , )2y x x k k z ππ= ≠ + ∈ x 0ω < 0ω > x ( )2 k k z πϕ = ∈ | |T π ω= sin tany x x= + lg(2sin 1) tan 1 cos 2 8 x xy x π − + − −=  +  3 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意得 ，将正弦函数和正切函数的图象画在同一坐标系内，如下图． 由图可得函数定义域集合为 ． （2）由 得 ． 则有 ． 所以函数定义域为 ． 【总结升华】求三角函数定义域时，常常归纳为解三角不等式组，这时可利用基本三角函数的图象或 单位圆中三角函数线直观地求得解集． 举一反三： 【变式 1】利用正切函数的图象解不等式 ． 【解析】如图，利用正切函数图象知，不等式的解集为 ，k∈Z． 类型二：正切函数的图象 例 2．（1）作出函数 y=tan x+2， 的简图； { }2 2 , 2 ,2x k x k k z x x k k Z ππ π π π ≤ < + ∈ = + ∈   32 2 ,2 4x k x k k Z π ππ π + < < + ∈   sin 0 tan 0 x x ≥  ≥ { }2 2 , 2 ,2x k x k k z x x k k Z ππ π π π ≤ < + ∈ = + ∈   2sin 1 0 tan 1 0 cos 02 8 x x x π   − >− − ≥    + ≠    1sin 2 tan 1 ,2 8 2 x x x k k Z π ππ  >  ≤ −   + ≠ + ∈  52 26 6 ( )2 4 32 4 k x k k x k k Z x k π ππ π π ππ π ππ  + < < +  − < ≤ − ∈   ≠ + 32 2 ,2 4x k x k k Z π ππ π + < < + ∈   3tan 3x ≥ ,6 2k k π ππ π + +   ,2 2x π π ∈ −  4 （2）作出下列函数的图象，并判断它们的周期性． ①y=tan |x|；②y=|tan x| 【解析】（1）本题主要考查正切函数图象，可以看出函数 y=tan x+2 的图象是将函数 y=tan x 的图象向 上平移 2 个单位得到， ，如图所示． （2）①∵ 故当 x≥0 时，函数 y=tan |x|在 y 轴右侧的图象就是 y=tan x 的图象； 当 x＜0 时，函数 y=tan |x|在 y 轴左侧的图象为 y=tan x 在 y 轴左侧的图象关于 x 对称的图象，如下图 所示． 观察图象可知，y=tan |x|不是周期函数． ②∵ ，类似①可作出其图象，如下图所示． 观察图象可知，y=|tan x|是以π为周期的周期函数． 【总结升华】 第（1）也可以用三点二线法作图．第（2）题的解题关键在于分析待画函数图象与已 知函数图象间的关系． 如果由 的图象得到 及 的图象，可利用图象中的对称变换法完成，即 我们只需作出 （x≥0）的图象，令其关于 y 轴对称便可以得到 （x≤0）的图象；同理 只要作出 的图象，令图象不动下翻上便可得到 的图象． 举一反三： 【变式 1】函数 在区间 内的图象大致是（ ） ,2 2x π π ∈ −   tan ( , 0, )2tan | | tan ( , 0, )2 x x k x k Z y x x x k x k Z ππ ππ  ≠ + ≥ ∈= =  − ≠ + < ∈ tan ( , )2| tan | tan ( , )2 x k x k k Z y x x k x k k Z ππ π ππ π π  ≤ < + ∈= =  − + < ≤ + ∈ ( )y f x= (| |)y f x= | ( ) |y f x= ( )y f x= ( )y f x= ( )y f x= | ( ) |y f x= tan sin | tan sin |y x x x x= + − − 3,2 2 π π    5 【答案】D 类型三：正切函数的周期性 【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例 1】 例 3．判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 【答案】（1）是（2）是（3）不是（4）是 【解析】 （1） 函数 是周期函数，最小正周期是 ． （2） 是周期函数，最小正周期是 ． （3）由图象知，函数不是周期函数 （4）是周期函数，最小正周期是 ． 类型四：正切函数的单调性 例 4．（2015 春 河北邢台月考）设函数 ． （1）求函数的定义域、周期和单调区间 （2）求不等式 的解集． 【思路点拨】（1）由条件利用正切函数的定义域、周期性和单调性，求得函数的定义域、周期和单 调区间． （2）不等式即 ，可得 ，由此求得 x 的范围，可得结论． 2tany x= | tan |y x= tan | |y x= tan(2 )3y x= − π 2 2( ) tan tan ( ) ( )f x x x f xπ π= = + = + ∴ 2tany x= π ( ) | tan | | tan( ) | ( )f x x x f xπ π= = + = + ∴ | tan |y x= π 2 π ( ) tan( )2 3 xf x π= − ( ) 3f x ≤ tan( ) 32 3 x π− ≤ 2 2 3 3 xk k π π ππ π− < − ≤ +6 【答案】（1）定义域为 ，T=2π，函数的增区间为 ，k ∈Z；（2）不等式的解集为 ，k∈Z 【解析】（1）根据函数 ，可得 ，k∈Z， 求得 ，故函数的定义域为 ． 它的周期为 ． 令 ，k∈Z，求得 ， 故函数的增区间为 ，k∈Z． （2）求不等式 ，即 ，∴ ， 求得 ，故不等式的解集为 ，k∈Z． 【总结升华】（1）对于形如 （ ， 为非零常数）的函数的性质的研究，应以正切 函数的性质为基础，运用整体思想求解．若 ＜0，一般先利用诱导公式将 x 的系数化为正数，再进行求 解． （2）比较正切函数值的大小，可利用诱导公式将其转化为同一单调区间的锐角的正切函数，再比较 大小． 举一反三： 【变式 1】求函数 的单调增区间. 【答案】 【高清课堂：正切函数的图象与性质 394837 例 2】 【变式 2】函数 在区间 单调递减，求实数 的取值范围. 【解析】 函数 在区间 单调递减 ，且 ，即 ，解得： 5{ | 2 , }3x x k k Z ππ≠ + ∈ 5(2 ,2 )3 3k k π ππ π− + 4(2 ,2 ]3 3k k π ππ π− + ( ) tan( )2 3 xf x π= − 2 3 2 x k π ππ− ≠ + 52 3x k ππ≠ + 5{ | 2 , }3x x k k Z ππ≠ + ∈ 21 2 π π= 2 2 3 2 xk k π π ππ π− ≤ − ≤ + 52 23 3k x k π ππ π− < < + 5(2 ,2 )3 3k k π ππ π− + ( ) 3f x ≤ tan( ) 32 3 x π− ≤ 2 2 3 3 xk k π π ππ π− < − ≤ + 42 23 3k x k π ππ π− < ≤ + 4(2 ,2 ]3 3k k π ππ π− + tan( )y xω ϕ= + ω ϕ ω | tan(2 - ) |3y x= π 5,2 6 2 12 k kπ π π π + +   ( ) tanf x x= ω ( , )2 2 − π π ω  ( ) tanf x x= ω ( , )2 2 − π π ,2 2x π πω  ∴− ∈ −   0ω < 2 2 0 x x πω πω ω − > − − 2 3tan tan5 5 π π< 13 15tan( ) tan( )7 8 π π− < − 13 12tan( ) tan( )4 5 π π− > − 2π ω π ω 2 π ω tan(2 )4y x π= − ( ,0)8 π− ( ,0)2 π ( ,0)4 π cot(tan ) xa x= sin(tan ) xb x= cos(tan ) xc x= cotlog cosxd x= 0 4x π < 2 2( ) tan 2tan 2f x x x = + + ( )y f x= k ( )f x k siny x= cos( )6y x π= + cos 1y x= − 2y x= ( ) tan( )f x x ϕ= + ϕ ( )f x ϕ ( )f x ϕ ( )f x ϕ ( )f x ϕ ( ) sin tan 1f x a x b x= + + 75f π  =   99 5f π     cot( )4y ax π= + 5( , )8 8x π π∈ ( ) tan( )f x xω ϕ= + ( ) ( 1) ( 2)f x f x f x= + − + tan( 3 )aω ϕ ω+ + tan( 3 )aω ϕ ω+ −11 【答案与解析】 1．【答案】C 【解析】由图象可知 C 正确． 2．【答案】A 【解析】要使式子有意义，则正切型函数本身有意义，且分母不为零，知 A 正确． 3．【答案】C 【解析】正切型函数的周期即指最小正周期， ． 4．【答案】D 【解析】同名函数比较大小时，应化为同一单调区间上两个角的函数值后，应用函数的单调性解决；而对 于不同名函数，则应先化为同名函数再按上面方法求解. ， ，又 所以 ，故 D 成立． 5．【答案】C 【解析】直线 y=3 与 y=tanωx 图象的相邻交点的距离为 y=tanωx 的最小正周期，∵ ，故选 C． 6．【答案】A 【解析】对于函数 ，令 ，求得 ，k∈Z， 故函数的图象的对称中心为 ，k∈Z， 故选：A． 7．【答案】C 【解析】∵ ，不妨取 ，于是 ， ， ， ． 又∵ ，从而 ． ∴d＜a＜c＜b． 8．【答案】D 【解析】先作出 的图象，再将 x 轴下方的图象对称对 x 轴上方，即可得 到 的 图 象 ， 如 图 ． 由 图 可 知 ， 的 单 调 递 增 区 间 是 | |T a π= 13tan( 3 ) tan( )4 4 ππ π− + = − 17 17 2tan( ) tan( 3 ) tan( )5 5 5 π π ππ− = − + = − 2 4 5 π π− > − 2tan( ) tan( )4 5 π π− > − d T π ω= = tan(2 )4y x π= − 2 4 2 kx π π− = 2 1 8 kx π+= 2 1( ,0)8 k π+ 0 4x π< < 6x π= 3 3 03a  = >    1 23 03b  = >    3 23 03c  = >    3 3log 02d = < 30 13 < < 3 13 2 23 3 30 3 3 3      < < 3tan 3 α > − ( , )2 2 π πα ∈ − ( , )6 2 π πα ∈ − 3tan 3 α > − ( , )6 2k k π ππ π− + + 3tan 03 α + > ( , )6 2k k π ππ π− + + ( , )6 2k k π ππ π− + + 2 2( ) (tan 1) 1f x x = + + ( )f x siny x= ( )2 kx k z π= ∈ 0k = x kϕ π= ( ) tan( ) tan( ) tanf x x x k xϕ π= + = + = ϕ ( )f x ϕ ( )f x ϕ ( )f x ϕ π= ( ) sin tan 1f x a x b x= + + ( ) sin tan 1f x a x b x− = − − + ( ) ( ) 2f x f x+ − = 25 5f f π π   + − =      13 ∴ ， ∴ ． 14．【解析】假设存在实数 a，且 a∈Z，使得函数 在 上是单调递增的， 由余切函数的单调性可知：y=cot x 在每一个开区间（kπ，（k+1）π），k∈Z 上都是减函数， 则 a＜0，由 ， 由 ，k∈Z，解得 ， 再由假设可得， ， 解得，当 k=0 时，－2≤a≤―2，则 a=―2． 所以存在实数 a 且 a=―2，使得函数 在 上单调递增． 15．【解析】∵ ，∴ ． 两式相加，得 ，即 ， ∴ ， 上式对定义域内任何实数 x 都成立，故 是周期 T=6 的周期函数． ∵ ， ∴ ． ． ∵ ， ∴ ． 2 55 5f f π π   − = − = −       99 20 sin 20 tan 20 15 5 5 5f f a b π π ππ π π π       = − = − + − +               sin tan 1 55 5 5a b f π π π     = − + − + = − = −           cot( )4y ax π= + 5( , )8 8x π π∈ cot( ) cot( )4 4y ax ax π π= + = − − − 4k ax k ππ π π< − − < + 5 4 4k k xa a π ππ π+ + <