知识讲解 能量与功 提高

1 能量与功 【学习目标】 1. 了解自然界中存在的守恒量——能量的概念，知道什么是物体的动能，什么是物体的势能 2. 知道功的概念及做功的两个要素 3. 掌握功的量度、公式及单位，并能计算有关的实际问题 4．知道功是标量，知道正功和负功的区别 5．理解合外力做功、变力做功的计算方法 【要点梳理】 要点一、寻找守恒量 要点诠释： (1)提出问题：在伽利略的理想实验中，小球滚下斜面 A，如图所示，它就要继续滚上另一个斜面 B．重要的是，伽利略发现了具有启发性的事实：无论斜面 B 比斜面 A 陡些或缓些，小球最后总会在斜面 上的某点停下来，这点距斜面底端的竖直高度与它出发时的高度相同．看起来，小球好像“记得”自己起 始的高度．然而，“记得”并不是物理学的语言，在物理学中，如何表述这一事实呢? (2)寻找守恒量：守恒定律是自然界的普遍规律，已成为人们认识自然的重要工具，寻找守恒量的目 的就是揭示、发现自然界的普遍规律，以便认识自然、利用自然． 在上述伽利略的理想实验中，我们先分析小球的运动特点，小球沿斜面滚下时，高度降低，但速度增 大，而小球沿斜面滚上时，高度增加，但速度减小．那么可知，小球凭位置而具有的能量减少时，由于运 动而具有的能量就增加，反之，也成立，这就体现出守恒量——能量． 要点二、能量 要点诠释： 能量与物体的运动相对应，是对物体不同运动形式的统一量度，不同的运动形式对应不同的能量． (1)势能：相互作用的物体凭借其位置而具有的能量叫做势能． 注意：①两物体间有相互作用力，物体才会有势能． ②势能是与两物体相对位置有关的能量，又叫位能． 例如：地面附近的物体被提到一定的高度而具有的能量叫重力势能；拉伸、压缩的弹簧，拉开的弓具 有的能量叫弹性势能． (2)动能：物体由于运动而具有的能量叫做动能． 动能是一个状态量，动能的大小与物体的运动方向无关，只与物体的质量和运动速度的大小有关．例 如：高速运动的炮弹具有很大的动能，可以穿透军舰厚厚的钢板进入船体；运动的水流、气流(风)可以推 动叶轮转动而使发电机发电． 不同的运动形式在相互转化的过程中对应的能量也在不断地转化着，总的能量守恒意味着运动是守恒 的．能量守恒定律使人类对自然界有了本质的定量认识． 要点三、功的概念 要点诠释： (1)功的定义：物体受力的作用，并沿力的方向发生一段位移，就说力对物体做了功． 力对物体做功是和一定的运动过程有关的．功是一个过程量，功所描述的是力对空间的积累效应． (2)功的两个要素：力和沿力的方向发生位移． 两个要素对于功而言缺一不可，因为有力不一定有位移；有位移也不一定有力． 特别说明：力是在位移方向上的力；位移是在力的方向上的位移．如物体在光滑水平面上匀速运动， 重力和弹力的方向与位移的方向垂直，这两个力并不做功．2 (3)功的计算式： ． 在计算功时应该注意以下问题： ①式中 F 一定是恒力．若是变力，中学阶段一般不用上式求功．②式中的 l 是力的作用点的位移，也 为物体对地的位移．α是 F 方向与位移 l 方向的夹角．③力对物体做的功只与 F、l、α三者有关，与物体 的运动状态等因素无关．④功的单位是焦耳，符号是 J． (4)功是标量，只有大小没有方向，因此合外力的功等于各分力做功的代数和． (5)物理学中的“做功”与日常生活中的“工作”含义不同． 例如：一搬运工在搬运货物时，若扛着货物站着不动不算做功；扛着货物水平前进不算做功；而在他 拿起货物向高处走时就做功了．所以力对物体做功必须具备两个要素：力和在力的方向上有位移． 要点四、功的正负 要点诠释： 1．功的正负 力对物体做正功还是负功，由 F 和 l 方向间的夹角大小来决定． 根据 知： (1)当 0°≤α＜90°时，cosα＞0，则 W＞0，此时力 F 对物体做正功． (2)当α＝90°时，cosα＝0，则 W＝0，即力对物体不做功． (3)当 90°＜α≤180°时，cosα＜0，则 W＜0，此时力 F 对物体做负功，也叫物体克服力，做 功． 2．功的正负的物理意义 因为功是描述力在空间位移上累积作用的物理量，是能量转化的量度，能量是标量，相应地，功也是 标量．功的正负有如下含义： 意义 动力学角度 能量角度 正功 动力对物体做正功，这个力对物体 来说是动力 力对物体做功，向物体提供能量，即受力物体 获得了能量 负功 力对物体做负功，这个力是阻力， 对物体的运动起阻碍作用 物体克服外力做功，向外输出能量(以消耗自身 的能量为代价)，即负功表示物体失去了能量 说明 不能把负功的负号理解为力与位移方向相反，更不能错误地认为功是矢量，负功的方 向与位移方向相反．一个力对物体做了负功，往往说成物体克服这个力做了功(取绝 对值)，即力 F 做负功-Fs 等效于物体克服力 F 做功 Fs 要点五、功的计算方法 要点诠释： (1)一个恒力 F 对物体做功 W＝F·lcos α有两种处理方法：—种是 W 等于力 F 乘以物体在力 F 方向 上的分位移 lcosα，即将物体的位移分解为沿 F 方向上和垂直于 F 方向上的两个分位移 和 ，则 F 做的 功 ；一种是 W 等于力 F 在位移 l 方向上的分力 Fcosα乘以物体的位移 l，即将力 F 分解为沿 l 方向上和垂直于 l 方向上的两个分力 F1 和 F2，则 F 做的功 ． 功的正、负可直接由力 F 与位移 l 的夹角α的大小或力 F 与物体速度 v 方向的夹角α的大小判断． (2)总功的计算． 虽然力、位移都是矢量，但功是标量，物体受到多个外力作用时，计算合外力的功，要考虑各个外力 共同做功产生的效果，一般有如下两种方法： ①先由力的合成与分解法或根据牛顿第二定律求出合力 ，然后由 计算． cosW Fl α= cosW Fl α= 1l 2l 1 cosW F l Fl α= × = 1 cosW F l F lα= × = × F合 cosW F l α= 合3 ②由 计算各个力对物体做的功 W1、W2、…、 ，然后将各个外力所做的功求代数和， 即 ． 要点六、关于相互作用力所做的功 要点诠释： 作用力和反作用力做的功没有一定的关系．根据做功的两个因素，虽然作用力和反作用力大小相等， 但这两个力作用在两个物体上，这两个物体在相同时间内运动的情况是由这两个物体所受的合力、物体的 质量以及物体的初始条件这三个因素共同决定的，两个物体在相互作用力方向上的位移也没有必然联系， 当相互作用的两个物体的位移大小相等时，作用力与反作用力做功的绝对值相等；当相互作用的两个物体 的位移大小不等时，作用力与反作用力做功的绝对值就不等，因此作用力和反作用力所做功的数值也就没 有一定的联系．上述情况可用下面的实例来分析： 如图所示，光滑水平面上有两辆小车甲和乙，小车上各固定一条形磁铁，两车分别靠着固定挡板放 置．此时两车都处于静止状态，虽然两车之间存在着相互作用，但作用力和反作用力不做功，因为力的作 用点无位移；若将甲车左侧的挡板撤去，并使车以一定的水平初速度向右运动，在甲车靠近乙车的过程中， 甲对乙的作用力不做功，而乙对甲的作用力做负功；当甲车返回向左运动时，甲对乙的作用力仍然不做功， 而乙对甲的作用力做正功；若将乙车右侧的挡板也撤去，则在甲车靠近乙车的过程中，甲对乙的作用力做 正功，而乙对甲的作用力仍做负功；当甲车返回向左运动时，两个相互作用力均做正功；若使两车相向运 动，则在其相向运动过程中，两个相互作用力均做负功． 综上所述，作用力、反作用力做功的特点有： (1)作用力与反作用力特点：大小相等、方向相反，但作用在不同物体上． (2)作用力、反作用力作用下物体的运动特点：可能向相反方向运动，也可能向同一方向运动，也可 能一个运动，而另一个静止，还可能两物体都静止． (3)由 不难判断，作用力做的功与反作用力做的功没有必然的关系． 一对作用力和反作用力，两个力可以均不做功；可以一个力做功，另一个力不做功；也可以一个力做 正功，另一个力做负功；也可以两个力均做正功或均做负功． 要点七、变力做功的计算 恒力做的功可直接用功的公式 求出，变力做功一般不能直接套用该公式，但对于一些特 殊情形应掌握下列方法： (1)将变力做功转化为恒力做功． ①分段计算功，然后用求和的方法求变力所做的功． 某人以水平拉力 F 拉一物体沿半径为 R 的圆形轨道走一圈，求力 F 对物体所做的功．很显然，拉力 F 是一个大小不变，方向不断改变的变力，不能直接用公式 来计算，于是我们设想把圆周无限 细分，各小段位移分别为 、 、 、…、 ，对于每一小段位移上的作用力 F 就成为恒力了， 且 F 方向与位移方向相同，于是在每小段位移上，力 F 做的功分别为 F· 、F· 、F· 、…、 F· ，把各小段力 F 所做的功加在一起，就是力 F 对物体所做的功，即 W＝F· +F· +… cosW Fl α= nW 1 2 nW W W W= + + +合 … … cosW Fl α= cosW Fl α= cosW Fl α= 1l△ 2l△ 3l△ nl△ 1l△ 2l△ 3l△ nl△ 1l△ 2l△4 +F· ＝F( + +…+ )，因为 + +…+ ＝2πR，所以有 W＝F·2πR． 这种思维方法叫微元分割法或微元法．曲线运动中的变力做功(主要是大小不变、方向变化的力)常用 微元法求解．上述拉力做的功等于拉力的大小与物体运动总路程的乘积． ②用转换研究对象的方法． 利用 进行计算，如图所示，人站在地上以恒力 F 拉绳，使小车向左运动，求拉力对小车 所做的功．拉力对小车来说是个变力(大小不变，方向改变)，但细细研究，发现人拉绳的力却是恒力，于 是转换研究对象，用人对绳子所做的功来求绳子对小车做的功． (2)方向不变，大小随位移线性变化的力，可用平均力求所做的功． (3)用图像法求解变力做功问题． 我们可以用图像来描述力对物体做功的大小．以 Fcosα为纵轴，以 l 为横轴．当恒力 F 对物体做功时， 由 Fcosα和 l 为邻边构成的矩形面积即表示功的大小，如图(a)所示． 如果外力不是恒力，外力做功就不能用矩形表示．不过可以将位移划分为等距的小段，当每一小段足 够小时，力的变化很小，就可以认为是恒定的，该段内所做功的大小即为此小段对应的小矩形的面积，整 个过程外力做功的大小就等于全体小矩形面积之和，如图(b)所示． 【典型例题】 类型一、恒力功的计算 例 1、（2016 周口市中英文学校模拟）如图甲所示，倾角θ=37°的斜面由粗糙的 AB 段和光滑的 BC 段 组成，质量 m=1 kg 的物体（可视为质点）在平行斜面的恒定外力 F 作用下由 A 点加速下滑，运动到 B 点 时，力 F 突然反向（大小不变），其部分 v—t 图象如图乙所示，物体滑到 C 点时速度恰好为零，取 sin37° =0.6，重力加速度 g=10 m／s2，求： （1）外力 F 的大小及物体在 AB 段与斜面间的动摩擦因数μ。 （2）由 A 到 C 外力 F 所做的总功大小。 【解析】（1）加速阶段 a1=10 m／s2 F+mgsinθ－μmgcosθ=ma1 减速阶段 a2=2 m／s2 mgsinθ－F=ma2 得 F=8 N，μ=0.5 （2）加速阶段位移 x1=5 m， nl△ 1l△ 2l△ nl△ 1l△ 2l△ nl△ cosW Fl α=5 做功为 W1=Fx1=8×5=40 J 减速阶段位移 x2=25 m 做功 W2=－8×25=－200 J F 总功 W=W1+W2=40－200=－160 J 由 A 到 C 外力 F 所做的总功大小为 160 J； 【总结升华】若 F 为恒力，用 W=FLcosa 求解 F 所做的功。 举一反三 【变式 1】（2015 赫山区校级一模）如图所示，A、B 两物体质量分别是 和 ，用劲度系数为 k 的弹簧相连，A、B 处于静止状态。现对 A 施竖直向上的力 提起 A，使 B 对地面恰好无压力，当撤去 F，A 由静止向下运动至最大速度时，重力做功为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】开始时 B 对地面恰好无压力，故 ，解得 ；A 速度最大时，处于平衡位 置，有 ，解得 ；故从静止向下运动至最大速度时，弹簧的位移为 ，故重 力做功为： ，故选 C。 【高清课程：功 例 1】 【变式 2】一个质量为 150kg 的物体，受到与水平方向成α=37°角的斜向右上方的拉力 F=500N 的作 用，在水平地面上移动的距离为 x=5m，物体与地面间的滑动摩擦力 f=100N，求拉力 F 和滑动摩擦力 f 做 的功？ 【答案】2000J，500J 类型二、总功的计算 例 2、如图所示，质量为 m 的物体静止在倾角为θ的斜面上，物体与斜面间的动摩擦因数为μ．现使 斜面水平向左匀速移动距离 l．试求： (1)摩擦力对物体做的功(物体与斜面相对静止)； Am Bm F 2 2 Am g k 2 2 Bm g k 2( )A A Bm m m g k + 2( )B A Bm m m g k + 1 Bkx m g= 1 Bm gx k = 2 Akx m g= 2 Am gx k = 1 2x x x= + 2( )gA A B G A m m mW m gx k += =6 (2)斜面对物体的弹力做的功； (3)重力对物体做的功； (4)斜面对物体做的功是多少?各力对物体所做的总功是多少? 【思路点拨】求各个力所做的总功，可用各个力做功的代数和来求，也可以先求合力再求功。 【解析】物体相对斜面静止，相对地面水平向左匀速移动 l，物体受到重力 mg、摩擦力 和支持力 的作用，这些力均是恒力，故可用 计算各力做的功． 根据物体的平衡条件，可得 ， ． (1) ； (2) ； (3) ； (4)斜面对物体做的功为斜面对物体施的力做功的代数和； ． 各个力对物体所做的总功等于各力做功的代数和， 即 ． 【总结升华】你或许要问“FN 与斜面垂直，它应该不做功呀，怎么 FN 做起功来了呢?”那请你看看 FN 与位移 l 是否垂直，FN 与 l 不垂直，故 FN 做了功． 举一反三 【变式】如图所示，将质量 m 的小球从 A 点松手释放。已知绳长 L，偏角θ，求小球由 A 摆至 B 的过 程中外力对小球所做的总功。 【解析】小球受力分析如图所示： 要求外力对小球所做的总功，此题用求合力的方法是不行的，因为细绳的拉力 T 是变力，合力也是变 力。因此，该题只能分别求出各个力的功再求代数和。 其中绳的拉力不做功，只有重力做功，总功为： fF NF cosW Fl α= sinfF mg θ= cosNF mg θ= cos(180 ) sin cosfF fW F l mglθ θ θ= − = −° cos(90 ) sin cosNF NW F l mglθ θ θ= − =° cos90 0GW mgl= =° 0f NF FW W W= + =斜 0f NF F GW W W W= + + =总7 类型三、相对运动中功的计算 例 3、（2015 包头校级三模）如图所示，某生产线上相互垂直的甲、乙传送带等高，宽度均为 d，而 且均以大小为 v 的速度运行，图中虚线为传送带中线，一个可以看做质点的工件从甲的左端释放，经过长 时间后从甲的右端滑上乙，滑到乙的中线恰好相对静止，下列说法正确的是（ ） A.工件在乙上运动痕迹为直线，长度为 B.工件从滑到乙上到相对静止用时 C.工件与乙之间的动摩擦因数为 D.传送带乙对工件摩擦力做功为零 【答案】AD 【解析】物体滑上乙时，相对于乙上的那一点的速度分为水平向右的速度和向后的速度，合速度为 ， 就是沿着与乙成 45 度的方向，那么相对于乙的运动轨迹是直线；物体与传送带之间开始时的相对速度是 ，相对静止时的相对速度是 0，滑到乙的中线处恰好相对静止，所以沿向右的方向的位移是 ，所以 物体相对传送带的位移 ，故 A 正确；假设它受滑动摩擦力 ，方向与合相对速 度在同一直线，所以角 ，则相对于乙的加速度也沿这个方向，经过 t 后，它滑到乙中线相对与乙静 止，根据牛顿第二定律，有 ，解得： ；根据平均速度公式，有 ，解得： ，故 B 错误，C 错误；滑上乙之前，工件绝对速度为 v， 动能为 ，滑上乙并相对停止后，绝对速度也是 v，动能也是 ，而在乙上面的滑动过程中只有 摩擦力做了功，动能又没有变化，所以乙对工件摩擦做功为零，故 D 正确。 【总结升华】本题的难点在于确定运动轨迹是直线。 举一反三 【变式】小物体 b 位于光滑的斜面 a 上，斜面位于光滑的水平地面上如图所示。从地面上看，在小物 体沿斜面下滑的过程中，a 对 b 的弹力对 b 做功为 W1，b 为 a 的弹力对 a 做功为 W2，对下列关系正确的是： 2 2 d 2 d v 2v gd 2v 2v 2 d 22 2sin 4 d L dπ= = f mgµ= 4 πθ = mg maµ = a gµ= 0 22( a)( d)2 2 2 d v t += = − 22v gd µ = 21 2 mv 21 2 mv8 （ ） A．W1=0,W2=0 B．W1≠0,W2=0 C．W1=0,W2≠0 D．W1≠0,W2≠0 【解析】当小物体 b 下滑时，因地面光滑 a 在 b 的压力作用下将向右做匀加速运动。 由于弹力 N 垂直于斜面，固而 N 与小物体的位移的夹角大于 90°。所以 a 对 b 的弹力 N 对 b 做负功， 即 W1≠0。 b 对 a 的弹力 N′与斜面位移夹角小于 90°，固而 b 对 a 做正功，W2≠0。 选项 D 是正确的。 【答案】D 【高清课程：功 例 7】 【变式 2】子弹水平射入木块，在射穿前的某时刻，子弹进入木块深度为 d，木块位移为 s，设子弹与 木块相互作用力大小为 f，则此过程中木块对子弹做功 Wf 子= ；子弹对木块做功 Wf 木= ； 一对 f 对系统做功 Wf 系= 。 【答案】Wf 子=-f（s+d）；Wf 木=fs；Wf 系=-fd 类型四、关于变力功的计算 例 4、如图所示，摆球质量为 m，悬线的长为 L，把悬线拉到水平位置后放手．设在摆球运动过程中 空气阻力 的大小不变，求摆球从 A 运动到竖直位置 B 时，重力 mg、绳的拉力 FT、空气阻力 各做了 多少功? 【思路点拨】计算功的问题要分析清楚是计算恒力的功还是变力的功。 【解析】因为拉力 FT 在运动过程中，始终与运动方向垂直，故不做功，即 ． fF fF 0TFW =9 重力在整个运动过程中始终不变，摆球在重力方向上的位移为 AB 在竖直方向上的投影 OB，且 OB＝ L，所以 ． 空气阻力虽然大小不变，但方向不断改变，且任何时刻都与运动方向相反，即沿圆弧的切线方向，因 此属于变力做功问题．如果将弧 AB 分成许多小弧段，使每一小弧段小到可以看成是直线，在每一小弧段 上 的大小、方向可以认为是不变的(即为恒力)，这样就把变力做功的问题转化为恒力做功的问题，因 此 所做的总功就等于每个小弧段上 所做功的代数和，即 ． 故重力 mg 做的功为 mgL，绳子拉力做功为零，空气阻力所做的功为 ． 【总结升华】滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，物体做曲线运动时，可把运动过 程细分，其中每一小段做功为 Fl，整个运动过程中所做的总功是力与各小段位移大小之积的和，即 ． 举一反三 【高清课程：功 例 8】 【变式】水平拉着物块绕着半径为 R 的圆形操场一圈，物块与地面动摩擦因数为μ，质量为 m，则此 过程中，物块克服摩擦力做功为 . 【 答 案 】 GW mgL= fF fF fF 1 2 1( ) 2fF f f fW F l F l F Lπ= − + + = −  △ △ 1 2 fF Lπ− FW F l= 路程 2 mgRπµ10 【巩固练习】 一、选择题： 1．荡秋千时，由于阻力的作用，秋千荡起的高度越来越小，这说明( ) A．能量逐渐消失 B．势能转化为动能 C．机械能转化为内能 D．以上说法都不对 2、（2016 扬州学业考试）如图所示，拖着旧橡胶轮胎跑是身体耐力训练的一种有效方法，如果某受训者 拖着轮胎在水平直道上跑了 100m，那么下列说法正确的是（　　） A．轮胎受到地面的摩擦力做了负功 B．轮胎受到的重力做了正功 C．轮胎受到的拉力不做功 D．轮胎受到地面的支持力做了正功 3．如图所示，质量分别为 m1 和 m2 的两个物体，m1＜m2，在大小相等的两个力 F1 和 F2 作用下沿水平方向移 动了相同距离。若 F1 做的功为 W1，F2 做的功为 W2，则（ ） A．W1＞W2　 B．W1＜W2 C．W1＝W2 D．无法确定 4．起重机以 1m/s2 的加速度将质量为 1 000 kg 的货物由静止匀加速地向上提升，若 g 取 10m/s2，则在 1s 内起重机对货物所做的功是（ ） A．500 J B．4 500 J C．5 000 J D．5 500 J 5．质量为 m 的物体，受水平力 F 的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（ ） A．如果物体做加速直线运动，F 一定对物体做正功 B．如果物体做减速直线运动，F 一定对物体做负功 C．如果物体做减速直线运动，F 也可能对物体做正功 D．如果物体做匀速直线运动，F 一定对物体做正功 6．一质量为 1.0kg 滑块，以 4m/s 的初速度在光滑水平面上向左滑动，从某一时刻起在滑块上作用一向右 水平恒力，经一段时间，滑块速度方向变为向右，大小为 4m/s，则这段时间内，水平恒力所做的功为（　　） A．0 B．8J C．16J D．32J 7．用水平恒力 F 作用于质量为 M 的物体，使之在光滑的水平面上沿力的方向移动距离 S，恒力做功为 W1， 再用该恒力作用于质量为 m(mW2； B．W1