1
三角函数综合
【学习目标】
1.理解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算.
2.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，掌握正弦、余弦的诱导公式，理解周期函数与最小正周期
的意义.
3.能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.
4.会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 的简图，理解 的物理意
义.
5．掌握正弦函数、余弦函数的周期性、奇偶性、单调性等性质并能灵活应用．
6．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状，理解图象平移变换、伸缩变换的
意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化.
【知识网络】
【要点梳理】
要点一：终边相同的角
1．终边相同的角
凡是与 终边相同的角，都可以表示成 的形式.
要点诠释：
(1)终边相同的前提是：原点，始边均相同；
(2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；
(3)终边相同的角有无数多个，它们相差 的整数倍.
特例：
终边在 x 轴上的角集合 ，
终边在 y 轴上的角集合 ，
终边在坐标轴上的角的集合 .
在已知三角函数值的大小求角的大小时，通常先确定角的终边位置，然后再确定大小.
2．弧度和角度的换算
(1)角度制与弧度制的互化： 弧度 ， 弧度， 弧度
sin( )y A xω ϕ= + A ω ϕ、 、
α 360k α⋅ ° +
360°
{ }| 180k k Zα α = ⋅ ° ∈，
{ }| 180 90k k Zα α = ⋅ ° + ° ∈，
{ }| 90k k Zα α = ⋅ ° ∈，
π 180=
1801
π= 1 '180( ) 57 18π= ≈ 2
(2)弧长公式： ( 是圆心角的弧度数)，扇形面积公式： .
要点诠释：
(1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如 等等，一般地,正角的弧度数是
一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是 0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.
(2)角 的弧度数的绝对值是： ，其中， 是圆心角所对的弧长， 是半径.
要点二：任意角的三角函数的定义、三角函数的符号规律、特殊角的三角函数值、诱导公式：
1.三角函数定义：
角 终边上任意一点 为 ，设 则：
要点诠释：
三角函数的值与点 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离
,那么 , , ．
2.三角函数符号规律：
一全正，二正弦，三正切，四余弦(为正)；
要点诠释：
口诀的含义是在第一象限各三角函数值为正；在第二象限正弦值为正，在第三象限正切值为正，在第
四象限余弦值为正．
3.特殊角的三角函数值
0 2
sin 0 1 0 -1 0
cos 1 0 -1 0 1
tan 0 1 不存在 0 不存在 0
4.诱导公式(奇变偶不变，符号看象限):
sin( )=sin ，cos( )=-cos ，tan( )=-tan
sin( )=-sin ，cos( )=-cos ，tan( )=tan
rl ||α= α 2||2
1
2
1 rrlS α==
2π π− −，
α
r
l=α l r
α P ),( yx rOP =||
,cos,sin r
x
r
y == αα
x
y=αtan
P
2 2r x y= +
2 2
sin y
x y
α =
+ 2 2
cos x
x y
α =
+ tan y
x
α =
α
6
π
4
π
3
π
2
π π 3
2
π π
α
2
1
2
2
2
3
α
2
3
2
2
2
1
α
3
3 3
π α− α π α− α π α− α
π α+ α π α+ α π α+ α3
sin( )=-sin ，cos( )=cos ，tan( )=-tan
sin( )=-sin ，cos( )=cos ，tan( )=-tan
sin( )=sin ，cos( )=cos ，tan( )=tan ，
sin( )=cos ，cos( )=sin
sin( )=cos ，cos( )=-sin
要点诠释：
(1)要化的角的形式为 ( 为常整数)；
(2)记忆方法：“奇变偶不变，符号看象限”；
(3)必须对一些特殊角的三角函数值熟记，做到“见角知值，见值知角”；
(4) ； .
要点三：正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质
1.三角函数 的图象与性质：
y=sinx y=cosx
定
义
域
(-∞，+∞) (-∞，+∞)
值
域 [-1，1] [-1，1]
奇
偶
性
奇函数 偶函数
单
调
性
增区间 减区间 增区间 减区间
周
期
性
最小正周期 最小正周期
最
值
当 时，
当 时，
当 时，
当 时，
对
称
性
对称轴 对称中心 对称轴 对称中心
y=cosx 的图象是由 y=sinx 的图象左移 得到的.
2．三角函数 的图象与性质：
α− α α− α α− α
2π α− α 2π α− α 2π α− α
2kπ α+ α 2kπ α+ α 2kπ α+ α ( )k Z∈
2
π α− α
2
π α− α
2
π α+ α
2
π α+ α
α±⋅ 90k k
sin cos cos4 4 4x x x
π π π + = − = − cos sin4 4x x
π π + = −
sin cos，y x y x= =
[2 ,2 ],2 2k k
k Z
π ππ π− +
∈
3[2 ,2 ],2 2k k
k Z
π ππ π+ +
∈
[ ]2 2k k
k Z
π π π−
∈
， [ ]2 2k k
k Z
π π π+
∈
，
2T π= 2T π=
2 ( )2x k k Z
ππ= − ∈ min 1y = −
2 ( )2x k k Z
ππ= + ∈ max 1y =
2 ( )x k k Zπ π= + ∈ min 1y = −
2 ( )x k k Zπ= ∈ max 1y =
( )2x k k Z
ππ= + ∈ ( )0 ( )k k Zπ ∈， ( )x k k Zπ= ∈ ( ,0)( )2k k Z
ππ + ∈
2
π
tany x=4
y=tanx
定义域
值域 R
奇偶性 奇函数
单调性 增区间
周期性
最值 无最大值和最小值
对称性 对称中心
要点四：函数 的图象与性质
1．“五点法”作简图
用 “ 五 点 法 ” 作 的 简 图 ， 主 要 是 通 过 变 量 代 换 ， 设 ， 由 z 取
来求出相应的 x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象.
要点诠释：
用“五点法”作 图的关键是点的选取，其中横坐标成等差数列，公差为 .
2． 的性质
(1)三角函数的值域问题
三角函数的值域问题，实质上大多是含有三角函数的复合函数的值域问题，常用方法有：化为代数函
数的值域或化为关于 的二次函数式，再利用换元、配方等方法转化为二次函数在限定区间上
的值域.
(2)三角函数的单调性
函数 的单调区间的确定，基本思想是把 看作一个整体，比如：
由 解 出 的 范 围 所 得 区 间 即 为 增 区 间 ， 由
解出 的范围，所得区间即为减区间；
要点诠释：
（1）注意复合函数的解题思想；
（2）比较三角函数值的大小，往往是利用奇偶性或周期性再转化为属于同一单调区间上的两个同名函
数值，再利用单调性比较.
3．确定 的解析式的步骤
①首先确定振幅和周期，从而得到 ；
②确定 值时，往往以寻找“五点法”中第一个零点 作为突破口，要注意从图象的升降情况
找准第一个零点的位置，同时要利用好最值点.
sin( )y A xω ϕ= +
,2x k k Z
ππ≠ + ∈
( , ),2 2k k k Z
π ππ π− + ∈
T π=
( ,0)( )2
k k Z
π ∈
sin( )y A x= +ω ϕ
sin( )y A xω ϕ= + z xω ϕ= +
30, , , ,22 2
π π π π
4
T
sin ( )y A x x= +ω ϕ
sin (cos )x x
)0,0)(sin( >>+= ωϕω AxAy ϕω +x
)(2222 Zkkxk ∈+≤+≤− ππϕωππ x
)(2
3222 Zkkxk ∈+≤+≤+ ππϕωππ x
sin ( )y A x x= +ω ϕ
A ω，
ϕ ( ,0)
ϕ
ω−5
要点五：正弦型函数 的图象变换方法
先平移后伸缩
的图象
的图象
的图象
的图象 的图象.
先伸缩后平移
的图象
的图象
的图象
的图象 的图象.
【典型例题】
类型一：三角函数的概念
例 1. 已知角 的终边过点 ，求 的三个三角函数值.
【思路点拨】分 两种情况求 的三个三角函数值．
【解析】因为过点 ，所以 ， .
当 ；
， .
当 ， ； .
【总结升华】(1)当角 的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际及解题的需要对参数
ϕ ϕ
ϕ
0) 或向右( 0)
平移 个单位长度
( )
ω ω
ω
→横坐标伸长( 0< 1)
1到原来的 纵坐标不变
( )
A A
A
>→纵坐标伸长( 1) 或缩短( 0< < →横坐标伸长 或缩短
到原来的 纵坐标不变
sin( )y A xω=
( 0) ( 0)ϕ ϕ
ϕ
ω
> < α
( ,2 )( 0)a a a ≠ 5 | |r a= , 2x a y a= =
2 2 2 50 sin 55 | | 5
y a aa r a a
α> = = = =时，
5cos 55
x a
r a
α = = = 2tan =α
2 2 2 50 sin 55 | | 5
y a aa r a a
α< = = = = −
−时， 5cos 55
x a
r a
α = = = −
− 2tan =α
α6
进行分类讨论；
(2)若角 已经给定，不论点选在 的终边上的什么位置，角 的三角函数值都是确定的；另一方面，
如果角 终边上点坐标已经确定，那么根据三角函数定义，角 的三角函数值也是确定的.
举一反三：
【变式 1】已知角 的终边上一点 ，且 ，求 的值.
【解析】由题设知 ， ，所以 ，得 ，
从而 ，
解得 或 .
当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
类型二：扇形的弧长与面积的计算
例 2（2015 春 菏泽期中）已知一扇形的圆心角为 α（α＞0），所在圆的半径为 R．
（1）若 α=60°，R=10cm，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）一扇形的周长为 20cm，当扇形的圆心角 α 等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？
【思路点拨】（1）根据弧长的公式和扇形的面积公式即可求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）根据扇形的面积公式，结合一元二次函数的性质即可得到结论．
【解析】（1）设弧长为 l，弓形面积为 S，则 α=60°= ，
R=10，l= ×10= （cm），
S=S 扇﹣S△= × ×10﹣ = π﹣ =（ π﹣25 ）（cm2）
（2）设扇形的半径为 R，弧长为 l，
则 l+2R=20，即 l=20﹣2R，（0＜R＜10）．
∴扇形的面积 S= lR= （20﹣2R）R=﹣R2+10R=﹣（R﹣5）2+25．
∴当 R=5cm 时，S 有最大值 25 cm2，
此时 l=10cm，a= =2 rad．
因此，当 α=2rad 时，扇形的面积取最大值
α α α
α α
α ( 3, )P m− 2sin 4
mα = cos ,tanα α
3x = − y m= 2 2 2 2| | ( 3)r OP m= = − + 23r m= +
2sin 4
mα =
23
m m
r m
= =
+
0m = 216 6 2 5m m= + ⇒ = ±
0m = 3, 3r x= = − cos 1,tan 0x y
r x
α α= = − = =
5m = 2 2, 3r x= = − 6 15cos ,tan4 3
x y
r x
α α= =− = =−
5m = − 2 2, 3r x= = − 6 15cos ,tan4 3
x y
r x
α α= =− = =7
【总结升华】弧长和扇形面积的核心公式是圆周长公式 和圆面积公式 ，当
用 圆 心 角 的 弧 度 数 代 替 时 ， 即 得 到 一 般 的 弧 长 公 式 和 扇 形 面 积 公 式 ：
【变式】（2014 秋 寿县校级期末）已知扇形 OAB 的周长为 4，弧长为 AB．
（1）当∠AOB=60°时，求此时弧的半径；
（2）当扇形面积最大时，求此时圆心角的大小．
【解析】（1）设扇形的半径为 r，∠AOB=60°= ，
由已知，得 ，
∴
（2）设扇形的半径为 x，则弧长=4﹣2x，
∴扇形面积 ，
∴当 x=1 时，Smax=1，此时，∠AOB=2
类型三：三角函数的诱导公式
例 3 ． 已 知 sin(3π ＋ θ) ＝ ， 求 的
值．
【思路点拨】利用诱导公式，求出 sin θ＝－ ．然后化简要求的式子，即可求得结果．
【答案】18
【解析】 ∵sin(3π＋θ)＝－sin θ＝ ，∴sin θ＝－ ，
∴原式＝
＝
＝ ＋ ＝
＝ ＝ ＝18.
【总结升华】 诱导公式用角度和弧度制表示都成立，记忆方法可以概括为“奇变偶不变，符号看象
限”，“变”与“不变”是相对于对偶关系的函数而言的，sin 与 cos 对偶，“奇”、“偶”是对诱导公式
2C rπ= ⋅ 21 2
2
S rπ= ⋅ ⋅
α 2π
21 1, .
2 2
l r S lr rα α= ⋅ = = ⋅
1
3
( )
( ) ( )
cos cos( 2 )
3 3cos cos 1 sin cos sin2 2
π θ θ π
π πθ π θ θ θ π θ
+ −+− − − − − +
1
3
1
3
1
3
( )
cos cos(2 )
3cos cos 1 sin cos( ) cos2
θ π θ
πθ θ θ π θ θ
− −+− − − − − +
2
1 cos
1 cos cos cos
θ
θ θ θ++ − +
1
1 cosθ+
1
1 cosθ− 2
2
1 cos θ−
2
2
sin θ 2
2
1( )3
−
α α8
中 的整数 k 来讲的，象限指 中，将 看作锐角时， 所在象限，如将
写成 ，因为 3 是奇数，则“cos”变为对偶函数符号“sin”，又 看
作第四象限角， 为“+”，所以有 .
举一反三：
【变式 1】已知函数 f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，且 f(2 009)＝3，则 f(2 010)的值是
( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．1
【答案】C
【解析】
f(2 009)＝asin(2 009π＋α)＋bcos(2 009π＋β)
＝asin(π＋α)＋bcos(π＋β)
＝－asin α－bcos β＝3.
∴asin α＋bcos β＝－3.
∴f(2 010)＝asin(2 010π＋α)＋bcos(2 010π＋β)
＝asin α＋bcos β＝－3.
【变式 2】化简(1)
(2) ．
【解析】(1)当 n=4k(k∈Z)时，
当 n=4k+1(k∈Z)时，
当 n=4k+2(k∈Z)时，
当 n=4k+3(k∈Z)时，
(2)①当 时，
原式 ．
②当 时，
原式 ．
【总结升华】关键抓住题中的整数 是表示 的整数倍与公式中的整数 有区别，所以必须把 分成
奇数和偶数两种类型，分别加以讨论．
类型四：三角函数的图象和性质
2k
π α⋅ +
2k
π α⋅ + α
2k
π α⋅ +
3cos 2
π α + cos 3 2
π α ⋅ +
3
2
π α+
3cos 2
π α +
3cos sin2
π α α + =
)(2sin Znn ∈π
sin( ) sin( ) ( )sin( )cos( )
n n n Zn n
α π α π
α π α π
+ + − ∈+ −
02sin2sin == ππ kn
1)22sin(2sin =+= πππ kn
0)2sin(2sin =+= πππ kn
12
3sin)2
32sin(2sin −==+= ππππ kn
2 ,n k k Z= ∈
sin( 2 ) sin( 2 ) 2
sin( 2 )cos( 2 ) cos
k k
k k
α π α π
α π α π α
+ + −= =+ −
2 1,n k k Z= + ∈
sin[ (2 1) ] sin[ (2 1) ] 2
sin[ (2 1) ]cos[ (2 1) ] cos
k k
k k
α π α π
α π α π α
+ + + − += = −+ + − +
n π k n9
例 4. 函数 的图象是( )
【答案】A
【解析】 是偶函数，可排除 B、D，由 的值域可以确定.因此本题应选
A.
举一反三：
【高清课堂：三角函数的综合 395043 例 1】
【变式 1】函数 在 内 （ ）
A．没有零点 B．有且仅有一个零点
C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点
【答案】B
例 5．把函数 y=cos2x+1 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),然后向左平移 1 个单
位长度,再向下平移 1 个单位长度,得到的图像是（ ）
【思路点拨】首先根据函数图象变换的公式，可得最终得到的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），
然后将曲线 y=cos（x+1）的图象和余弦曲线 y=cosx 进行对照，可得正确答案．
【答案】A
【解析】将函数 y=cos2x+1 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍（纵坐标不变），得到的图象对
应的解析式为：y=cosx+1，再将 y=cosx+1 图象向左平移 1 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到
的图象对应的解析式为：y=cos（x+1），∵曲线 y=cos（x+1）由余弦曲线 y=cosx 左移一个单位而得，∴曲
线 y=cos（x+1）经过点 和 ，且在区间 上函数值小于 0，由此可得，
选项 A 正确，故选 A．
举一反三：
ln cos 2 2y x x
π π = − < π
( ) cosg x xϖ= ( )y f x=
8
π
8
π
4
π
4
π
,T π= 0ω > 2 2 2,T
π πω π= = =
( ) sin(2 ) cos (2 )4 2 4f x x x
π π π = + = − +
cos 2 4x
π −
cos2 8x
π −
( )f x = cos2 8x
π − 8
π
( ) cos2g x x=
( ) sin( ),f x xω ϕ= + 0ω > | | 2
πϕ <
cos cos sin sin 0,4 4
π πϕ ϕ3− = ϕ
( )f x 3
π
( )f x
m ( )f x m
tanϕ 0ω > | | 2
πϕ < ϕ
2
3T π= 3ω = ( )f x
4
π
( ) sin(3 )4f x x
π= +
12
π
3cos cos sin sin 04 4
π πϕ ϕ− = 2 2cos sin 02 2
ϕ ϕ− = tan 1ϕ =
| | ,2 4
π πϕ ϕ< ∴ =11
（Ⅱ）由（I）得，
依题意，
又 故
函数 的图像向左平移 个单位后所对应的函数为
是偶函数当且仅当
即
从而，最小正实数
【总结升华】本题考查了同角三角函数的基本关系式及函数 的性质，属中等难度
题．
举一反三：
【变式 1】已知函数 （其中 ）的周期为 ，且图
象上一个最低点为 .
(Ⅰ)求 的解析式；（Ⅱ）当 ，求 的最值.
【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）最小值为 1，最大值为 ．
【解析】（1）由最低点为
由
由点 在图像上得 即
又 ，
（Ⅱ）
．
( ) sin( )4f x x
πω= +
2 3
T π=
2 ,T
π
ω= 3, ( ) sin(3 )4f x x
πω = ∴ = +
( )f x m
( ) sin 3( ) 4g x x m
π = + +
( )g x 3 ( )4 2m k k Z
π ππ+ = + ∈
( )3 12
km k Z
π π= + ∈
12m
π=
sin( )y A xω ϕ= +
( ) sin( ),f x A x x Rω ϕ= + ∈ 0, 0,0 2A
πω ϕ> > < < π
2( , 2)3M
π −
( )f x [0, ]12x
π∈ ( )f x
( ) 2sin(2 )6f x x
π= + 3
2( , 2) 23M A
π − =得
2 2 2T T
π ππ ω π= = = =得
2( , 2)3M
π − 42sin( ) 23
π ϕ+ = − 4sin( ) 13
π ϕ+ = −
4 112 2 ,3 2 6k k k Z
π π πϕ π ϕ π∴ + = − = − ∈即 ，
(0, )2
πϕ ∈
6
πϕ∴ = ( ) 2sin(2 )6f x x
π∴ = +
[0, ], 2 [ , ]12 6 6 3x x
π π π π∈ ∴ + ∈
, 0 ( ) 16 6 x f x
π π∴ = =当2x+ 即 时， 取得最小值 ；
, ( )6 3 12x f x
π π π= =当2x+ 即 时， 取得最大值 312
【巩固练习】
1．函数 的最小正周期是（ ）
A． B． C． D．
2．函数 的零点个数是（ ）
A. B. C. D.
3．已知函数 ，那么下列命题中正确的是（ ）
A. 是周期函数为的奇函数 B. 是周期为 2 的偶函数
C. 是周期为 1 的非奇非偶函数 D. 是周期为 2 的非奇非偶函数
4．（2016 赤峰模拟）若点 P（cosα，sinα）在直线 y=﹣2x 上，则
的值等于（ ）
A． B． C． D．
5．函数 在区间 上的简图是（ ） ．
6．设 是定义域为 ，最小正周期为 的函数，若
则 等于（ ）
A. B. C. D.
7．函数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.设 0
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