知识讲解 宇宙航行 基础

1 宇宙航行 【学习目标】 1.会推导第一宇宙速度 2.掌握地球（或天体）的卫星各物理量的关系 3.理解同步卫星的特点，了解三种宇宙速度 4.了解卫星的变轨问题 【要点梳理】 要点一、天体问题的处理方法 要点诠释： （1）建立一种模型 天体的运动可抽象为一个质点绕另一个质点做匀速圆周运动的模型 （2）抓住两条思路 天体问题实际上是万有引力定律、牛顿第二定律、匀速圆周运动规律的综合应用，解决问题的基本思 路有两条： ①利用在天体中心体表面或附近，万有引力近似等于重力 即 （g 为天体表面的重力加速度） ②利用万有引力提供向心力。 由此得到一个基本的方程 ，式中 a 表示向心加速度，而向心加速度又有 、 、 、 这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。 要点二、人造卫星 要点诠释： 1. 人造卫星 将物体以水平速度从某一高度抛出，当速度增加时，水平射程增大，速度增大到某一值时，物体就会 绕地球做圆周运动，则此物体就成为地球的卫星，人造地球卫星的向心力是由地球对卫星的万有引力来充 当的． (1)人造卫星的分类：卫星主要有侦察卫星、通讯卫星、导航卫星、气象卫星、地球资源勘测卫星、 科学研究卫星、预警卫星和测地卫星等种类． (2)人造卫星的两个速度：①发射速度：将人造卫星送入预定轨道运行所必须具有的速度．②环绕速 度：卫星在轨道上绕地球做匀速圆周运动所具有的速度． 由于发射过程中要克服地球的引力做功，所以发射速度越大，卫星离地面越高，实际绕地球运行的速 度越小．向高轨道发射卫星比向低轨道发射卫星要困难得多． 2．卫星的轨道 卫星绕地球运动的轨道可以是椭圆轨道，也可以是圆轨道． 卫星绕地球沿椭圆轨道运动时，地心是椭圆的一个焦点，其周期和半长轴的关系遵循开普勒第三定 律． 卫星绕地球沿圆轨道运动时，由于地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球运动的向心力，而万有引 力指向地心，所以，地心必须是卫星圆轨道的圆心．卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步卫星)，也 可以和赤道平面垂直，还可以和赤道平面成任一角度，如图所示． 2R MmGmg = 2G Mm mar = 2va r = 2a rω= 2 2 4 ra T π= a g=2 要点三、宇宙速度 要点诠释： 1.第一宇宙速度（环绕速度） 指人造卫星近地环绕速度，它是人造卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动所必须具有的速度，是 人造卫星的最小发射速度，其大小为 说明： （1）由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地球越远的 轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星发射到近地表面运行，此 时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势能。 （2）第一宇宙速度的推导 根据万有引力提供向心力可得： 所以 若已知地球表面的重力加速度，则由万有引力和重力近似相等有 所以 2.第二宇宙速度（逃逸速度） 在地面上发射物体，使之能够脱离地球的引力作用，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去 所必须的最小发射速度，其大小为 3.第三宇宙速度 在地面上发射物体，使之能够脱离太阳的引力范围，飞到太阳系以外的宇宙空间所必须的最小发射速 度，其大小为 要点四、同步卫星 要点诠释： 1.概念 相对于地面静止且与地球自转具有相同周期的卫星叫地球同步卫星，又叫通讯卫星． 2.基本特征 (1)同步卫星的运行方向与地球自转方向一致． (2)同步卫星的运行周期与地球自转周期相同．且 T＝24 h． (3)同步卫星的运行角速度等于地球自转的角速度． 1 7.9 /v km s= 2 2 Mm vG mR R = 7.9 /GMv km sR = = 2vmg m R = 7.9 /v gR km s= = 2 11.2 /v km s= 3 16.7 /v km s=3 (4)要与地球同步，卫星的轨道平面必须与赤道平面平行，又由于向心力是万有引力提供的，万有引 力必须在轨道平面上，所以同步卫星的轨道平面均在赤道平面上，即所有的同步卫星都在赤道的正上 方．不可能定点在我国某地上空． (5)同步卫星高度固定小变 所有同步卫星的周期 T、轨道半径 r、环绕速度 v、角速度ω及向心加速度 a 的大小均相同． 由 ，知 ，由于 T 一定，所以 r 不变，而 r＝R+h，h 为离地面的高度， ，又 ，代入数据 T＝24h＝86400 s，g＝9.8 m/s2，R＝6400 km，得 h＝3.6× 104km． 也就是说，同步卫星必须定位于赤道的正上方，离地面的高度约为 3.6×104 km． (6)同步卫星的环绕速度大小一定：设其运行速度为 v，由于 ， 则 (7)三颗同步卫星作为通讯卫星，则可覆盖全球．(两极有部分盲区) 要点五、地球同步卫星与赤道上随地球做圆周运动的物体以及人造卫星的区别与联系 要点诠释： （1）地球同步卫星与赤道上随地球做圆周运动的物体相当于同轴转动的物体，它们的角速度相同，周期 相同，线速度关系遵循 的关系； （2）地球同步卫星与人造卫星同属于地球卫星，它们之间的关系遵循天体运动所需的向心力由万有引力 提供，符合的公式是： ，r 越大 a 越小； ， r 越大 v 越小 ，r 越大 越小； ，r 越大 T 越大 要点六、卫星的稳定运行与变轨问题 要点诠释： 当卫星的速度突然增加时， ，即万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原 来的圆轨道，轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 知，其运行速度要减小。 当卫星的速度突然减小时， ，即万有引力大于卫星所需的向心力，卫星将做向心运动，脱 2 2 2GMm mrr T π =    3 2 24 GMTr π= 3 2 24 GMTh Rπ= − 2GM gR= 2 2( ) Mm vG mR h R h =+ + 2GM gRv R h R h = =+ + 6 2 6 7 9.8 (6.4 10 ) m /s6.4 10 3.6 10 × ×= × + × 3 23.1 10 m /s= × v rω= 2 GMa r = GMv r = 3 GM r ω = ω 2 34 rT GM π= 2mvF r < GMv r = 2mvF r >4 离原来的圆轨道，轨道半径变小，但卫星一旦进入新的轨道运行，由 知，其运行速度要增加。 由此，要想使卫星进入更高一级轨道，就要加速；反之要减速。 【典型例题】 类型一、卫星运行的规律 例 1、（2016 黑龙江省哈尔滨校级二模）如图所示，a、b 是两颗绕地球做匀速圆周运动的人造卫星， 它们距地面的高度分别是 R 和 2R（R 为地球半径）。下列说法中正确的是（ ） A．a、b 的线速度大小之比是 B．a、b 的周期之比是 C．a、b 的角速度大小之比是 D．a、b 的向心加速度大小之比是 9∶4 【答案】CD 【解析】根据万有引力提供向心力得 线速度 ，它们距地面的高度分别是 R 和 2R（R 为地球半径），所以轨道半径是 2∶3，所以 a、b 的线速度大小之比是 ，故 A 错误； 周期 ，所以 a、b 的周期之比是 ，故 B 错误； 角速度 ，a、b 的角速度大小之比是 ，即 ，故 C 正确； 向心加速度 ，所以 a、b 的向心加速度大小之比是 9∶4，故 D 正确，故选 CD。 【点评】本题考察卫星运动规律，明确各运动量与半径的关系，从而定量计算出各运动量之间的大小 关系。 【高清课程：天体的运动及航天技术 例 1】 【变式】火星有两颗卫星，分别是火卫一和火卫二，它们的轨道近似为圆．已知火卫一的周期为 7 小 时 39 分．火卫二的周期为 30 小时 18 分，则两颗卫星相比（ ） GMv r = 2 1∶ 1 2 2∶ 3 6 4∶ 2 2 2 2 2 4GMm mv rm r m mar r T πω= = = = GMv r = 3 2 3 2 rT GM π= 2 2 3 3∶ 3 GM r ω = 3 3 2 2∶ 3 6 4∶ 2 GMa r =5 A．火卫一距火星表面较近 B．火卫二的角速度较大 C．火卫一的运动速度较大 D．火卫二的向心加速度较大 【答案】AC 类型二、第一宇宙速度的应用 例 2、关于第一宇宙速度，下面说法中正确的是( ) A．它是人造地球卫星绕地球飞行的最小速度 B．它是近地圆形轨道上人造地球卫星的运行速度 C．它是能使卫星进入近地圆形轨道的最小发射速度 D．它是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度 【思路点拨】明确第一宇宙速度的含义。 【答案】BCD 【解析】第一宇宙速度是近地圆轨道上的最大环绕速度，又是卫星进入轨道的最小发射速度。故 BCD 选项正确。 类型三、同步卫星的规律 例 3、可发射一颗人造卫星，使其圆轨道满足下列条件（ ） A．与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆 B．与地球表面上某一经度线是共面的同心圆 C．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是运动的 D．与地球表面上的赤道线是共面同心圆，且卫星相对地面是静止的 【答案】CD 【解析】卫星绕地球运动的向心力由万有引力提供，且万有引力始终指向地心，因此卫星的轨道不可 能与地球表面上某一纬度线（非赤道）是共面的同心圆，故 A 是错误的。 由于地球在不停的自转，即使是极地卫星的轨道也不可能与任一条经度线是共面的同心圆，故 B 是错 误的。 赤道上的卫星除同步卫星相对地球静止轨道外，其它卫星相对地球表面都是运动的，故 C、D 是正确 的。 【高清课程：天体的运动及航天技术 例 4】 【变式】如图所示，A 是地球的同步卫星．另一卫星 B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为 h．已 知地球半径为 R，地球自转角速度为 ωo，地球表面的重力加速度为 g，O 为地球中心． （1）求卫星 B 的运行周期． （2）如卫星 B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻 A、B 两卫星相距最近（O、B、A 在同一直线上），则 至少经过多长时间，它们再一次相距最近？6 【答案】（1） （2） 例 4、（2015 合肥期末联考）同步卫星离地球球心的距离为 r，运行速率为 v1，加速度大小为 a1，地 球赤道上的物体随地球自转的向心加速度大小为 a2，第一宇宙速度为 v2，地球半径为 R，则( ) A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因同步卫星的角速度与地球自转的角速度相同，因此同步卫星的角速度与赤道上的物体的角 速度相等，由 ，可知 ，故 A 正确；地球同步卫星与赤道上的物体做圆周运动的向心 力都是由和地球间的万有引力提供，即： ，可得： ，M 是地球的质量，r 是卫星 的轨道半径，因此 。 【总结升华】地球同步卫星绕地球做匀速圆周运动，由地球的万有引力提供向心力；其次在比较加速 度大小时，因地球同步卫星与地球自转角速度相同，所以选择用公式 进行求解，解题时注意灵活 选用公式。 类型四、卫星的变轨运动 例 5、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道 1，然后经点火，使其沿椭圆轨道 2 运行， 最后再一次点火，将卫星送入同步圆轨道 3。轨道 1、2 相切于 Q 点，轨道 2、3 相切于 P 点，则当卫星分 别在 1、2、3 轨道上正常运行时，以下说法正确的是( ) A．卫星在轨道 3 上的速率大于在轨道 1 上的速率 B．卫星在轨道 3 上的角速度小于在轨道 1 上的角速度 C．卫星在轨道 1 上，经过点 Q 时的速度大于它在轨道 2 上经过 Q 点时的速度 D．卫星在轨道 2 上经过点 P 的速度小于它在轨道 3 上经过 P 点的速度 3 B 2 ( )2 R hT gR π += 2 03 2 ( ) t gR R h π ω = −+ 1 2: :a a r R= 2 2 1 2: :a a R r= 2 2 1 2: :v v R r= 1 2: :v v R r= 2a rω= 1 2: :a a r R= 2 2 Mm vG mR r = GMv r = 1 2: :v v R r= 2a rω=7 【思路点拨】此题为卫星变轨问题，要分清离心、向心运动。 【答案】BD 【 解 析 】 人 造 卫 星 在 圆 轨 道 上 匀 速 圆 周 运 动 时 有 ： ， 所 以 因为 ，所以 ， ，选项 A 错误，B 正确； 在 Q 点，卫星沿着圆轨道 1 运动时万有引力刚好等于向心力，即 ，当点火到轨道 2 上，速度 增大即 ，卫星将在椭圆轨道 2 上的 Q 点做离心运动，选项 C 错误；同理可知选项 D 正确。 类型五、有关航天问题的分析 例 6、我国执行首次载人航天飞行的神州五号飞船于 2003 年 10 月 15 日在中国酒泉卫星发射中心发射 升空．飞船由长征-2F 运载火箭先送入近地点为 A、远地点为 B 的椭圆轨道，在 B 点实施变轨后，再进入 预定圆轨道，如图所示。已知飞船在预定圆轨道上飞行 n 圈所用时间为 t，近地点 A 距地面高度为 h1，地 球表面重力加速度为 g，地球半径为 R，求： （1）飞船在近地点 A 的加速度 aA 为多大？ （2）远地点 B 距地面的高度 h2 为多少？ 【解析】（1）设地球质量为 M，飞船的质量为 m 飞船在 A 点受到的地球引力为 地球表面的重力加速度 ( )2 1 MmF G R h = + 2 Mg G R = 1 23 P Q 2 2 2 Mm vG m mrr r ω= = 3,GM GMv r r ω= = 1 3r r< 1 3v v> 1 3 ω ω> 2 1mvF r = 2 1v v> B A 预定圆轨道 地球8 由牛顿第二定律得 （2）飞船在预定圆轨道飞行的周期 由牛顿运动定律得 解得 例 7、2003 年 10 月 16 日北京时间 6 时 34 分，中国首位航天员杨利伟乘坐“神舟”五号飞船在内蒙 古中部地区成功着陆，中国首次载人航天飞行任务获得圆满成功。中国由此成为世界上继俄、美之后第三 个有能力将航天员送上太空的国家。据报道，中国首位航天员杨利伟乘坐的“神舟”五号载人飞船，于北 京时间十月十五日九时，在酒泉卫星发射中心用“长征二号 F”型运载火箭发射升空。此后，飞船按照预 定轨道环绕地球十四圈，在太空飞行约二十一小时，若其运动可近似认为是匀速圆周运动，飞船距地面高 度约为 340km，已知万有引力常量为 G=6.67×10－11N·m2/kg2，地球半径约为 6400km，且地球可视为均匀 球体，则试根据以上条件估算地球的密度。（结果保留 1 位有效数字） 【解析】设地球半径为 R，地球质量为 M，地球密度为ρ，飞船距地面高度为 h，运行周期为 T，飞船 质量为 m。 据题意题周期 s=5400s 飞船沿轨道运行时有 而 由①②③式得： 代 入 数 据 解 得 kg/m3 ( ) ( ) 2 2 2 1 1 A F GM gRa m R h R h = = = + + tT n = ( ) ( )2 22 2 2MmG m R hTR h π = +  + 2 2 3 2 2 24 gR th Rnπ= − 14 360021×== n tT 2 2 2 4( )( ) MmG m R hR h T π= ⋅ + ⋅+ 3 3 4 RVM πρρ ⋅== 32 3)(3 RGT hR += πρ ρ 3 33211 333 106)106400(54001067.6 )10340106400(14.33 ×≈×××× ×+×××= −9 【巩固练习】 一、选择题： 1．下列说法正确的是( ) A．行星的运动和地球上物体的运动遵循不同的规律 B．物体在转弯时一定受到力的作用 C．月球绕地球运动时受到地球的引力和向心力的作用 D．物体沿光滑斜面下滑时受到重力、斜面的支持力和下滑力的作用 2．根据观察，在土星外层有一个环，为了判断它是土星的一部分还是小卫星群，测出环中各层的线速度 v 与该层到土星中心的距离 R 之间的关系。下列判断正确的是( ) A．若 ，则该环是土星的一部分 B．若 ，则该环是土星的卫星群 C．若 ，则该环是土星的一部分 D．若 ，则该环是土星的卫星群 3．关于地球同步卫星下列说法正确的是( ) A．地球同步卫星和地球同步，因此同步卫星的高度和线速度大小是一定的 B．地球同步卫星的地球的角速度虽被确定，但高度和速度可以选择，高度增加，速度增大，高度降低， 速度减小 C. 地球同步卫星只能定点在赤道上空，相对地面静止不动 D．以上均不正确 4．我国绕月探测工程的预先研究和工程实施已取得重要进展。设地球、月球的质量分别为 m1、m2，半径 分别为 R1、R2，人造地球卫星的第一宇宙速度为ｖ，对应的环绕周期为Ｔ，则环绕月球表面附近圆轨道飞 行的探测器的速度和周期分别为( ) A． ， B． ， C． ， D． ， 5．土卫十和土卫十一是土星的两颗卫星，都沿近似为圆周的轨道绕土星运动。其参数如表： 卫 星 半 径(m) 卫星质量 (kg) 轨 道 半 径(m) 土卫 十 8.90 × 104 2.01 × 1018 1.51 × 108 土卫 十一 5.70 × 104 5.60 × 1017 1.51 × 108 两卫星相比土卫十( ) A．受土星的万有引力较大 B．绕土星的圆周运动的周期较大 C．绕土星做圆周运动的向心加速度较大 D．动能较大 6．天文学家发现了某恒星有一颗行星在圆形轨道上绕其运动，并测出了行星的轨道半径和运行周期。由 此可算出( ) A．行星的质量 B．行星的半径 C．恒星的质量 D．恒星的半径 7．假设太阳系中天体的密度不变，天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半，地球绕太阳公转近似 为匀速圆周运动，则关于下列物理量的变化正确的是( ) A．地球的向心力变为缩小前的一半 Rv ∝ Rv ∝2 Rv 1∝ Rv 12 ∝ 2 1 1 2 m R vm R 3 1 2 3 2 1 m R Tm R 1 2 2 1 m R vm R 3 2 1 3 1 2 m R Tm R 2 1 1 2 m R vm R 3 2 1 3 1 2 m R Tm R 1 2 2 1 m R vm R 3 1 2 3 2 1 m R Tm R10 B．地球的向心力变为缩小前的 C．地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 D．地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 8、（2016 甘肃省庆阳市一诊试卷）三颗人造地球卫星 A、B、C 在同一平面内沿不同的轨道绕地球做匀 速圆周运动，且绕行方向相同，已知 RA＜RB＜RC。若在某一时刻，它们正好运行到同一条直线上，如图 所示，那么再经过卫星 A 的四分之一周期时，卫星 A、B、C 的位置可能是（ ） 9. “嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可视为密度均匀的球 体)表面附近圆形轨道运行的周期为 T，已知引力常量为 G，半径为 R 的球体体积公式 ，则可估 算月球的( ) A．密度 B．质量 C．半径 D．自转周期 10、（2015 永州三模）如图所示，两星球相距为 L，质量比为 ，两星球半径远小于 L。从 星球 A 沿 A、B 连线向星球 B 以某一初速度发射一探测器，只考虑星球 A、B 对探测器的作用，下列说法 正确的是（ ） A．探测器的速度一直减小 B．探测器在距星球 A 为 处加速度为零 C．若探测器能到达星球 B，其速度可能恰好为零 D．若探测器能到达星球 B，其速度一定大于发射时的初速度 11、（2015 肇庆三模）“轨道康复者”是“垃圾”卫星的救星，被称为“太空 110”，它可在太空中给“垃圾”卫 星补充能源，延长卫星的使用寿命.假设“轨道康复者”的轨道半经为地球同步卫星轨道半径的五分之一，其 运动方向与地球自转方向一致，轨道平面与地球赤道平面重合，下列说法正确的是( ) A．“轨道康复者”可在高轨道上加速，以实现对低轨道上卫星的拯救 B．站在赤道上的人观察到“轨道康复者”向西运动 C．“轨道康复者”的速度是地球同步卫星速度的 5 倍 D．“轨道康复者”的加速度是地球同步卫星加速度的 25 倍 12、（2015 大庆三模）右图为两颗人造卫星绕地球运动的轨道示意图，Ⅰ为圆轨道，Ⅱ为椭圆轨道，AB 4 L 16 1 34 3V Rπ= 1:: 9A Bm m ＝11 为椭圆的长轴，两轨道和地心都在同一平面内，C、D 为两轨道交点.己知轨道Ⅱ上的卫星运动到 C 点时速 度方向与 AB 平行，则下列说法正确的是（ ） A．两个轨道上的卫星运动到 C 点时的加速度不相同 B．两个轨道上的卫星运动到 C 点时的向心加速度大小相等 C．若卫星在Ⅰ轨道的速率为 v1，卫星在Ⅱ轨道 B 点的速率为 v2，则 v1 5 02v g 1 5 2 Mmmg G R = 2gRM G = 2 2 1 80 M g R M gR ′= =星 星 地 地 2 0 MmG mgr = 2 2 2( )MmG m rr T π=卫 卫 2 2 x yv v v= + 2 3 2 02 2 0 8 hrv vT r π= +15 时发出的信号被遮挡． 设探月卫星的质量为 m0，万有引力常量为 G， 根据万有引力定律有 ， ① ， ② 式中，T1 是探月卫星绕月球转动的周期．由①②式得： ， ③ 设探月卫星的微波信号被遮挡的时间为 t，则由于探月卫星绕月球做匀速圆周运动， 应有 ，④ 式中，α＝∠CO′A，β＝∠CO′B．由几何关系得： r cosα＝R-R1， ⑤ r1 cosβ＝R1，⑥ 由③④⑤⑥式得： ． 2 2 2MmG m rr T π =    2 0 02 1 2mmG m rr T π =    2 3 1 1T rM T m r    =       1 t T α β π −= 3 1 1 1 3 1 arccos arccosMr R R RTt mr r rπ  −= −   