知识讲解 功率与机车的启动 提高

1 功率与机车的启动 【学习目标】 1．理解功率的概念，能应用功率公式 进行有关的计算． 2．正确理解公式 的意义，并能进行计算和解释有关现象． 3．知道什么是瞬时功率和平均功率、实际功率和额定功率，会在具体问题中计算瞬时功率和平均功率． 4．熟悉机车启动的两种方式。 【要点梳理】 要点一、功率 要点诠释： 1．物理意义 功率是表示做功快慢的物理量。所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。 2．功率的大小 力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即：P= =Fvcosα，其中 α 是力与速度间的夹角 这两种表达形式在使用中应注意： (1) 是求一个力在 t 时间内做功的平均功率。 (2)P= Fvcosα 有两种用法： ①求某一时刻的瞬时功率。这时 F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的 P 为 F 在该时刻的瞬时功 率； ②求某一段时间内的平均功率。当 v 为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移）内 F 为恒力，对应的 P 为 F 在该段时间内的平均功率。 3.说明 （1）功率和功一样，它也是属于力的。说到“功率”必须说是哪个力的功率。如：重力的功率、拉力的 功率、阻力的功率、弹力的功率等。 （2）平均功率描述的是做功的平均快慢程度，因此说平均功率必须说明是哪段时间（或哪段位移上）的 平均功率。而瞬时功率描述的是做功瞬间的快慢程度，因此说瞬时功率必须说明是哪个时刻（或哪个位置） 的瞬时功率。 （3）在国际制单位中功率的单位是 W（瓦）。 （4）功率是标量。功率的正负（仅由 α 角决定）表示是力对物体做功的功率还是物体克服外力做功的功 率。 （5）重力的功率可表示为 PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。 4. 额定功率与实际功率 发动机铭牌上的功率即为额定功率，它是指动力机械正常工作时的最大输出功率； 实际功率是机械实际工作时的功率。 正常工作时，机器的实际功率不应超过它的额定功率值。 要点二、关于汽车的运动分析 要点诠释： (1)对机车等交通工具类问题，应明确 P＝F·v 中，P 为发动机的实际功率，机车正常行驶中实际功 率小于或等于其额定功率；F 为发动机(机车)的牵引力；v 为机车的瞬时速度． (2)机车以恒定功率启动的运动过程． WP t = cosP Fv α= t W WP t = 31W=1J/s,1kW=10 W2 故机车达到最大速度时 a＝0， ， ，这一启动过程的 关系图像如图所 示． (3)机车以恒定加速度启动的运动过程 设机车保持以加速度 a 做匀加速直线运动的时间为 t： ． 则 ，此时速度 ． 这一启动过程的 关系图像如图所示． 说明： （1）当发动机的功率 P 一定时，牵引力与速度 v 成反比，即 ，但不能理解为 v 趋于零时牵引 力 F 可趋近于无穷大；也不能理解为当 F 趋于零时 v 可趋于无穷大。要受到机器构造上的限制。 fF F= m f mP Fv F v= = v t− ( )fF v P F ma at P= ⇒ + = / ( )ft P a F ma= + /( )fv at P F ma= = + v t− 1F v ∝3 （2）用 P=Fv（此时 cosα=1）分析汽车的运动时，要注意条件。如果汽车启动时可以看作匀加速直 线运动，阻力可看作大小不变的力，则汽车的牵引力 F 的大小不变，由 P=Fυ可知发动机的功率是逐渐增 大的。但是当功率达到额定功率时不再增大，由 P=Fυ可知牵引力 F 将逐渐减小，即汽车启动时做匀加速 运动的时间是有限度的。在发动机功率不变的条件下，汽车加速运动的加速度将不断减小。 【典型例题】 类型一、关于平均功率和瞬时功率 例 1、如图所示，质量为 m＝2 kg 的木块在倾角θ＝37°的斜面上由静止开始下滑，木块与斜面间的 动摩擦因数为μ＝0.5，已知：sin 37°＝0.6，cos37°＝0.8，g 取 10 m/s2，求： (1)前 2 s 内重力做的功． (2)前 2 s 内重力的平均功率． (3)2 s 末重力的瞬时功率． 【思路点拨】物体只在重力作用下从静止开始做匀加速直线运动，由运动学知识可知，物体在 2s 内 的位移和物体在 2s 末的速度。知道了重力、位移、速度就可以算出功和功率。 【解析】(1)木块所受的合外力 ． 物体的加速度 ． 前 2 s 内木块的位移 ． 所以，重力在前 2 s 内做的功为 ． (2)重力在前 2 s 内的平均功率为 ． (3)木块在 2 s 末的速度 v＝at＝2×2 m/s＝4 m/s． 2 s 末重力的瞬时功率 P＝mg sinθv＝2×10×0.6×4 W＝48 W． 【 总 结升 华 】 计 算功 率 时 要 弄 清所 求 的 是 瞬时 功 率 还 是平 均 功 率 ，若 是 瞬 时 功 率要 用 公 式 计算，并注意力和速度之间的夹角α． 举一反三 【变式 1】跳绳是一种健身运动．设某运动员的质量是 50 kg，他一分钟跳绳 180 次．假定在每次跳跃 中，脚与地面的接触时间占跳跃一次所需时间的 2/5，则该运动员跳绳时克服重力做功的平均功率是 ________W．(g 取 10m/s2) 【思路点拨】对于一些实际问题，构建出其物理模型是解题的关键．例如本题中为了求运动员起跳过 程中克服重力所做的功，需先求出起跳的初速度，这就需要把运动员在空中的运动看做竖直上抛运动．利 用竖直上抛运动的规律求起跳初速度，从而求出 h，然后求起跳过程中克服重力所做的功． 【答案】75 【解析】由于跳绳是周期性运动，因此我们只需分析一个周期内的情况，找出在一个周期内运动员克 sin cos 2 10 (0.6 0.5 0.8)N 4NF mg mgθ µ θ= − = × × − × =合 2 24 m /s 2m /s2 Fa m = = =合 2 21 1 2 2 m 4m2 2s at= = × × = sin 2 10 0.6 4J 48JW mg sθ= = × × × = 48 W 24W2 WP t = = = cosP Fv α=4 服重力做了多少功，即可求解． 跳跃的周期 ， 每个周期内运动员在空中运动的时间 ． 运动员在空中可视为做竖直上抛运动，则起跳的初速度 ， 每次跳跃时运动员上升的最大高度 ， 所以每次跳跃时，运动员克服重力做的功为 ， 故克服重力做功的平均功率为 ． 【总结升华】应该清楚运动受跳起到 h 高度克服重力做功的 mgh．细致分析运动员的一次跳绳过程， 求出运动员在空中运动的时间 ，从而求出 h 是解决问题的关键．求平均功率的时间必须用跳绳时间 T， 即要注意求的是哪段时间内的平均功率． 【高清课程：功率 例 3】 【变式 2】质量 m=3kg 的物体，在水平力 F=6N 的作用下，在光滑的水平面上从静止开始运动，运动时 间 t=3s，求： （1）力 F 在 t=3s 内对物体做的功； （2）力 F 在 t=3s 内对物体做功的平均功率； （3）力 F 在 3s 末对物体做功的瞬时功率。 【答案】54J；18W；36W 类型二、关于汽车的运动分析 例 2、（2015 大庆三模）我国自主研发的 C919 大型客机争取今年试飞，国人的大飞机梦有望今年圆 上.若进展顺利，首飞后最快有望 2017 年完成取证和交付. 设计的飞机质量 m=7.5×104kg，起飞速度是 80m/s. （1）若飞机起飞过程中发动机保持额定功率 P=8000kW 不变，起飞前瞬间加速度 a1=0.4m/s2，求飞机在 起飞前瞬间受到的阻力大小？ （2）若飞机在起飞加速滑行过程中牵引力恒为 F＝9.0×104 N，受到的平均阻力为 f=1.5×104 N.如果飞机在 达到起飞速度的瞬间因故而停止起飞，则需立即关闭发动机且以大小为 4m/s2 的恒定加速度减速停下，以 确保飞机不滑出跑道.大庆萨尔图机场飞行区等级为 4C 等级，机场跑道长 2600 米，是否可以安全起降国 产大飞机？ 【答案】（1） ；（2）不能 【解析】（1）设机在起飞前瞬间牵引力大小为 ，受到的阻力大小 ，起飞速度 ， 则： 47 10 N× 1F 1f 80mv m s= 1 mP Fv= 60 1s s180 3T = = 1 3 1 s5 5t T= = 1 0 1 110 m / s 1m / s2 2 5 tv g= = × × = 2 0 1 m2 20 vh g = = 150 10 J 25J20W mgh= = × × = 25 W 75W1 3 WP t = = = 1t5 牛顿第二定律得： 代入数据解得： （2）设飞机起飞过程加速度为 ，达到起飞速度应滑行距离为 ，因故减速滑行距离为 ，跑道的长 度至少为 ，则 牛顿第二定律得： 由匀减速直线运动得： 代入数据解得： 由于 所以大庆萨尔图机场不能安全起降国产大飞机 【总结升华】(1)考查飞机以恒定功率启动的物理情景（2）考查飞机以恒定加速度启动时，初始阶段 的匀加速运动。我们需要对这两种启动方式的物理情景，及推力过程，做到熟练掌握的程度。 举一反三 【变式 1】（2015 全国 II 高考）一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率 P 随 时间 t 的变化如图所示。假定汽车所受阻力的大小 f 恒定不变。下列描述该汽车的速度 v 随时间 t 变化的图 像中，可能正确的是( ) A． B． C． D． 1 1 1F f ma− = 4 1 7 10f N= × 2a 1x 2x x 2F f ma− = 2 1 12m a xυ = 2 2 22m a xυ = 21 xxx += 4000x m= 4000 2600x m m= >6 【答案】A 【解析】由图可知，汽车先以恒定功率 P1 起动，所以刚开始先做加速度减小的加速度运动，后以更大 功率 P2 运动，所以再次做加速度减小的加速运动，故 A 正确。 【高清课程：功率 例 6】 【变式 2】汽车发动机的额定功率为 60KW，汽车的质量为 5t，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车 重的 0.1 倍，g=10m/s2。汽车保持额定功率不变从静止启动后: （1）汽车所能达到的最大速度是多大？ （2）当汽车的加速度为 2m/s2 时速度多大？ （3）当汽车的速度为 6m/s 时加速度多大？ 【答案】12m/s；4m/s；1m/s2 例 3、（2016 抚州市月考）汽车发动机的额定功率为 30 KW，质量为 1000 kg，当汽车在水 平路面上行驶时受到阻力为车重的 0.1 倍（g=10 m／s2），求： （1）汽车在路面上能达到的最大速度； （2）若汽车以额定功率启动，当汽车速度为 5 m／s 时的加速度； （3）若汽车从静止开始保持 2 m／s2 的加速度作匀加速直线运动，达到额定输出功率后，汽车保持功 率不变又加速行驶了 200 m，直到获得最大速度后才匀速行驶。求汽车从静止到获得最大行驶速度所用的 总时间。 【解析】（1）汽车有最大速度时，此时牵引力与阻力平衡，由此可得：P=Fv=fvm。 所以 （2）当速度 v=5 m／s 时，则 ， 根据牛顿第二定律得 F－f=ma，解得 （3）若汽车从静止开始做匀加速直线运动，当达到额定功率时，匀加速阶段结束。 由 F－f=ma，解得匀加速阶段的牵引力 F1=f+ma1=3000 N 匀加速运动的末速度 ，则匀加速运动的时间 之后做加速度逐渐减小的加速运动，直到达到最大速度， 由动能定理得 ，解得 t2=20。 综上有：t=t1+t2=25 s。 【点评】本题考查的是汽车的启动方式，对于汽车的两种启动方式，恒定加速度启动和恒定功率启动， 对于每种启动方式的汽车运动的过程一定要熟悉。 30000 m / s 30 m / s0.1 1000 10m Pv f = = =× × 30000 N 6000 N5 PF v = = = 2 26000 0.1 1000 10 m / s 5m / s1000 F fa m − − × ×= = = 1 30000 m / s 10m / s3000 Pv F = = = 1 1 1 10 s 5s2 vt a = = = 2 2 2 1 1 1 2 2mPt fs mv mv− = −7 【巩固练习】 一、选择题： 1．雨滴在空中运动时所受阻力与其速度的平方成正比，若有两个雨滴从高空中落下，其质量分别为 m1、 m2，落至地面前均做匀速直线运动，则匀速运动时其重力功率之比为( ) A．m1:m2 B． C． D． 2．一个小孩站在船头，按图甲、乙所示两种情况用同样大小的力拉绳，经过相同的时间 t(船未碰撞)，小 孩所做的功 W1、W2 及在时间 t 内小孩拉绳的功率 P1、P2 的关系为( ) A． ， B． ， C． ， D． ， 3．物体在水平恒力 F 作用下，由静止起沿水平面由 A 点运动了 s 米到达 B 点，则当（ ） A．水平面光滑时，力 F 对物体做功的平均功率较大 B．水平面不光滑时，力 F 对物体做功的平均功率较大 C．水平面光滑时，力 F 在 B 点的瞬时功率大 D．水平面不光滑时，力 F 在 B 点的瞬时功率大 4．如图所示，物体质量为 10kg，动滑轮质量不计，竖直向上拉动细绳，使物体从静止开始以 5m/s2 的加 速度上升，则拉力 F 在 1s 末的瞬时功率为（　　）（g 取 10m/s2） A．750W B．375W C．125W D．150W 5．细绳的一端固定，另一端拴一小球，拉起小球，使悬线沿水平方向伸直，将小球由静止释放，在小球 运动到最低点的过程中，小球所受重力的瞬时功率是怎样变化的（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 6．汽车以速率 v1 沿一斜坡向上匀速行驶，若保持发动机功率不变，沿此斜坡向下匀速行驶的速率为 v2， 则汽车以同样大小的功率在水平路面上行驶时的最大速率为（设三情况下汽车所受的阻力相同）（ ） 2 1:m m 1 2:m m 3 3 1 2:m m 1 2W W> 1 2P P= 1 2W W< 1 2P P< 1 2W W= 1 2P P= 1 2W W< 1 2P P=8 A． B． C． D． 7. 水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为μ(0＜μ＜1)．现对木箱施加一拉力 F，使木箱 做匀速直线运动．设 F 的方向与水平面夹角为θ，如图所示在θ从 0°逐渐增大到 90°的过程中，木箱的 速度保持不变，则( ) A．F 先减小后增大 B．F 一直增大 C．F 的功率减小 D．F 的功率不变 8. 如图所示，在外力作用下某质点运动的 v-t 图像为正弦曲线．从图中可以判断( ) A．在 0～t1 时间内，外力做正功 B．在 0～t1 时间内，外力的功率逐渐增大 C．在 t2 时刻，外力的功率最大 D．在 t1～t3 时间内，外力做的总功为零 9、（2016 模拟）下列各图是反映汽车以恒定牵引力从静止开始匀加速启动，最后做匀速运 动的过程中，其速度随时间以及加速度、牵引力和功率随速度变化的图象，其中正确的是（ ） 10.(2015 马鞍山三模)如图所示，竖直放置的等螺距螺线管高为 h，该螺线管是用长为 l 的硬质直管（内 径远小于 h）弯制而成。一光滑小球从上端管口由静止释放，关于小球的运动，下列说法正确的是（ ） A．小球到达下端管口时的速度大小与 l 有关 B．小球到达下端管口时重力的功率为 C．小球到达下端的时间为 D．小球在运动过程中受管道的作用力大小不变 二、解答题： 2mg gh 22l gh 1 2v v 1 2 1 ( )2 v v+ 1 2 1 2 2v v v v+ 1 2 1 2 v v v v+ h9 1．质量为 m 的小球做自由落体运动，从开始下落计时，在连续相等的时间 t 内，求： (1)重力做功的平均功率之比为多少? (2)每段时间末重力的瞬时功率之比为多少? 2．如图甲所示，质量为 1 kg 的物体置于固定斜面上，对物体施以平行于斜面向上的拉力 F，1 s 末后将拉 力撤去，物体运动的 v-t 图像如图乙所示，试求：(1)拉力 F；(2)拉力 F 的平均功率． 3．一辆电动自行车的铭牌上给出了如下技术指标： 车型 26 型电动自行车 整车质量 30kg 最大载重 120kg 额定输出功率 120W 额定电压 40V 额定电流 3.5A 质量为 M＝70 kg 的人骑此电动自行车沿平直公路行驶，所受阻力 恒为车和人总重的 0.02 倍，g 取 10m/s2．则在电动自行车正常工作时，人骑车行驶的最大速度为多少? 4. 滑板运动是一项非常刺激的水上运动．研究表明，在进行滑板运动时，水对滑板的作用力 FN 垂直于板 面，大小为 ，其中 v 为滑板速率(水可视为静止)．某次运动中，在水平牵引力作用下，当滑板和水面 的夹角 时(如图所示)，滑板做匀速直线运动，相应的 ，人和滑板的总质量为 108 kg， 试求(重力加速度 g 取 10 m/s2，sin 37°取 ，忽略空气阻力)： (1)水平牵引力的大小； (2)滑板的速率； (3)水平牵引力的功率． 5、（2016 福建师大附中期中考）如图所示，在水平地面上有一辆质量为 m=2 蚝的玩具汽车沿 Ox 轴运动， 已知其电动机的输出功率恒定，它通过 A 点时速度为 vA=2 m／s，再经过 t1=2 s，它通过 B 点时电动机损 fF 2kv 37θ = ° 54kg / mk = 3 510 坏失去动力，在阻力作用下又经过 t2=10 s 最终停在 C 点。已知 A、B 两点相距 s1=9 m，B、C 两点相距 s2=25 m。整个过程阻力保持恒定。求： （1）玩具汽车在 BC 段运动时加速度 a 的大小和在 B 点时的速度 vB 的大小； （2）玩具汽车的输出功率 P； （3）玩具汽车通过 A 点时的加速度 aA 的大小。 11 【答案与解析】 一、选择题： 1．D 解析：设 ，雨滴匀速下落，则 ．由 得 ，而 ． 2．B 解析：第一种情况，小孩的脚对他所站的船做功，同时绳对小孩的拉力对小孩也做功；第二种情况下，除 上述功外，小孩对另一小船又多做了一部分功，所以 ； ， ，故 ，则 B 正 确． 3．AC 解析：水平面光滑时物体做匀加速直线运动，有： F=ma……(1) s= at2……(2) ……(3) v2=2as……(4) P=Fv……(5) 由方程(1)(2)(3)得： 由方程(1)(4)(5)得： 水平面不光滑时，物体做匀加速直线运动有：F-f=ma……(6) 由方程(6)(2)(3)得 由方程(6)(4)(5)得 由此有： P1