知识讲解 行星的运动与万有引力定律 提高

1 行星的运动、万有引力定律 【学习目标】 1．了解地心说与日心说． 2．明确开普勒三大定律，能应用开普勒三大定律分析问题． 3．知道太阳与行星间的引力与哪些因素有关．理解引力公式的含义并会推导平方反比规律． 4．理解万有引力定律的含义并掌握用万有引力定律计算引力的方法 【要点梳理】 要点一、地心说与日心说 要点诠释： 1．地心说 地球是宇宙的中心，并且静止不动，一切行星围绕地球做圆周运动． 公元 2 世纪的希腊天文学家托勒密使地心说发展和完善起来，由于地心说能解释一些天文现象，又符 合人们的日常经验(例如我们看到太阳从东边升起，从西边落下，就认为太阳在绕地球运动)，同时地心说 也符合宗教神学关于地球是宇宙中心的说法，所以得到教会的支持，统治和禁锢人们的思想达一千多年之 久． 2．日心说 16 世纪，波兰天文学家哥白尼(1473～1543 年)根据天文观测的大量资料，经过长达 40 多年的天文观 测和潜心研究，提出“日心体系”宇宙图景． 日心体系学说的基本论点有： (1)宇宙的中心是太阳，所有的行星都在绕太阳做匀速圆周运动． (2)地球是绕太阳旋转的普通行星，月球是绕地球旋转的卫星，它绕地球做匀速圆周运动，同时还跟 地球一起绕太阳运动． (3)天穹不转动，因为地球每天自西向东自转一周，造成天体每天东升西落的现象． (4)与日地距离相比，其他恒星离地球都十分遥远，比日地间的距离大得多． 随着人们对天体运动的不断研究，发现地心说所描述的天体的运动不仅复杂而且问题很多．如果把地 球从天体运动的中心位置移到一个普通的、绕太阳运动的行星的位置，换一个角度来考虑天体的运动，许 多问题都可以解决，行星运动的描述也变得简单了．因此日心说逐渐被越来越多的人所接受，真理最终战 胜了谬误． 注意：古代的两种学说都不完善，太阳、地球等天体都是运动的，鉴于当时自然科学的认识能力，日 心说比地心说更先进，日心说能更完美地解释天体的运动．以后的观测事实表明，哥白尼日心体系学说有 一定的优越性．但是，限于哥白尼时代科学发展的水平，哥白尼学说存在两大缺点：①把太阳当做宇宙的 中心．实际上太阳仅是太阳系的中心天体，而不是宇宙的中心．②沿用了行星在圆形轨道上做匀速圆周运 动的陈旧观念．实际上行星轨道是椭圆的，行星的运动也不是匀速的． 要点二、开普勒发现行星运动定律的历史过程 要点诠释： (1)丹麦天文学家第谷连续 20 年对行星的位置进行了精确的测量，积累了大量的数据．到 1601 年他逝 世时，这些耗尽了他毕生心血获得的天文资料传给了他的助手德国人开普勒． (2)开普勒通过长时间的观察、记录、思考与计算，逐渐发现哥白尼把所有行星运动都看成是以太阳为 圆心的匀速圆周运动似乎简单了一些，因为它与实际观察到的数据有着不小的出入． (3)开普勒承担了准确地确定行星轨道的任务，他仔细研究了第谷对行星位置的观测记录，经过四年多 的刻苦计算，所得结果与第谷的观测数据至少有 8′的角度误差，那么这不容忽视的 8′可能就是人们认 为行星绕太阳做匀速圆周运动所造成的．最后开普勒发现行星运行的真实轨道不是圆，而是椭圆，并于 1609 年发表了两条关于行星运动的定律． (4)开普勒在发表了第一定律和第二定律后，进一步研究了不同行星的运动之间的相互关系，在 1619 年又发表了行星运动的第三条定律．2 开普勒提出描述行星运动的规律，使人类的天文学知识提高了一大步，他被称为“创制天空法律者”． 要点三、开普勒的行星运动定律 要点诠释： (1)开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上．不同行星椭圆轨道则是不同 的． 开普勒第一定律说明了行星的运动轨道是椭圆，太阳在此椭圆的一个焦点上，而不是位于椭圆的中 心．不同的行星位于不同的椭圆轨道上，而不是位于同一椭圆轨道，再有，不同行星的椭圆轨道一般不在 同一平面内． (2)开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 如图所示，行星沿着椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上． 如果时间间隔相等，即 t2－t1＝t4－t3 如，那么 SA＝SB，由此可见，行星在远日点 a 的速率最小，在近 日点 b 的速率最大． (3)开普勒第三定律(周期定律) 所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等．若用 a 代表椭圆轨道的半 长轴，T 代表公转周期，即 (其中，比值 k 是一个与行星无关的常量) 要点四、对行星运动规律的理解 要点诠释： (1)开普勒第二定律可以用来确定行星的运行速率．如图所示，如果时间间隔相等，即 t2－t1＝t4－t3， 由开普勒第二定律，面积 A＝面积 B，可见离太阳越近，行星在相等时间内经过的弧长越长，即行星的速 率就越大． (2)开普勒三定律不仅适用于行星，也适用于其他天体，例如对于木星的所有卫星来说，它们的 一 定相同，但常量 k 的值跟太阳系各行星绕太阳运动的 k 值不同．以后将会证明，开普勒恒量 k 的值只跟(行 星运动时所围绕的)中心天体的质量有关． (3)要注意长轴是指椭圆中过焦点与椭圆相交的线段，半长轴即长轴的一半，注意它和远日点到太阳 的距离不同． (4)由于大多数行星绕太阳运动的轨道与圆十分接近，因此，在中学阶段的研究可以按圆周运动处理， 这样开普勒三定律就可以这样理解： ①大多数行星绕太阳运动的轨道十分接近圆，太阳处在圆心； 3 2 a kT = 3 2 a T3 ②对某一行星来说，它绕太阳做圆周运动的速率不变，即行星做匀速圆周运动； ③所有行星轨道半径的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即 ．如绕同一中心天 体运动的两颗行星的轨道半径分别为 R1、R2，公转周期分别为 T1、T2，则有 ． 要点五、太阳与行星间引力的推导 要点诠释： (1)假设地球以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向 心力．设地球的质量为 m，运动线速度为 v，地球到太阳的距离为 r，太阳的质量为 M．则由匀速圆周运 动的规律可知 ， ① ． ② 由①②得 ． ③ 又由开普勒第三定律 ， ④ 由③④式得 ， ⑤ 即 ． ⑥ 这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比． (2)根据牛顿第三定律，力的作用足是相互的，且等大反向，因此地球对太阳的引力 F′也应与太阳的 质量成正比，且 F′＝-F． 即 ． ⑦ (3)比较⑥⑦式不难得出 ，写成等式 ，式中 G 是比例系数，与太阳、行星无 关． 注意：在中学阶段只能将椭圆轨道近似成圆形轨道来推导引力公式，但牛顿是在椭圆轨道下推导引力 表达式的． 要点六、月—地检验 要点诠释： (1)牛顿的思路：地球绕太阳运动是因为受到太阳的引力，人跳起后又能落回地球是因为人受到地球 的引力．这些力是否是同一种力?是否遵循相同的规律?实践是检验真理的唯一标准，但在当时的条件下很 难通过实验来验证，这就自然想到了月球． (2)月一地检验的基本思想：如果重力和星体间的引力是同一性质的力，都与距离的二次方成反比关 3 2 R kT = 3 3 1 2 2 2 1 2 R R T T = 2mvF r = 2 rv T π= 2 2 4 mrF T π= 3 2 rT k = 2 24 mF k r π= 2 mF r ∝ 2 MF r ′ ∝ 2 MmF r ′ ∝ 2 MmF G r =4 系，那么月球绕地球做近似圆周运动的向心加速度就应该是地面重力加速度的 1/3600，因为月心到地心的 距离约为地球半径的 60 倍． (3)检验过程：牛顿根据月球的周期和轨道半径，计算出月球围绕地球做圆周运动的向心加速度 ． —个物体在地面的重力加速度为 g＝9.8m/s2，若把这个物体移到月球轨道的高度，根据开普勒第三定 律可以导出 ．因为月心到地心的距离是地球半径的 60 倍， ． 即其加速度近似等于月球的向心加速度的值． (4)检验结果：月球围绕地球做近似圆周运动的向心加速度十分接近地面重力加速度的 1/3600，这个 重要的发现为牛顿发现万有引力定律提供了有力的证据，即地球对地面物体的引力与天体间的引力，本质 上是同一性质的力，遵循同一规律． 要点七、万有引力定律 要点诠释： 1.内容 自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小 F 与这两个物体质 量的乘积 成正比，与这两个物体间距离 r 的平方成反比。 2.公式 ，其中 G 为万有引力常量， 3.适用条件 适用于相距很远，可以看作质点的物体之间的相互作用。质量分布均匀的球体可以认为质量集中于球 心，也可以用此公式计算，其中 r 为两球心之间的距离。 4.重力与万有引力的关系 在地球(质量为 M)表面上的物体所受的万有引力 F 可以分解成物体所受的重力 mg 和随地球自转而做 圆周运动的向心力 ，其中 ，而 。 （1）当物体在赤道上时 F 、 mg 、 三 力 同 向 ， 此 时 达 到 最 大 值 ， 重 力 加 速 度 达 到 最 小 值 （2）当物体在两极的极点时， ，此时重力等于万有引力 ，重力加速度达到最大值，此最 大值为 。 （3）因地球自转角速度很小， ，所以在一般情况下进行计算时认为 。 【典型例题】 2 3 2 2 4 2.7 10 m / sra T π −= = × 3 2 2 2 2 1 1, ,r ra a k ar T T r  ∝ ∝ = ∝   而 则 3 2 2 1 2.72 10 m /s60a g −= = × 1 2m m 1 2 2 m mF G r = 11 2 26.67 10 /G N m kg−= × ⋅ F′ 2R MmGF = 2ωmrF =′ F′ F′ 2 max ωmRF =′ 2 2min ωRR MGm FFg −=′−= 0F′ = F mg= 2max R MGg = 2 2 ωmRR MmG >> 2R MmGmg =5 类型一、对开普勒定律的考查 例 1、 (2015 浙江校级二模)假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为 4200km 的赤道上空绕地球做 匀速圆周运动，地球半径约为 6400km，地球同步卫星距地面高度为 36000km，宇宙飞船和地球同步卫星 绕地球同向运动，每当两者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送 到地面接收站，某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为 （ ） A．4 次 B．6 次 C．7 次 D．8 次 【答案】C 【思路点拨】当它们从距离最远到距离最近，转动的角度相差 （n=0,1,2,3……） 【解析】根据开普勒第三定律 ，其中 ，故 ，已知地 球同步卫星的运行周期为 24h，因而载人宇宙飞船的运行周期 ，由匀速圆周的角速度 可分别得，宇宙飞船的角速度为 ，同步卫星的角速度为 ，若追击距离为一 个半圆，则所需追击时间为 ，此后若追击距离变为一个圆周，则追击时间 ，依次类推： （n=0,1,2,3……）可得到 24h 内共 用时 完成追击 7 次 【总结升华】首先运用开普勒第三定律求解出同步卫星与宇宙飞船的周期之比，再根据它们之间的角 度差计算出 24h 以内的所有的追击时间，最后统计追击次数。 例 2、（2016 保定校级月考）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持 无线电通讯，目前地球同步卫星的轨道半径为地球半径的 6.6 倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅用三 颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为（　　） A．1h B．4h C．8h D．16h 【思路点拨】明确同步卫星的性质，知道其转动周期等于地球的自转周期，从而明确地球自转周期减 小时，地球同步卫星的运动周期减小，当运动轨迹半径最小时，周期最小．由三颗同步卫星需要使地球赤 道上任意两点之间保持无线电通讯可求得最小半径，再结合开普勒第三定律可求周期． 【答案】B 【解析】设地球的半径为 R，则地球同步卫星的轨道半径为 r=6.6R 已知地球的自转周期 T=24h， 地球同步卫星的转动周期与地球的自转周期一致，若地球的自转周期变小，则同步卫星的转动周期变 小． 由 公式可知，做圆周运动的半径越小，则运动周期越小． 由于需要三颗卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，所以由几何关系可知三颗同步卫星的 连线构成等边三角形并且三边与地球相切，如图． 由几何关系可知地球同步卫星的轨道半径为 r′=2R． 2nπ π+ 3 2 1 1 3 2 2 2 R T R T = 1 2 4200 6400 1 36000 6400 4 R km km R km km += =+ 1 2 1 8 T T = 1 24 38T h h= = 2 T πω = 2 /3 rad h π /12 rad h π 1 12 2 7( )3 12 t h h π π π= = − 2 2 24 2 7( )3 12 t h h π π π= = − ( 2 ) 12(2 1) 2 7( )3 12 n n nt h h π π π π + += = − 156 7 h 2 2 2 4GMm RmR T π=6 由开普勒第三定律 得： 故 B 正确，ACD 错误； 故选：B． 【点评】本题考查开普勒第三定律以及同步卫星的性质，要注意明确题目中隐含的信息的判断是本题 解题的关键． 举一反三 【高清课程：行星的运动 例 3】 【变式 1】地球赤道上的物体 A，近地卫星 B（轨道半径等于地球半径），同步卫星 C，若分别用 rA、 rB 、r C ；T A 、T B 、T C ；v A 、v B 、v C ；分别表示三者离地心距离，周期，线速度，则三者的大小关 系 ， ， ； 【答案】rA=rBTB ， vB>vC>vA 【高清课程：行星的运动 例 1】 【变式 2】宇宙飞船围绕太阳在近似圆形的轨道上运动，若轨道半径是地球轨道半径的 9 倍，则宇宙 飞船绕太阳运行的周期是 （ ） A．3 年 B．9 年 C．27 年 D．81 年 【答案】C 类型二、太阳与行星间引力的考查 例 3、已知太阳光从太阳射到地球需要 500s，地球绕太阳的公转周期约为 3.2×107s，地球的质量约 为 6×1024kg，求太阳对地球的引力为多大?(结果保留一位有效数字) 【思路点拨】地球绕太阳公转，由太阳对地球的引力提供向心力。 【解析】地球绕太阳做椭圆运动，由于椭圆非常接近圆轨道，所以可将地球绕太阳的运动看成匀速圆 周运动，需要的向心力由太阳对地球的引力提供，即 ． 因为太阳光从太阳射到地球用的时间为 500s，所以太阳与地球间的距离 R＝ct(c 为光速)，所以 ． 代入数据得 F＝3×1022N． 【总结升华】在有的物理问题中，所求量不能直接用公式进行求解，必须利用等效的方法间接求解， 这就要求在等效替换中建立一个合理的物理模型，利用相应的规律。寻找解题的途径． 举一反三 【变式】下列说法正确的是( ) 3 2 r kT = 3 3 3 3 ' (2R)' 24 4(6.6R) rT T hr = = ≈ 2 2 2 4F mR mR T πω= = 2 24 /F mct Tπ=7 A．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 ，这个关系式实际上是牛顿第二定 律，是可以在实验室中得到验证的 B．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 ，这个关系式实际上是匀速圆周运动 的一个公式，它是由速度的定义式得来的 C．在探究太阳对行星的引力规律时，我们引用了公式 ，这个关系式是开普勒第三定律，是可 以在实验室中得到证明的 D．在探究太阳对行星的引力规律时，使用的三个公式，都是可以在实验室中得到证明的 【答案】A、B 【解析】开普勒的三大定律是总结行星运动的观察结果而总结归纳出来的规律，每一条都是经验定律， 都是从观察行星运动所取得的资料中总结出来的，故开普勒的三大定律都是在实验室无法验证的规律． 【总结升华】物理公式的推导是由已知的公式规律在满足一定的条件下推导新的理论方式的一类问题， 在公式的推导分析中注意公式的成立条件是关键． 类型三、对万有引力定律的考查 例 4、如图所示，在一个半径为 R，质量为 M 的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为 的球 形空穴后，剩余的阴影部分对位于球心和空穴中心连线上，与球心相距 d 的质点 m 的引力是多大？ 【思路点拨】此题可用补偿法，将挖去的部分填补上，变成匀质球后，由万有引力公式可求解，再根 据力的合成与分解求剩余部分对 m 的引力。 【解析】把整个球体对质点的引力 F 看成是挖去的小球体对质点的引力 和剩余部分对质点的引力 之和，即 填补上空穴的完整球体对质点 m 的引力 挖去的半径为 的小球体的质量为 ，则 2mvF r = 2 rv T π= 3 2 r kT = 2 R 1F 2F 1 2F F F= + 2 MmF G d = 2 R M ′ 3 34 1 4 1( )3 2 8 3 8 RM R Mρ π ρ π′ = = =8 挖去球穴后的剩余部分对球外质点 m 的引力 【总结升华】物体不能看作质点时，不能应用万有引力公式求解，想办法建立理想模型后再应用公式 求解。万有引力遵循力的合成与分解原则。 举一反三 【变式】如图所示，一个质量为 M 的匀质实心球，半径为 R．如果从球上挖去一个直径为 R 的球， 放在相距为 d 的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大? (1)从球的正中心挖去； (2)从与球面相切处挖去； 并指出在什么条件下，两种计算结果相同? 【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系 ，两部分的质量分别为 ， ． (1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为 ． (2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将 M′ 转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球 M，这时，两者之间的引力为 ． 由于填补空心球而增加的引力为 ， 所以，这时 M′与 m 之间的引力为 ， 当 d 远大于 R 时，M′可以视为质点．这时，引力变为 ． 1 2 2 F ( ) 8( )2 2 M m MmG GR Rd d ′= = − − 2 2 2 1 2 2 7 8 2 2 (2 ) d dR RF F F GMm d d R − += − = − 3 34 3M r rπ ρ= ∝ 8 Mm = 7 8 MM ′ = 2 1 2 2 7 64 M m MF G Gd d ′= = 2 2 2 1 8 Mm MF G Gd d = = 2 2 2 1 ( / 2) 64 ( / 2) mm MF G Gd R d R = =− −△ 2 2 2 2 1 1 1 8 8( / 2)F F F GM d d R  = − = − −  △ 2 2 2 12 2 2 1 1 1 7 8 8 64 MF F F GM G Fd d d  = − = − = =  △9 即这时两种计算结果相同． 【总结升华】万有引力定律表达式 只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是 质量分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺 失”球间的引力． 例 5、（2014 课标 II 高考）假设地球可视为质量均匀分布的球体。已知地球表面重力加速度在两极 的大小为 ，在赤道上的大小为 ；地球自转周期为 T，引力常量为 G。地球的密度（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在地球两极处： ；在赤道处： ，故 ， 则 【总结升华】解决此题的关键明确地球表面的物体所受的万有引力与重力的区别，在地球表面的物体 所受的重力随纬度的不同而不同。在地球两极所受的重力大，赤道处所受重力小。 例 6、宇航员站在一星球表面上某高处，沿水平方向抛出一个小球，经过时间 t 小球落到星球表面， 测得抛出点与落地点之间的距离为 L，若抛出时的初速度增大为原来的 2 倍，则抛出点与落地点之间的距 离为 ．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G，求该星球的质量 M． 【解析】设抛出点的高度为 h，第一次水平位移为 x，则 ． ① 同理对于第二次平抛过程有 ． ② 由①②解得 ． ③ 设该行星上重力加速度为 g，由平抛运动规律得： ． ④ 由万有引力定律与牛顿第二定律得： ． ⑤ 由③④⑤可解得出： ． 【总结升华】本题是平抛与万有引力的综合应用，同学们一定要找到它们之间的联系(中间桥梁)—— 2 GMmF r 0g g 0 2 0 3 g g GT g π − 0 2 0 3 g GT g g π − 2 3 GT π 0 2 3 g GT g π 02 MmG mgR = 2 2 2 4MmG mg m RR T π− = 2 0 2 (g g)T 4R π −= 2 0 0 0 2 3 3 0 3 3 4 4 4 3 3 R g g g gM G RG GT gR R πρ ππ π −= = = = 3L 2 2 2x h L+ = 2 2 2(2 ) ( 3 )x h L+ = 3 Lh = 21 2h gt= 2 MmG mgR = 2 2 2 3 3 LRM Gt =10 重 力 加 速 度 ．11 【巩固练习】 一、选择题： 1．把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周，由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( ) A．火星和地球的质量之比 B．火星和太阳的质量之比 C．火星和地球到太阳的距离之比 D．火星和地球绕太阳运行速度大小之比 2．两个行星的质量分别为 m1 和 m2，绕太阳运行的轨道半径分别是 r1 和 r2，若它们只受太阳引力的作用， 那么这两个行星的向心加速度之比为( ) A．1 B． C． D． 3．把行星运动近似看做匀速圆周运动以后，开普勒第三定律可写为 ，由此可推得( ) A．行星受太阳的引力为 B．行星受太阳的引力都相同 C．行星受太阳的引力 D．质量越大的行星受太阳的引力一定越大 4、（2016 南通模拟）2015 年 7 月 14 日，“新视野”号太空探测器近距离飞掠冥王星，如图所示．在此过 程中，冥王星对探测器的引力（　　） A．先变大后变小，方向沿两者的连线指向冥王星 B．先变大后变小，方向沿两者的连线指向探测器 C．先变小后变大，方向沿两者的连线指向冥王星 D．先变小后变大，方向沿两者的连线指向探测器 5.有一星球的密度和地球密度相同，但它表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的 4 倍，则该星球的 质量为地球的质量的（ ） A．1/4 B．4 倍 C．16 倍 D．64 倍 6.两个质量均为 M 的星体，其连线的垂直平分线为 AB。O 为两星体连线的中点，如图所示，一个质量为 M 的物体从 O 沿 OA 方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是（ ） A．一直增大 B．一直减小 C．先减小，后增大 D．先增大，后减小 7.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为 390，月球绕地球旋转的周期约为 27 天。利用上述数据 以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为（ ） A．0.2 B.2 C．20 D．200 1 1 2 2 m r m r 1 2 2 1 m r m r 2 2 2 1 r r 3 2 r kT = 2 mF k r = 2 24 mF k r π= O A M M B12 8、（2016 怀化模拟）如图所示为某行星绕太阳运动的轨迹示意图，其中 P、Q 两点是椭圆轨迹的两个焦 点，若太阳位于图中 P 点，则关于行星在 A、B 两点速度的大小关系正确的是（　　） A．vA＞vB B．vA＜vB C．vA=vB D．无法确定 9.银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体 和 构成，两星在相互之间的万有 引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动。由天文学观测得其周期为 T， 到 C 点的距离为 ， 和 的距离为 ，已知万有引力常量为 G。由此可求出 的质量为（ ） A． B． C． D． 二、计算题： 1、（2014 咸宁期末）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴 a 的三次方与 它的公转周期 T 的二次方成正比，即 ，k 是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕太阳的运动按 圆周运动处理，请你推倒出太阳系中该常量 k 的表达式。已知万有引力常量 G，太阳质量为 。 2.宇航员站在星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一小球。经过时间 t，小球落回到星球表面，测得抛 出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为 。已 知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常量为 G。求该星球的质量 M。 3.两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现 测得两星中心相距 R，其运动周期为 T，求两星的总质量。 4.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 。 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。 （引力常量为 ） 5．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表面以相同 的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度 g＝10 m/s2，空气阻 力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度 g′； (2) 已 知 该 星 球 的 半 径 与 地 球 半 径 之 比 为 : ＝ 1:4 ， 求 该 星 球 的 质 量 与 地 球 质 量 之 比 1S 2S 1S 1r 1S 2S r 2S 2 2 1 2 4 ( )r r r GT π − 2 3 1 2 4 r GT π 2 3 2 4 r GT π 2 2 1 2 4 r r GT π 3 2 a kT = M太 L3 1 30T s= 11 2 26.67 10 /G N m kg−= × ⋅ R星 R地13 : ． 6．某宇航员在飞船发射前测得自身连同宇航服等随身装备共重 840 N，在火箭发射阶段，发现当飞船随火 箭以 a＝g/2 的加速度匀加速竖直上升到某位置时(其中 g 为地球表面处的重力加速度)，其身下体重测试 仪的示数为 1220 N．没地球半径 R＝6400km，地球表面重力加速度 g 取 10 m/s 2(求解过程中可能用到 ， )．问： (1)该位置处的重力加速度 g′是地面处重力加速度 g 的多少倍? (2)该位置距地球表面的高度 h 为多大? M星 M地 19 1.0318 = 21 1.0220 =14 【答案与解析】 一、选择题： 1．C、D 解析：由于火星和地球均绕太阳做匀速圆周运动，由开普勒第三定律 ，k 为常量，又 ，则 可知火星和地球到太阳的距离之比和两者的运行速度大小之比，所以 C、D 选项正确． 2．D 解析：设行星 m1、m2 的向心力分别是 F1、F2，由太阳与行星间的作用规律可得， ， ， 而 ， ，故 ，D 选项正确． 3．C 解析：行星受太阳的引力提供其绕太阳做匀速圆周运动的向心力，则 ，又 ，结合 可得出 F 的表达式． 4、A 解析：根据万有引力定律 ，万有引力与物体之间的距离的二次方成反比，故在探测器飞掠冥 王星的过程中，随着它与冥王星间距离 r 先减小，后增大，那么冥王星对探测器的引力先变大，后变小， 而引力的方向沿两者的连线指向冥王星．故 A 正确，BCD 错误． 故选：A． 5.D 解析：由 得 ，又因为 ，所以 ，所以星球的半径为地球半 径的 4 倍，质量为地球质量的 64 倍。 6.D 解析：物体在 O 点受到两个星球的万有引力的合力为零，在 OA 线上，离 O 点比较近时，两个万有引力的 合力向下，到无穷远处位置，两个引力的合力为零，所以沿 OA 方向，引力的合力先增大后减小。故 D 选 项正确。 7.B 解析：太阳对地球的引力 ， 太阳对地球的引力等于地球绕日旋转的向心力， ， 3 2 r kT = 2 rv T π= 1 1 2 1 mF r ∝ 2 2 2 2 mF r ∝ 1 1 1 Fa m = 2 2 2 Fa m = 2 1 2 2 2 1 a r a r = 2mvF r = 2 rv T π= 3 2 r kT = 2 mMF G r = mgr MmG = 2 2r GMg = 3 3 4 rM πρ= rGg ρπ 3 4= O A M M B 2F MmG R = 地 日 2 2 2 4 RT MmG mR π=地 地 地15 联立得 同理可得地球对月球的引力 ， 二力的比值 ， 故 B 选项正确。 8、A 解析：根据开普勒第二定律，也称面积定律：在相等时间内，太阳和运动着的行星的连线所扫过的面积都 是相等的． 由扇形面积 知半径长的对应的弧长短，由 知行星离太阳较远时速率小，较近时 速率大．即行星在近日点的速率大，远日点的速率小．故 A 正确，BCD 错误 故选；A 9.D 解析：设 和 两星体的质量分别为 ，根据万有引力定律和牛顿第二定律得： 对 有 解之得 ，故选项 D 正确。 总结：对于双星欲求 的质量，要以 为研究对象。 二、计算题： 1、 解析：因行星绕太阳作匀速圆周运动，于是轨道的半长轴 a 即为轨道半径 r，根据万有引力定律和牛顿第 二定律： ，于是有： ，即 2. 解析：设抛出点的高度为 h，第一次平抛的水平射程为 x，则有： 由平抛运动规律可知，当初速度增大到 2 倍，其水平射程也增大到 2 倍，可得 解得： 设该星球上的重力加速度为 g，由平抛的运动规律得 2 2 4F m RT π 日 地 地 ＝ 2 2 4F m rT π 月地 月 ＝ 2 2 2.13 2T TF R r = ≈月日 地 地 ＝ F 1 2s lr= lv t = 1S 2S 1 2m m、 1S 21 2 1 12 2( )m mG m rr T π= 2 2 1 2 2 4 r rm GT π= 1S 2S 2k= 4 G Mπ 太 2 2 2 4GM m m rr T π=太 行 行 3 2 2 r =T 4 G Mπ 太 3 2 2 rk= =T 4 G Mπ 太 2 2 3 32 Gt LRM = 222 Lhx =+ 222 )3()2( Lhx =+ Lh 3 3= 2 2 1 gth =16 由万有引力定律与牛顿第二定律，得 ，式中 m 为小球的质量。 联立上述各式可得： 3. 解析：设两星质量分别为 。都绕连线上 O 点做周期为 T 的圆周运动，星球 1 和星球 2 到 O 点的距 离分别为 。由万有引力定律和牛顿第二定律及几何条件可得： 联立解得 4. 解析：设中子星的密度为 ，质量为 M，半径为 R，自转角速度为 ，位于赤道处的小物块的质量为 m， 则有 又 由以上各式得 代入数据可得 5． 解析：(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为： ． ① 在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为： ． ② mgR MmG = 2 2 2 3 32 Gt LRM = 2 3 1 2 2 4M +M R GT π= 1 2M M、 1 2l l、 21 2 1 12 2( )M MG M lR T π= 21 2 2 22 2( )M MG M lR T π= 1 2l l R+ = 2 3 1 2 2 4M +M R GT π= 14 31.27 10 /kg mρ = × ρ ω 2 2 MmG m RR ω= 2 T πω = 34 3M Rπ ρ= 2 3 GT πρ = 14 31.27 10 /kg mρ = × 21 2m / s5g g′ = = 1 80M M =星 地: : 02vt g = 025 vt g = ′17 所以 ． (2)星球表面物体所受重力等于其所受星球的万有引力，则有 ， 所以 ，可解得： ． 6． 128 km 解析：(1)飞船起飞前，对宇航员受力分析有 G＝mg，得 m＝84 kg．在 h 高度处对宇航员受力分析，应用 牛顿第二定律有 ，得 ． (2)根据万有引力定律公式，在地面处有 ，在 h 高度处有 ．解以上两 式得 h＝0.02R＝128 km． 21 2m / s5g g′ = = 2 Mmmg G R = 2gRM G = 1 80M M =星 地: : 20 21 g g ′ = F mg ma′− = 20 21 g g ′ = 2 MmG mgR = 2( ) MmG mgR h ′=+