知识讲解 重力势能和弹性势能 提高

1 重力势能和弹性势能 【学习目标】 1．理解重力势能的概念，会用重力势能的定义式进行计算． 2．理解重力势能的变化和重力做功的关系．知道重力做功与路径无关． 3．知道重力势能的相对性． 4．明确弹性势能的含义，理解弹性势能的相对性 5．知道弹性势能与哪些量有关． 【要点梳理】 要点一、重力做功的特点 要点诠释： 重力对物体所做的功只跟物体的初末位置的高度有关，跟物体运动的路径无关．物体沿闭合的路径运 动一周，重力做功为零，其实恒力(大小方向不变)做功都具有这一特点． 如物体由 A 位置运动到 B 位置，如图所示，A、B 两位置的高度分别为 h1、h2，物体的质量为 m，无论 从 A 到 B 路径如何，重力做的功均为： ＝mgh＝mg(h1-h2)＝mgh1-mgh2． 可见重力做功与路径无关． 要点二、重力势能 要点诠释： (1)定义：物体由于被举高而具有的能． (2)公式：物体的重力势能等于它所受重力与所处高度的乘积． ． h 是物体重心到参考平面的高度． (3)单位：焦(J)． 1J＝ ． (4)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．实际上是由 h 为相对量引起的．参考 平面的选择不同，重力势能的值也就不同，一般取地面为参考平面． 在参考平面内的物体，EP＝0； 在参考平面上方的物体，EP＞0； 在参考平面下方的物体，EP＜0． (5)重力势能是标量，它的正、负值表示大小． (6)重力势能是地球和物体共有的． 要点三、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性 要点诠释： cosGW mgl α= PE mgh= 21kg m s 1N mm−• • • = •2 (1)重力势能是一个相对量，它的数值与参考平面的选择有关．在参考平面内，物体的重力势能为零； 在参考平面上方的物体，重力势能为正值；在参考平面下方的物体，重力势能为负值． (2)重力势能变化的不变性(绝对性)． 尽管重力势能的大小与参考平面的选择有关，但重力势能的变化量都与参考平面的选择无关，这体现 了它的不变性(绝对性)． (3)某种势能的减少量，等于其相应力所做的功． 重力势能的减少量，等于重力所做的功；弹簧弹性势能的减少量，等于弹簧弹力所做的功． (4)重力势能的计算公式 EP＝mgh，只适用于地球表面及其附近 g 值不变时的范围，若 g 值变化时，不 能用其计算． 要点四、重力做功和重力势能改变的关系 要点诠释： (1)设 A、B 两点为物体在运动过程中所经历的两点(如图所示)。 若从 B 点运动到 A 点，则 (重力对物体做负功 mgh)；从能量的角度， (重力 势能增加 mgh)． 若从 A 点运动到 B 点，则 (重力对物体做正功 )；从能量的角度， (重力 势能减小 mgh)．可见，重力势能的改变△EP 只与重力做功 有关，跟物体做什么运动以及是否同时还有 其他作用力(如牵引力、阻力等)的存在无关，即 ．也就是说，重力做正功时，重力势能减少， 减少的重力势能等于重力所做的功；克服重力做功时，重力势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做 的功．即 ． (2)重力做功与重力势能的比较． 概念 比较项目 重力做功 重力势能 物理意义 重力对物体所做的功 由于物体与地球的相互作用，且由它们之间 的相对位置决定的能 表达式 影响大小的因素 重力 G 和初、末位置的高度差△h 重力 mg 和某一位置的高度 h 只与初、末位置的高度差有关，与路 径及参考平面的选择无关 与参考平面的选择有关，同一位置的物体， 选择不同的参考平面会有不同的重力势能 值特点 过程量 状态量 联系 重力做功过程是重力势能变化的过程，重力做正功，重力势能减小，重力做负功， GW mgh= − PE mgh=△ GW mgh= mgh PE mgh= −△ GW G PW E= −△ 1 2 1 2G P PW E E mgh mgh= − = − GW G h mg h= =△ △ PE mgh=3 重力势能增加，且重力做了多少功，重力势能就变化了多少功，即 要点五、弹性势能 要点诠释： 1.弹性势能 发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有势能，这种势能叫做弹性势能。 2.弹性势能的大小跟形变的大小有关，形变量越大，弹性势能越大 对于弹簧来说，弹性势能还与劲度系数有关，当形变量一定时，劲度系数越大的弹簧弹性势能也越大。 3.弹性势能的表达 注意：式中 为弹簧的弹性势能， 为劲度系数， 为弹簧的形变量（即压缩或伸长的长度） 4.弹力做功跟弹性势能变化的关系 当弹簧的弹力做正功时，弹簧的弹性势能减小，弹性势能变成其他形式的能；当弹簧的弹力做负功时， 弹簧的弹性势能增加，其他形式的能转化为弹性势能。 这一点与重力做功跟重力势能变化的关系类似。 【典型例题】 类型一、重力势能的理解 例 1、如图所示，一人造卫星绕地球做椭圆轨道运动，试比较该卫星在近地点与远地点时的重力势能大 小． 【解析】设 A、B 两点与地球的距离分别为 hA 和 hB． 错解一：因为 ， ， ，所以 ． 错 解 二 ： 设 卫 星 在 A 、 B 两 处 时 的 重 力 加 速 度 分 别 为 与 ． 则 有 ， ． 因 为 ， 所 以 ． 正确解法：在 AB 连线上取 A′点，使 A 与 A′同处于以地心为圆心的同一圆弧上，则 A′和 A 处物 体重力势能大小相等。另外，卫星由 B 至 A′时，引力做正功，重力势能减小，故有 ． 【总结升华】错解的原因是公式 只能在地球表面及附近 g 值认为不变时才能适用，而卫星 在 A、B 两点时的 g 值不同，重力势能的计算就不能用此公式了． 举一反三 【高清课程：重力势能和弹性势能 例 1】 1 2G P PW E E= − 21 2PE k l= ∆ PE k l∆ AP AE mgh= BP BE mgh= A Bh h< A BP PE E< Ag Bg 2AP A A A A A GM GMmE mg h mh h h = = = 2BP B B B B B GM GMmE mg h mh h h = = = A Bh h< A BP PE E> B AP PE E> PE mgh=4 【变式 1】塔吊把一质量为 200kg 的物体，从距地面高为 h1=10m 的高度匀速运到高为 h2=3m 的地方， 重力做了多少功？物体的重力势能如何变化？ (g=10m/s2) 【答案】14000J；重力势能减少了 14000J 【变式 2】下面关于重力势能的说法中，正确的是( ) A．有甲、乙两个物体，甲的高度是乙的高度的 2 倍，那么物体甲的重力势能的数值一定是物体乙的 3 倍 B．从同一高度将某一物体以不同的速率分别竖直上抛和平抛，则物体从抛出到落地的过程中，重力 势能的变化是相同的 C．有一物体从楼顶落到地面，如果受到空气阻力作用，物体重力势能的减小量小于自由下落时重力 势能的减小量 D．重力做功时，不仅与物体运动的高度差有关，还与物体的运动性质、运动路径有关 【答案】B 【解析】重力势能的大小与物体的质量及零势能参考平面的选取有关，故 A 错；重力做功与路径无关， 与物体的运动性质无关，只与物体的初、末位置的高度差及重力的大小有关，从抛出到落地重力做的正功 相同，物体重力势能的变化是相同的，故 B 正确，C、D 错． 【总结升华】重力做功与路径无关，只取决于初、末位置的高度差；重力势能的变化只与重力做功有 关，两者数值上相等． 类型二、重力势能的相对性与重力势能变化的绝对性 例 2、质量为 20 kg 的薄铁板平放在二楼的地面上，二楼地面与楼外地面的高度差为 5 m．这块铁板相对二 楼地面的重力势能为________J，相对楼外地面的重力势能为________J；将铁板提高 1 m，若以二楼地面 为参考平面，则铁板的重力势能变化了________J；若以楼外地面为参考平面，则铁板的重力势能变化了 ________J．(g 取 10N/kg) 【思路点拨】注意参考平面的选择。 【答案】0 103 200 200 【解析】根据重力势能的定义式，以二楼地面为参考平面： EP＝0． 以楼外地面为参考平面： EP＝mgh＝20×10×5J＝103 J． 以二楼地面为参考平面： ． 以楼外地面为参考平面： ． 【总结升华】重力势能的相对性是指其数值与参考平面的选择有关；重力势能变化的绝对性是指重力 势能的变化量与所选择的参考平面无关． 举一反三 【高清课程：重力势能和弹性势能 例 2】 【变式】桌面 B 高 1m，一质量为 1kg 的小球，从离桌面 1m 高的 A 处自由落下，不计空气阻力，在 这个过程中，分别取地面和桌面为零势能面来计算 。求：(g=10m/s2) （1）小球在 A 处和落地时 C 处的重力势能 （2）小球从 A 到 C 的重力所做的功 （3）小球从 A 到 C 的重力势能的变化量 2 1 1 0 20 10 1J 200JP P PE E E mgh= − = − = × × =△ 2 1 1 1( ) 20 10 1J 200JP P PE E E mg h h mgh mgh′ ′ ′= − = + − = = × × =△5 【答案】 类型三、等效法计算重力势能的变化 例 3、质量为 m 的均匀链条长为 L，开始放在光滑的水平桌面上时，有 的长度悬在桌边缘，如图所 示，松手后，链条滑离桌面，问从开始到链条刚滑离桌面过程中重力势能变化了多少? 【答案】 【解析】解法一：等效法，由图中始态和末态比较，可等效成将开始桌面上的 的链条移至末态的下 端 处，故重心下降了 ，所以重力势能减少了 ，即 ． 解 法 二 ： 设 桌 面 为 参 考 面 ， 开 始 时 重 力 势 能 ， 末 态 时 重 力 势 能 ． 故重力势能变化量 ． 例 4、面积很大的水池，水深为 H，水面上浮着一正方体小木块，木块边长 a，密度为水的 1/2，质量 为 m．开始时，木块静止，如图甲所示．现用力 F 将木块缓慢压到水池底部，不计摩擦．求：从木块刚好 完全浸入水中到停止在池底的过程中，木块重力势能的改变量和池水重力势能的改变量． 1 4 15 32PE mgL= −△ 3 4 3 4 5 8 L 3 5 15 4 8 32mg L mgL× = 15 32PE mgL= −△ 1 1 4 8 32P L mgLE mg= − × = − 2 2 2P L mgLE mg= − × = − 2 1 15 32P P PE E E mgL= − = −△6 【解析】由图乙知木块从位置 1 称到位置 2，相当于使同体积的水从位置 2 移动到位置 l，重心升高 H-a，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置 1 和位置 2 的势能之差．木块的质量为 m，与木块同体积 的水的质量为 2m，故水块和池水势能的改变量分别为 ， ． 【总结升华】获取题目信息，同等效思想确定物体重心变化高度是解题关键． 类型四、弹性势能的理解 例 5、（2016 衡阳校级期末）下列关于弹性势能的说法正确的是（　　） A．任何发生弹性形变的物体都具有弹性势能 B．任何具有弹性势能的物体，一定发生弹性形变 C．物体只要发生形变，就一定具有弹性势能 D．弹簧的弹性势能只跟弹簧被拉伸或压缩的长度有关 【答案】AB 【解析】发生弹性形变的物体，恢复形变的过程中能够对外做功，一定具有弹性势能，故 A 正确； 物体具有弹性势能，在释放弹性势能时会对外做功，故一定是发生了弹性形变，从而积累了一定的势 能，故 B 正确； 形变可以是永久形变，故有形变不一定有弹性势能，C 错误； 弹簧的弹性势能与弹簧的形变量和劲度系数有关，D 错误。 【思路点拨】弹性势能的定义：发生弹性形变的物体的各部分之间，由于有弹力的相互作用，也具有 势能，这种势能叫做弹性势能。另外我们要注意弹性势能的变化总是伴随着弹力做功，同时弹力做功也可 以用来研究弹性势能的变化。 举一反三 【高清课程：重力势能和弹性势能 例 4】 【变式 1】在光滑的水平面上，物体 A 以较大的速度 vA 向右运动，与较小速度 vB 向同一方向运动的、 连有轻质弹簧的物体 B 发生相互作用，如图所示。在相互作用的过程中，弹簧的弹性势能最大时（ ） A、 vA > vB B、 vA < vB C、 vA = vB D、无法确定 【答案】C 【高清课程：重力势能和弹性势能 例 3】 【变式 2】如图所示，在光滑水平面上有一物体，它的左端连一弹簧，弹簧的另一端固定在墙上，在 力 F 的作用下物体处于静止状态，当撤去 F 后，物体将向右运动．在物体向右运动的过程中，下列说法正 确的是( ) ( )E mg H a= −木△ 2 ( )E mg H a= −水△7 A．弹簧的弹性势能逐渐减小 B．弹簧的弹性势能逐渐增大 c．弹簧的弹性势能先增大后减小 D．弹簧的弹性势能先减小后增大 【思路点拨】弹簧被压缩或被拉伸导致的形变量越大最长弹性势能越大。 【解析】由物体处于静止状态可知，弹簧处于压缩状态，撤去 F 物体在向右运动的过程中，弹簧的弹 力对物体先做正功后做负功，故弹簧的弹性势能应先减小后增大． 【答案】D 【总结升华】弹性势能的变化只与弹力做功有关，弹力做正功，弹性势能减小，弹力做负功，弹性势 能增加． 类型五、弹性势能的探究 例 6、弹弓是一种兵器，也是一种儿童玩具，它是由两根橡皮条和一个木叉制成的．拉伸橡皮条的过程人 对橡皮条做功，使其具有一定的弹性势能，放手后橡皮条的弹力做功，将储存的弹性势能转化为石子的动 能，使石子以较大的速度飞出，具有一定的杀伤力．试设计一个实验，求出橡皮条在拉伸到一定长度的过 程中，弹力所做的功是多少？橡皮条具有的弹性势能是多少?(只要求设计可行的做法和数据处理方式，不 要求得出结论) 【解析】(1)准备橡皮条、测力计、坐标纸、铅笔、直尺、笔． (2)将橡皮条的一端固定，另一端拴一绳扣． (3)用直尺从橡皮条的固定端开始测量橡皮条的原长 ，记录在表格中． (4)用测力计挂在绳扣上，测出在不同拉力 F1、F2、F3……的情况下橡皮条的长度 、 、 …… (5)计算出在不同拉力时橡皮条的伸长量 、 、 …… (6)以橡皮条的伸长量为横坐标，以对应的拉力为纵坐标在坐标纸上建立坐标系、描点、并用平滑的 曲线作出 图像． (7)测量曲线与 x 轴包围的面积 S，这个面积在数值上等于外力克服橡皮条的弹力所做的功，也就是弹 力所做负功的数值． 【总结升华】本题旨在考查学生对探究方法的理解水平，从目标着眼根据实际问题的特殊性设计构思 实验的能力，考查学生对物理图像的理解和微积分思想在处理图像问题中的运用．本题的解答过程还有许 多值得思考的问题：如用 ，图像能否求出外力克服弹力所做的功；图像与 轴包围的面积为什么是 外力的功；此几何图形的面积如何求得或测得等，同学们可继续探究． 举一反三 【变式】（2015 福建高考）某同学做“探究弹力和弹簧伸条量的关系”的实验。 0x 10x 20x 30x 1x 2x 3x F x− iF x− ix8 ①图甲是不挂钩码时弹簧下端指针所指的标尺刻度，其示数为 7.73 cm；图乙是在弹簧下端悬挂钩码 后指针所指的标尺刻度，此时弹簧的伸长量为 Δl 为________cm； ②本实验通过在弹簧下端悬挂钩码的方法来改变弹簧的弹力，关于此操作，下列选项中规范的做法是 ________；（填选项前的字母） A．逐一增挂钩码，记下每增加一只钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重 B．随意增减钩码，记下增减钩码后指针所指的标尺刻度和对应的钩码总重 ③图丙是该同学描绘的弹簧的伸长量 Δl 与弹力 F 的关系图线，图线的 AB 段明显偏离直线 OA，造成 这种现象的主要原因是________。 【答案】（1）①6.93 ②A ③超过弹簧的弹性限度 【解析】这是一个“探究弹力合弹簧伸长量之间的关系”的实验题，涉及到刻度尺的读数和实验步骤的考察 以 及 误 差 和 错 误 分 析 。 刻 度 尺 读 数 时 注 意 估 读 。9 【巩固练习】 一、选择题： 1．把一个物体从地面竖直向上抛出去，该物体上升的最大高度是 h，若物体的质量为 m，所受的空气阻力 恒为 ，则在从物体被抛出到落回地面的全过程中( ) A．重力所做的功为零 B．重力所做的功为 2mgh C．空气阻力做的功为零 D．空气阻力做的功为 2．升降机中有一质量为 m 的物体，当升降机以加速度 a 匀加速上升 h 高度时，物体增加的重力势能为( ) A．mgh B．mgh+mah C．mah D．mgh-mah 3．江苏省沙河抽水蓄能电站自 2003 年投入运行以来，在缓解电力紧张方面取得了良好的社会效益和经济 效益．抽水蓄能电站的工作原理是，在用电低谷时(如深夜)，电站利用电网多余电能把水抽到高处蓄水池 中，到用电高峰时，再利用蓄水池中的水发电．如图所示蓄水池(上游水库)可视为长方体，有效总库容量 (可用于发电)为 V，蓄水后水位高出下游水面 H，发电过程中上游水库水位最大落差为 d．统计资料表明， 该电站年抽水用电为 2.4×108 kW·h，年发电量为 1.8×108 kW·h． 则下列计算结果正确的是(水的密度为 ，重力加速度为 g，涉及重力势能的计算均以下游水面为零势 能面)( ) A．能用于发电的水的最大重力势能 B．能用于发电的水的最大重力势能 C．电站的总效率达 75% D．该电站平均每天所发电能可供给一个大城市居民用电(电功率以 105 kW 计)10 h 4、（2015 吉林校级期末）质量为 m 的物体，沿倾角为 的光滑斜面静止下滑，当下滑 t（s）时重力势能 减少量为（ ） A． B． C． D． 5、（2015 徐州模拟）关于弹性势能，下列说法中正确的是（ ） A．只有弹簧发生弹性形变时才具有弹性势能，其它物体发生弹性形变时是不会有弹性势能的 B．弹簧伸长时有弹性势能，压缩时没有弹性势能 C．弹性限度范围内，同一个弹簧形变量越大，弹簧势能就越大 D．火车车厢底下的弹簧比自行车底座下的弹簧硬，则将它们压缩相同的长度时，火车车厢底下的弹 簧具有的弹性势能小 6、（2016 陕西校级期末）如图所示，质量为 m 的物体静止在地面上，物体上面连着一个轻弹簧，用手拉 住弹簧上端上移 H，将物体缓缓提高 h，拉力 F 做功 WF，不计弹簧的质量，则下列说法中正确的是（　　） f 2 fh− ρ PE VgHρ= 2P dE Vg Hρ  = −   α 2 21 sin2 mg t α 2 21 2 mg t 2 2mg t 2 2 21 sin2 mg t α10 A．重力做功-mgh，重力势能减少 mgh B．弹力做功-WF，弹性势能增加 WF C．重力势能增加 mgh，弹性势能增加 FH D．重力势能增加 mgh，弹性势能增加 WF-mgh 7.一根弹簧的弹力一位移图线如图所示，那么弹簧由伸长量 8 cm 到伸长量 4 cm 的过程中，弹力做的功和 弹性势能的变化量为( ) A．3.6 J，-3.6 J B．-3.6 J，3.6 J C．1.8 J，-1.8 J D．-1.8 J，1.8 J 8.在一次演示实验中，一压紧的弹簧沿一粗糙水平面射出一小球，测得弹簧压缩的距离 d 和小球在粗糙水 平面滚动的距离 s 如下表所示．由此表可以归纳出小球滚动的距离 s 跟弹簧压缩的距离 d 之间的关系，并 猜测弹簧的弹性势能 Ep 跟弹簧压缩的距离 d 之间的关系分别是(选项中 k1，k2 是常量)( ) 实验次数 1 2 3 4 d/cm 0.50 1.00 2.00 4.00 s/cm 4.98 20.02 80.10 319.5 A．s＝k1d，Ep＝k2d B．s＝k1d，Ep＝k2d2 C．s＝k1d2，Ep＝k2d D．s＝k1d2，Ep＝k2d2 二、解答题： 1．（2016 厦门校级期末）如图所示，劲度系数为 k1 的轻质弹簧两端分别与质量为 m1、m2 的物块 1、2 连 接，劲度系数为 k2 的轻质弹簧上端与物块 2 连接，下端压在桌面上（不连接），整个系统处于平衡状态．现 施力将物块 1 缓慢地竖直上提，直到下面那个弹簧的下端刚脱离桌面．在此过程中，物块 2 的重力势能增 加了________，物块 1 的重力势能增加了________． 2.如图所示，直杆长为 2L，中点有一转轴 O，两端分别固定质量为 2m、m 的小球 a 和 b，当杆从水平位置 转到竖直位置时，小球 a 和 b 构成的系统重力势能如何变化? 变化了多少?11 3．如图所示长为 L 的细线拴一个质量为 m 的小球悬挂于 O 点正下方，现将小球拉至与 O 点等高的位置且 线恰被拉直．求放手后小球摆到 O 点正下方，现将小球拉至与 O 点等高的位置且线恰被拉直．求放手后小 球摆到 O 点正下方的过程中： (1)球的重力做的功； (2)线的拉力做的功； (3)外力对小球做的总功． 4.某海湾共占面积 1.0×107 m2，涨潮时水深 20 m，此时关上水坝闸门，可使水位保持 20 m 不变；退潮时， 坝外水位降至 18m 也保持不变，假如利用此水坝建水电站，且重力势能变为电能的效率是 10％，每天有两 次涨潮，问该电站一天最多能发出多少电能?(取 g＝10 m/s2) 5.如图所示，质量为 m 的物体从光滑的斜面上的 A 点静止滑下，与固定在地面上并且沿斜面的轻质弹簧接 触并将弹簧压缩至最低点 B，试求当物体处在最低点时弹簧的弹性势能．(已知 AB＝x，斜面倾角为 θ，物 体在 A 点时弹簧处于原长状态)12 【答案与解析】 一、选择题： 1．A、D 解析：上升过程中重力做功为-mgh，下降过程中重力做功为 mgh，所以整个过程中重力做功为零．上升过 程中阻力向下，故阻力做功为 ，下降过程中，阻力向上，故阻力做功为 ，所以整个过 程中阻力做功为 ，故选 A、D． 2．A 解析：要分析重力势能的变化，需分析重力做功．物体随升降机上升了 h，物体克服重力做功 W＝mgh，故 物体的重力势能增加了 mgh． 3．B、C 解析：不考虑下游水位变化，下游水面为零势能面，最大蓄水时重心高度为 ，所以能用于发电的水 的最大重力势能 ，故 A 错误，B 正确；电站的总效率 ， 即 ，故 C 项正确；该电站平均每天的发电量可供大城市居民用 电的时间为 ，故 D 错误． 4、D 解析：物体下滑的加速度 ，t 时刻物体下滑的距离 ，下滑高度 ， 则物体重力势能的减少 ，故选 D。 5、C 解析：弹簧发生弹性形变时具有弹性势能，其它物体发生弹性形变时也有弹性势能，故 A 错误；弹簧伸长 和压缩时都有弹性势能，故 B 错误；同一个弹簧形变量越大，对外做功的本领越大，具有的弹性势能就越 大，故 C 正确；火车车厢底下的弹簧比自行车底座下的弹簧硬，劲度系数大，将它们压缩相同的长度时， 火车车厢底下的弹簧具有的弹性势能大，故 D 错误。 6、D 解析：物块向上运动，重力做负功，重力势能增加 mgh；物块缓慢提高，整个过程中动能不变，则 WF-mgh+Ep=0 故选：D 7. C 解析： 围成的面积表示弹力做的功． ，弹性势能减少 1.8J，C 对 8. D 解析：由本节探究的弹簧的弹性势能的表达式 ，知 ；从题中所示的表格中可以看出， fW fh= − fW fh= − 2 fh− 2 dH − 2P dE Vg Hρ  = −   100%= ×年发电量 年抽水用电总量 8 8 1.8 10100% 100% 75%2.4 10 W W η ×= × = × =× 有 总 8 5 1.8 10 kW h 5h365 10 kWt ×= =×  sina g α= 2 21 1 sin2 2s at g tα= = sinh s α= 2 2 21 sin2pE mgh mg t α∆ = = F x− 1 10.08 60J 0.04 30J 1.8J2 2W = × × − × × = 2 p 1 2E kx= 2 p 2E k d=13 d 增加到原来的 2 倍时，s 增加到原来的 4 倍，s 与 d 是平方的关系，所以有 ，正确选项为 D． 二、解答题： 1． 解析：下面的弹簧 k2 受到压力为 ，压缩量 ，要使 k2 离开桌面，m2 上升的 高度为 ，所以 m2 的重力势能增量 ．弹簧 是由压缩状态转为拉 伸状态，压缩的长度 ，当 离开桌面时，k1 伸长了 ，因此物块 1 上升的高度 ， 故 物 块 1 的 重 力 势 能 增 量 ． 2．系统的重力热能增加 mgL 解析：b 球重力势能增加 2mgL，a 球重力势能减少 mgL，所以系统的重力热能增加 mgL． 3．（1） （2）0 （3） 解析：（1）小球的重力做的功与路径无关， ． （2）在小球下摆的过程中，线的拉力 F 的大小和方向都在变化，是一个变力．将小球运动的圆弧轨迹 无限分割，每一小段变成与圆弧相切的一小段直线，如图所示．不难看出，在每一小段上线的拉力 F 与这 一小段的位移方向总是垂直，所以，在每一小段上，线的拉力做功为零．可以推知，在小球沿着圆弧下摆 的过程中，线的拉力做的功为零，即线的拉力不做功． （3）全过程外力对小球做的总功等于球的重力所做的功，即 ． 4. 4×1010 J 解析：关上水坝闸门，退潮后，坝内水位比坝外高出 2 m，发电时坝内高出部分的水通过发电机流向坝外， 最终水位从 20 m 降至 18 m，减少的重力势能的一部分转化为电能，由 可以算出减少的重力 势能，从而就能算出所发的电能． 2 1s k d= 2 2 1 2 2 ( )m m m g k + 2 1 1 2 1 2 1 1( )m m m g k k  + +    1 2( )m m g+ 1 2 2 2 ( )m m gx k +=△ 2x△ 2 2 1 2 2 2 2 2 ( ) P m m m gE m g x k += =△ △ 1k 1 1 1 m gx k =△ 2k 2 1 1 m gx k ′ =△ 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 ( ) 1 1( )m g m g m mh x x x m m gk k k k k  +′= + + = + + = + +    △ △ △ 2 1 1 1 1 2 1 2 1 1( )PE m gh m m m g k k  = = + +    △ GW mgL= GW W mgL= =总 GW mgL= GW W mgL= =总 PE mg h=△ △14 设海湾面积为 S ，则打开闸门流过发电站的水的体积最多为 hS ，h 为水面高度差，水的质量为 ．重力势能的减少量为 ． 一天最多发出电能为 E＝2× ×10％ ＝0.2× ＝0.2× ×1.0×103×1.0×107×22×10 J ＝4×1010 J． 【点评】利用潮汐发电，是利用海洋能的途径之一，本题介绍了潮汐发电的大致情景，注重将实际问题抽 象为物理问题的能力培养，对于流体类重力势能的改变，将所有流动的流体视为一个整体，找出其重心位 置的变化，本题中枢水位降低 2 m．但重心降低不是 2 m，而是 l m． 5. 解析：在该题中以物体为研究对象，物体在下滑的过程中始、末速度都为零，即在下滑的过程中重力势能 全部转化为弹簧的弹性势能．所以物体在最低点时的弹性势能 ． 【点评】本题主要考查其他形式的能和弹性势能之间的相互转化，物体沿斜面下滑时，物体的重力势能转 化为弹簧的弹性势能，满足能的转化和守恒定律． m V hSρ ρ= = 21 2 2P hE mg Sh gρ= • =△ PE△ 21 2 Sh gρ 1 2 p sin= θE mgx p sinE mgh mgx θ= =