1
的图象与性质
【学习目标】
1.了解 对函数图象变化的影响，并会由 的图象得到 的图象；
2．明确函数 （ 、 、 为常数， ）中常数 、 、 的物理意义，
理解振幅、频率、相位、初相的概念。
【要点梳理】
要点一：用五点法作函数 的图象
用 “ 五 点 法 ” 作 的 简 图 ， 主 要 是 通 过 变 量 代 换 ， 设 ， 由 z 取
来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：用“五点法”作 图象的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差
为 .
要点二：函数 中有关概念
表示一个振动量时，A 叫做振幅， 叫做周期，
叫做频率， 叫做相位，x=0 时的相位 称为初相.
要点三：由 得图象通过变换得到 的图象
1.振幅变换：
(A>0 且 A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短
(0 > 2T
π
ω= 1
2f T
ω
π= =
xω ϕ+ ϕ
siny x= sin( )y A xω ϕ= +
siny A x x R= ∈，
( )sin 0 1y x x Rω ω ω= ∈ > ≠， 且 ( )1ω >
( )0 1ω< < 1
ω 0ω < ω
( )siny x x Rϕ= + ∈， 0ϕ ≠ ϕ
ϕ ϕ
( )sin( ) 0, 0y A x A x Rω ϕ ω= + > > ∈，2
(1)先把 y=sinx 的图象上所有的点向左( >0)或右( 1)或缩短(0 sin( )y xω ϕ= +
ω
1 ( )0ω > ϕ ϕ
ω
ϕ || sin( )y xω ϕ= +
13sin 2 4y x
π = − 5
。
解法二：
。
【总结升华】本题用了由函数 y=sin x（x∈R）的图象变换到函数 （x∈R）的两种
方法，要注意这两种方法的区别与联系。
类型二：三角函数 的解析式
例 3.如图，它是函数 ， 的图象，由图中条件，写出该函数
解析式.
【思路点拨】由图可以确定图象的振幅、周期，由此求出 ，
再由题意知，点( ，5)在此函数的图象上，由此求出 .
【解析】 A=5，
由点( ，5)在此函数的图象上，则
法一：(单调性法)
∵点 在递减的那段曲线上
∴
由 得
∴
∵ .
法二：(最值点法)
将最高点坐标( ，5)代入 得
∴
4 1sin sin sin( )4 2 4y x y x y x
π π π = → = − → = −
2向右平移 个单位长度 将各点的横坐标伸长为原来的 倍
3→将各点的纵坐标伸长为原来的 倍 13sin( )2 4y x
π= −
2 21sin sin 2y x y x
π
= → = →向右平移 个单位长度将各点的横坐标伸长为原来的
31 1 1sin 3sin 3sin2 2 2 2 2 4y x y x x
π π π = − → = − = −
将各点的纵坐标伸长为原来的 倍
sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= +
( )sin( ) 0, 0y A x Aω ϕ ω= + > > ϕ π< ）
A ω，
4
π ϕ
23 ;3T π ω= ⇒ =
4
π
( )0π，
( )2 22 23 2 3k k k Z
π π πϕ π π + ∈ + + ∈ ， ，
2sin 03
π ϕ + =
2 23 k
π ϕ π π+ = +
( )2 3k k Z
πϕ π= + ∈，
3
πϕ π ϕ< ∴ =，
4
π 25sin( )3y x ϕ= + 5sin 56
π ϕ + =
26 2k
π πϕ π+ = +6
∴ 取 .
法三：(起始点法)
函数 的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标 x 正是由 解得的，
故只要找出起始点横坐标 x0，就可以迅速求得角 .由图象求得 ，∴
法四：(平移法)
由图象知，将 的图象沿 x 轴向左平移 个单位，就得到本题图象，故所求函数为
，即 .
【总结升华】错解：
将 代入该式得： ，
由 ，得
∵ 或
∴ 或 .
代入点坐标时，通常利用一些已知点(最高点、最低点或零点)坐标带入解析式，再结合图形的上升、
下降趋势变化求出 .
举一反三：
【变式 1】函数 的图象如下图，确定 A、ω、 的值，确定其一个函数解析。
【思路点拨】 本题主要考查正弦型函数 解析式的求法及
识 图 能 力 ， 由 图 知 A=3 ， ， 则 ， 可 由 点
或 或 确定。
【解析】
方法一：（逐一定参法）
由图象知，振幅 A=3，又 ，
sin( )y A xω ϕ= +
25sin 3y x ϕ = +
( )2 3k k Z
πϕ π= + ∈，
3
πϕ =
0xω ϕ+ =
ϕ 0 2x
π= − 0
2 .3 2 3x
π πϕ ω = − = − − =
25sin( )3y x=
2
π
25sin ( )3 2y x
π= + 25sin( )3 3y x
π= +
( ) 0π， 25sin 03
π ϕ + =
2sin 03
π ϕ + =
2
3 kπ ϕ π+ =
( )2
3k k Zϕ π π= − ∈，
2
3
πϕ π ϕ< ∴ = −，
3
πϕ=
2 25sin( )3 3y x
π= − 25sin( )3 3y x
π= +
ϕ
sin( )y A xω ϕ= + ϕ
sin( )y A xω ϕ= +
5
6 6T
π π π = − − =
2 2T
πω = = ϕ
,06
π − ,03
π
5 ,06
π
5
6 6T
π π π = − − = 7
∴ 。由点 ，令 ，得 。
∴ 。
方法二：（待定系数法）
由图象知 A=3，又图过点 和 ，根据五点作图法原来（以上两点可判为“五点法”中
的第三点和第五点），有 ，解得ω=2， 。
∴ 。
【总结升华】如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式 中的参数 A 和
ω，再选取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“ ”（要注意正确判断哪一
点是“第一零点”）求得 。
【变式 2】（1）已知函数 的图象如下图①所示，求解析式：
（2）函数 的图象如下图②所示，确定 A、ω、 的值，确定其一个函数解析式。
【解析】 （1）∵T=(2+1)×4=12，∴ 。
∵C 点为第四点，∴ ，∴ 。
∵ ，∴ 。
又∵点 在图象上，∴ 。
2 2T
πω = = ,06
π − 2 06
π ϕ− ⋅ + =
3
πϕ =
3sin 2 3y x
π = +
,03
π
5 ,06
π
3
5 26
π ω ϕ π
π ω ϕ π
⋅ + =
⋅ + =
3
πϕ =
3sin 2 3y x
π = +
sin( )y A xω ϕ= +
0xω ϕ+ =
ϕ
sin( )y A xω ϕ= +
sin( )y A xω ϕ= + ϕ
6
πω =
3
2
1
6
x
x
πω ϕ
πω
+ =
= −
=
5
3
πϕ =
| | 2
πϕ <
3
πϕ = −
(0, 3)− 3 sin 06 3A
π π − = × − 8
∴A=2，∴ 。
（2）由题图知，振幅 A=3，又 ，
∴ 。
由点 ，令 ，得 。
∴ 。
【总结升华】（1）若已知“五点”之外的某点坐标，可将其代入方程 中求出 ，
但必须判断出该点坐标是在“五点”当中的哪两点之间。若在第一、二两点之间，则 ；若在第
二、三两点之间，则 ；若在第三、四两点之间，则 或 ；若第四、五两
点之间，则 或 。
（2）如果从图象可确定振幅和周期，则可直接确定函数式 中的参数 A 和ω，再选
取“第一零点”（即五点作图法中的第一个点）的数据代入“ ”（要注意正确判断哪一点是“第
一零点”）求得 。
类型三：函数 的性质的综合运用
例 4．函数 的图象如图所示，试依图推出：
（1） 的最小正周期；
（2） 时 x 的取值集合；
（3）使 的 x 的取值集合；
（4） 的单调递增区间和递减区间；
（5）使 取最小值时的 x 的取值集合；
（6）图象的对称轴方程；
2sin 6 3y x
π π = −
5
6 6T
π π π = − − =
2 2T
πω = =
,06
π − 2 06
π ϕ− ⋅ + =
3
πϕ =
3sin 2 3y x
π = +
sin( )y A xω ϕ= + ϕ
0, 2
πϕ ∈
,2
πϕ π ∈
3, 2
πϕ π ∈ , 2
ππ − −
3 ,22
πϕ π ∈ ,02
π −
sin( )y A xω ϕ= +
0xω ϕ+ =
ϕ
sin( )y A xω ϕ= +
( ) sin( )f x A xω ϕ= +
( )f x
( ) 0f x =
( ) 0f x <
( )f x
( )f x9
（7）图象的对称中心；
（8）要使 成为偶函数，应对 的图象作怎样的平移变换？
【思路点拨】先由图象得到函数的最小正周期，后面的问题可迎刃而解。
【解析】 （1） 。
（2）在一个周期 中，使 的 x 是 ，π， 。
故所求的 x 的取值集合是 。
（3）使 的 x 的取值集合是 。
（4） 的单调递增区间是 ；
单调递减区间是 。
（5） 取最小值时 x 的取值集合是 。
（6）对称轴方程是 。
（7）对称中心是 。
（8）要使 成为偶函数，可以把其图象向左平移 个单位长度。
【总结升华】 较强的作图、识图能力是一项重要的数学能力，为数形结合解题提供了可能，在利用
的性质解题时，一定要与 y=sin x 的性质结合，更离不开对定义的理解和掌握。
举一反三：
【变式 1】已知函数 ， ，其中 ， 。若 的最小正周
期为 6π，且当 时， 取得最大值，则（ ）
A． 在区间[―2π，0]上是增函数
B． 在区间[―3π，―π]上是增函数
C． 在区间[3π，5π]上是减函数
( )f x ( )f x
72 34 4T
ππ π = − =
5,2 2
π π − ( ) 0f x =
2
π− 5
2
π
3 3 ,2x x k x k k Z
ππ π π = − = + ∈ 或
( ) 0f x < 53 3 ,2x k x k k Zπ π π π + < < + ∈
( )f x 5 3 , 3 ( )4 4k k k Z
ππ π π − + + ∈
73 , 3 ( )4 4k k k Z
π π π π + + ∈
( )f x 73 ,4x x k k Zπ π = + ∈
3 ( )4 2x k k Z
π π= + ∈
3 ,0 ( )2 2 k k Z
π π − + ∈
( )f x 4
π
sin( )y A xω ϕ= +
( ) 2sin( )f x xω ϕ= + x R∈ 0ω > π ϕ π− < ≤ ( )f x
2x
π= ( )f x
( )f x
( )f x
( )f x10
D． 在区间[4π，6π]上是减函数
【答案】A
【变式 2】已知函数 的图象过点 ，图象上与点 最近的一个最
高点是 。
（1）求函数的解析式；
（2）求函数 的递增区间。
【解析】（1）依题意得： ，周期 ,
,故 ，又图象过点 ，
，解得： ，即
。
（2）由
得：
故函数 的递增区间为： 。
【巩固练习】
1．（2016 吴忠模拟）函数 f（x）=Asin（ωx+φ）（其中 A＞0，ω＞0，|φ|＜ ）的图象如图所示，为了得
到 y=cos2x 的图象，则只要将 f（x）的图象（ ）
A．向左平移 个单位长度 B．向右平移 个单位长度
C．向左平移 个单位长度D．向右平移 个单位长度
2．要得到函数 y＝sinx 的图象，只需将函数 y＝ 的图象( )
A．向右平移 个单位
B．向右平移 个单位
( )f x
sin( )( 0, 0)y A x Aω ϕ ω= + > > ( ,0)12P
π
P
( ,5)3Q
π
( )f x
5A = 4( )3 12T
π π π= − =
2 2
πω π= = 5sin(2 )y x ϕ= + ( ,0)12P
π
5sin( ) 06
π ϕ∴ + = 06
π ϕ+ =
6
πϕ = −
5sin(2 )6y x
π∴ = −
2 2 2 ,2 6 2k x k k z
π π ππ π− + ≤ − ≤ + ∈
,6 3k x k k z
π ππ π− + ≤ ≤ + ∈
( )f x , ,6 3k k k z
π ππ π − + + ∈
cos( )3x
π−
6
π
3
π11
C．向左平移 个单位
D．向左平移 个单位
3．要得到 y＝ 的图象，只需将 y＝ 的图象( )
A．向左平移 个单位
B．向右平移 个单位
C．向左平移 个单位
D．向右平移 个单位
4．函数 的图象经 平移后所得的图象关于点 中心对称．
A．向左平移 个单位 B．向左平移 个单位
C．向右平移 个单位 D．向右平移 个单位
5．函数 的最小值为―2，其图象上相邻的最高点与最低点的横
坐标之差是 3π，又图象过点（0，1），则这个函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
6．函数 f(x)＝2sin ，当 f(x)取得最小值时，x 的取值集合为( )
A．{x|x＝4kπ－ π，k∈Z} B．{x|x＝4kπ＋ π，k∈Z}
C．{x|x＝4kπ－ ，k∈Z} D．{x|x＝4kπ＋ ，k∈Z}
7．已知 a 是实数，则函数 的图象不可能是（ ）
3
π
6
π
1sin( )2 x− 1sin( )2 6x
π− −
3
π
3
π
6
π
6
π
sin 2 3y x
π = + ,012
π −
12
π
6
π
6
π
12
π
sin( )y A xω ϕ= + ( 0, 0,| | )2A
πω ϕ> > <
22sin 3 6y x
π = +
12sin 3 6y x
π = +
22sin 3 6y x
π = −
12sin 3 6y x
π = −
2 6
x π −
2
3
2
3
3
π
3
π
( ) 1 sinf x a ax= +12
8．若函数 对于任意的 都有 成立，则 的最小值
为（ ）
A． 1 B． 2 C． D．4
9．函数 y=3sin(2x+ )（0＜ ＜π）为偶函数，则 =________．
10．（2016 眉山模拟）已知函数 f（x）=sin（2x+ ），将 y=f（x）的图象向右平移 个单位长度后，得
到函数 g（x）的图象，若动直线 x=t 与函数 y=f（x）和 y=g（x）的图象分别交于 M、N 两点，则|MN|的
最大值为 ．
11．函数 （A，ω， 为常数，A＞0，ω＞0）在区间[－π，0]上的图象如下图所示，
则ω=________．
12．函数 的部分图象如图所示，则
．
13．已知函数 （A＞0，ω＞0）的图象过点 ，图象与 P 点最近的一个最高点
坐标为 ，
（1）求函数解析式；
（2）指出函数的增区间；
（3）求使 y≤0 时，x 的取值范围．
14．（2016 德阳模拟）已知 A、B、C、D 是函数 y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）一个周期内的图象
上的四个点，如图所示，A（﹣ ，0），B 为 y 轴的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对
称中心，B 与 D 关于点 E 对称， 在 x 轴方向上的投影为 ．
求函数 f（x）的解析式及单调递减区间；
( ) cos( )2 5f x x
π π= + x R∈ 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ 1 2| |x x−
π
ϕ ϕ ϕ
sin( )y A xω ϕ= + ϕ
sin( )y A xω ϕ= + ( 0, 0)A ω> > (1) (2) (3) (11)f f f f+ + +⋅⋅⋅+ =
sin( )y A xω ϕ= + ,012P
π
,53
π
13
15．已知函数 ， 的图象关于点 对称，且
在区间 上是单调函数，求 的值．
( )( ) sin( ) 0,0f x xω ϕ ω ϕ π= + > ≤ ≤ | (0) | 1,f = ( )f x 3( ,0)4M
π
0, 2
π
,ω ϕ14
【答案与解析】
1.【答案】C
【解析】由图象可知 A=1，T=π，∴ω= =2
∴f（x）=sin（2x+φ），又因为 f（ ）=sin（ +φ）=﹣1
∴ +φ= +2kπ，φ= （k∈Z）
∵|φ| ，∴φ=
∴f（x）=sin（2x+ ）=sin（ ﹣2x﹣ ）=cos（ ﹣2x）=cos（2x﹣ ）
∴将函数 f（x）向左平移 可得到 cos[2（x+ ）﹣ ]=cos2x=y 故选 C．
2．【答案】 A
【解析】y＝sinx＝cos ＝cos
＝ ，
∴须将 y＝cos 的图象向右平移 个单位．
3．【答案】B
【解析】y＝sin ＝sin
4．【答案】D
【 解 析 】 设 平 移 后 得 ． 当 时 ， y=0 ， ∴ ， ∴
，k=0， ，故向右平移 个单位．
5．【答案】B
【解析】由已知得 A=2，T=2×π=6π，又 ，所以 ，故 ，又
图象过点（0，1），所以 ， ，因为 ，所以 ，所以 ，
选 B．
6．【答案】A
7． 【答案】D
【解析】当 a=0，图象如 C；当 0＜a＜1，图象如 A；当 1＜a＜2，图象如 B；在 D 中，就振幅看 a＞1，就
周期看 0＜a＜1．
8．【答案】B
2 x
π − 2x
π −
cos 6 3x
π π − −
3x
π − 6
π
1
2 6x
π − −
1 ( )2 3x
π − +
sin 2( ) 3y x
πϕ = + + 12x
π= − 26 3 k
π πϕ π− + + =
2 12
kπ πϕ = −
12
πϕ = −
12
π
2T
π
ω= 2 2 1
6 3T
π πω π= = = 12sin 3y x ϕ = +
1 2sinϕ= 1sin 2
ϕ = | | 2
πϕ <
6
πϕ = 12sin 3 6y x
π = + 15
【解析】“对于任意的 都有 成立”的含义是 是函数的最小值，
是函数的最大值， 是使得函数取得最小值的一个自变量， 是使得函数取得最大值的一个自变量，那么，
的最小值应为半个周期．因为函数 的最小正周期为 4，所以 的最小值为 2．
9．【答案】
【解析】∵ ，∴当 时， 为偶函数．
10.【答案】
【解析】f（x）=sin（2x+ ），g（x）=sin[2（x﹣ ）+ ]=sin（2x﹣ ），
所以|MN|=|f（x）﹣g（x）|
=|sin（2x+ ）﹣sin（2x﹣ ）|，
= |cos2x|，
则 cos2x=±1 时，
|MN|的最大值为： ．
11．【答案】3
【解析】 ，∴ ．
12．【答案】
【解析】根据函数图象可得 ，所以 ，计算得
所以 ，且函数周期为 8．
所以
13．【解析】（1） ，∴T=π，A=5，∴ ，由 ，∴ ．
∴ ．
（2）∵ ，
x R∈ 1 2( ) ( ) ( )f x f x f x≤ ≤ 1( )f x 2( )f x
1x 2x
1 2| |x x− ( )f x 1 2| |x x−
2
π
sin cos2x x
π + = 2
πϕ = 3sin 2 3cos22y x x
π = + =
2
3T π= 2 32
3
πω
π
= =
2 2 2+
2, 0, 8A Tϕ= = = ( ) 2sin( )4f x x
π=
(1) 2, (2) 2, (3) 2, (4) 0,f f f f= = = =
(5) 2, (6) 2, (7) 2, (8) 0,f f f f= − = − = − =
(9) (1) 2,f f= = ⋅⋅⋅
(1) (2) (8) 0f f f+ +⋅⋅⋅+ =
(1) (2) (11) (9) (10) (11) (1) (2) (3) 2 2 2f f f f f f f f f+ +⋅⋅⋅+ = + + = + + = +
4 3 12 4
T π π π= − = 2 2T
πω = = 012
πω ϕ⋅ + =
6
πϕ = −
5sin 2 6y x
π = −
2 2 22 6 2k x k
π π ππ π− ≤ − ≤ +16
∴ ， ．
∴增区间为 ．
（3）∵ ，∴ ．
∴ ．
14.【解析】（1）∵如图所示，A（﹣ ，0），B 为 y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的
一个对称中心，B 与 D 关于点 E 对称， 在 x 轴上的投影为 ，
∴根据对称性得出：最大值点的横坐标为 ，
∴ = + ，T=π，
∵T= ，
∴ω=2，
∵A（﹣ ，0）在函数图象上，
∴sin（﹣ +φ）=0，解得：﹣ +φ=kπ，k∈z，可得：φ=kπ+ ，k∈z，
∴φ= ，故可得函数 f（x）的解析式为：y=sin（2x+ ）．
∴由 2kπ+ ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z 即可解得单调递减区间为：[kπ ，k ]，k∈Z．
15．【解析】由 ，得 ，因为 ，所以
又 的图象关于点 对称，所以 ，即 ，
结合 ，可得，
当 时， 在 上是减函数；
当 时， 在 上是减函数；
当 时， 在 上不是单调函数；
所以，综上得 ．
22 2 23 3k x k
π ππ π− ≤ ≤ + ( )6 3k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
, ( )6 3k k k Z
π ππ π − + ∈
5sin 2 06x
π − ≤ 2 2 2 ( )6k x k k Z
ππ π π− ≤ − ≤ ∈
5 ( )12 12k x k k Z
π ππ π− ≤ ≤ + ∈
| (0) | 1f = | sin | 1ϕ = 0 ϕ π≤ ≤
2
πϕ =
( )f x 3( ,0)4M π 3( ) 04f π = 3sin( ) 04 2
ωπ π+ =
0ω > 3 , 0,1,24 2 k k
ωπ π π= + = ⋅⋅⋅
0k = 2 2, ( ) sin( )3 3 2f x x
πω = = + 0, 2
π
1k = 2, ( ) sin(2 )2f x x
πω = = + 0, 2
π
2k ≥ 10 , ( ) sin( )3 2f x x
πω ω≥ = + 0, 2
π
2 2,3 2
πω ω ϕ= = =或17
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