知识讲解_从位移的合成到向量的加法_提高

1 从位移的合成到向量的加法 【学习目标】 1.能熟练运用三角形法则和平行四边形法则，作出几个向量的和、差向量. 2．能结合图形进行向量的计算． 3．能准确表达向量加法的交换律和结合律，并能熟练地进行向量计算． 【要点梳理】 要点一：向量加法的三角形法则与平行四边形法则 1.向量加法的概念及三角形法则 已知向量 ，在平面内任取一点 A，作 ，再作向量 ，则向量 叫做 与 的和， 记作 ，即 ．如图 本定义给出的向量加法的几何作图方法叫做向量加法的三角形法则． 2．向量加法的平行四边形法则 已知两个不共线向量 ，作 ，则 三点不共线，以 为邻边作平行 四边形 ，则对角线 ．这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则． 求两个向量和的运算，叫做向量的加法． 对于零向量与任一向量 ，我们规定 ． 要点诠释： 两个向量的和与差仍是一个向量，可用平行四边形或三角形法则进行运算，但要注意向量的起点与终点. 要点二：向量求和的多边形法则及加法运算律 1.向量求和的多边形法则的概念 已知 个向量，依次把这 个向量首尾相连，以第一个向量的起点为起点，第 个向量的终点为终点的 向量叫做这 个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则． 特别地，当 与 重合，即一个图形为封闭图形时，有 2．向量加法的运算律 （1）交换律： ； （2）结合律： ,a b  ,AB a BC b= =    AC AC a b a b+  a b AB BC AC+ = + =     ,a b  ,AB a AD b= =    , ,A B D ,AB AD  ABCD AC a b= +   a 0 0a a a+ = + =     n n n n 1 1 2 2 3 1n n nA A A A A A A A−= + +⋅⋅⋅+    1A nA 1 2 2 3 1 1 0n n nA A A A A A A A−+ +⋅⋅⋅+ + =     a b b a+ = +    ( ) ( )a b c a b c+ + = + +     2 要点三：向量的三角形不等式 由向量的三角形法则，可以得到 (1)当 不共线时， ； (2)当 同向且共线时， 同向，则 ； (3) 当 反向且共线时，若 ，则 同向， ；若 ，则 同向， ． 要点四：向量的减法 1．向量的减法 （1）如果 ，则向量 叫做 与 的差，记作 ，求两个向量差的运算，叫做向量的减 法．此定义是向量加法的逆运算给出的． 相反向量：与向量 方向相反且等长的向量叫做 的相反向量． （2）向量 加上 的相反向量，叫做 与 的差，即 ．求两个向量差的运算，叫做向 量的减法，此定义是利用相反向量给出的，其实质就是把向量减法化为向量加法． 要点诠释： （1）两种方法给出的定义其实质是一样的． （2）对于相反向量有 ；若 ， 互为相反向量，则 ． （3）两个向量的差仍是一个向量． 2．向量减法的作图方法 （1）已知向量 ， （如图），作 ，则 = ,即向量 等于终点向 量（ ）减去起点向量（ ）．利用此方法作图时，把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是 以减向量的终点为始点的，被减向量的终点为终点的向量． （2）利用相反向量作图，通过向量加法的平行四边形法则作出 ．作 ， 则 ，如图．由图可知，一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量． 【典型例题】 ,a b  | | | | | |a b a b+ < +    ,a b  , ,a b a b+    | | | | | |a b a b+ = +    ,a b  | | | |a b>  a b a+  与 | | | | | |a b a b+ = −    | | | |a b