三角函数模型的简单应用_知识讲解_提高

1 三角函数模型的简单应用 【学习目标】 1.熟练掌握三角函数的性质，会用三角代换解决代数、几何、函数等综合问题； 2．利用三角形建立数学模型，解决实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 【要点梳理】 要点一：三角函数模型的建立程序 要点二：解答三角函数应用题的一般步骤 解答三角函数应用题的基本步骤可分为四步：审题、建模、解模、结论． （1）审题 三角函数应用题的语言形式多为文字语言和图形语言，阅读材料时要读懂题目所反映的实际问题的背 景，领悟其中的数学本质，在此基础上分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题． （2）建模 根据搜集到的数据，找出变化规律，运用已掌握的三角知识、物理知识及其他相关知识建立关系式， 在此基础上将实际问题转化为一个三角函数问题，实现问题的数学化，即建立三角函数模型．其中要充分 利用数形结合的思想以及图形语言和符号语言并用的思维方式． （3）解模 利用所学的三角函数知识，结合题目的要求，对得到的三角函数模型予以解答，求出结果． （4）结论 将所得结论转译成实际问题的答案，应用题不同于单纯的数学问题，既要符合科学，又要符合实际背 景，因此，有时还要对于解出的结果进行检验、评判． 要点诠释： 实际问题的背景往往比较复杂，而且需要综合应用多门学科的知识才能完成，因此，在应用数学知识 解决实际问题时，应当注意从复杂的背景中抽取基本的数学关系，还要调动相关学科知识来帮助解决问 题． 【典型例题】 类型一：三角函数周期性的应用 例 1．（2015 春 福建安溪县期末）某港口的水深 y（米）时间 t（0≤t≤24，单位：小时）的函数， 下面是每天时间与水深的关系表： 经过长期观测，y=f（t）可近似的看成是函数 y=Asinω+b 收集数据 画散点图 选择函数模型 检验 求函数模型 用函数模型解决实际问题2 （1）根据以上数据，求出 y=f（t）的解析式； （2）若船舶航行时，水深至少要 11.5 米才是安全的，那么船舶在一天中的哪几段时间可以完全的进 出该港？ 【思路点拨】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为 13，最小值为 7，求出 b 和 A；再借助于相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 12 求出 ω 即可求出 y=f（t）的解析式； （2）把船舶安全转化为深度 f（t）≥11.5，即 ；再解关于 t 的三角不等式即可求 出船舶在一天中的哪几段时间可以安全的进出该港． 【答案】（1） （0≤t≤24）；（2）（1∶00～5∶00），（13∶00～17∶00） 【解析】（1）由表中数据可以看到：水深最大值为 13，最小值为 7， ∴ ， 且相隔 9 小时达到一次最大值说明周期为 12， 因此 ， ， 故 （0≤t≤24） （2）要想船舶安全，必须深度 f（t）≥11.5，即 ∴ ， 解得：12k+1≤t≤5+12k，k∈Z 又 0≤t≤24 当 k=0 时，1≤t≤5； 当 k=1 时，13≤t≤17； 故船舶安全进港的时间段为（1∶00～5∶00），（13∶00～17∶00）． 【总结升华】本题主要考查三角函数知识的应用问题．解决本题的关键在于求出函数解析式．求三角 函数的解析式注意由题中条件求出周期，最大最小值等． 举一反三： 【变式 1】如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段为函数 ，x∈[0，4]的图象，且图 象的最高点为 ；赛道的后一部分为折线段 MNP．为保护参赛运动员 的安全，限定∠MNP=120°．求 A，ω的值和 M，P 两点间的距离． 【答案】 5 【解析】依题意，有 ， ， 又 ，∴ ．∴ ，x∈[0，4]． ∴当 x=4 时， ．∴M（4，3）．又 P（8，0）， 23sin 10 11.59 t π + ≥ ( ) 3sin 106f t t π= + 13 7 102b += = 13 7 32A −= = 2 12T π ω= = 6 πω = ( ) 3sin 106f t t π= + 3sin 10 11.56 t π + ≥ 1sin 6 2t π ≥ 52 26 6 6k t k π π ππ π+ ≤ ≤ + siny A xω= ( 0, 0)A ω> > (3,2 3)S 2 3 6 π 2 3A = 34 T = 2T π ω= 6 πω = 2 3sin 6y x π= 22 3sin 33y π= =3 ∴ （km）． 类型二：三角函数模型在天气中的应用 例 2. 下表是某地一年中 10 天测量的白昼时间统计表：（时间近似到 0.1 小时） 日期 1 月 1 日 2 月 28 日 3 月 21 日 4 月 27 日 5 月 6 日 6 月 21 日 8 月 13 日 9 月 20 日 10 月 25 日 12 月 21 日 日期位置 序号 x 1 59 80 117 126 172 225 263 298 355 白昼时间 y（小时） 5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.4 8.5 5.4 （1）以日期在 365 天中的位置序号 x 为横坐标，白昼时间 y 为纵坐标，在给定坐标（如下图）中画 出这些数据的散点图； （2）试选用一个形如 的函数来近似描述一年中白昼时间 y 与日期位置序号 x 之间的函数关系；（注：①求出所选用的函数关系式；②一年按 365 天计算） （3）用（2）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于 15.9 小时？ 【思路点拨】先作散点图，结合图象求出 中的 ，最后利用函数模型， 解不等式可得． 【答案】（1）略（2） （1≤x≤365，x∈N*）（3）121 天 【解析】（1）如图所示． （2）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为 ， 由题中图形知函数的最大值为 19.4，最小值为 5.4， 即 ymax=19.4，ymin=5.4， 由 19.4－5.4=14，得 A=7； 由 19.4+5.4=24.8，得 t=12.4． 又 T=365，∴ ． 2 2 2 2(8 4) (0 3) 4 3 5MP = − + − = + = sin( )y A x tω ϕ= + + sin( )y A x tω ϕ= + + , , ,A tω ϕ 2 3237sin 12.4365 730y x π π = − +   sin( )y A x tω ϕ= + + 2 365 πω =4 ∴ （ 等于 ， ， ， 均可）． ∴ （1≤x≤365，x∈N*）． （3）由 y＞15.9，得 ， ∴ ， ，∴112≤x≤232． ∴该地大约有 121 天白昼时间大于 15.9 小时． 【总结升华】现实生产、生活中，周期现象广泛存在，三角函数还是刻画周期现象的重要数学模型， 在解决实际问题时要注意搜集数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行函数拟合，而获得具 体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决实际问题． 举一反三: 【变式 1】（2015 秋 湖北荆门期末）通常情况下，同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近于函 数 y=Asin(ωx+φ)+b 的图象．2015 年 1 月下旬荆门地区连续几天最高温度都出现在 14 时，最高温度为 14℃ ；最低温度出现在凌晨 2 时，最低温度为零下 2℃． （1）请推理荆门地区该时段的温度函数 y=Asin（ωt+φ）+b（A＞0，ω＞0，|φ|＜π，t∈[0，24）） 的表达式； （2）29 日上午 9 时某高中将举行期末考试，如果温度低于 10℃，教室就要开空调，请问届时学校后 勤应该送电吗？ 【答案】（1） ；（2）应该开空调 【解析】（1）∵最高温度为 14℃，最低温度为零下 2℃． ∴ ， ， ∵函数的周期 T=24，∴ 由 ， ，可得 ∴函数表达式为 ； （2）当 x=9 时， ∵ ，∴ ， 温度低于 10℃，满足开空调的条件，所以应该开空调． 类型三：三角函数模型在物理学中的应用 例 3．已知弹簧上挂着小球做简谐运动时，小球离开平衡位置的距离 s（cm）随时间 t（s）的变化规律 为： 232 730 πϕ = − ϕ 32 73 π− 323 730 π− 161 365 π− 65 146 π− 2 3237sin 12.4365 730y x π π = − +   2 323 1sin 365 730 2 xπ π − >   2 323 5 6 365 730 6 xπ π π π< − < 365 323 365 5 323 12 4 2 6 4x ×+ < < +× 28sin( ) 612 3y x π π= − + 1[14 ( 2)] 82A = − − = 1[14 ( 2)] 62b = + − = 2 24 12 π πω = = 2 212 2 k π πϕ π⋅ + = − + | |ϕ π< 2 3 πϕ = − 28sin( ) 612 3y x π π= − + 28sin( 9 ) 6 8sin 612 3 12y π π π= ⋅ − + = + sin sin12 6 π π< 8sin 6 8sin 6 1012 6y π π= + < + =5 ，t∈[0，+∞）． 用五点法作出这个函数在一个周期内的简图，并回答下列问题： （1）小球在开始运动（t=0）时，离开平衡位置的位移是多少？ （2）小球上升到最高点、下降到最低点时离开平衡位置的位移分别是多少？ （3）经过多少秒，小球往复运动一次？ 【答案】（1） （2） （3）3.14 【解析】列表如下： t 0 π 2π s 4 0 －4 0 作图（如图）． （1）将 t=0 代入 ， 得 ． 以竖直向上作为位移的正向，则小球开始运动时的位移是 cm，方向为正向． （2）由题图可知，小球上升到最高点离开平衡位置的位移是－4 cm，负号表示方向竖直向下． （3）由于这个函数的周期 ，所以小球往复运动一次所需的时间为π≈3.14 s．反映在图 象上，正弦曲线在每一个长度为π的区间上，都完整地重复变化一次． 【总结升华】（1）注意简谐运动中自变量的范围为[0，+∞）． （2）正确理解并识记简谐运动周期、频率、振幅的概念以及实际意义是解决本题的关键． 举一反三： 【变式 1】一个单摆，如图所示，小球偏离铅垂线方向的角为 rad， 与时间 t 满足关系式 ． 4sin 2 3s t π = +   2 3 4− 12 π 3 π 7 12 π 5 6 π 2 3t π+ 3 π 2 π 3 2 π 2 3 4sin 2 3s t π = +   4sin 2 3 cm3s π= = 2 3 2 2T π π= = α α 1( ) sin 22 2t t πα  = +  6 （1）当 时， 的值是多少？并指出小球的具体位置； （2）单摆摆动的频率是多少？ （3）小球偏离铅垂线方向的最大摆角是多少？ 【答案】（1）0（2） （3） 【解析】 （1）当 时， ，这时小球恰好在平衡位置； （2）因为单摆摆动的周期 ，所以频率 ； （3）令 t=0，得 的最大值为 1．故 有最大值 rad，即小球偏离铅垂线方向的最大 摆角是 rad． 例 4.如图所示，表示电流 I 与时间 t 的关系式 （A＞0， ）在一个周期内的图象． （1）试根据图象写出 的解析式； （2）为了使 中 t 在任意一段 s 时间内 I 能同时取得最大 值|A|和最小值－|A|，那么正整数 的最小值为多少？ 【思路点拨】由图象，可求出 ，因此可写出解析式．（2）要满足题 意，则必须 ，解之可得． 【答案】（1） （2）629 【解析】（1）由图可知，A=300，周期 ， ∴ ． 当 时， ，即 ． 故图象的解析式为 ． 4t π= α 1 π 1 2 4t π= 1 1sin 2 sin 04 2 4 2 2 π π πα π   = × + = =       2 2T π π= = 1 1f T π= = sin 2 2t π +   ( )tα 1 2 1 2 sin( )I A tω ϕ= + 0ω > sin( )I A tω ϕ= + sin( )I A tω ϕ= + 1 100 ω , , ,A T ω φ 1 100T < 300sin 100 3I t ππ = +   1 1 1 60 300 50T  = − − =   2 2 100T T π πω πω = ⇒ = = 1 300t = − 0tω ϕ+ = 1100 300 3t πϕ ω π  = − = − = −  300sin 100 3I t ππ = +  7 （2）要使 t 在任意一段 s 的时间内能同时取得最大值和最小值，必须使得周期 ． 即 ． 由于 为正整数，故 的最小值为 629． 【总结升华】由三角函数的图象求解析式的方法是：根据函数图象性质，结合“五点法”作图时的对 应关系，分别确定 A， ， ． 【巩固练习】 1. 02 年北京国际数学家大会会标是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若直 角三角形中较小的锐角为 θ,大正方形的面积为 1,小正方形的面积是 , 则 sin2θ-cos2θ 的值是 ( ) (A) 1 (B) (C) (D) - 2 ． 单 摆 从 某 点 开 始 来 回 摆 动 ， 离 开 平 衡 位 置 O 的 距 离 s cm 和 时 间 t s 的 函 数 关 系 式 为 ： ，那么单摆来回摆动一次所需的时间为（ ） A．2πs B．πs C．0.5 s D．1 s 3．某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为 1，顶角为 的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积 为 （A） ； （B） （C） ； （D） 4．电流强度 I（A）随时间 t（s）变化的关系式是 ，则当 s 时，电流强度 I 为（ ） A．5 A B．2.5 A C．2 A D．－5 A 5．（2015 秋 湖北江岸区期末）夏季来临，人们注意避暑．如图是成都市夏季某一天从 6 时到 14 时的温 度变化曲线，若该曲线近似地满足函数 ，则成都市这一天中午 12 时天气的温度大 约是（ ） A．25℃ B．26℃ C．27℃ D．28℃ 6．2008 年北京奥运会的帆船比赛在青岛奥林匹克帆船中心举行，已知该中心比赛场馆区的海面上每天海 1 100 1 100T < 2 1 200 628.3100 π ω π ωω < ⇒ > ⇒ > ω ω ω ϕ 1 25 24 25 7 25 7 25 6sin 2 6s t ππ = +   α 2sin 2cos 2− +α α sin 3 cos 3− +α α 3sin 3 cos 1− +α α 2sin cos 1− +α α 5sin 100 3I t ππ = +   1 200t = sin( )y A x Bω φ= + +8 浪高度 y（米）可看作是时间 t（0≤t≤24，单位：时）的函数，记作 ，经长期观测， 的 曲线可近似地看成是函数 ，下表是某日各时的浪高数据： t（时） 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y（米） 2 1 2 0.99 2 则最能近似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ） A． B． C． D． 7．如图所示，有一广告气球，直径为 6 m，放在公司大楼上方，当行人仰望气球中心的仰 角∠BAC=30°时，测得气球的视角为 =1°，若 很小时，可取 sin ≈ ，试估算该气 球的高 BC 约为（ ） A．70 m B．86 m C．102 m D．118 m 8．设 是某港口水的深度 y（m）关于时间 t（h）的函数，其中 0≤t≤24，下表是该港口某一天从 0 至 24 h 记录的时间 t 与水深 y 的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数 的图象可以近似地看成函数 的图象．下面的函数中，最能近 似地表示表中数据间对应关系的函数是（ ） A． ，t∈[0，24] B． ，t∈[0，24] C． ，t∈[0，24] D． ，t∈[0，24] 9．如图，是一弹簧振子做简谐振动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的 位移，则这个振子振动的函数解析式是________． 10．甲、乙两楼相距 60 米，从乙楼望甲楼顶的仰角为 45°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为 30°，则甲、乙 两楼的高度分别为________． 11．（2015 春 山东威海期末）一半径为 6 米的水轮如图，水轮圆心 O 距离水面 3 米，已知水轮每分钟转 动 4 圈，水轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为________秒． ( )y f t= ( )y f t= cosy A t Bω= + 3 2 3 2 3 2 3 2 1 cos 12 6y t π= + 1 3cos2 6 2y t π= + 32cos 6 2y t π= + 1 3cos62 2y tπ= + β β β β ( )y f t= ( )y f t= sin( )y A tω ϕ= + 12 3sin 6y t π= + 12 3sin 6y t π π = + +   12 3sin12y t π= + 12 3sin 12 2y t π π = + +  9 12．某昆虫种群数量在 1 月 1 日时低至 700 只，而在当年 7 月 1 日时高达 900 只，其数量在这两个值之间 按正弦曲线呈规律性变化． （1）求出种群数量关于时间 t 的函数解析式，t 以月为单位； （2）画出种群数量关于时间 t 的简图． 13．（2014 秋 武汉期末）海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．一般地，早潮叫潮， 晚潮叫汐．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋．下面是某港口 在某季节每天时间与水深（单位：米）的关系表： （1）请用一个函数来近似描述这个港口的水深 y 与时间 t 的函数关系； （2）一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为 5 米或 5 米以上认为是安全的（船舶停靠时， 船底只要不碰海底即可）．某船吃水深度（船底离地面的距离）为 6.5 米． Ⅰ）如果该船是旅游船，1∶00 进港希望在同一天内安全出港，它至多能在港内停留多长时间（忽略 进出港所需时间）？ Ⅱ）如果该船是货船，在 2∶00 开始卸货，吃水深度以每小时 0.5 米的速度减少，由于台风等天气原 因该船必须在 10∶00 之间离开该港口，为了使卸下的货物尽可能多而且能安全驶离该港口，那么该船在 什么整点时刻必须停止卸货（忽略出港所需时间）？10 【答案与解析】 1. 【答案】D 【解析】由题意，大正方形的边长为 1，小正方形的边长为 ，设 所对的直角边为 则 由 勾 股 定 理 得 ： ， 解 得 ， ， ，进一步求得 ，所以 ，故选 D. 2．【答案】D 【解析】周期 （s）． 3．【答案】A 【解析】八边形的面积 = 4．【答案】B 【解析】 5．【答案】C 【解析】由题意以及函数的图象可知，A+B=30，－A+B=10，所以 A=10，B=20 ∵ ，∴T=16 ∵ ，∴ ∴ ∵图象经过点（14，30） ∴ ∴ ∴ 可以取 ∴ 当 x=12 时， 故选 C． 6．【答案】B 【解析】由周期 T=12，得 ， ， ． 7．【答案】B 1 5 θ x 2 21( ) 15x x+ + = 3 5x = 3 4sin ,cos5 5 θ θ∴ = = 7sin 5cosθ θ∴ + = 1sin 5cosθ θ− = − 2 2 7sin cos 25 θ θ− = − 2 12T π π= = 14 4 sin 2 2cos2S S S α α∆= + = × + −正 2sin 2cos 2α α− + 1 55sin 100 5sin 5cos (A)200 3 2 3 3 2I π π π ππ   = × + = + = =       14 62 T = − 2T π ω= 8 πω = 10sin( ) 208y x π φ= + + 30 10sin( 14 ) 208 π φ= × + + sin( 14 ) 18 π φ× + = φ 3 4 π 310sin( ) 208 4y x π π= + + 3 210sin( 12 ) 20 10 20 27.078 4 2y π π= × + + = × + ≈ 6 πω = max min 1 2 2 y yA −= = max min 3 2 2 y yB += =11 【解析】由已知 CD=3 m， ，又 ， ∴ ，∴BC=AC·sin30°≈86（m）．故选 B． 8．【答案】A 【解析】在 中， ． ， ，而 T=12， ，显然 ． 9．【答案】 【解析】A=2，T=2(0.5－0.1)=0.8，∴ ， 将点（0.1，2）代入 ，得 ． 10．【答案】60 米， 米 【解析】 如图甲楼的高度 AC=AB=60 米， 在 Rt△CDE 中， ． ∴乙楼的高度为 米． 11．【答案】5 【解析】过 O 作水平的垂线，垂足为 Q，如下图所示： 由已知可得：OQ=3，OP=6， 则 ，即∠POQ=60°， 则水轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点要旋转 120°，即 个周期， 又由水轮每分钟转动 4 圈，可知周期是 15 秒， 故水轮上点 P 从水中浮现时开始到其第一次达到最高点的用时为 5 秒， 故答案为：5 12．【解析】（1）设所求的函数解析式为 ，则 ，A=100，且 1 180 πβ = ° = sin 180 CD AC πβ β= ≈ = 180 3 172(m)AC π= × ≈ sin( )y A t bω ϕ= + + 15 9 32A −= = 15 9 122b += = 2 T πω = 6 πω = 0ϕ = 52sin 2 4y t π π = +   2 5 0.8 2 πω π= = 52sin 2y t π ϕ = +   4 πϕ = (60 20 3)− 3tan30 60 20 33DE CE= ⋅ ° = × = (60 20 3)BD BE DE= − = − 1cos 2POQ∠ = 1 3 sin( )y A t bω ϕ= + + 700 900 8002b += =12 ， 所 以 ． 又 ． 所 以 ． 因 此 所 求 的 函 数 解 析 式 为 ． （2）图象（简图）如图． 13．【解析】（1）以时间为横坐标，水深为纵坐标，在直角坐标系中画出散点图．如图． 根据图象，可考虑用函数 刻画水深与时间之间的对应关系． 从数据和图象可以得出 A=3，h=10，T=12，φ=0， 由 ，得 ，所以这个港口水深与时间的关系可用 近似描述． （2）Ⅰ）由题意，y≥11.5 就可以进出港，令 ，如图，在区间[0，12]内， 函数 与直线 y=11.5 有两个交点，由 或 ， 得 ， ，由周期性得 ， ， 212T π ω= = 2 πω = 1 2 πω ϕ× + = − 2 3 πϕ = − 2100sin 8006 3y t π π = − +   sin( )y A x hω φ= + + 2 12T π ω= = 6 πω = 3sin 106y t π= + 1sin 6 2t π = 3sin 106y t π= + sin 6 6t π π= 5 6 π 1=Ax 5=Bx 13=Cx 17=Dx13 由于该船从 1∶00 进港，可以 17∶00 离港，所以在同一天安全出港，在港内停留的最多时间是 16 小 时 Ⅱ）设在时刻 x 货船航行的安全水深为 y，那么 y=11.5―0.5(x―2)（x≥2）． 设 ，x∈[2，10]， g（x）=11.5―0.5(x―2)（x≥2） 由 f（6）=10＞g（6）=9.5 且 f（7）=8.5＜g（7）=9 知， 为了安全，货船最好在整点时刻 6 点之前停止卸货 ( ) 3sin 106f x x π= +