知识讲解 曲线运动、万有引力综合复习 提高

1 曲线运动、万有引力综合复习 【学习目标】 1.理解运动的合成与分解 2.熟练掌握平抛运动、圆周运动 3.理解天体问题的处理方法 4.理解人造卫星的运动规律 【知识网络】 一、曲线运动2 二、万有引力定律 曲线运动的方向：轨迹上某点切线方向 曲线运动的条件：合外力与速度方向不共线 曲线运动的性质：是变速运动，具有加速度 曲线运动的性质 对运动以及相应的位移、速度和加速度 进行合成或分解运动合成与分解的内容 矢量合成与分解的平行四边形法则运动合成或分解的法则 合运动与分运动等效性将运动合成或分解的依据 等效性 同时性 独立性 合运动与分运动的关系 曲线运动的处理方法 （运动的合成与分解） 斜抛运动 斜上抛：初速度方向与重力方向成钝角 斜下抛：初速度方向与重力方向成锐角 处理方法：与平抛运动的分解方法类似 匀 变 速 曲 线 运 动 平抛运动定义： 平抛运动的条件：只受重力，初速度与重力方向垂直 平抛运动的分解方法：水平方向匀速，竖直方向自由落体。 平抛运动的规律： 0x v t= 0xv v= 21 2y gt= yv gt= 平抛运动 2 2S x y= + 2 2 x yv v v= + tan y x θ = 0 tan yv v α = tan 2tanα θ= 2yt g = 与 v0 无关 0 0 2hx v vg = ∝ 轨迹是抛物线 2 2 02 gy xv = 匀速圆周运动 条件：合外力大小不变，方向总是垂直于速度的方向 描写的物理量及关系： 2l rv t T π∆= =∆ 2Q t T πω ∆= =∆ v rω= 2 2 2 2 4 Fv rQ rr T m πω= = = = 分 力学方程： 2 2 2 2 4v m rF F ma m m rr T πω= = = = =分 向 向 描写圆周运动的瞬时关系全部成立，如 lv t ∆= ∆ Q t ω ∆= ∆ v rω= 2 2va rr ω= =向 F ma=向 向 遵守的公式 或规律 与匀速圆周运动的不同：向心力 F 向是质点 所受合力的一个分量，即 F 合≠F 向 变速圆周运动 非 匀 变 速 曲 线 运 动 （ 加 速 度 变 化 ） 曲 线 运 动 的 实 例3 【要点梳理】 要点一、曲线运动及运动的合成与分解 要点诠释： 1．曲线运动速度的方向 （1）速度的方向：质点在某一点的速度，沿曲线在这一点的切线方向。 （2）获取途径： 其一，生活中的现象如：砂轮边缘飞出的铁屑、雨天车轮甩出的雨滴、弯曲的水管中喷出的水流等； 其二，由瞬时速度的定义，瞬时速度等于平均速度在时间间隔趋于零时的极限，从理论上得到曲线运 动瞬时速度的方向。 （3）曲线运动的性质：速度是矢量，曲线运动的速度时刻在变化，曲线运动一定是变速运动，一定具有 加速度，曲线运动受到的合外力一定不等于零。 2．物体做曲线运动的条件 （1）物体做曲线运动条件：当物体受到的合外力与它的速度方向不在同一条直线上时，物体做曲线运动。 如人造地球卫星绕地球运行时，它受到的地球的吸引力与它的速度方向不在一条直线上（ ）， 所以卫星做曲线（圆周）运动。 （2）物体做直线运动条件：当物体受到的合外力与速度的方向在一条直线上或者物体受到的合外力为零 时，物体做直线运动。 （3）物体在运动中合外力切向分量和法向分量的作用： 切向分量：改变速度的大小——当合外力的切向分量与速度的方向相同时，物体做加速曲线运动，相 反时做减速曲线运动。 法向分量：改变速度的方向——只有使物体偏离原来运动方向的效果，不能改变速度的大小。 （4）曲线运动条件的获得途径： 其一，由实际的曲线运动的受力情况可以知道； 其二，通过理性分析可以得知，如在垂直于运动的方向上物体受到了合外力的作用，物体的运动方向 轨道定律 速度定律 周期定律 开普勒定律 发现过程：地面力学规律向天体推广 定律内容： 1 2 2 m mF G r = （两质点之间） 定律验证：月地检验，预期哈雷彗星等 万有引力定律 测量天体的质量和密度 发现未知天体 掌握行星、卫星的运动规律 万有引力定律的应用 第一宇宙速度：v1=7.9 km / s 意义 第二宇宙速度：v2=11.2 km / s 意义 第三宇宙速度：v3=16.7 km / s 意义 三个宇宙速度 根据万有引力定律 计算常用公式 2 2 2 2 2 4GMm mv m rm rr r T πω= = = ， 2 GM mmg R ≈ 地 地 F v⊥引4 便失去了对称性，必然向着受力的方向偏转而成为曲线运动。 3．曲线运动轨迹的确定 （1）已知 x、y 两个分运动，求质点的运动轨迹； 只要写出 x、y 两个方向的位移时间关系 和 ，由此消除时间 t，得到轨迹方程 ，便知道轨迹是什么形状。 例如质点在 x、y 方向上都做匀速直线运动，其速度分别是 vx、vy，求其运动的轨迹方程。 第一：写位移方程 x； 第二：消时间 t 得到轨迹方程 ； 可见两个匀速直线运动的合运动的轨迹仍然是直线。 （2）定性的判断两个分运动的合运动的轨迹是直线还是曲线：由曲线运动的条件知，只要看质点的初速 度方向和它受到的合外力的方向是否共线便知。 4．合运动与分运动、分运动与分运动之间的关系 等时性：质点所做的各个分运动在同一时间里完成，各个分运动也当然的和合运动在同一时间里完成， 也就是说，在一个具体问题的某一过程中，由一个分运动求得的时间和由合运动求得的时间是相同的。 等效性：各个分运动合成后的综合效果与合运动的效果是完全相同的，否则运动的合成和分解便失去 了意义。 独立性：同时参与的各个分运动是互相独立、互不影响的，即每一个方向上的运动仅由这一方向质点 的受力情况和初始条件决定。 要点二、抛体运动 要点诠释： 1．抛体运动的分类和性质 （1）性质：抛体运动是匀变速运动，因为它受到恒定的重力 mg 作用，其加速度是恒定的重力加速度 g。 （2）按初速度的方向抛体运动可以分为： 竖直上抛：初速度 v0 竖直向上，与重力方向相反，物体做匀减速直线运动； 竖直下抛：初速度 v0 竖直向下，与重力方向相同，物体做匀加速直线运动； 斜上抛：初速度 v0 的方向与重力的方向成钝角，物体做匀变速曲线运动； 斜下抛：初速度 v0 的方向与重力的方向成锐角，物体做匀变速曲线运动； 平抛：初速度 v0 的方向与重力的方向成直角，即物体以水平速度抛出，物体做匀变速曲线运动； （3）匀变速曲线运动的处理方法： 以解决问题方便为原则，建立合适的坐标系，将曲线运动分解为两个方向的匀变速直线运动或者分解 为一个方向的匀速直线运动和另一个方向的匀变速直线运动加以解决。 2．平抛运动的规律（按水平和竖直两个方向分解可得） 水平方向：不受外力，以 v0 为速度的匀速直线运动： 竖直方向：竖直方向只受重力且初速度为零，做自由落体运动 ， 平抛运动的轨迹：是一条抛物线 合速度：大小： 即 ， ( )x x t= ( )y y t= ( )y f x= x yx v t y v t= =、 y x vy x kxv = = 0 x 0x v t v v= =， 21 2y gt= yv gt= 2 2 02 gy xv = 2 2 x yv v v= + 2 2 0 ( )v v gt= +5 方向：v 与水平方向夹角为 合位移：大小： 即 ， 方向：S 与水平方向夹角为 一个关系： ，说明了经过一段时间后，物体位移的方向与该时刻合瞬时速度的方向不 相同，速度的方向要陡一些。 3．对平抛运动的研究 （1）平抛运动在空中的飞行时间： 由竖直方向上的自由落体运动 得到，飞行时间 。由抛出点到落地点的竖直距离和 该地的重力加速度决定，抛出点越高或者该地的重力加速度越小，物体飞行的时间就越长，与抛出速度的 大小无关。 （2）平抛运动的射程 由平抛运动的轨迹方程 可以写出其水平射程 可见，在 g 一定的情况下，平抛运动的射程与初速度成正比，与抛出点高度的平方根成正比，即抛出 的速度越大、抛出点到落地点的高度越大时，射程也越大。 （3）平抛运动轨迹的研究 平抛运动的抛出速度越大时，抛物线的开口就越大。 平抛运动实验探究的构思和方案 ①实验构思：对比实验法：即将平抛运动和自由落体同时进行，对比试验；将平抛运动和水平方向上 的匀速运动对比试验； ②实验方案： a、频闪照相法：在对比实验的过程中，每间隔相等的时间对同时进行的两个运动物体拍照，记录下 物体的位置进行研究，寻求运动的规律。 b、碰撞留迹法：通过碰撞法留下运动物体不同时刻的位置，描出物体的运动轨迹进行研究。 要点三、描写圆周运动的物理量 要点诠释： 1．圆周运动的线速度 （1）线速度 v 的定义：圆周运动中，物体通过的弧长与所用时间的比值，通常把这个比值称为圆周运动 的线速度。 （2）公式： 单位：m / s 方向：沿着圆周各点的切线方向 说明： ①线速度是指物体作圆周运动时的瞬时速度。 ②线速度的方向就是在圆周某点的切线方向。 1 0 tan ( )gt v α −= 2 2S x y= + 2 2 2 0 1( ) ( )2S v t gt= + 1 0 tan ( )2 gt v β −= tan 2tanα β= 21 2y gt= 2yt g = 2 2 02 gy xv = 0 2yx v g = lv t ∆= ∆6 ③线速度的大小是 的比值。所以 v 是矢量。 ④匀速圆周运动是一个线速度大小不变的圆周运动。 ⑤线速度的定义式 ，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中， 只要Δt 取得足够小，公式计算的结果就是瞬时线速度。 注：匀速圆周运动中的“匀速”二字的含义：仅指速度大小不变，但速度的方向（曲线上某点的切线 方向）时刻在变化。 2．描写圆周运动的角速度 （1）角速度的定义：圆周运动物体与圆心的连线扫过的角度 与所用时间 的比值叫做角速度。 （2） 公式： 单位： rad / s（弧度每秒） 说明： ①这里的 必须是弧度制的角。 ②对于匀速圆周运动来说， 这个比值是恒定的，即匀速圆周运动是角速度保持不变的圆周运 动。 ③角速度的定义式 ，无论是对于变速圆周运动还是匀速圆周运动都成立，在变速圆周运动中， 只要Δt 取得足够小，公式计算的结果就是瞬时角速度。 ④关于ω的方向：中学阶段不研究。 ⑤同一个转动的物体上，各点的角速度相等。 例如：木棒 OA 以它上面的一点 O 为轴匀速转动时，它上面各点（各点与圆心 O 点的连线）的角速度 相等。 即： 3．线速度和角速度的关系： （1）关系： （2）对于线速度与角速度关系的理解：是一种瞬时对应关系，即某一时刻的速度与这一时刻的角速度的 关系，适应于匀速圆周运动和变速圆周运动。 4．向心加速度 （1）向心加速度产生的原因：向心加速度由物体所受到向心力产生，根据牛顿第二定律知道，其大小由 向心力的大小和物体的质量决定。 （2）向心加速度大小的计算方法： ①由牛顿第二定律计算： ；②由运动学公式计算： 。 （3）对向心加速度的认识 ①向心加速度 a 的方向：沿着半径指向圆心，是一个变量。 ②向心加速度的意义：在一个半径一定的圆周运动中，向心加速度描述的是线速度方向改变的快慢。 l t ∆ ∆ lv t ∆= ∆ ∆θ t∆ t θω ∆= ∆ ∆θ t θω ∆= ∆ t θω ∆= ∆ A B C ω ω ω= = O C B A v rω= v r ω = Fa m = 向 2 2va rr ω= =7 ③从运动学上看：速度方向时刻在发生变化，总是有 必然有向心加速度； ④从动力学上看：沿着半径方向上指向圆心的合外力必然产生指向圆心的向心加速度。 要点四、关于向心力 要点诠释： 1．向心力的概念 （1）向心力的定义：在圆周运动中，物体受到的合力在沿着半径方向上的分量叫做向心力。 向心力的作用：是改变线速度的方向产生向心加速度的原因。 向心力的大小： ，向心力的大小等于物体的质量和向心加速度的乘积； 确定的物体在半径一定的情况下，向心力的大小正比于线速度的平方，也正比于角速度的平方；线速 度一定时，向心力反比于圆周运动的半径；角速度一定时，向心力正比于圆周运动的半径。 向心力的方向：与速度方向垂直，沿半径指向圆心。 （2）关于向心力的说明： ①向心力是按效果命名的，它不是某种性质的力 ②匀速圆周运动中的向心力始终垂直于物体运动的速度方向，所以它只能改变物体的速度方向，不能 改变速度的大小。 ③无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动，向心力总是变力，但是在匀速圆周运动中向心力的大小是 不变的，仅方向不断变化。 2．向心力的来源 向心力不是一种特殊的力。重力（引力）、弹力、摩擦力等每一种力以及这些力的合力或分力都可以 作为向心力。 3．从向心力看匀速圆周运动和变速圆周运动 （1）匀速圆周运动的向心力大小不变，由物体所受到的合外力完全提供，换言之物体受到的合外力完全 充当向心力的角色。 例如月球围绕地球做匀速圆周运动，它受到的地球对它的引力就是合外力，这个合外力正好沿着半径 指向地心，完全用来提供月球围绕地球做匀速圆周运动的向心力。 （2）在变速圆周运动中，向心力只是物体受到的合外力的沿着半径方向的一个分量。 （3）匀速圆周运动和变速圆周运动所适用的共同规律 无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心加速度的大小冲是： （公式中的每 一个量都是瞬时量，任何一个时刻或者任何一个位置都可以用公式计算向心加速度。） 换 一 种 说 法 就 是 , 在 圆 周 运 动 中 的 任 何 时 刻 或 位 置 ， 牛 顿 运 动 定 律 都 成 立 。 即 。 4．关于离心现象 外力提供的向心力和做圆周运动需要的向心力之间的关系对物体运动的影响 （1）外力提供的向心力：是某个力、几个力的合力或者是合力在半径方向上的分量，是实实在在的相互 作用。 （2）做圆周运动需要的向心力：是指在半径为 r 的圆周上以速度 v 运动时，必须要这么大的一个力，才 能满足速度方向改变的要求。 （3）供需关系对物体运动的影响： 外力提供的向心力等于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做圆周运动； v 0∆ ≠ 2 2vF ma m m rr ω= = = 向向 2 2F va rm r ω= = =向 向 2 2vF ma m m rr ω= = =向 向8 外力提供的向心力小于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做远离圆心的运动——离心运动； 外力提供的向心力大于物体做圆周运动需要的向心力时，物体做靠近圆心的运动——也可称之为向心 运动。 要点五、万有引力定律 要点诠释： 1．物体的重力随离地面高度 h 的变化情况 物体的重力近似为地球对物体的引力，即近似等于 ，可见物体重力随 h 的增大而减小。 2．地球附近和其它天体表面的重力加速度 （1）地球表面的重力加速度 ①地球表面的重力加速度。由于自转而导致重力的变化是很微小的，因而在一般的情况下，常忽略地 球自转的影响，此时物体所受的重力大小就等于万有引力的大小，因此，若地球表面的重力加速度为 g0， 则根据万有引力定律可得 （R0 为地球的半径）。 ②离地面高 h 处的重力加速度，根据万有引力 定律，有 （R0 为地球的半径） （2）天体表面重力加速度问题 设天体表面重力加速度为 g，天体半径为 R，由 得 。 由此推得两个不同天体表面重力加速度的关系为 星球表面的重力加速度既可从它与星球的关系 求出，又可以从它与运动的关系（平抛运 动、自由落体运动、竖直向上抛运动等）中求出，重力加速度是运动学和万有引力、天体运动联系的纽带。 3．求天体的质量、密度 通 过 观 察 天 体 做 匀 速 圆 周 运 动 的 卫 星 的 周 期 T 、 半 径 r ， 由 万 有 引 力 等 于 向 心 力 即 ，得天体质量 。 （1）若知道天体的半径 R，则天体的密度 。 （2）若天体的卫星环绕天体表面运动，其轨道半径 r 等于天体半径 R，其周期为 T，则天体密度 。 4．地球卫星 （1）一般做匀速圆周的卫星 2( ) MmG R h+ 0 2 0 GMg R = 2 0( ) GMg R h = + 2 Mmmg G R = 2 GMg R = 2 1 2 1 2 2 1 2 g R M g R M = ⋅ 2 GMg R  =   2 2 2 4MmG m rr T π= ⋅ 2 3 2 4 rM GT π= 3 2 3 3 3 4 3 M M r V GT RR πρ π = = = 2 3 GT πρ =9 ①遵循的规律是： ②运动规律：线速度、角速度、向心加速度、周期等只取决于中心天体的质量 M 和轨道半径 r。半径 越大，线速度、角速度、向心加速度都变小，周期变大。 （2）地球同步卫星 所谓地球同步卫星，是相对于地面静止的和地球自转具有相同周期的卫星，T=24 h。同步卫星必须位 于赤道正上方距地面高度 h≈3.6×104 km 处。 5．三种宇宙速度 （1）第一宇宙速度（环绕速度）v1=7.9 km / s，是人造地球卫星的最小发射速度。 （2）第二宇宙速度（脱离速度）v2=11.2 km / s，使物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度。 （3）第三宇宙速度（逃逸速度）v3=16.7 km / s，使物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度。 6．解决天体运动问题的方法 （1）若卫星或天体沿椭圆轨道运行时，通常由开普勒三定律结合万有引力定律、牛顿运动定律及能量守 恒定律解决。 （2）若卫星做匀速圆周运动，解题通常由 和代换关系 解决。 （3）解决天体运动问题要重视形成运动情景，理解运动的本质。 【典型例题】 类型一、对曲线运动的性质和条件的理解 例 1．如图，一质点做加速曲线运动从 M 点到 N 点，当它经过 P 点时，其速度 v 和加速度 a 的方向关 系正确的是（ ） 【思路点拨】准确的理解质点从 M 点到 N 点做加速、曲线运动是解题的关键和突破口。 【答案】C 【解析】物体从 M 到 N 做加速运动，说明 a 的切向分量与 v 同向，曲线运动的合外力一定指向曲线凹 的一侧，其加速度也一定指向曲线凹的一侧，所以正确答案 C。 【总结升华】做曲线运动的物体所受到合力的切向分量和法向分量起着改变速度的大小和方向的作用。 合力的大小不可能指向曲线凸的一侧。 类型二、运动的合成与分解在实际问题中的运用 例 2．玻璃生产线上，宽 9 m 的成型玻璃板以 2 m / s 的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金 刚石刀的走刀速度是 10 m / s，为了使割下的玻璃板都成规定尺寸的矩形，金刚石刀的切割轨道如何控制？ 切割一次的时间有多长？ 【思路点拨】分析要使得割出的玻璃板是矩形，金刚石刀应当同时参与哪两个运动。 【解析】金刚石刀必须在玻璃板运动的方向上与玻璃板具有相同的速度 v1=2 m / s，同时还要有垂直 于玻璃板运动的方向上的速度 v2，刀的实际速度 v=10 m / s 就是这两个速度的合成，如图所示： 2 2 2 2 2 4GMm mv m rm rr r T πω= = = 2 2 2 2 2 4GMm mv m rm rr r T πω= = = 2 GMmmg R =10 所以金刚石到走刀方向与玻璃板的速度方向所成的角 切割一次用的时间： 【总结升华】金刚石刀相对于玻璃只有垂直方向的速度时才能割出矩形。 类型三、对平抛运动的理解 例 3．关于物体的平抛运动，下列说法正确的是（ ） A．由于物体受力的大小和方向不变，因此平抛运动是匀变速运动 B．由于物体的速度方向不断变化，因此平抛运动不是匀变速运动 C．物体运动时间只由抛出时的高度决定，与初速度无关 D．平抛运动的水平距离，由抛出点高度和初速度共同决定 【思路点拨】弄清楚平抛运动的受力特点和水平方向、竖直方向的具体运动情况，是回答问题的关键。 【答案】ACD 【解析】平抛运动受到恒定的重力作用，做匀变速运动，选项 A 正确；由平抛运动的规律知，物体运 动时间是 只由抛出时的高度决定，与初速度无关，C 选项正确；平抛的水平距离 ，即 抛出的速度越大、抛出点到落地点的竖直距离越大时，射程也越大，D 选项正确。 【总结升华】重视理性思维，不能想当然的认为曲线运动就不是匀变速运动，平抛的初速度越大时物 体运动的时间就越长。 举一反三 【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例 2】 【变式 1】一水平抛出的小球落到一倾角为θ 的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如右图 中虚线所示。小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（ ） 【答案】D 【变式 2】在同一高处有两个小球同时开始运动，一个以水平初速抛出，另一个自由落下，在它们运 动过程中的每一时刻，有（ ） A．加速度不同，速度相同 B．加速度相同，速度不同 C．下落的高度相同，位移不同 D．下落的高度不同，位移不同 v2 v1 v θ 1 2cos 0.210 v v θ = = = arccos0.2θ = 2 0.9ssin d dt v v θ= = ≈ 2yt g = 0 2yx v g =11 【思路点拨】弄清平抛运动和自由落体运动的区别和联系是正确回答问题的关键。 【答案】C 【解析】平抛运动和自由落体运动的受力情况是相同的，它们的加速度是相同的；不同的是平抛运动 同时参入了两个分运动，速度和位移分别是相应的两个分速度和分位移的合成，因此，经过相同的时间后 它们的速度和位移是不同的。 类型四、平抛运动的计算——极值问题 例 4．如图所示，AB 为斜面，倾角为 30°，小球从 A 点以初速度 v0 水平抛出，恰好落到 B 点，求出 小球与斜面的最远距离 H。 【思路点拨】利用平抛运动的一个结论：平抛运动的物体在任意位置（x，y）处速度方向的反向延长 线与 x 轴交于 处。 【答案】 【解析】如图所示，当小球离斜面最远时，速度方向与斜面平行，则 x=v0t，小球与斜面最远距离 ，结合 解得 。 【总结升华】本题也可以采用将平抛运动分解为平行于斜面的运动和垂直于斜面的两个运动进行求解， 进一步加深对运动合成、分解的理解。 类型五、平抛运动的计算——临界问题 例 5．如图所示，女排比赛时，排球场总长是 18 m，设球网高度是 2 m，运动员站在网前 3 m 处正对球 网跳起将球水平击出。求击球的高度不小于多少时，才能将排球平击在对方场地？ ( ,0)2 x 2 0 tan sin 2 vH g θ θ= sin2 xH θ= 0 tan gt v θ = 2 0 tan sin 2 vH g θ θ= y O x H vy vx (x，y)θ θ θ ( 2 x ，0) v H h S1 S212 【思路点拨】设想在某一高度 h 处用某一速度 v0 将球水平击出，排球擦网而过且恰好落在边界上。在 此临界状态下进行动态分析：若击球速度略小，则球触网；若击球速度稍大则球出界，所以此高度 h 就是 水平击球的最小高度。 【答案】2.13 m 【解析】由临界状态找出临界条件，由平抛运动规律列方程 （1）擦网 （2）落边界 解得 h=2.13 m 故击球的高度不得小于 2.13 m。 举一反三 【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例 4】 【变式】小明站在水平地面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的小球，甩动手 腕，使球在竖直平面内做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳突然断掉，球飞行水平距离 d 后落地。 如图所示。已知握绳的手离地面高度为 d，手与球之间的绳长为 ,重力加速度为 g。忽略手的运动半径 和空气阻力。 （1）求绳断时球的速度大小 v1 和球落地时的速度大小 v2。 （2）求绳能承受的最大拉力多大？ （3）改变绳长，使球重复上述运动，若绳仍在球运动到最低点时断掉，要使球抛出的水平距离最大， 绳长应是多少？最大水平距离为多少？ 【思路点拨】将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。 【解析】（1）在绳断后球飞行时间为 t，由平抛运动规律， 2 1 1 2h H gt− = 1 0 1S v t= 2 2 1 2h gt= 2 0 2S v t= 3 d4 2 2 1 2 1 1tan ,tan 2tan ,4 2 1 1 5 2 2 2y x x y y x gdv v v v v v β α β= = = = ∴ = = = + =13 （2）设绳子承受的最大拉力为 T，这也是球受到绳的最大拉力，球做圆周运动的半径 由向心力公式 （3）设绳长为 l,绳断时球的速度大 小为 v３，绳承受的最大拉力不变，有 得 绳断后球做平抛运动，竖直位移为 ,水平位移为 x，时间为 t1，有 得 当 时，x 有极大值 【总结升华】（1）将文字形成正确的物理情景是解决物理问题的一个关键。（2）应用数学方法求解物 理题中的极值问题也是常用的方法。 类型六、线速度、角速度、向心加速度大小的比较和计算 例 6．如图所示，定滑轮的半径 r=2 cm，绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物，由静止开始释放，测得 重物以加速度 a=2 m / s2 做匀加速运动。在重物由静止下落距离为 1 m 的瞬间，滑轮边缘上的点的角速度ω 多大？向心加速度 a 多大？ 【思路点拨】物体的速度时刻等于轮缘上一点的线速度，求出物体下落 1 m 时的瞬时速度，然后利用 角速度、向心加速度和线速度的关系可以求解。 【解析】（1）重物下落 1 m 时，瞬时速度为： 显然，滑轮边缘上每一点的线速度也都是 2 m / s，故滑轮转动的角速度，即滑轮边缘上每一点的转动 角速度为： （2）向心加速度为： 【总结升华】此题讨论的是变速运动问题，重物落下的过程中滑轮转动的角速度，轮上各点的线速度 都在不断增加，但在任何时刻角速度与线速度的关系（v=ωr），向心加速度与角速度、线速度的关系 仍然成立。 3R d4 = 2 1vT mg m R − = 11 3T mg= 2 3T-mg= v l 3 8 3v gl= d l－ 2 1 1 2d l gt− = 3 1x v t= ( ) 3 l d lx −= 2 dl = max 2 3x 3 ＝ 2 2 2 1 2m / sv as= = × × = 2 100(rad / s)0.02 v r ω = = = 00 0 0 002 2 2 2a r 1 . 2 m / s 2 m / sω= = × = 2 2va RR ω= =14 类型七、水平面上在静摩擦力作用下的圆周运动 例 7．如图，在水平转台上放一质量为 M 的木块，木块与转台间的最大静摩擦系数为μ，它通过细绳 与另一木块 m 相连。转台以角速度ω转动，M 与转台能保持相对静止，它到转台中心的最大距离 R1 和最 小距离 R2 多大？ 【解析】假设转台光滑，M 与转台保持相对静止的距离中心半径 R0，M 受绳子拉力 T，平台支持力 N。保持静止。T=mg 对 M，T=Mω2R0 即：mg=Mω2R0 ∴ 讨论：（1）若 R 为最小值 R1 时，（R1＜R0）M 有向圆心运动趋势，故转台对 M 有背离圆心的静摩擦 力，大小为 fm=μMg。 对 m 仍有 T=mg ∴mg－μMg=Mω2R2 （2）若 R 为最大值 R1 时，（R1＞R0）M 有离心运动趋势，故转台对 M 有指向圆心，大小为 fm 的静 摩擦力 ∴T+fm=Mω2R1 类型八、圆周运动综合问题 例 8、（2016 江苏省南京师大附中月考）如图所示，轻绳一端系一质量为 m 的小球，另一端做成一 个绳圈套在固定的图钉 A 和 B 上，此时小球在光滑的水平平台上做半径为 a、角速度为ω的匀速圆周运动。 现拔掉图钉 A 让小球飞出，此后绳圈又被 A 正上方距 A 高为 h 的图钉 B 套住，达到稳定后。小球又在平 台上做匀速圆周运动。求： （1）图钉 A 拔掉前，轻绳对小球的拉力大小； （2）从拔掉图钉 A 开始到绳圈被图钉 B 套住过程的时间为多少？ （3）小球最后做匀速圆周运动的角速度。 【解析】（1）图钉 A 拔掉前，轻线的拉力大小为 T=mω2a （2）小球沿切线方向飞出做匀速直线运动，直到线环被图钉 B 套住前，小球速度为 v=ωa 匀速运动的位移 0 2 mgR Mω= 2 2 mg MgR M µ ω −= 1 2 mg MgR M µ ω += MT f 2 2 2( ) 2s a h a ah h= + − = +15 则时间 （3）v 可分解为切向速度 v1；和法向速度 v2，绳被拉紧后 v2=0，小球以速度 v1，做匀速圆周运动， 半径 r=a+h 由 得 【点评】小球最初以 a 为半径做初速度为 v 的匀速圆周运动，拔掉图钉 A 后小球做匀速直线运动，直 到被图钉 B 套住，小球做半径为 a+h，线速度为 v1 的匀速圆周运动。分清小球的运动过程，再结合牛顿运 动定律及运动学知识即可求解。 类型九、圆周运动的临界问题 例 9．如图，光滑圆管轨道 AB 部分平面，BC 部分是处于竖直平面内半径为 R 的半圆，圆管截面半 径 r 远小于 R。有一质量为 m，半径比 r 略小的光滑小球以水平初速 v0 射入圆管。试分析：在小球从 C 端 出来瞬间，对管壁压力有哪几种典型情况，初速 v0 各应满足什么条件？ 【解析】小球从 C 端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：①刚好对管壁无压力，此时重力恰 好充当向心力，得 ，由机械能守恒定律 ，联立解得 。② 对下管壁有压力，此时应有 ，此时相应的入射速度 v0 应满足 。③对上 管壁有压力，此时应用 ，此时相应的入射速度 v0 应满足 。 【总结升华】掌握无物体支撑与有物体支撑的小球在竖直平面内的圆周运动的问题分析方法的不同。 类型十、万有引力与重力的关系 例 10．太空中有一颗绕恒星做匀速圆周运动的行星，此行星上一昼夜的时间是 6 h。在行星的赤道处 用弹簧秤测量物体的重力的读数比在两极时测量的读数小 10%，已知引力常量 G=6.67×10－11 N·m / kg2， 22s ah ht v aω += = 2 1 a av va h a h ω= =+ + 2 1 2' ( ) v a r a h ωω = = + 2 Cmvmg R = 2 2 0 1 122 2 Cmv mg R mv= ⋅ + 0 5v gR= 2 0Cvmg m R > > 04 5gR v gR< < 2 Cvmg m R < 0 5v gR>16 求此行星的平均密度。 【分析】物体在两极只受到两个力——重力和弹簧的拉力作用，而处于平衡状态，根据共点力平衡条 件可得 ① 被称物体在赤道处时，受到万有引力和拉力作用，绕地心做匀速圆周运动的向心力就等于万有引力与 拉力的合力，则有 ② 根据题意可知 F2=(1－10%) F1 ③ 解①②③式可得 ，则此行星的平均密度为 。 【总结升华】（1）在行星（或地球）上的物体随行星（或地球）自转所需要的向心力是由万有引力提 供的，向心力是万有引力的一个分力，另一个分力使物体压紧地面或拉紧悬线，这个分力就是重力。 （2）在行星的两极处的物体，由于随行星自转所需要的向心力为零，故万有引力等于其重力。 （3）在赤道处的物体，随行星自转所需的向心力最大，此时，万有引力的另一个分力——重力最小， 且由于万有引力、重力和向心力同向，则三个力满足 ，即 。式中ω为 行星自转的角速度。由此可知，ω越大，重力 mg 会越小，当ω大到一定值ω0 时，会有 ， 这时物体的重力为零，对赤道表面无压力。当ω＞ω0 时， ，赤道处的物体会被甩出，这 时，行星将解体。 类型十一、用万有引力定律测天体重量 例 11．把地球绕太阳公转看作匀速圆周运动，轨道平均半径约为 1.5×108 km，已知万有引力常量 G=6.67×10－11 N·m2 / kg2，则可估算出太阳的质量大约是多少千克？（结果取一位有效数字） 【解析】题干给出地球轨道半径 r=1.5×108 km，虽没直接给出地球运转周期的数值，但日常知识告 诉我们，地球绕太阳公转一周为 365 天，故周期 T=365×24×3600 s=3.2×107 s。 万有引力提供向心力，即 ， 故太阳质量 【总结升华】①在一些天体运动方面的估算题中，常存在一些隐含条件，应加以利用。如在地球表面 物体受到地球的引力近似等于其重力。地面附近的重力加速度 g=9.8 m / s2；地球自转周期 T=24 h，公转 周期 T=365 天；月球绕地球运动的周期约为 27 天等。 ②本方法利用卫星运动的有关参量（如 r、T），求出的质量 M 是中心天体的，而不是卫星本身的质量 m，同学们应切记这一点。 ③本题要求结果保留一位有效数字，有效数字运算规则告诉我们：在代入数据运算时，只要按四舍五 1 2 MmF G R = 2 2 2 4 2 MmG F m RR T π− = 2 3 2 40 RM GT π= 3 3 3 2 11 2 3 30 30 3.14 kg / m 3.0 10 kg / m4 6.67 10 (6 3600) 3 M GTR πρ π − ×= = = = ×× × × F F F= +万 重 向 2 2 MmG mg m RR ω= + 2 02 MmG m RR ω= 2 2 MmG m RR ω< 2 2 2MmG m rr T π =    2 3 2 4 rM GT π= 2 11 3 11 7 2 4 3.14 (1.5 10 ) kg6.67 10 (3.2 10 )− × × ×= × × × 302 10 kg= ×17 入的方法代入两位（比要求多保留一位）有效数字即可，这样可避免无意义的冗长计算，最后在运算结果 中，再按四舍五入保留到所要求的一位即可，望同学们体会运用。 类型十二、综合运用牛顿运动定律、万有引力定律和匀速圆周运动知识求解天体运动问题 例 12、已知地球半径 R=6.4×106 m，地面附近重力加速度 g=9.8 m / s2，计算在距离地面高为 h=2.0× 106 m 的圆形轨道上的卫星做匀速圆周的线速度 v 和周期 T。 【解析】根据万有引力提供卫星做圆周运动的向心力 求解。 卫 星 做 匀 速 圆 周 运 动 的 向 心 力 由 它 与 地 球 间 的 万 有 引 力 提 供 ， 即 ， 知 ① 由地球表面附近万有引力近似等于重力，即 得 GM=gR2 ② 由①②两式可得 ， 运动周期 。 【总结升华】在已知地球半径和地面附近重力加速度的情况下，可以使用变换公式 GM=gR2，使计算 变得简单，称其为“黄金代换”。 举一反三 【高清课程：曲线运动高考题考点分析 例 8】 【变式 1】1970 年 4 月 24 日，我国自行设计、制造的第一颗人造地球卫星“东红一号”发射成功， 开创了我国航天事业的新纪元。“东方红一号”的运行轨道为椭圆轨道，其近地点 M 和远地点 N 的高度分 别为 439km 和 2384km，则（ ） A.卫星在 M 点的势能大于 N 点的势能 B.卫星在 M 点的角速度大于 N 点的角速度 C.卫星在 M 点的加速度大于 N 点的加速度 D.卫星在 N 点的速度大于 7.9km/s 【答案】BC 【变式 2】（2015 南平综测）某星球直径为 d，宇航员在该星球表面以初速度 竖直上抛一个物体， 物体上升的最大高度为 h，若物体只受该星球引力作用，则该星球的第一宇宙速度为（ ） . 2 ovA .2 o dB v h . 2 ov hC d . 2 ov dD h 2 2( ) Mm vG mR h R h =+ + 2 2( ) Mm vG mR h R h =+ + GMv R h = + 2 MmG mgR = 2 6 3 6 6 9.86.4 10 m / s 6.9 10 m / s6.4 10 2.0 10 gRv R h = = × × = ×+ × + × 2 ( )R hT v π += 6 6 3 3 2 3.14 (6.4 10 2.0 10 ) s 7.6 10 s6.9 10 × × × + ×= = ×× 0v18 【答案】D 【思路点拨】以初速度 竖直上抛一物体，物体在重力作用下做匀减速直线运动，当物体速度减 为 0 时，物体上升到最大高度，已知初速度末速度和位移，根据匀变速直线运动的速度位移关系可以求出 该星球表面的重力加速度 g，再根据万有引力提供向心力，求出该星球的第一宇宙速度． 【解析】在该星球表面以初速度 v0 竖直上抛出一物体，则该物体上升的最大高度为 H． 由 ，得： ，根据 ，而 ，得该星球的第一宇宙速度为： ， 故 D 正确，ABC 错误； 类型十三、卫星变轨问题 例 13、（2015 宝鸡三模）如图所示是嫦娥三号奔月过程中某阶段的运动示意图，嫦娥三号沿椭圆轨 道Ⅰ运动到近月点 处变轨进入圆轨道Ⅱ，嫦娥三号在圆轨道Ⅱ做圆周运动的轨道半径为 ，周期为 ， 已知引力常量为 ，下列说法中正确的是（ ） A．由题中（含图中）信息可求得月球的质量 B．由题中（含图中）信息可求得月球第一宇宙速度 C．嫦娥三号在 处变轨时必须点火加速 D．嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到 P 处时的加速度大于沿圆轨道Ⅱ运动到 处时的加速度 【答案】A 【解析】A、万有引力提供向心力： ，得： ，既根据轨道半径为 ，周 期为 ，万有引力常量为 ，计算出月球的质量，故 A 正确； B、万有引力提供向心力： ，得： ，此处的 r 指的是月球的半径，而不是嫦娥三 号运行的轨道半径，所以由于不知道月球半径，所以不能计算月球第一宇宙速度，故 B 错误； C、椭圆轨道和圆轨道是不同的轨道，航天飞机不可能自主改变轨道，只有在减速后，做近心运动，才能 进入圆轨道，故 C 错误； D、嫦娥三号沿椭圈轨道Ⅰ运动到 P 处时和沿圆轨道Ⅱ运动到 处时，所受万有引力大小相等，所以加速 度大小也相等，故 D 错误。 【总结升华】注意在求解月球的“第一宇宙速度时”， ，r 指的是月球的半径，而不是嫦娥 三号运行的轨道半径。 P r T G P P 2 2 2 4MmG m rr T π= 2 3 2 4 rM GT π= r T G 2 2 Mm vG mr r = GMv r = P GMv r = 0v ghv 22 0 = h vg 2 2 0= R vmmg 2 0= 2 dR = h dvgRv 2 0==19 【巩固练习】 一、选择题： 1．一个静止的质点，在两个互成锐角的恒力 F1、F2 作用下开始运动，经过一段时间后撤掉其中的一个力， 则质点在撤力前后两个阶段的运动性质分别是（ ） A．匀加速直线运动，匀减速直线运动 B．匀加速直线运动，匀变速曲线运动 C．匀变速曲线运动，匀速圆周运动 D．匀加速直线运动，匀速圆周运动 2．如图为一空间探测器的示意图，P1、P2、P3、P4 为四个喷气发动机，P1、P3 的连线与空间一固定坐标系 的 x 轴平行，P2、P4 的连线与 y 轴平行，每台发动机开动时，都能向探测器提供推力，但不会使探测器转 动。开始时，探测器以恒定的速率 v0 向正 x 方向平动。要使探测器改为向正 x 偏负 y 60°的方向以原来的 速率 v0 平动，则可（ ） A．先开动 P1 适当时间，再开动 P4 适当时间 B．先开动 P3 适当时间，再开动 P2 适当时间 C．开动 P4 适当时间 D．先开动 P3 适当时间，再开动 P4 适当时间 3．做平抛运动的物体，每秒的速度增量总是（ ） A．大小相等，方向相同 B．大小不等，方向不同 C．大小相等，方向不同 D．大小不等，方向相同 4．一轮船以一定的速度且船头垂直河岸向对岸行驶，当河水匀速流动时，轮船所通过的位移、过河所用 时间与水流速度的正确关系是（ ） A．水速越大，路程越长，时间越长 B．水速越大，路程越短，时间越短 C．水速越大，路程与时间都不变 D．水速越大，路程越大，时间不变 5．如图所示的塔吊吊臂上有一个可以沿水平方向运动的小车 A，小车下装有吊着物体 B 的吊钩。在小车 A 与物体 B 以相同的水平速度沿吊臂方向匀速运动的同时，吊钩将物体 B 向上吊起，A、B 之间的距离以 d=H －2t2（SI）（SI 表示国际单位制，式中 H 为吊臂离地面的距离）规律变化，则物体做（ ） A．速度大小不变的曲线运动 B．速度大小增大的曲线运动 C．加速度大小、方向均不变的曲线运动 D．加速度大小、方向均变化的曲线运动 6、（2016 湖南省师大附中模拟）近年来我国高速铁路发展迅速，现已知某新型国产机车总质量为 m，如 图已知两轨间宽度为 L，内外轨高度差为 h，重力加速度为 g，如果机车要进入半径为 R 的弯道，请问， 该弯道处的设计速度最为适宜的是（ ）20 A． B． C． D． 7．物块从光滑曲面上的 P 点自由滑下，通过粗糙的静止水平传送带以后落到地面上的 Q 点，若传送带的 皮带轮沿逆时针方向转动起来，使传送带随之运动，如图所示，再把物块放到 P 点自由滑下则（ ） A．物块将仍落在 Q 点 B．物块将会落在 Q 点的左边 C．物块将会落在 Q 点的右边 D．物块有可能落不到地面上 8．如图，在同一竖直平面内，小球 a、b 从高度不同的两点，分别以初速度 va 和 vb 沿水平方向抛出，经 过时间 ta 和 tb 后落到与两抛出点水平距离相等的 P 点。若不计空气阻力，下列关系式正确的是（ ） A．ta＞tb，va＜vb B．ta＞tb，va＞vb C．ta＜tb，va＜vb D．ta＜tb，va＞vb 9．如图所示，有一小球质量为 m，用轻绳 AB 和 BC 连接处于静止状态，AB 沿水平方向，BC 与竖直方 向成角θ。则在剪断 AB 时的瞬间（球未摆动），绳 BC 所受拉力与原来受的拉力的比等于（ ） A． B． C． D． 10．长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端固定在光滑的水平轴上，使小球在竖直面内做圆周运动， 关于最高点的速度 v，下列说法中正确的是（ ） A．v 的极小值为 B．v 由零逐渐增大，向心力也增大 2 2 gRh L h− 2 2 gRh L R− 2 2gR L h h − gRL h 2cos θ θ2sin θ21 / cos θ21 / sin gL21 C．当 v 由 值逐渐增大时，杆对小球的弹力也逐渐增大 D．当 v 由 值逐渐减小时，杆对小球的弹力逐渐增大 11．如图所示，光滑杆偏离竖直方向的夹角为α，杆以 O 为支点，绕竖直轴旋转，质量为 m 的小球套在 杆上可沿杆滑动，当角速度为ω1 时，小球旋转平面即 A 所在水平平面，当杆角速度为ω2 时，小球旋转平 面即 B 所在水平平面，设环对杆压力为 N，则有（ ） A．N1＞N2 B．N1＝N2 C．ω1＜ω2 D．ω1＞ω2 12．如图，质量为 m 的物块，沿着半径为 R 的半球形金属壳内壁滑下，半球形金属壳竖直放置，开口向 上，滑到最低点时速度大小为 v，若物体与球壳之间的摩擦因数为μ，则物体在最低点时，下列说法正确 的是（ ） A．受到向心力为 B．受到的摩擦力为 C．受到的摩擦力为μmg D．受到的合力方向斜向左上方 13．如图所示，在同一轨道平面上的几个人造地球卫星 A、B、C，在某一时刻恰好在同一直线上，下列正 确说法有（ ） A．根据 ，可知 vA＜vB＜vC B．根据万有引力定律，FA＞FB＞FC C．向心加速度 aA＞aB＞aC D．运动一周后，C 先回到原地点 14、(2015 山东高考)距地面高 5 m 的水平直轨道上 A、B 两点相距 2 m，在 B 点用细线悬挂一小球，离 地高度为 h，如图。小车始终以 4 m／s 的速度沿轨道匀速运动，经过 A 点时将随车携带的小球由轨道高度 自由卸下，小车运动至 B 点时细线被轧断，最后两球同时落地。不计空气阻力，取重力加速度的大小 g=10 m／s2。可求得 h 等于( ) gL gL 2vmg m R + 2vm R µ v gr=22 A．1.25 m B．2.25 m C．3.5 m D．4.5 m 15、（2015 山东高考）如图，拉格朗日点 L1 位于地球和月球连线上，处在该点的物体在地球和月球引力 的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动。据此，科学家设想在拉格朗日点 L1 建立空间站， 使其与月球同周期绕地球运动。以 a1、a2 分别表示该空间站和月球向心加速度的大小，a3 表示地球同步卫 星向心加速度的大小。以下判断正确的是( ) A．a2＞a3＞a1 B．a2＞a1＞a3 C．a3＞a1＞a2 D．a3＞a2＞a1 16、（2015 上海高考）如图，战机在斜皮上方进行投弹演练。战机水平匀速飞行，每隔相等时间释放一 颗炸弹，第一颗落在 a 点，第二颗落在 b 点。斜皮上 c、d 两点与 a、b 共线，且 ab=bc=cd，不计空气阻力。 第三颗炸弹将落在（ ） A．bc 之间 B．c 点 C．cd 之间 D．d 点 二、解答题： 1．如图所示，质量为 M 的支座上有一水平细轴 O，轴上套有一长为 L 的细绳，绳的另一端拴一质量为 m 的小球。让球在竖直面内做匀速圆周运动，当小球运动到最高点时，支座恰好离开地面，则此时小球的线 速度多少？ 2、（2016 宁夏育才中学模拟）如图所示，半径为 R，内径很小的光滑半圆管竖直放置。两个质量均为 m 的小球 a、b 以不同的速度进入管内，a 通过最高点 A 时，对管壁上部的压力为 3 mg，b 通过最高点 A 时， 对管壁下部的压力为 0.75 mg，求 a、b 两球落地点间的距离。 3．我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形的轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让 卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m， 地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地 球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫23 星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球 转动对遮挡时间的影响）。 【答案与解析】 一、选择题： 1．B 解析：一个静止的质点，在两个互成锐角的恒力 F1、F2 作用下开始运动，它将沿着合力的方向做匀加速直 线运动。撤掉其中的一个力后，由于运动方向和力的方向不在一直线上，它将作匀变速曲线运动。故 B 选 项正确。 2．A 解析：P1、P2、P3、P4 都是喷气式发动机，是利用反冲作用使探测器得到加速度的。从图上看出，P1 发动 时，使探测器得到负 x 方向的加速度，P4 工作时，使探测器得到负 y 方向的加速度……要使得探测器沿正 x 偏负 y60°方向以原来的速率 v0 平动，这时的速度应是探测器在正 x 方向的速度 vx 与负 y 方向的速度 vy 的合速度，合速度的大小是 v0，因而必须使正 x 方向速度减小到适量，使负 y 方向速度增加到适量，也就 是开动 P1 适当时间，再开动 P4 适当时间，A 选项正确。 误区警示：此题考查的主体是运动的合成，但却放到空间探测器、喷气发动机上，运动方向的描述也 与平面直角坐标系联系起来，这些看起来是常识性的知识，稍不注意，便成了解题的障碍。充分体现了注 重考查能力、紧密联系实际。 3．A 解析：平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度是重力加速度 g，在Δt 时间内速度的增量Δv=gΔt，方向竖 直向下，故 A 选项正确；也可以用动量定理分析解决：做平抛运动的物体只受重力作用，则 mgΔt=mΔv， 当时间相同时速度的增量Δv=gΔt 是相同的，方向竖直向下。 误区警示：（1）Δv=aΔt 不仅适用于直线运动，对于曲线运动也是成立的。（2）Δv 是矢量，有大小 也有方向，Δv 的方向对于匀变速运动来说就是其加速度的方向。Δv 等于末速度 v2 与初速度 v1 的矢量之 差，需由三角形定则求得。例如平抛运动Δv 的求法，如图所示。 4．D 解析：轮船以一定的速度且船头垂直河岸向对岸行驶，其渡河时间与河宽和船在静水中的速度有关，河水 的流速影响的是轮船向下游运动的距离，影响到轮船的路程，但不影响渡河的时间，故选项 D 是正确的。 5．BC 解析：物体 B 的实际运动是合运动，可把合运动分解为两个方向的分运动。物体 B 在水平方向做匀速直线 运动，在竖直方向，由 d=H－2t2 知其做初速度为零的匀加速直线运动。由于水平方向加速度为零，竖直方 向加速度恒定，根据平行四边形定则可得合加速度大小、方向恒定不变，县加速度方向竖直向上。由运动 的合成规律知物体 B 的速度一定增大，又因加速度方向与合速度方向不在一条直线上，故合运动一定为匀 加速曲线运动，所以正确选项为 B、C。 点评：（1）两个分运动都是直线运动，合运动可以是直线运动，也可以是曲线运动。（2）确定轨迹的方 法有两种：①如解析中通过合速度和加速度方向的关系定性地判断直线运动和曲线运动；②由两个分运动 的位移与时间关系消除时间参数便得到轨迹方程。如本题，在竖直平面内的坐标系中，水平方向 x=vt，而 竖直方向 d=H－2t2=y，消除时间 t 可得到轨迹方程 ，可知是一条抛物线。 2 2 2xy H v = −24 6、A 解 析 ： 转 弯 中 ， 当 内 外 轨 对 车 轮 均 没 有 侧 向 压 力 时 ， 火 车 的 受 力 如 图 ， 由 牛 顿 第 二 定 律 得 ： ， ，解得 。故 A 确 B、C、D 错误。故选 A。 7．A 解析：物块从斜面滑下来，当传送带静止时，在水平方向受到与运动方向相反的摩擦力，物块将做匀减速 运动。物块离开传送带时做平抛运动。当传送带逆时针转动时物体相对传送带仍是向前运动的，受到滑动 摩擦力方向与运动方向相反。物体做匀减速运动，离开传送带时，也做平抛运动，且与传送带不动时抛出 速度相同，故落在 Q 点，所以 A 选项正确。 8．A 解析：由于物体做平抛运动，在竖直方向上 ， ，因 ha＞hb，故 ta＞tb，因 ，由于水 平方向 sa=sb，tb＜ta，所以 vb＞va，故 A 项正确。 9．A 解析：剪断 AB 前，小球受力平衡，所以有 ；剪断 AB 后，小球做圆周运动，有 T＇=mg cosθ。 因此绳 BC 所受拉力与原来受的拉力的比 ，A 选项正确。 10．BCD 解析：由于是轻杆，即使小球在最高点速度为零，小球也不会掉下来，因此它的极小值是零，v 由零逐渐 增大，由 可知，F 向也增大；当 时， ，此时杆恰对小球无作用力，向 心力只由其自身重力来提供。若 v 由 增大，则 ，杆对小球为拉力， 且逐渐增大；若 v 由 减小时， ，可见杆对小球为支持力，且逐渐增 大，杆对小球的拉力、支持力均为弹力，所以 C、D 都对。 11．BD 解析：分析小球受力，由合外力指向圆心，作出小球受力的合成图，则 N=mg / sinα，可见，它与角速度、 旋转半径 R 均无关，故 B 选项正确。由于 F 合=F 向，得 mg cotα=mω2R，所以ω2=g cotα / R，可见 R 越 大，ω越小，故 D 选项正确。故答案为 B、D。 点评：解此类题的关键是准确找出圆心、半径及向心力。 12．D 解 析 ： 物 体 在 最 低 点 时 ， 受 到 的 向 心 力 为 ， A 选 项 错 误 ； 受 到 的 摩 擦 力 为 B、C 选项都错误；由于受到向左摩擦力和向上的向心力，故合力方向斜向 2 tan vmg m R θ = 2 2 tan h L h θ = − 2 2 gRhv L h = − 21 2h gt= 2ht g = st v = cos mgT θ= 2' cos cos cos T mg mgT θ θ θ = = 2vF m L =向 v gL= 2vF m mgL = =向 gL 2 2v vm mg F F m mgL L = + ⇒ = − gL 2 2v vm mg F F mgL L = − ⇒ = − 2vF m R =向 2vf FN mg m R µ µ  = = +  25 左上方，D 选项正确。 13．C 解析：公式 只适用于星球表面的卫星，故 A 错误；根据卫星受到的万有引力等于向心力的关系， 可知 C 正确，选项 B、D 错误。 14、A 解析：根据题意先求出小车由 A 运动到 B 的时间 t=2/4=0.5s；在竖直方向上两球都是自由落体运动，对左 侧小球：5m=1/2gt2，对右侧小球：h=1/2g(t-0.5s)2，联立即可求出 h=1.25m，所以 A 正确。 故选：A 15、D 解析：地球同步卫星受月球引力可以忽略不计，表明地球同步卫星距月球要比空间站距月球更远，地球同 步卫星轨道半径 r3、空间站轨道半径 r1、月球轨道半径 r2 之间的关系：r2＞r1＞r3，由 可知 ， ，可比较出 a3＞a2，由题意，空间站与月球周期相等，由 可知 ， ，所以 a2＞a1，因此 a3＞a2＞a1，D 正确。 故选：D 16、A 解析：如图所示： 假设第二颗炸弹的轨迹经过 a、b，第三颗炸弹的轨迹经过 P、Q；a、A、B、P、C 在同一水平线上，由题 意可知，设 aA=BP=x0，ab=bc=L，斜面的倾角为 θ，三颗炸弹到达 a 所在水平面的竖直速度为 vy，水平速 度为 v0，对第二颗炸弹：水平方向： ，竖直方向： ， 对第三颗炸弹：水平方向： ，竖直方向： ，解得：t2=2t1； y2>2y1；所以 Q 点在 c 点的下方，也就是第三颗炸弹将落在 bc 之间，故 A 正确，B、C、D 错误。 故选：A 二、解答题： 1． 1001 cos tvxLx =−= θ 2 111 2 1 gttvy y += 2002 2cos2 tvxLx =−= θ 2 222 2 1 gttvy y += v gr= 2 GMm mar = 3 2 3 GMa r = 2 2 2 GMa r = 22( )ma m rT π= 2 1 1 2( )a rT π= 2 2 2 2( )a rT π= (1 )M gLm +26 解析：小球在最高点受的合力提供向心力，绳的拉力与重力方向相同， ，又因为 F=Mg， 所以 。 2．解析：两个小球在最高点时，受重力和管壁的作用力，这两个力的合力作为向心力，离开轨道后两球 均做平抛运动，A、B 两球落地点间的距离等于它们平抛运动的水平位移之差。 对 A 球： 解得 对 B 球： 解得 由平抛运动规律可得落地时它们的水平位移为： ∴sA－sB=3R 即 a、b 两球落地点问的距离为 3R。 3． 解析：如图所示，O 和 O＇分别表示地球和月球的中心。在卫星轨道平面上，A 是地月连心线 OO＇与地 月球面的公切线 ACD 的交点，D、C 和 B 分别是该公切线与地球表面、月球表面和卫星圆轨道的交点。 根据对称性，过 A 点在另一侧作地月球面的公切线，交卫星轨道于 E 点。卫星在 上运动时发出的信号 被遮挡。 设探月卫星的质量为 m0，引力常量为 G，根据万有引力定律有： ① 2vmg F m L + = (1 )Mv gLm = + 2 3 Avmg mg m g + = 4Av gR= 2 0.75 Bvmg mg m R − = 1 4Bv gR= 4 4A A A Rs v t v Rg = = = 4 B B B Rs v t v Rg = = = 3 1 1 1 3 1 (arccos arccos )Mr R R RTt mr r rπ −= − BE 2 2 2MmG m rr T π =   27 ② 式中，T1 是探月卫星绕月球转动的周期。 由①②式得 ③ 设卫星的微波信号被遮挡的时间为 t，则由于卫星绕月做匀速圆周运动，应有 ④ 式中 ， 。 由几何关系得 ⑤ ⑥ 由③④⑤⑥式得 2 0 0 12 1 1 2mmG m rr T π =     2 3 1 1T rM T m r    =       1 t T α β π −= 'CO Aα = ∠ 'CO Bβ = ∠ 1cosr R Rα = − 1 1cosr Rβ = 3 1 1 1 3 1 arccos arccosMr R R RTt mr r rπ  −= −    3 1 1 1 3 1 arcsin arcsinMr R R RTt mr r rπ   −= −      或