知识讲解 圆周运动的向心力及其应用 提高

1 圆周运动的向心力及其应用 【学习目标】 1、理解向心力的特点及其来源 2、理解匀速圆周运动的条件以及匀速圆周运动和变速圆周运动的区别 3、能够熟练地运用力学的基本方法解决圆周运动问题 5、理解外力所能提供的向心力和做圆周运动所需要的向心力之间的关系，以此为根据理解向心运动和离 心运动。 【要点梳理】 要点一、物体做匀速圆周运动的条件 要点诠释： 物体做匀速圆周运动的条件：具有一定速度的物体，在大小不变且方向总是与速度方向垂直的合外力 的作用下做匀速圆周运动。 说明：从物体受到的合外力、初速度以及它们的方向关系上探讨物体的运动情况，是理解运动和力关 系的基本方法。 要点二、关于向心力及其来源 1、向心力 要点诠释 （1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力. （2）向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。 （3）向心力的大小： 向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积； 对于确定的物体，在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方； 线速度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。 如果是匀速圆周运动则有： （4）向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。 （5）关于向心力的说明： ①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力； ②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能改变 速度的大小； ③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是不变 的，仅方向不断变化。 2、向心力的来源 要点诠释 （1）向心力不是一种特殊的力。重力(万有引力)、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都 可以作为向心力。 （2）匀速圆周运动的实例及对应的向心力的来源 (如表所示)： 2 2vF ma m mrr ω= = =向 向 2 2 2 2 2 2 4 4vF ma m mr mr mr fr T πω π= = = = =向 向2 要点三、匀速圆周运动与变速圆周运动的区别 1、从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动 要点诠释： （1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之也就是说物体受到的合 外力完全充当向心力的角色。 例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径 指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。 （2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。 例如用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，它的受力情况如图所示，物体受到线的拉 力 F 拉和重力 mg 的作用，其合力分解为两个分量：向心力和切向力。3 不难看出： 向心力改变着速度的方向，产生向心加速度；切向力与线速度的方向相同或者相反，改变着线速度的 大小使得物体做变速圆周运动。 2、从圆周运动的规律看匀速圆周运动和变速圆周运动 要点诠释： （1）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律 无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小总是： （公式中的每 一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。） 换一种说法就是： 在圆周运动中的任何时刻或位置，牛顿运动定律都成立，即 例如上面的例子，用一根细线拴一个小球在竖直平面内做变速圆周运动，在图中所示的位置用牛顿第 二定律可得： （2）只适用于匀速圆周运动的计算公式： 因为在匀速圆周运动的过程中各个量大小的平均值和瞬时值是相等的；如果将上式用在变速圆周运动 中，计算的结果仅是一个意义不大的粗略的平均值。 要点四、圆周运动的实例 1、水平面上的圆周运动 要点诠释： F F mg cosθ= −拉向 θsinmgF =切 2 2 ωrr v m Fa === 向 向 2 2 ωmrr vmmaF === 向向 2 2mvF F mg cos ma m rr θ ω= − = = =拉向 向 切切 mamgF == θsin 22 2 2 22 2 2 4m4mF 44 frTr frTra ππ ππ == == 向 向4 （1）圆锥摆运动：小球在细线的拉力和重力作用下的在水平面上的匀速圆周运动，如图所示： ①向心力来源：物体重力和线的拉力的合力，沿着水平方向指向圆心。 ②力学方程： ③问题讨论： a.物体加速度与夹角 的关系： ，向心加速度越大时，夹角 越大。 b.角速度与夹角 的关系： ，可见角速度越大时，夹角 越大。 （2）在水平圆盘上随圆盘一起转动物体 ①向心力的来源： 如图，在竖直方向上重力和支持力平衡，物体做圆周运动的向心力由物体所受的静摩擦力提供。 ②静摩擦力的方向： 当物体做匀速圆周运动时，这个静摩擦力沿着半径指向圆心； 当做变速圆周运动时，静摩擦力还有一个切线方向的分量存在，用来改变线速度的大小。 ③静摩擦力的变化： 当水平圆盘的转速增大时，物体受到的静摩擦力也随之增大，当物体所需要的向心力大于最大静摩擦 力时，物体将相对于圆盘滑动，变为滑动摩擦力。 2、竖直平面内的圆周运动 要点诠释： （1）汽车过拱形桥 在竖直面内的圆周运动中可以分为：匀速圆周运动和变速圆周运动。对于匀速圆周运动处理起来一般 比较方便。对于变速圆周运动，定量的计算通常是在圆周的最高点和最低点处用牛顿第二定律。例如：汽 车通过半圆的拱形桥，因为桥面对汽车提供的只能是支持力。 2 2 2 2 sin4sinsintan T lmlml vmmamg θπθωθθ ==== θ θtanga = θ θ θω cosl g= θ O F l m F 向 O1 r mg5 ①汽车在点位置Ⅰ最高时，对车由牛顿第二定律得： 为了驾驶安全，桥面对车的支持力必须大于零，即 从而解得车的速度应满足关系 （如果 ，在不计空气阻力的情况下，车将做平抛运动） ②汽车在位置Ⅱ时有 又 解得 （2）汽车通过圆弧型的凹处路面 如图在最低点处，对车运用牛顿第二定律得： 桥面对车的支持力 可见，随着车的速度增大，路面对车的支持力变大。 要点五、圆周运动中的超重与失重 1、超重与失重的判断标准 要点诠释： （1）运动物体的加速度方向向上或者有向上的分量时，物体处于超重状态，物体对水平支持面的压力大 于自身的重力。 （2）运动物体的加速度方向向下或者有向下的分量时，物体处于失重状态，物体对水平支持面的压力小 于自身的重力。 2、圆周运动中的超重与失重现象 R vmFmg N 2 =− 0NF > v gR< gRv = 2 2 N N v v mg F m mg sin F mR R θ′ ′− = ⇒ ⋅ − =径 0NF > v gR' sin< θ r mvmgFN 2 =− r mvmgFN 2 +=6 要点诠释： （1）失重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最高点附近时，向心加速度竖直向下，物体对 支持物的压力小于自身重力。 例如在拱形桥顶运动的汽车，由上面计算有 ，它对于桥面的压力小于重力。 （2）超重现象：在竖直面上的圆周运动，物体处在圆周的最低点附近时，向心加速度竖直向上，物体对 支持物的压力大于自身重力。 例如汽车通过圆弧型的凹处路面在最低点处， 桥面对车的支持力 大于自身重力。 要点五、关于离心现象 1、外力提供的向心力与做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响 要点诠释： （1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互 作用。 （2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为 r 的圆周上以速度 v 运动时，必须要这么大的一个力，才 能满足速度方向改变的要求。 （3）供需关系对物体运动的影响： 外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动； 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动 外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心 运动 2、离心现象及其运用 要点诠释： （1）被利用的离心现象： 洗衣机甩干衣服：水珠和衣服之间的附着力不足以提供水珠高速转动时需要的向心力，而做离心运动 从而脱离衣服，使得衣服变干。 离心沉淀器：悬浊液在试管中高速转动时，密度大于液体密度的小颗粒做离心运动，密度小于液体密 度的小颗粒做向心运动，从而使得液体很快被分离。 离心水泵：水在叶轮转动的作用下做离心运动，从而使得水从低处运动到高处，等等。 （2）需要防止的离心现象： 高速转动的砂轮会因为离心运动而破碎，造成事故； 火车或者汽车会因为转弯时的速度过大而出现侧滑、倾翻，造成人员伤亡等。 【典型例题】 类型一、水平面上的圆周运动 例 1、 (2015 哈尔滨校级期末)如图所示，两个质量均为 m 的小木块 a 和 b（可视为质点）放在水平圆盘 上，a 与转轴 OO’的距离为 l，b 与转轴的距离为 2l，木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的 k 倍， 重力加速度大小为 g，若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速运动，用 表示圆盘转动的角速度，下列说法 正确的是（ ） R vmmgFN 2 −= r mvmgFN 2 += ω7 A．b 一定比 a 先开始滑动 B．a、b 所受的摩擦力始终相等 C．当 时，b 开始滑动的临界角速度 D．当 时，a 所受的摩擦力大小为 【答案】AC 【解析】两个木块的最大静摩擦力相等，木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，由牛顿第二定律得： 木块所受的静摩擦力 ， 、 相等， ，所以 b 所受的静摩擦力大于 a 的静摩擦力，当圆 盘的角速度增大时 b 的静摩擦力先达到最大值，所以 b 一定比 a 先开始滑动，故 A 正确，B 错误；当 b 刚 要滑动时，有 ，解得： ，故 C 正确；以 a 为研究对象，当 时，由牛顿 第二定律知： ，可解得： ，故 D 错误。 【总结升华】木块随圆盘一起转动，静摩擦力提供向心力，而所需要的向心力大小由物体的质量、半径和 角速度决定，当圆盘转速增大时，提供的静摩擦力随之增大，当需要的向心力大于静摩擦力时，物体开始 滑动。本题的关键是正确分析木块的受力。 举一反三 【变式】原长为 L 的轻弹簧一端固定一小铁块，另一端连接在竖直轴 OO′上，小铁块放在水平圆盘上， 若圆盘静止，把弹簧拉长后将小铁块放在圆盘上，使小铁块能保持静止的弹簧的最大长度为 5L/4，现将弹 簧长度拉长到 6L/5 后，把小铁块放在圆盘上，在这种情况下，圆盘绕中心轴 OO′以一定角速度匀速转动， 如图所示．已知小铁块的质量为 m，为使小铁块不在圆盘上滑动，圆盘转动的角速度ω最大不得超过多少? 【答案】 【解析】以小铁块为研究对象，圆盘静止时：设铁块受到的最大静摩擦力为 ，由平衡条件得 ． 2 kg l ω = 2 3 kg l ω = kmg 2f m rω= m ω f r∝ 2 2kmg m lω= 2 kg l ω = 2 3 kg l ω = 2f m lω= 2 3f kmg= max 3 /(8 )k mω = maxf max / 4f kL=8 圆盘转动的角速度ω最大时，铁块受到的摩擦力 与弹簧的拉力 kx 的合力提供向心力，由牛顿第二定 律得 ． 又因为 x＝L/5． 解以上三式得角速度的最大值 ． 类型二、实际生活中的圆周运动 例 2、质量不计的轻质弹性杆 P 插入桌面上的小孔中，杆的另一端套有一个质量为 m 的小球，今使小球在 水平面内做半径为 R 的匀速圆周运动，且角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到球对其作用力的大小为 ( ) A． B． C． D．不能确定 【思路点拨】小球在重力和杆的弹力作用下在水平面内做匀速圆周运动，故小球所受合力必沿水平方向， 根据力的合成即可求出杆对小球的作用力的大小，从而得出杆受到的球的作用力的大小。 【答案】C 【解析】对小球进行受力分析，小球受两个力：一个是重力 mg，另一个是杆对小球的作用力 F，两个力的 合力产生向心力．由平行四边形定则可得： ，再根据牛顿第三定律，可知杆受到球对 其作用力的大小为 ．故选项 C 正确． 【总结升华】本题一定要弄清小球向心力的来源．另外还要注意杆提供的弹力方向可以是任何一个方向， 不一定非要沿着杆． 举一反三 【高清课程：匀速圆周运动题型分析 例 5】 【变式】铁路弯道的内外侧铁轨往往不在同一水平面上，质量为 M 的火车，以恒定的速率在水平面内沿一 段半径为 r 的圆弧道转弯，受力如图所示，已知内外铁轨的倾角为α。 （1）车的速率 v0 为多大时，使车轮对铁轨的侧压力正好为零? （2）如果火车的实际速率 v≠v0，分析铁轨对车轮的施力情况。 【答案】 类型三、动力学综合问题 maxf 2 max max(6 /5)kx f m L ω+ = max 3 /(8 )k mω = 2m Rω 2 4 2m g Rω− 2 4 2m g Rω+ 2 4 2F m g Rω= + 2 4 2F m g Rω= + 火车挤压内轨当火车挤压外轨当 ;vv;vvgrtanv 000 = α9 例 3、（（2016 江西师大附中月考）如图甲所示，水平转盘可绕竖直中心轴转动，盘上叠放着质量均为 1 kg 的 A、B 两个物块，B 物体用长为 0.25 m 的细线与固定在转盘中心处的力传感器相连，两个物块和传感 器的大小均可忽略不计，细线能承受的最大拉力为 8 N，A、B 间的动摩擦因数μ=0.4，B 与转盘问的动摩 擦因素μ1=0.1，且可认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力。转盘静止时，细线刚好伸直，力传感器的读数为 零，当转盘以不同的角速度匀速转动时，力传感器上就会显示相应的读数 F。试通过计算在图乙的坐标系 中作出 F—ω2 的图象，g 取 10 m／s2。 【解析】B 物体将发生滑动的角速度为 ， 则ω∈[0，2]时，F=0， 当 A 物体所需的向心力大于最大静摩擦力时，A 将脱离 B 物体，此时的角速度由 mω22r=μ2mg， 得 。 则 F=2mω2r―2μ1mg=0.5ω2―2（ω∈[2，4]）， ω=ω2 时绳子的张力为 F=2mω22r－2μ1mg=(2×42×0.25－2) N=6 N＜8 N， 故绳子未断，接下来随着角速度的增大，A 脱离 B 物体，只有 B 物体做匀速圆周运动， 设绳子达到最大拉力时的角速度为ω3，则 。 当角速度为ω2 时，mω22r=1×42×0.25 N=4 N＞μ1mg，即绳子产生了拉力。 则 F=mω2r－μ1mg=0.25ω2－1，ω∈[4，6]，综上所述作出 F—ω2 图象如图所示。 【点评】解决本题的关键正确地确定研究对象，搞清向心力的来源，结合临界条件，通过牛顿第二定律进 行求解。 举一反三 【高清课程：匀速圆周运动题型分析 例 8】 【变式 1】建筑工地上常使用打夯机夯实地基，如图是其结构原理图。长为 l 的连杆（质量可忽略）固定 在轮盘 A 上，轮盘 A 和连杆固定在一起可一起绕轴 O 旋转，连杆另一端固定一质量为 m 的铁块，电动机通 过皮带轮带动轮盘 A 和连杆，可在竖直平面内做圆周运动。当旋转的角速度达到一定数值，可使质量为 M （不包括铁块的质量 m）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。试分析连杆转动 的最小角速度。 1 1 2rad / sg r µω = = 2 2 4rad / sg r µω = = max 1 3 6rad / sF mg mr µω += =10 【答案】 【解析】当铁块运动到最高点时，受重力 mg 和杆的拉力 F1 作用，这两个力的合力提供铁块此时做圆周运 动所需的向心力。 当铁块的角速度逐渐增大时，所需的向心力增大，将导致拉力 F1 的增大。根据牛顿第三定律可知，此 时铁块对打夯机向上的拉力 ，所以当 时，打夯机将脱离地面。设为使打夯机脱离开 地面连杆转动的最小角速度为 ω，由牛顿第二定律： 对 M 有 对 m 有 因 由以上几式解得 ： 【变式 2】（2015 河南校级模拟）一质量为 M、倾角为 的斜面体在水平地面上，质量为 m 的小木块 （可视为质点）放在斜面上，现用一平行于斜面的、大小恒定的拉力 F 作用于小木块，拉力在斜面所在的 平面内绕小木块旋转一周的过程中，斜面体和木块始终保持静止状态，下列说法中正确的是（ ） A．小木块受到斜面的最大静摩擦力为 B．小木块受到斜面的最大摩擦力为 ml g)mM( +=ω 2 1F F= 2 1F F Mg= > 02F Mg − = 2 1F mg mlω+ = 2 1F F= ml g)mM( +=ω θ 2 2(mgsin )F θ+ sinF mg θ−11 C．斜面受到地面的最大静摩擦力为 D．斜面体受到地面的最大摩擦力为 【答案】C 【解析】当 F 沿斜面向下时，木块所受的静摩擦力最大，受力分析如图： 由平衡条件： ，故 A 正确，B 错误； 选整体为研究对象，当 F 水平时，整体所受的摩擦力最大，由平衡条件： ，即斜面所受的最大静摩 擦 力 为 F ， 故 C 正 确 ， D 错 误 。 F cosF θ sinMaxf F mg θ= + f F=12 【巩固练习】 一、选择题： 1、（2015 海口中学会考模拟）如图所示，在光滑水平面上，质量为 m 的小球在细线的拉力作用下，一速 度 做半径为 的匀速圆周运动。小球所受向心力 的大小为（ ） A． B． C． D． 2、一小球质量为 m，用长 L 的悬线固定于 O 点，在 O 点正下方 L/2 处钉有一根长钉。把悬线沿水平方向拉 直后无初速地释放，当悬线碰到钉子瞬间，则（ ） A. 小球的速度突然增大 B. 小球的向心加速度突然增大 C. 小球的角速度突然增大 D. 悬线的弹力突然增大 3、飞行员的质量为 m，驾驶飞机在竖直面内以速度 v 做匀速圆周运动，在竖直面上的圆周最高点和最低点， 飞行员对座椅的压力（ ） A. 在最低点和最高点时相等 B. 在最低点比最高点大 C. 在最低点比最高点大 D. 在最低点比最高点大 4、（2016 天津市和平区耀华中学一模试卷）如图所示，“旋转秋千”中的两个座椅 A、B 质量相等，通过 相同长度的缆绳悬挂在旋转圆盘上。不考虑空气阻力的影响，当旋转圆盘绕竖直的中心轴匀速转动时，下 列说法正确的是（ ） A．A 的速度比 B 的大 B．A 与 B 的向心加速度大小相等 C．悬挂 A、B 的缆绳与竖直方向的夹角相等 D．悬挂 A 的缆绳所受的拉力比悬挂 B 的小 5、如图所示，一小球用细绳悬挂于 O 点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以 O 点为圆心做圆 周运动，运动中小球所需的向心力是( ) A．绳的拉力 B．重力和绳拉力的合力 v r F 2vm r vm r mvr 2mvr 2 2mv R 2mg 3mg13 C．重力和绳拉力的合力沿绳方向的分力 D．绳的拉力和重力沿绳方向分力的合力 6、如图所示，一个内壁光滑的圆锥筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个质量相同的小球 A 和 B 紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动．则下列说法正确的是( ) A．球 A 的线速度必定大于球 B 的线速度 B．球 A 的角速度必定小于球 B 的角速度 C．球 A 的运动周期必定小于球 B 的运动周期 D．球 A 对筒壁的压力必定大于球 B 对筒壁的压力 7、质量为 m 的物体随水平传送带一起匀速运动，A 为传送带的终端皮带轮，如图所示，皮带轮半径为 r， 要使物体通过终端时能水平抛出，皮带轮的转速至少为( ) A． B． C． D． 8、（2016 衡水市模拟）如图所示叠放在水平转台上的小物体 A、B、C 能随转台一起以角速度ω 匀速转动，A、B、C 的质量分别为 3 m、2 m、m，A 与 B、B 与转台、C 与转台间的动摩擦因数都为μ， B、C 离转台中心的距离分别为 r、1.5 r。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，以下说法中不正确的是（ ） A．b 对 A 的摩擦力一定为 3μmg B．C 与转台间的摩擦力大于 A 与 B 间的摩擦力 C．转台的角速度一定满足： D．转台的角速度一定满足： 二、填空题： 1、一个做匀速圆周运动的物体，如果轨道半径不变，转速变为原来的 3 倍，所需的向心力就比原来大 40N，则物体原来的向心力为 ；若转速不变，轨道半径变为原来的 3 倍，所需的向心力比原来 大 40N，那么物体原来的向心力为 。 1 2 g rπ g r gr 2 gr π 2 3 g r µω ≤ 3 g r µω ≤14 2、一辆卡车，在丘陵地上以不变的速率行驶，地形如图所示，由于车轮太旧，途中“放了炮”，你认为在 图中的 A、B、C、D 四处中哪一处“放炮”的可能性最大 ？ 3、（2015 北京学业考试）如图， 一辆汽车在水平路面上行驶时对地面的压力 （选填“大 于”、“等于”或“小于”）汽车所受的重力；通过凹形路面最低处时对路面的压力 （选填“大 于”、“等于”或“小于”）汽车所受的重力。 4、如图，小球用一细绳拴住在光滑水平面上绕光滑钉 A 做匀速圆周运动，当细绳碰到左侧的光滑钉 B 后， 小球圆周运动的半径将减小。此后，小球运动的线速度的大小将________，角速度将________，周期将 ________，向心加速度将________，细绳拉力的大小将________（填“变大”、“变小”或“不变”）。 5、汽车起重机用 5m 长的绳吊着 1 吨的重物，以 2m/s 的速度水平匀速行驶，如果突然刹车汽车停止运动， 这瞬间绳子所受的拉力增加 N。 三、计算题： 1、长为 L 的细线，拴一质量为 m 的小球，一端固定于 O 点，让其在水平面内做匀速圆周运动(这种运动 通常称为圆锥摆运动)，如图所示．当摆线 L 与竖直方向的夹角为α时，求： (1)线的拉力 F； (2)小球运动的线速度的大小； (3)小球运动的角速度及周期． 2、有一种叫“飞椅”的游乐项目，示意图如图所示．长为 L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为 r 的水平转盘边缘．转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一 竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ．不计钢绳的重力，求转盘转动的角速度ω与夹角θ的关系． Ａ Ｂ15 3、如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴 OO′转动，筒内臂粗糙，筒口半径和筒高分别为 R 和 H，筒内壁 A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为 m 的小物块，求：（1）当筒不转动时，物块 静止在筒壁 A 点受到的摩擦力和支持力的大小；（2）当物块在 A 点随筒做匀速运动，且其所受到的摩擦 力为零时，筒转动的角速度． 4、质量为 m 的物体，沿半径为 R 的圆形轨道滑下，如图所示，当物体通过最低点 B 时速度为 ，已知物 体和轨道间的滑动摩擦因数为 ，求物体滑过 B 点时受到的摩擦力的大小。 5、如图所示，质量为 m 的小球沿半径为 R 的半球形碗的光滑内表面以角速度 在一水平面内做匀速圆周 运动，求小球做匀速圆周运动的水平面离碗底的高度 H。 v µ ω16 【答案与解析】 1、A 解析：根据牛顿第二定律得，小球的向心力由细线的拉力提供，则有： ，故 A 正确。 2、BCD 解析：无论是碰撞前还是碰撞后，细线拉力的方向总是与球速度的方向垂直，因此碰撞过程球的速度不发 生变化。但是小球做圆周运动的半径减小了，根据 ， 和 得，小球的向心加速 度、角速度以及向心力都增大了，选项 BCD 正确。 3、C 解析：对飞行员在最低点和最高点分别运用牛顿第二定律得 ， ，显然在 最低点的压力比在最高点的压力大，且大了 2mg，选项 C 正确。 4、D 解析：AB 两个座椅具有相同的角速度。根据公式：v=ω·r，A 的运动半径小，A 的速度就小，故 A 错误； 根据公式：a=ω2r，A 的运动半径小，A 的向心加速度就小，故 B 错误； 如图，对任一座椅，受力如图，由绳子的拉力与重力的合力提供向心力，则得：mgtanθ=mω 2r，则得 ，A 的半径 r 较小，ω相等，可知 A 与竖直方向夹角θ较小，故 C 错误； A 的向心加速度小，A 的向心力就小，A 对缆绳的拉力就小，故 D 正确，故选 D。 5、CD 解析：如图所示，对小球进行受力分析，它受重力和绳子拉力的作用，向心力是指向圆心方向的合力．因 此，可以说是小球所受合力沿绳方向的分力，也可以说是各力沿绳方向的分力的合力，选 C、D． 6、AB 解析：两球均贴着圆锥筒的内壁，在水平面内做匀速圆周运动，它们均受到重力和筒壁对它们的弹力作用。 其合力必定在水平面内时刻指向圆心，如图所示． 2vF m r = r va 2 =向 r v=ω r vmF 2 =向 r mvmgF 2 1 =− r mvmgF 2 2 =+ 2 tan r g ωθ =17 由图可知，筒壁对球的弹力为 ，对于 A、B 两球，因质量相等，θ角也相等，所以 A、B 两球受到 筒壁的弹力大小也相等，由牛顿第三定律知，A、B 两球对筒壁的压力大小也相等，D 选项不正确． 对 球 运 用 牛 顿 第 二 定 律 得 ， 球 的 线 速 度 ， 角 速 度 ，周期 ． 由此可见，球的线速度随轨道半径的增大而增大，所以 A 球的线速度必定大于 B 球的线速度，A 选项正 确．球的角速度随半径的增大而减小，周期随半径的增大而增大，所以 A 球的角速度小于 B 球的角速度， A 球的周期大于 B 球的周期，A 球的运动频率小于 B 球的运动频率，B 选项正确，C 选项不正确． 7、A 解析：恰在终端水平抛出，有 ， ， ． 8、ABD 解析：对 A 受力分析，受重力、支持力以及 B 对 A 的静摩擦力，静摩擦力提供向心力，有 f=（3m）ω2r≤μ（3m）g，故 A 错误； 由于 A 与 C 转动的角速度相同，由摩擦力提供向心力有 m×1.5 rω2＜3mrω2，即 C 与转台间的摩擦力小 于 A 与 B 间的摩擦力，故 B 错误； 对 AB 整体，有（3m+2m）ω2r≤μ（3m+2m）g…①，对物体 C 有：mω2（1.5r）≤μmg…②，对物体 A 有：3mω2r≤μ（3m）g…③，联立①②③解得： ，故 C 正确，D 错误。 本题选错误的，故选 ABD。 二、填空题： 1、5N，20N 解析： ，半径不变时，物体做匀速圆周运动的向心力与转速的平方成正比，所以转速变 为原来的 3 倍时，向心力变为原来的 9 倍，增加了 8 倍，所以 ，解得原来的向心力是 5N； 转速不变时，向心力与半径成正比，轨道半径变为原来的 3 倍时，向心力增加为原来的 3 倍，增加了 2 倍，所以 ，解得原来的向心力是 20N。 2、B 解析：设卡车的行驶速率是 v，在 A、B、C、D 各处分别对于卡车运用牛顿第二定律卡车在各点处受到的支 持力（也就是轮胎受到的压力）分别是： sin mg θ 2 2 2 2 4cot v rmg m m r mr T πθ ω= = = cotv gr θ= cotg r θω = 2 cot rT g π θ= 2 /mg mv r= v gr= 1/ 2 2 gn v r r π π= = 2 3 g r µω ≤ 2 24F m r nπ= ⋅ ⋅向 8 40F N=向 2 40F N=向18 ， ， ， 。 比较可见在 B 处轮胎受到的压力最大，所以在 B 处卡车最容易爆胎。 3、等于；大于。 解析：在平直路面行驶，在竖直方向上平衡，支持力等于重力，汽车对地面的压力等于重力。在凹形路行 驶，在最低点有： ，解得 ，则汽车对路面的压力大于重力。 4、不变、变大、变小、变大、变大 解析：细绳与光滑钉相碰时球的线速度大小 不变，但圆周运动的轨道半径 变小，由 ， 和 知 ：小球的角速度和向心加速度以及向心力（绳子上的张力）都变大，又， 因为角速度变大，周期变小。 5、800 解析：汽车突然刹车，重物从原来的匀速直线运动变为圆周运动，由原来的加速度为零变为有了向心加速 度，由牛顿第二定律知此时绳子的拉力是 ，原来绳子的拉力等于重力，所以绳子上的拉力 增加了 。 三、计算题： 1、 ； ； ， 解析：(1)小球受拉力和重力，其合力充当向心力， ， (2) ， (3) ， R mvmgFA 2 −= 2 rB mvF mg= + mgFC = αcosmgFD = 2vN mg m R − = N mg> v r r v=ω r va 2 =向 2vF F m r = =拉 向 2T π ω= mgR mvF += 2 NR mvF 800 2 ==∆ cos mgF α= tan sinv gL α α= cos g L ω α= cos2 LT g απ= cosF mgα = cos mgF α= 2 tan sin vmg m L α α= tan sinv gL α α= tan sin sin cos gLv g r L L α αω α α= = =19 ． 2、 解析：对座椅进行受力分析，如图所示． y 轴上： ， ① x 轴上： ， ② 则由 得： ， 因此 ． 3、 , ; 解析：（1）当筒不转动时，物块静止在筒壁 A 点时受到重力、摩擦力和支持力三力作用而平衡，由平衡 条件得 摩擦力的大小 ． 支持力的大小 ． （2）当物块在 A 点随筒做匀速运动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁 A 点时受到重力和支 持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω有： ． 由几何关系得 ． 联立以上各式解得 ． 2 cos2 LT g π απω= = tan sin g r L θω θ= + cosF mgθ = 2sin ( sin )F m r Lθ ω θ= + ② ① 2 ( sin )tan r L g ω θθ += tan sin g r L θω θ= + 2 2f HF mg H R = + 2 2N RF mg H R = + 2gH R ω = 2 2 sinf HF mg mg H R θ= = + 2 2 cosN RF mg mg H R θ= = + 2tan 2 Rmg mθ ω= tan H R θ = 2gH R ω =20 4、 解析：物体在最低点 B 处受到重力 mg 和竖直向上的支持力 FN 的作用， 由牛顿第二定律有 ， 由摩擦力计算公式有 解得物体在 B 点受到的摩擦力 5、 解析：设小球做圆周运动的半径为 r，小球受力分析如图： 由几何关系知道，小球受到的合力 由几何关系得到，小球做匀速圆周运动的水平面离碗底的高度是： )( 2 R mvmgF += µµ R mvmgFN 2 =− NFF µµ = )( 2 R mvmgF += µµ )R g(RH 21 ω−= 2 2 2 2 1 2 1 2 = ⋅ = = = ⋅ = = F mg tan F ( ) F m r m R sin ( ) ( )( ) mg tan m R sin gcos R θ ω ω θ θ ω θ θ ω 向 向又 联立 有： ， 解得 )1()cos1( 2 R gRRH ωθ −=−=