知识讲解 万有引力理论的成就 提高

1 万有引力理论的成就 【学习目标】 1．了解万有引力定律在天文学上的重要应用． 2．会用万有引力定律计算天体的质量． 3．理解并运用万有引力定律处理天体问题的思路、方法． 【要点梳理】 要点一、万有引力与重力 要点诠释： 地球对物体的引力是物体受到重力的根本原因，但重力又不完全等于引力．这是因为地球在不停地自 转，地球上的一切物体都随着地球的自转而绕地轴做匀速圆周运动，这就需要向心力．这个向心力的方向 是垂直指向地轴的，它的大小是 ，式中的 r 是物体与地轴的距离，ω是地球自转的角速度．这 个向心力来自哪里?只能来自地球对物体的引力 F，它是引力 F 的一个分力，如图所示，引力 F 的另一个分 力才是物体的重力 mg． 在不同纬度的地方，物体做匀速圆周运动的角速度ω相同，而圆周的半径 r 不同，这个半径在赤道处 最大，在两极最小(等于零)．纬度为α处的物体随地球自转所需的向心力 (R 为地球半 径)．由公式可见，随着纬度的升高，向心力将减小，作为引力的另一个分量，重力则随纬度的升高而增 大，在两极处 r＝Rcos90°＝0， ，所以在两极，引力等于重力．在赤道上，物体的重力、引力和 向心力在一条直线上，方向相同，此时重力等于引力与向心力之差，即 ．此时重力最 小．从图中还可以看出重力 mg 一般并不指向地心，只有在南北两极和赤道上重力 mg 才指向地心． (1)重力是由万有引力产生的，重力实际上是万有引力的一个分力，物体的重力随其纬度的增大而增 大，并且除两极和赤道上外，重力并不指向地心． (2)物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略计算中， 可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的万有引力，即 ． 要点二、天体质量计算的几种方法 要点诠释： 万有引力定律从动力学角度解决了天体运动问题．天体运动遵循与地面上物体相同的动力学规律．行 星(或卫星)的运动可视为匀速圆周运动，由恒星对其行星(或行星对其卫星)的万有引力提供向心力． 运用万有引力定律，不仅可以计算太阳的质量，还可以计算其他天体的质量．下面以地球质量的计算 为例，介绍几种计算天体质量的方法． (1)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 r，根据万有引力等于向心力，即 ，可求得地球的质量 2F mrω=向 2 cosF mRω α=向 0F =向 2 Mmmg G FR = − 向 2 Mmmg G R = 2 2 2GM m m rr T π =    月地 月2 ． (2)若已知月球绕地球做匀速圆周运动的半径 r 和月球运行的线速度 v，由于地球对月球的引力等于月 球做匀速圆周运动的向心力，得 ． 可得地球的质量为 ． (3)若已知月球运行的线速度 v 和运行周期 T，由于地球对月球的引力等于月球做匀速圆周运动的向心 力，得 ， ． 以上两式消去 r，解得 ． (4)若已知地球的半径 R 和地球表面的重力加速度 g，根据物体的重力近似等于地球对物体的引力， 得 ，解得地球的质量为 ． 要点三、天体密度的计算 要点诠释： (1)利用天体表面的重力加速度来求天体的自身密度． 由 和 ， 得 ． 其中 g 为天体表面的重力加速度，R 为天体半径． (2)利用天体的卫星来求天体的密度． 设卫星绕天体运动的轨道半径为 r，周期为 T，天体半径为 R，则可列出方程： ， ， 得 ． 2 3 2 4 rM GT π=地 2 2 M m vG mr r =月地 月 2 /M rv G=地 2 M mG m vr T π2=月地 月 2 2 /M mG m v rr =月地 月 3 /(2 )M v T Gπ=地 2 M mmg G R = 地 2R gM G =地 2 GMmmg R = 34 3M Rρ π= 3 4 g GR ρ π= 2 2 2 4MmG m rr T π= 34 3M Rρ π= 2 3 2 3 2 3 3 3 4 / 3 4 4 3 3 M r GT r GT RR R π πρ π π = = =3 当天体的卫星环绕天体表面运动时，其轨道半径 r 等于天体半径 R，则天体密度为 ． 要点四、发现未知天体 要点诠释： 发现海王星 天王星的“出轨”现象，激发了法国青年天文学家勒维耶和英国剑桥大学学生亚当斯的浓厚兴趣．勒 维耶经常到巴黎天文台去查阅天王星观察资料，并把这些资料跟自己理论计算的结果对比．亚当斯也不断 到剑桥大学天文台去，他还得到一份英国皇家格林尼治天文台的资料，这使他的理论计算能及时跟观察资 料比较他们两人根据自己的计算结果，各自独立地得出结论：在天王星的附近，还有一颗新的行星！ 1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发 现的行星”．这就是海王星． 凭借着万有引力定律，通过计算，在笔尖下发现了新的天体，这充分地显示了科学理论的威力． 要点五、解决天体运动问题的基本思路 要点诠释： (1)将行星绕恒星的运动、卫星绕行星的运动均视为匀速圆周运动，所需向心力是由万有引力提供 的．根据圆周运动的知识和牛顿第二定律列式求解有关天体运动的一些物理量，有如下关系： ． 若已知环绕中心天体运动的行星(或卫星)绕恒星(或行星)做匀速圆周运动的周期为 T，半径为 r，根 据万有引力提供向心力可知： ，得恒星或行星的质量 ． 此种方法只能求解中心天体的质量，而不能求出做圆周运动的行星或卫星的质量． (2)若已知星球表面的重力加速度 g′和星球的半径，忽略星球自转的影响，则星球对物体的万有引力 等于物体的重力，有 ，所以 ． 其中 是在有关计算中常用到的一个替换关系，被称为“黄金代换”． 【典型例题】 类型一、万有引力的计算 例 1、已知地球的质量大约是 M＝6.0×1024kg，地球的平均半径为 R＝6370 km，地球表面的重力加 速度 g 取 9.8 m/s2．求： (1)地球表面一质量为 10 kg 的物体受到的万有引力； (2)该物体受到的重力； (3)比较说明为什么通常情况下重力可以认为等于万有引力． 【思路点拨】明白重力与万有引力的关系是解决问题的关键。 【解析】(1)由万有引力定律得： ，代入数据得：F＝98.6 N． (2)该物体受到的重力为 mg＝98N． 2 3 GT πρ = 2 2 2 2 2 4Mm vG ma m mr m v mrr r T πω ω= = = = =向 2 2 2 4MmG mrr T π= 2 3 2 4 rM GT π= 2 MmG mgR ′= 2g RM G ′= 2GM g R′= 2 MmF G r =4 (3)比较结果万有引力比重力大．原因是在地球表面上的物体所受万有引力可分解为重力和随地球自 转所需的向心力．但计算结果表明物体随地球自转所需向心力远小于它受到的万有引力，所以通常情况下 可认为重力等于万有引力． 【点评】重力是由万有引力产生的，它与万有引力能不能视为相等，关键要看题目的条件． 举一反三 【变式】 (2015 山东学业水平检测)要使可视为质点的两物体间万有引力减小到原来的 ，可采取的 方法是（ ） A．两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的 B．两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 C．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 D．两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 2 倍 【答案】B 【解析】根据 知，两物体间距离保持不变，两物体的质量均减为原来的 ，则万有引力 减为原来的 ，故 A 错误；两物体间距离保持不变，仅一个物体的质量减为原来的 ，则万有引力减为 原来的 ，故 B 正确；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 ，则万有引力变为原来的 4 倍， 故 C 错误；两物体质量均不变，两物体间的距离变为原来的 2 倍，则则万有引力减为原来的 ，故 D 错 误。 类型二、补偿法计算万有引力 例 2、如图所示，一个质量为 M 的匀质实心球，半径为 R．如果从球上挖去一个直径为 R 的球，放在 相距为 d 的地方．求下列两种情况下，两球之间的引力分别是多大? (1)从球的正中心挖去； (2)从与球面相切处挖去； 并指出在什么条件下，两种计算结果相同? 【思路点拨】所求万有引力可由均质实心球与 m 间的万有引力减去所挖去的小球与 m 间万有引力求得。 【解析】根据匀质球的质量与其半径的关系 ，两部分的质量分别为 ， ． (1)如图甲所示，根据万有引力定律，这时两球之间的引力为 ． 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 m mF G r = 1 2 1 4 1 2 1 2 1 2 1 4 3 34 3M r rπ ρ= ∝ 8 Mm = 7 8 MM ′ = 2 1 2 2 7 64 M m MF G Gd d ′= =5 (2)如图乙所示，在这种情况下，不能直接用万有引力公式计算．为此，可利用等效割补法，先将 M′ 转化为理想模型，即用同样的材料将其填补为实心球 M，这时，两者之间的引力为 ． 由于填补空心球而增加的引力为 ， 所以，这时 M′与 m 之间的引力为 ， 当 时，M′可以视为质点．这时，引力变为 ． 即这时两种计算结果相同． 【点评】万有引力定律表达式 只适用于计算质点间变力，在高中阶段常见的质点模型是质量 分布均匀的球体，因而利用“割补法”构成质点模型，再利用万有引力定律与力的合成知识可求“缺失” 球间的引力． 类型三、天体表面重力加速度问题 例 3、宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间 t 小球落回原处；若他在某星球表 面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间 5t 小球落回原处．(取地球表面重力加速度 g＝10m/s2， 空气阻力不计) (1)求该星球表面附近的重力加速度 g′； (2)已知该星球的半径与地球半径之比 : ＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比 : ． 【思路点拨】本题是平抛运动与万有引力知识的综合题目。 【解析】(1)依据竖直上抛运动规律可知，地面上竖直上抛物体落回原地经历的时间为： ， 在该星球表面上竖直上抛的物体落回原地所用时间为： ，所以 ． (2)星球表面物体所受的重力等于其所受星球的万有引力，则有 ， 所以 ，可解得 : ＝1:80． 【点评】本题主要考查学生的类比迁移能力、对物理过程的分析能力以及运用所学知识处理问题的实 践应用能力．把竖直上抛运动的规律迁移到星球上运用． 2 2 2 1 64 ( / 2) Mm MF G Gd d R = = − 2 2 2 1 ( / 2) 64 ( / 2) mm MF G Gd R d R = =− −△ 2 2 2 2 1 1 1 8 8( / 2)F F F GM d d R  = − = − −  △ d R远大于 2 2 2 12 2 2 1 1 1 7 8 8 64 MF F F GM G Fd d d  = − = − = =  △ 2 GMmF r R星 R地 M星 M地 02vt g = 025 vt g = ′ 21 2m /s5g g′ = = 2 Mmmg G R = 2gRM G = M星 M地6 举一反三 【变式 1】如果地球表面的重力加速度为 g，物体在距地面 3 倍的地球半径时的重力加速度为 g'。则二者 加速度之比是　　 。 A、1：91　　 B、9：1　　 C、1：16　　 D、16：1 【答案】D 【解析】距地面的高度为 3R，则距地心为 4R，根据万有引力公式有： 解上述方程得 类型四、天体质量、密度的计算 例 5、（2016 高台县期中考试）宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上 P 点，沿水平方向以 初速度 v0 抛出一个小球，测得小球经时间 t 落到斜坡另一点 Q 上，斜坡的倾角为α，已知该星球的半径为 R，引力常量为 G，已知球的体积公式是 。求： （1）该星球表面的重力加速度 g； （2）该星球的第一宇宙速度； （3）该星球的密度。 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【解析】（1）小球在斜坡上做平抛运动时： 水平方向上：x=v0t…① 竖直方向上： …② 由几何知识 …③ 由①②③式得 。 （2）该星球的第一宇宙速度等于它的近地卫星的运行速度，故有 又 GM=gR2 解得 。 2 2(4 ) Mmmg G R Mmmg G R = ′ = 16 1 g g =′ 34 3V Rπ= 02 tanvg t α= 02 tanv Rv t α= 03 tan 2 v RtG αρ π= 21 2y gt= tan y x α = 02 tanvg t α= 2 2 Mm vG mR R = 02 tanv Rv t α=7 （3）对于星球表面的物体 m0，有 又 解得 。 【点评】先根据小球在斜面上的平抛运动计算出该星球表面的重力加速值，再根据黄金代换算该星球 的质量，最后结合密度公式计算出该星球的密度。 举一反三 【高清课程：万有引力定律的应用 例 1】 【变式 1】一宇航员为了估测一星球的质量，他在该星球的表面做自由落体实验：让小球在离地面 h 高处自由下落，他测出经时间 t 小球落地，又已知该星球的半径为 R，试估算该星球的质量。 【答案】 【变式 2】设地球绕太阳做匀速圆周运动，半径为 R，速率为 v，则太阳的质量可用 v、R 和引力常量 G 表示为________．太阳围绕银河系中心的运动可视为匀速圆周运动，其运动速率约为地球公转速率的 7 倍， 轨道半径约为地球公转轨道半径的 2×109 倍．为了粗略估算银河系中恒星的数目，可认为银河系中所有恒 星的质量都集中在银河系中心，且银河系中恒星的平均质量约等于太阳的质量，则银河系中恒星的数目约 为________． 【答案】 1011 【解析】地球围绕太阳运动，而两者间的万有引力是其做匀速圆厨运动的向心力，则由 ， 可得 ．设太阳的运动速率为 v′，则 v′＝7v．轨道半径 r＝2×109 R，则 ，所 以 ，又因为 ，故 个． 类型五、双星问题 例 6、天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中 很普遍．利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量．已知某双星系统中两颗恒星围绕它 们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为 T，两颗恒星之间的距离为 r，试推算这个双星系 统的总质量．(引力常量为 G) 【思路点拨】双星之间的作用力是两星之间的万有引力，要做稳定的匀速圆周运动，只有依靠万有引 力提供向心力，又因以两者连线上某点为圆心，所以半径之和不变，故运动过程中角速度不变，再由万有 引力定律可以解得。 【解析】设两颗恒星的质量分别为 m1、m2，做匀速圆周运动的半径分别为 r1、r2，角速度分别为ω1、ω 2．根据题意有 ω1＝ω2 ① r1+r2＝r ② 根据万有引力定律和牛顿第二定律，有 0 02 MmG m gR = 34 3V Rπ= 03 tan 2 vM V RtG αρ π= = 2 22 Gt 2hR G gRM == 2v R G 2 2 GMm vmR R = 2v RM G = 2 9 492 10 GnM vR =× 9 22 49 10 Rvn GM × ×= 2v RM G = 1110n =8 ③ ④ 联立①②③④式解得 ⑤ 根据角速度与周期的关系知 ⑥ 联立③⑤⑥式解得 【点评】由于双星做匀速圆周运动的角速度相等，其轨道半径和线速度均与双星的质量成反比． 举一反三 【变式 1】神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统 的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了 LMCX-3 双星系统，它由可见星 A 和不可见的 暗星 B 构成。两星视为质点，不考虑其他天体的影响，A、B 围绕两者连线上的 O 点做匀速圆周运动，它们 之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为 G，由观测能够得到可见星 A 的速率 和运行周期 T。 （1）可见星 A 所受暗星 B 的引力 可等效为位于 O 点处质量为 的星体（视为质点）对它的引力，设 A 和 B 的质量分别为 ，试求 （用 表示） （2）求暗星 B 的质量 与可见星 A 的速率 、运行周期 T、和质量 之间的关系式。 【解析】（1）设 A、B 的圆轨道半径分别为 ，由题意知，A、B 做匀速圆周运动的角速度相同， 设其为 。由牛顿运动定律，有 ， ， 设 A、B 之间的距离为 r,又 ，由上述各式得 由万有引力定律，有 21 2 1 1 12 m mG m rr ω= 21 2 2 2 22 m mG m rr ω= 2 1 1 2 m rr m m = + 1 2 2 T πω ω= = 2 3 1 2 2 4 rm m T G π+ = v AF m′ 1 2m m、 m′ 1 2m m、 2m v 1m 1 2r r、 ω 1 2 1AF m rω= 2 2 2BF m rω= A BF F= 1 2r r r= + 1 2 1 2 m mr rm +=9 令 比较可得 （2）由牛顿第二定律，有 又可见星 A 的轨道半径 综上可得 【高清课程：万有引力的应用 例 8】 【变式 2】所谓“双星”，就是太空中有两颗质量分别为M1 和 M2 的恒星，保持它们之间的距离不变， 以它们连线上的某一位置为圆心，各自作匀速圆周运动, 如图所示．不计其它星球对它们的作用力。则 ( ) A．它们运行的周期之比 T1:T2＝M2:M1 B．它们的回转半径之比 r1:r2==M2:M1 C．它们的线速度大小之比 v1:v2=M2:M1 D．它们的向心加速度大小之比 a1:a2=M2:M1 【答案】BCD 类型六、三星问题 例 7、（2015 安徽高考）由三颗星体构成的系统，忽略其它星体对它们的作用，存在着一种运动形式： 三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心 O 在三角 形所在的平面内做相同角速度的圆周运动（图示为 A、B、C 三颗质量不相同时的一般情况）。若 A 星体质 量为 2m，B、C 两星体的质量均为 m，三角形的边长为 a，求： （1）A 星体所受合力大小 FA； （2）B 星体所受合力大小 FB； （3）C 星体的轨道半径 RC； 1 2 2 3 1 2 2 2 1 2 1( ) A m mF G r m mG m m r = = + 1 2 1 A m mF G r ′= 3 2 2 1 2( ) mm m m ′ = + 2 1 12 1 1 m m vG mr r ′ = 1 2 vTr π= 3 3 2 2 1 2( ) 2 m v T m m Gπ=+10 （4）三颗星体做圆周运动的周期 T。 【思路点拨】（1）（2）由万有引力率，分别求出单个的力，然后求出合力即可；（3）C 与 B 的质量 相等，所以运行的规律也相等，然后结合向心力的公式即可求出 C 的轨道半径；（4）选择一颗星体，根 据万有引力提供向心力和 联立可求得周期 T 【解析】（1）由万有引力定律，A 星体所受 B、C 星体引力大小为 方向如图，则合力大小为 （2）同上，B 星体所受 A、C 星体引力大小分别为 方向如图，则合力大小为 。可得 （3）通过对 B 受力分析可知，由于 ， ，合力的方向经过 BC 的的中垂线 AD 的中点，所以圆心 O 一定在在中垂线 AD 的中点，故： （4）三星体运动周期相同，对 C 星体，由 可得 【总结升华】该题借助于三星模型考察万有引力定律，其中 B、C 的质量相等，则运行的规律、运动的半 径 是 相 等 的 ， 画 出 它 们 的 受 力 图 像 ， 再 结 合 图 像 和 万 有 引 力 定 律 即 可 正 确 解 答 。 T πω 2= 2 2 2 2A B BA CA m m mF G G Fr a = = = 2 22 3A mF G a = 2 2 2 2A B AB m m mF G Gr a = = 2 2 2 C B CB m m mF G Gr a = = 2 2cos60 2Bx AB CB mF F F G a = °+ = 2 2sin 60 3By AB mF F G a = ° = 2 2 2 27B Bx By mF F F G a = + = 2 2 2 AB mF G a = 2 2CB mF G a = 2 23 1 7 4 2 4CR a a a    = + =        22 2 27C B C mF F G m Ra T π = = =    2 2 aT Gm π=11 【巩固练习】 一、选择题： 1．如图所示两球间的距离为 r，两球的质量分布均匀，大小分别为 m1、m2，则两球的万有引力大小为( ) A． B． C． D． 2．万有引力定律首次揭示了自然界中物体间一种基本相互作用的规律．以下说法正确的是( ) A．物体的重力不是地球对物体的万有引力引起的 B．人造地球卫星离地球越远，受到地球的万有引力越大 C．人造地球卫星绕地球运动的向心力由地球对它的万有引力提供 D．宇宙飞船内的宇航员处于失重状态是由于没有受到万有引力的作用 3．引力常量为 G，地球质量为 M，地球可看成球体，半径为 R．忽略地球的自转，则地球表面重力加速度 的大小为( ) A． B．g＝GR C． D．缺少条件，无法算出 4．假如地球自转角速度增大，关于物体的万有引力以及物体重力，下列说法正确的是( ) A．放在赤道地面上物体的万有引力不变 B．放在两极地面上物体的重力不变 C．放在赤道地面上物体的重力减小 D．放在两极地面上物体的重力增大 5．设地球表面重力加速度为 g0，物体在距离地心 4R(R 是地球的半径)处，由于地球的作用而产生的加速 度为 g，则 g/g0 为( ) A．1 B．1/9 C．1/4 D．1/16 6.绕地球做匀速圆周运动的卫星中有一与内壁相接触的物体，则这个物体（ ） A．受地球的吸引力和卫星内壁的支持力的作用 B．受地球的吸引力和向心力的作用 C．物体处于完全失重状态，不受任何力的作用 D．只受地球的吸引力的作用 7. 据报道，“嫦娥一号”和“嫦娥二号”绕月飞行器的圆形工作轨道距月球表面分别约为 200 km 和 1130 km， 运行速率分别为 v1 和 v2．那么 v1 和 v2 的比值为(月球半径取 1700 km)( ) A． B． C． D． 8、（2015 北京高考）假设地球和火星都绕太阳做匀速圆周运动，已知地球到太阳的距离小于火星到太阳 的距离，那么 A．地球公转周期大于火星的公转周期 B．地球公转的线速度小于火星公转的线速度 C．地球公转的加速度小于火星公转的加速度 1 2 2 m mG r 1 2 2 1 m mG r 1 2 2 1 2( ) m mG r r = + 1 2 2 1 2( ) m mG r r r+ + GMg R = 2 GMg R = 19 18 19 18 18 19 18 1912 D．地球公转的角速度大于火星公转的角速度 9、（2015 四川高考）登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于 2020 年登陆火星。 地球和火星公转视为匀速圆周运动，忽略行星自转影响。根据下表，火星和地球相比 A．火星的公转周期较小 B．火星做圆周运动的加速度较小 C．火星表面的重力加速度较大 D．火星的第一宇宙速度较大 10、（2015 重庆高考）宇航员王亚平在“天宫 1 号”飞船内进行了我国首次太空授课，演示了一 些完全失 重状态下的物理现象。若飞船质量为 m，距地面高度为 h，地球质量为 M，半径为 R，引力常量为 G，则 飞船所在处的重力加速度大小为 A.0 B. C. D. 11.银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体 和 构成，两星在相互之间的万有 引力作用下绕两者连线上某一定点 C 做匀速圆周运动。由天文学观测得其周期为 T， 到 C 点的距离为 ， 和 的距离为 ，已知万有引力常量为 G。由此可求出 的质量为（ ） A． B． C． D． 12、（2016 天津市和平区耀华中学一模）双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别 围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距 离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为 T，经过一段时间演化后，两星总质 量变为原来的 k 倍，两星之间的距离变为原来的 n 倍，则此时圆周运动的周期为（ ） A． B． C． D． 二、计算题： 1．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是 T，在行星的赤道处用弹簧测力 计测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小 10%，已知引力常量为 G，求此行星的平均密度． 2．已知万有引力常量 G，地球半径 R，月球和地球之间的距离 r，同步卫星距地面的高度 h，月球绕地球 的运转周期 T1，地球的自转周期 T2，地球表面的重力加速度 g．某同学根据以上条件，提出一种估算地球 质量 M 的方法： 同步卫星绕地心做圆周运动，由 ，得 ． (1)请判断上面的结果是否正确，并说明理由，如不正确，请给出正确的解法和结果； 2( ) GM R h+ 2( ) GMm R h+ 2 GM h 1S 2S 1S 1r 1S 2S r 2S 2 2 1 2 4 ( )r r r GT π − 2 3 1 2 4 r GT π 2 3 2 4 r GT π 2 2 1 2 4 r r GT π 3 2 n Tk 3n Tk 2n Tk nTk 2 2 2 2MmG m hh T π =     2 3 2 2 4 hM GT π=13 (2)请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果． 3．如图所示为中国月球探测工程的想象标志，它以中国书法的笔触，勾勒出一轮明月和一双踏在其上的 脚印，象征着月球探测的终极梦想．一位勤于思考的同学为探月宇航员设计了如下实验：在距月球表面高 h 处以初速度 v0 水平抛出一个物体，然后测量该平抛物体的水平位移为 x；通过查阅资料知道月球的半径 为 R，引力常量为 G，若物体只受月球引力的作用，请你求出： (1)月球表面的重力加速度 ； (2)月球的质量 M； (3)环绕月球表面的宇宙飞船的速率 v 是多少? 4.中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。现有一中子星，观测到它的自转周期为 。 问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定不致因自转而瓦解？计算时星体可视为均匀球体。 （引力常量为 ） 5、（2016 湖南省师大附中模拟）有一颗 X 行星，距地球很远，为了探测该行星，发射了一颗绕该星球做 圆周运动的卫星，其运行平面与地球上的观测站在同一平面内（不考虑地球的自转），在地球上的观测站 发现：①该卫星的运行速率为 v；②t0 时间内可观测到，大约靠时间内不可见。 （1）该 X 行星的质量 M 是多少？ （2）该星球表面的重力加速度 g 多大？ （3）在高度不太大时（数百米高），测得物体在该星球表面下落时，所受大气阻力与速度平方成正比 （f=kv2）。假设我们发射一宇宙飞船，释放的登陆器（质量为 m）悬停在距该星球表面 h（h 数十米高，远 小于 X 行星的半径）处，让登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度 g 匀加速下落 ，然后开启喷 气发动机向下喷气，使之匀减速下落，着地速度恰好为零，试求发动机对登陆器所做的功 W 及登陆器从 自由下落到着地的时间 t。 g月 1 30T s= 11 2 26.67 10 /G N m kg−= × ⋅ 2 h14 【答案与解析】 1． D 解析： “R”为两质点之间的距离，即 R＝r1+r+r2． 2． C 解析：物体的重力是地球的万有引力产生的，万有引力的大小与质量的乘积成正比，与距离的平方成反比， 所以 A、B 错：人造地球卫星绕地球运动的向心力是万有引力提供的，宇宙飞船内的宇航员处于失重状态 是因为宇航员受到的万有引力全部提供了宇航员做圆周运动所需的向心力，所以 C 对、D 错． 3． C 解析：忽略地球自转时，物体所受的重力等于地球对物体的万有引力，则有 ．所以 4．A、B、C 解析：地球自转角速度增大，物体受到的万有引力不变，选项 A 正确；在两极，物体受到的万有引力等于 其重力，则其重力不变，选项 B 正确，D 错误；而对放在赤道地面上的物体， ，由于ω 增大，则 减小，选项 C 正确． 5．D 解析：地球表面处的重力加速度和在离地心 4R 处的加速度均由地球对物体的万有引力产生，所以有： 地面上： ， ① 离地心 4R 处： ， ② 由①②两式得 ． 6.D 解析：卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，向心加速度等于重力加速度，卫星处于完全失重状 态，卫星内的物体与支持物间没有弹力作用。 7. C 解析：由 ，得 ， 所以 ，故 C 项正确． 8、D 解析：比较太阳的任意两颗行星的运动情况，行星的大小、形状与其运动快慢无关．筛选所给的信息，其 重要信息是：地球与火星离太阳的距离，设其运动轨道是圆形的，且做匀速圆周运动，根据开普勒第三定 律：轨道半径的三次方与公转周期的平方的比值相等，得 A 错误．由推理可知，轨道半径小的行星，其运 2 GMmF R = 2 Mmmg G R = 2 GMg R = 2F G m Rω= +万 重 G重 02 mMG mgR = 2(4 ) mMG mgR = 2 0 1 4 16 g R g R  = =   2 2 Mm vG mr r = GM GMv r R h = = + 1 2 2 1 18 19 v R h v R h += =+15 动速度大，故 B 错误．根据匀速圆周运动向心加速度公式及开普勒第三定律，可知半径大的向心加速度小， 故 C 错误．火星的周期较大，则由匀速圆周运动的知识得：火星的角速度较小，故 D 正确． 故选：D 9、B 解析：AB 选项主要看轨道半径，半径大的公转周期就大，加速度就小，所以 B 正确。CD 选项主要看星 球本身的质量与半径，其中 。比较得出 CD 错。 10、 B 解析：对飞船受力分析，所受到的万有引力提供匀速圆周运动的向心力，等于飞船所在位置的重力，即 ，可得飞船的重力加速度为 ，故选 B。 故选：B 11.D 解析：设 和 两星体的质量分别为 ，根据万有引力定律和牛顿第二定律得： 对 有 解之得 ，故选项 D 正确。 总结：对于双星欲求 的质量，要以 为研究对象。 12、B 解析：设 m1 的轨道半径为 R1，m2 的轨道半径为 R2，两星之间的距离为 L，由于它们之间的距离恒定，因 此双星在空间的绕向一定相同，同时角速度和周期也都相同。 由向心力公式可得：对 m1： …①， 对 m2： …②， 又因为 R1+R2=L，m1+m2=M，由①②式可得： ， 所以当两星总质量变为 kM，两星之间的距离变为原来的 n 倍，圆周运动的周期为 ， 故 ACD 错误，B 正确，故选 B。 二、计算题： 1. 解析：设行星的质量为 M，半径为 R，两极处重力加速度为 g′，平均密度为ρ，物体的质量 为 m． 物 体 在 赤 道 上 的 重 力 比 两 极 小 10 ％ ， 表 明 在 赤 道 上 随 行 星 自 转 做 圆 周 运 动 的 向 心 力 2( ) MmG mgR h =+ 2= ( ) GMg R h+ 2 ,GM GMg vR R = = 1S 2S 1 2m m、 1S 21 2 1 12 2( )m mG m rr T π= 2 2 1 2 2 4 r rm GT π= 1S 2S 2 1 2 1 12 2 4m mG m RL T π= 2 1 2 2 22 2 4m mG m RL T π= 3 2 LT GM π= 3 3( )' 2 nL nT TGkM k π= = 2 30 GT πρ =16 ．而一昼夜的时间 T 就是行星的自转周期．根据牛顿第二定律，有 ， 根据万有引力定律．两极处的重力加速度 ，所以行星的平均密度 ． 2．解析：(1)上面的结果是错误的，地球半径 R 在计算过程中不能忽略．正确的解法和结果： ，得 ． (2)方法一：对月球绕地球做圆周运动，有 ，得 ． 方法二：在地球表面重力近似等于万有引力，有 ，得 ． 3．解析：(1)设月球表面的重力加速度为 ，取水平抛出的物体研究，有： ， ， 解得 ． (2)取月球表面上的物体 m 研究，它受到的重力与万有引力相等，即 ， 解得： ． (3)环绕月球表面的宇宙飞船做匀速圆周运动的半径为 R，万有引力充当向心力，故有： ( 为飞船的质量)， 所以 ． 4. 解析：设中子星的密度为 ，质量为 M，半径为 R，自转角速度为 ，位于赤道处的小物块的质量为 m， 则有 又 0.1nF F mg′= =△ 220.1mg m RT π ′ =    2 4 3 Mg G G RR πρ′ = = 2 30 GT πρ = 2 2 2 2 ( )( ) MmG m R hR h T π = + +   2 3 2 2 4 ( )R hM GT π += 2 2 1 2MmG m rr T π =     2 3 2 1 4 rM GT π= 2 MmG mgR = 2gRM G = g月 21 2 g t h=月 0v t x= 2 0 2 2hvg x =月 2 GMmmg R =月 2 2 2 0 2 2g R hv RM G Gx = =月 2 2 GMm m v R R ′ ′= m′ 0 2v hRGMv g RR x = = =月 14 31.27 10 /kg mρ = × ρ ω 2 2 MmG m RR ω= 2 T πω = 34 3M Rπ ρ=17 由以上各式得 代入数据可得 5、解析：（1）由题意得：T=2t0 线速度 ， 解得 根据万有引力提供向心力得 解得 （2）根据 解得 （3）登陆器先以加速度等于该星球表面的重力加速度 g 匀加速下落 ，则有 解得 ， 此时的速度 从自由下落到着地的时间 因为空气阻力 f=kv2，且又是匀加速运动，所以由 v2－v02=2ax 可知， 阻力与位移是线性关系，其图象（v2—x 及 f—x）如图所示。 所以整个过程克服阻力的功就是 f—x 图象中的面积，则有 设发动机做的功为形，根据动能定理得 mgh－Wf+W=0 解得 。 2 3 GT πρ = 14 31.27 10 /kg mρ = × 2 Rv T π= 0vtR π= 2 2 Mm vG mR R = 32 0v tv RM G Gπ= = 2 GMm mgR = 2 0 GM vg R t π= = 2 h 2 1 1 1 2 2h gt= 1 ht g = 1 1 0 vhv gt t π= = 0 12 2 htt t vπ= = 2 2 1 0 1 2 2f kvhW kv h t π= = 0 ( )2 hv khW mt π= −18