知识讲解 机械能守恒定律 提高

1 机械能守恒定律 【学习目标】 1．明确机械能守恒定律的含义和适用条件． 2．能准确判断具体的运动过程中机械能是否守恒． 3．熟练应用机械能守恒定律解题． 4．知道验证机械能守恒定律实验的原理方法和过程． 5．掌握验证机械能守恒定律实验对实验结果的讨论及误差分析． 【要点梳理】 要点一、机械能 要点诠释： (1)物体的动能和势能之和称为物体的机械能．机械能包括动能、重力势能、弹性势能。 (2)重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械 能守恒定律的适用对象是系统． (3)机械能是标量，但有正、负(因重力势能有正、负)． (4)机械能具有相对性，因为势能具有相对性(须确定零势能参考平面)，同时，与动能相关的速度也 具有相对性(应该相对于同一惯性参考系，一般是以地面为参考系)，所以机械能也具有相对性． 只有在确定了参考系和零势能参考平面的情况下，机械能才有确定的物理意义． (5)重力势能是物体和地球共有的，重力势能的值与零势能面的选择有关，物体在零势能面之上的势 能是正值，在其下的势能是负值．但是重力势能差值与零势能面的选择无关． (6)重力做功的特点： ①重力做功与路径无关，只与物体的始、未位置高度筹有关． ②重力做功的大小：W＝mgh． ③重力做功与重力势能的关系： ． 要点二、机械能守恒定律 要点诠释： (1)内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内动能和势能可以相互转化，但机械能的总量保持不变， 这个结论叫做机械能守恒定律． (2)守恒定律的多种表达方式． 当系统满足机械能守恒的条件以后，常见的守恒表达式有以下几种： ① ，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和． ② 或 ，即动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量． ③△EA＝-△EB，即 A 物体机械能的增加量等于 B 物体机械能的减少量． 后两种表达式因无需选取重力势能零参考平面，往往能给列式、计算带来方便． (3)机械能守恒条件的理解． ①从能量转化的角度看，只有系统内动能和势能相互转化，无其他形式能量之间(如内能)的转化 ②从系统做功的角度看，只有重力和系统内的弹力做功，具体表现在： a．只有重力做功的物体，如：所有做抛体运动的物体(不计空气阻力)，机械能守恒． b．只有重力和系统内的弹力做功．如图(a)、(b)、右图所示． PGW E= −△ 1 1 2 2k P k PE E E E+ = + PkE E= −△ △ P kE E= −△ △2 图(a)中小球在摆动过程中线的拉力不做功，如不计空气阻力，只有重力做功，小球的机械能守恒．图 (b)中 A、B 间，B 与地面间摩擦不计，A 自 B 上自由下滑过程中，只有重力和 A、B 间的弹力做功，A、B 组 成的系统机械能守恒．但对 B 来说，A 对 B 的弹力做功，但这个力对 B 来说是外力，B 的机械能不守恒． 如下图，不计空气阻力，球在摆动过程中，只有重力和弹簧与球间的弹力做功，球与弹簧组成的系统 机械能守恒，但对球来说，机械能不守恒． 要点三、运用机械能守恒定律解题的步骤 要点诠释： (1)根据题意选取研究对象(物体或系统)． (2)明确研究对象的运动过程，分析对象在过程中的受力情况，弄清各力做功的情况，判断机械能是 否守恒． (3)恰当地选取零势能面，确定研究对象在过程中的始态和末态的机械能． (4)根据机械能守恒定律的不同表达式列方程，并求解结果． 4．机械能守恒定律与动能定理的区别 (1)机械能守恒定律和动能定理都是从做功和能量转化的角度来研究物体在力的作用下运动状态的改 变，表达这两个规律的方程都是标量方程，这是它们的共同点． (2)机械能守恒定律的研究对象是物体组成的系统，动能定理的研究对象是一个物体(质点)． (3)机械能守恒定律是有条件的，就是只允许重力和弹力做功；而动能定理的成立没有条件的限制， 它不但允许重力和弹力做功，还允许其他力做功． (4)机械能守恒定律着眼于系统初、末状态的机械能的表达式，动能定理着眼于过程中合外力做的功 及初、末状态的动能的变化． 要点四、如何判断机械能是否守恒 要点诠释： (1)对某一物体，若只有重力做功，其他力不做功，则该物体的机械能守恒． (2)对某一系统，物体间只有动能和势能的转化，系统跟外界没有发生机械能的传递，也没有转化成 其他形式的能(如内能)，则系统的机械能守恒． 对于某个物体系统包括外力和内力，只有重力或弹簧的弹力做功，其他力不做功或者其他力做的功的 代数和等于零，则该系统的机械能守恒，也就是说重力做功或弹力做功不能引起机械能与其他形式的能的 转化，只能使系统内的动能和势能相互转化 (3)机械能守恒的条件绝不是合外力做的功等于零，更不是合外力等于零，例如水平飞来的子弹打入 静止在光滑水平面上的木块内的过程中，合外力的功及合外力都是零，但系统克服内部阻力做功，将部分 机械能转化为内能，因而机械能的总量在减少． (4)一些绳子突然绷紧，物体间碰撞后合在一起等，除非题目特别说明，机械能一般不守恒．3 要点五、实验：验证机械能守恒定律 要点诠释： 1．实验原理 通过实验，分别求做自由落体运动物体的重力势能的减少量和相应过程动能的增加量．若二者相等， 说明机械能守恒，从而验证机械能守恒定律：△EP＝△Ek． 2．实验器材 打点计时器及电源、纸带、复写纸、重物、刻度尺、带有铁夹的铁架台、导线． 3．实验步骤 (1)如图所示装置，将纸带固定在重物上，让纸带穿过打点计时器． (2)用手握着纸带，让重物静止在靠近打点计时器的地方，然后接通电源，松开纸带，让重物自由落 下，纸带上打下一系列小点． (3)从打出的几条纸带中挑选打的点呈一条直线且点迹清晰的纸带进行测量，记下第一个点的位置 O， 并在纸带上从任意点开始依次选取几个计数点 1、2、3、4、…，并量出各点到 O 点的距离 h 1、h2、 h3、…，计算相应的重力势能减少量 mghn，如图所示． (4)依步骤(3)所测的各计数点到 O 点的距离 h1、h2、h3、…，根据公式 计算物体在打 下点 1、2、…时的即时速度 v1、v2、…．计算相应的动能 ． (5)比较 与 是否相等． 4．实验结论 在重力作用下，物体的重力势能和动能可以互相转化，但总的机械能守恒． 5．误差分析 重物和纸带下落过程中要克服阻力，主要是纸带与计时器之间的摩擦力，计时器平面不在竖直方向， 纸带平面与计时器平面不平行是阻力增大的原因，电磁打点计时器的阻力大于电火花计时器，交流电的频 率 f 不是 50 Hz 也会带来误差，f＜50Hz，使动能 Ek＜EP 的误差进一步加大 f＞50 Hz，则可能出现 Ek＞EP 的结果． 本实验中的重力加速度 g 必须是当地的重力加速度，而不是纸带的加速度 a． 【典型例题】 1 1 0 2 n nh hv T + −−= 21 2 nmv 21 2 nmv nmgh4 类型一、对守恒条件的理解 例 1、下列说法中正确的是( ) A．用绳子拉着物体匀速上升，只有重力和绳的拉力对物体做功，机械能守恒 B．做竖直上抛运动的物体，只有重力对它做功，机械能守恒 C．沿光滑斜面自由下滑的物体，只有重力对物体做功，机械能守恒 D．用水平拉力使物体沿光滑水平面做匀加速直线运动，机械能守恒 【思路点拨】本题考察机械能守恒的条件。 【答案】BC 【解析】机械能守恒的条件是：只有系统内的重力或系统内的弹力做功．系统可以受外力作用，但外 力不做功．对于弹力做功，一定要伴随着弹性势能和动能及重力势能之间的转化．选项 A 中，有绳的拉力 对物体做功，所以机械能不守恒，A 错；选项 B 中，竖直上抛的物体，只受重力作用，机械能守恒，B 对； 选项 C 中，物体除受重力作用外还受斜面支持力作用，但支持力不做功，机械能守恒，C 对；选项 D 与 A 一样是错误的． 【总结升华】机械能是否守恒关键不在于受几个力作用，而在于是否只有重力或弹簧弹力做功。 举一反三 【变式 1】以下说法正确的是( ) A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用 B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒 C．物体所受合力不为零时，其机械能可能守恒 D．物体机械能的变化等于合力对物体做的功 【答案】C 【解析】机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，外力不做功即可，故 A 错； 匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物 体，其机械能一直增大，所以 B 错；若物体做平抛运动、自由落体运动、竖直上抛、竖直下抛或斜抛运动 只受重力作用，则机械能均守恒，故 C 正确；若合力仅为重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体， 不会引起物体机械能的变化．根据功能关系知 D 错． 【高清课程：机械能守恒及其验证 例 1】 【变式 2】下列情况中，物体机械能守恒的有( ) A．重力对物体做功不为零，所受合外力为零 B．沿光滑曲面下滑 C．做匀变速运动时机械能可能守恒 D．从高处以 0.9g 的加速度竖直下落 【答案】BC 类型二、机械能守恒定律的基本应用 例 2、如图所示，有一条长为 L 的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，斜面倾角为θ，另一半长 度沿竖直方向下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多 大．5 【思路点拨】考察系统机械能大小及守恒问题。 【答案】 【解析】释放后的链条，竖直方向的一半向下运动，放在斜面上的一半向上运动，由于竖直部分越来 越多，所以链条做的是变加速运动，不能用一般运动公式去解．因为斜面光滑．所以，机械能守恒，链条 得到的动能应是由势能转化的，重力势能的变化可以用重心的位置确定． 设斜面最高点为零势能点，链条总质量为 m， 开始时左半部分的重力势能 ， 右半部分的重力势能 ， 机械能 ． 当链条刚好全部滑出斜面时，重力势能 ， 动能 ， 机械能 ． 机械能守恒 E1＝E2， 所以 ， 整理得 ． 【总结升华】本题选斜面最高点为零势能点，可使重力势能便于确定，使其表达式简化． 举一反三 【高清课程：机械能守恒及其验证 例 3】 【变式 1】如图所示，桌面高度为 h，质量为 m 的小球，从离桌面高 H 处自由落下，不计空气阻力， 假设桌面处的重力势能为零，小球落到地面前的瞬间的机械能应为（ ） A．mgh 　　　 B．mgH C．mg（H+h） D．mg（H-h） 【答案】B 例 3、如图所示，在水平台面上的 A 点，一个质量为 m 的物体以初速度 v0 被抛出，不计空气阻力， (3 sin ) 2 gLv θ−= 1 sin2 4 = − ⋅ θP m LE g 2 2 4 = − ⋅P m LE g 1 21 P P (1 sin )8 mE E E gL θ= + = − + P 2 LE mg= − 21 2kE mv= 2 2 p k 1 2 2 mgE E E L mv= + = − + 21(1 sin )8 2 2 mgL mgL mvθ− + = − + (3 sin ) 2 gLv θ−=6 求它到达 B 点的速度的大小． 【思路点拨】只有重力对物体做功，故机械能守恒。 【答案】4.1m/s 【解析】方法一：物体抛出后的运动过程中只受重力作用，机械能守恒，若选地面为参考面，则 ，解得 ． 方法二：若选桌面为参考面，则 ，解得 ． 方法三：若使用机械能守恒定律的另一种形式：重力势能的减少量等于动能的增加量，不需要选取参 考面，有 ．解得 ． 【总结升华】只有恒力做功且物体做直线运动，可运用牛顿运动定律求解，在利用机械能守恒定律表 达式 E1＝E2 解题时，由于重力势能的相对性，必须先选取参考平面，方可解题． 举一反三 【变式】（2015 全国 I 高考）如图所示，轻质弹簧一端固定，另一端与一质量为 m、套在粗糙竖直固 定杆 A 处的圆环相连，弹簧水平且处于原长。圆环从 A 处由静止开始下滑，经过 B 处的速度最大，到达 C 处的速度为零，AC=h。圆环在 C 处获得一竖直向上的速度 v，恰好能回到 A。弹簧始终在弹性限度内，重 力加速度为 g。则圆环( ) A．下滑过程中，加速度一直减小 B．下滑过程中，克服摩擦力做的功为 C．在 C 处，弹簧的弹性势能为 D．上滑经过 B 的速度大于下滑经过 B 的速度 【答案】BD 【解析】从力和运动的角度分析，小球的合力先减小后增大，速度先增大后减小，所以 A 错；从能量 的角度分析，从 A 到 C 的过程，由能量守恒：mgh=Ep+Q ，其中的 Q 和克服摩擦力做功相等。从 C 到 A 的过程，同理可得: ，两式联立解得： 所以 B 正确，C 错误；同样，从 A 到 B 过程： 从 C 到 B 过程： ， ，把 代入该式，则： .D 也是正确的，此题正确选项：BD。 类型三、系统机械能守恒问题 例 4、（2016 松原市扶余一中模拟）如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角为θ=30°，另一边 2 2 0 1 1( )2 2 BmgH mv mg H h mv+ = − + 2 0 2Bv v gh= + 2 2 0 1 1 2 2 Bmv mgh mv= − + 2 0 2Bv v gh= + 2 2 0 1 1 2 2Bmgh mv mv= − 2 0 2Bv v gh= + 21 4 mv 21 4 mv mgh− 21 2 pmv E mgh Q+ = + 21 4Q mv= 21 2pB B ABmgh E mv mgh Q′= + + + 21 ( )2 B pB ABmv mgh E mgh Q′∴ = − + − 2 21 1 2 2P pB B CBE mv E mv mgh Q′ ′+ = + + + 2 21 1 ( )2 2B P pB CBmv mv E E mgh Q′ ′∴ = + − + − 21 22 mv Q= B Bv v′ >7 与水平地面垂直，顶端有一个定滑轮，跨过定滑轮的细线两端分别与物块 A 和 B 连接，A 的质量为 3m，B 的质量为 m。开始时，将 B 按在地面上不动，然后放开手，让 A 沿斜面下滑而 B 上升，所有摩擦均忽略 不计。当 A 沿斜面下滑距离 s 后，细线突然断了。求物块 B 上升的最大高度 H。（设 B 不会与定滑轮相碰） 【解析】设细线断前一瞬间 A 和 B 速度的大小为 v，A 沿斜面下滑 s 的过程中，A 的高度降低了 ssin θ，B 的高度升高了 s。物块 A 和 B 以及地球组成的系统机械能守恒，物块 A 机械能的减少量等于物块 B 机械能的增加量，即 。 细线断后，物块 B 做竖直上抛运动，物块 B 与地球组成的系统机械能守恒，设物块 B 继续上升的最 大高度为 h，有 联立两式解得 故物块 B 上升的最大高度为 【点评】本题的关键知道绳子未断时，对于单个物体机械能不守恒，因为除重力做功外，还有拉力做 功，对于系统而言，只有重力做功，机械能守恒。 举一反三 【变式】如图所示，质量分别为 3 kg 和 5 kg 的物体 A、B，用轻线连接跨在一个定滑轮两侧，轻绳正 好拉直，且 A 物体底面与地接触，B 物体距地面 0.8 m，求：放开 B 物体，当 B 物体着地时 A 物体的速 度；B 物体着地后 A 物体还能上升多高?(g 取 10m/s2) 【答案】2m/s；0.2m 【解析】方法一：由 E1＝E2． 对 A、B 组成的系统，当 B 下落时系统机械能守恒，以地面为零势能参考平面， 则 ． ． 方法二：由 ， 得 ，得 v＝2 m/s． 方法三：由 ， 2 21 13 sin 32 2mgs mv mgs mvθ − × = + 21 2mgh mv= 8 sh = 9 8H s h s= + = 21 ( )2B A A Bm gh m gh m m v= + + 2( ) 2 (5 3) 10 0.8m /s 2m /s3 5 B A A B m m ghv m m − × − × ×= = =+ + k PE E=增 减△ △ 21 ( )2B A A Bm gh m gh m m v− = + k BE E=增 减△ △8 得 ． 得 v＝2m/s． 当 B 落地后，A 以 2m／s 的速度竖直上抛，则 A 上升的高度由机械能守恒可得 ， ． 【总结升华】利用哪种表达方式列机械能守恒定律的方程要视具体的情况而定，总之以列方程求解 简单方便为主，千万不要把几种表达式混在一起列式，另外确定零势能参考平面也是解题的重要一环，只 有确定了零势能参考平面，才能确定系统中物体的重力势能． 类型四、对实验：验证机械能守恒定律的考查 例 5、某同学利用透明直尺和光电计时器来验证机械能守恒定律，实验的简易示意图如图所示，当有 不透光物体从光电门间通过时，光电计时器就可以显示物体的挡光时间．所用的西瓯 XDS-007 光电门传 感器可测的最短时间为 0.01 ms．将挡光效果好、宽度为 d＝3.8× m 的黑色磁带贴在透明直尺上，从 一定高度由静止释放，并使其竖直通过光电门．某同学测得各段黑色磁带通过光电门的时间△ti 与图中所 示高度差△hi，并将部分数据进行了处理，结果如下表所示．(g 取 9.8m/s2．注：表格中 M 为直尺质量) 1 1.21 3.13 2 1.15 3.31 0.58M 0.06 0.58M 3 1.00 3.78 2.25M 0.23 2.25M 4 0.95 4.00 3.10M 0.32 3.14M 5 0.90 0.41 (1)从表格中数据可知，直尺上磁带通过光电门的瞬时速度是由 求出的，请你简要分析该同 学这样做的理由是_________． (2)请将表格中数据填空完整． (3)通过实验得出的结论是_________． (4)根据该实验请你判断如图所示△Ek-△h 图像中正确的是( ) 2 21 1 2 2B B A Am gh m v m gh m v− = + 21 2A A Am gh m v′ = 2 22 m 0.2m2 2 10 Avh g ′ = = =× 310− 3(10 s)it −△ 1/ (m s )i iv d t −= △ 2 2 k 1 1 1 2 2i iE Mv Mv= −△ ( )ih m△ iMg h△ i i dv t = △9 【解析】(1)理由是根据瞬时速度等于极短时间或极短位移的平均速度确定物体的瞬时速度 vi． (2)由 得 ． 由 得 ． 由 ． (3)在误差允许范围内，重力势能的减少量等于动能的增加量． (4)由实验结论知 ，即 ，故 C 正确． 【总结升华】不管用什么方法验证机械能守恒定律，在这些方法中都必须确定两个状态，测定两个状 态物体的速度及两个状态物体所在位置的高度差，而速度和高度差的确定方法由实验的设计而定．最后计 算物体动能的变化量△Ek 与重力势能的变化量 mg△h 是否相等． 举一反三 【高清课程：机械能守恒及其验证 例 8】 【变式】在用如图所示的实验装置来验证机械能守恒定律时，某同学的以下看法中正确的是(　 ) A．必须用秒表测出重物下落的时间 B．实验操作时，注意手提着纸带，先接通计时器电源，然后松开纸带 C．如果打点计时器不竖直，重物下落时，其重力势能有一部分消耗在纸带摩擦上，就会造成重力势 能的变化小于动能的变化 D．验证时，可以不测量重物的质量 【 答 案 】 BD i i dv t = △ 3 5 3 5 3.8 10 m /s 4.22m /s0.9 10 dv t − − ×= = =×△ 2 2 k 1 1 1 2 2i iE Mv mv= −△ 2 2 2 2 k5 5 1 1 1 1 11.22 3.13 4.012 2 2 2E Mv Mv M M M= − = × − × =△ 4 9.8 0.41 4.02Mg h M M= × =△ k pE E=增 减△ △ kE Mg h=△ △10 【巩固练习】 一、选择题： 1．长度为 的均匀链条放在光滑水平桌面上，使其长度的 垂在桌边，如图 5-21 所示，松手后链条从桌 边下滑，则链条滑至刚离开桌面时的速度大小为（桌面的高度大于链条的长度）（ ） A． B． C． D． 2．如图，质量分别为 m 和 2m 的两个小球 A 和 B，中间用轻质杆相连，在杆的中点 O 处有一固定转动轴， 把杆置于水平位置后释放，在 B 球顺时针摆动到最低位置的过程中（ ） A．B 球的重力势能减少，动能增加，B 球和地球组成的系统机械能守恒 B．A 球的重力势能增加，动能也增加，A 球和地球组成的系统机械能不守恒 C．A 球、B 球和地球组成的系统机械能守恒 D．A 球、B 球和地球组成的系统机械不守恒 3．对于做变速运动的物体而言，下列说法正确的是（ ） A．若改变物体速度的仅是重力，则物体的机械能保持不变 B．若改变物体速度的不是重力和弹力，则物体的机械能一定改变 C．改变物体速度的若是摩擦力，则物体的机械能一定改变 D．在物体速度增大的过程中，其机械能可能反而减小 4．质量为 m 的物体，从静止开始以 2g 的加速度竖直向下运动 h 高度，下列说法中正确的是（ ） A．物体的势能减小 2mgh B．物体的机械能保持不变 C．物体的动能增加 2mgh D．物体的机械能增加 mgh 5. 如图所示，倾角θ＝30°的粗糙斜面固定在地面上，长为 l、质量为 m、粗细均匀、质量分布均匀的软 绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软 绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中( ) A．物块的机械能逐渐增加 B．软绳重力势能共减少了 l 1 4 gl152 1 gl154 1 gl154 3 gl15 1 4 mgl11 C．物块重力势能的减少等于软绳克服摩擦力所做的功 D．软绳重力势能的减少小于其动能的增加与克服摩擦力所做功之和 6. 如图所示，一根不可伸长的轻绳两端各系一个小球 a 和 b，跨在两根固定在同一高度的光滑水平细杆上， 质量为 3m 的 a 球置于地面上，质量为 m 的 b 球从水平位置静止释放．当 a 球对地面压力刚好为零时，b 球摆过的角度为θ．下列结论正确的是( ) A．θ＝90° B．θ＝45° C．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小 D．b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率一直增大 7. 物体做自由落体运动，Ek 代表动能，Ep 代表势能，h 代表下落的距离，以水平地面为零势能面．如图 所示图像中，能正确反映各物理量之间关系的是( ) 8、（2016 郑州市荥阳二高期中考试）如图，可视为质点的小球 A、B 用不可伸长的细软轻线连接，跨过 固定在地面上半径为 R 的光滑圆柱，A 的质量为 B 的两倍。当 B 位于地面时，A 恰与圆柱轴心等高。将 A 由静止释放，B 上升的最大高度是（ ） A．2R B． C． D． 二、解答题： 1．如图所示，质量为 m 的物体，以某一初速度从 A 点向下沿光滑的轨道运动，不计空气阻力，若物体通 过最低点 B 点时的速度为 ，求物体在 A 点时的速度是多少？ 2．如图所示，物体 A 和 B 系在跨过定滑轮的细绳两端，物体 A 的质量 =1.5 ，物体 B 的质量 =1 ，开始时把 A 托起，使 B 刚好与地面接触，此时物体 A 离地高度为 1m。放手让 A 从静止开始下落， 5 3 R 4 3 R 2 3 R gR3 Am kg Bm kg12 求： （1）当 A 着地时，B 的速率多大？ （2）物体 A 落地后， B 还能升高多少？ 3．如图所示，用一条细绳通过一个光滑的滑轮将一个 0.20kg 的砝码和光滑桌面上的一个 0.80kg 的小车 连接在一起。开始时用手握住小车使砝码离开地面 1.0m，然后放手使小车从静止开始运动。试计算： （1）开始时砝码的重力势能（g 取 10m/s2）； （2）放手后在砝码到达地面时小车的速度。 4、（2016 邯郸市高三摸底考试）如图所示，半径为 R 的圆环竖直放置，直径 MN 为水平方向，环上套有 两个小球甲和乙，甲、乙之间用一长廊的轻杆相连，小球可以沿环自由滑动，开始时甲球位于 M 点，乙球 锁定。已知乙的质量为 m，重力加速度为 g。 （1）若甲球质量也为 m，求此时杆对甲球的弹力大小； （2）若甲的质量为 2m，解除乙球锁定，由静止释放轻杆。求甲球由初始位置到达最低点的过程中， 轻杆对甲球所做的功。 5、（2015 江苏高考）一转动装置如图所示，四根轻杆 OA、OC、AB 和 CB 与两小球及一小环通过铰链 连接，轻杆长均为 l，球和环的质量均为 m，O 端固定在竖直的轻质转轴上。套在转轴上的轻质弹簧连接13 在 O 与小环之间，原长为 L。装置静止时，弹簧长为 。转动该装置并缓慢增大转速，小环缓慢上升。 弹簧始终在弹性限度内，忽略一切摩擦和空气阻力，重力加速度为 g。求： (1)弹簧的劲度系数 k； (2)AB 杆中弹力为零时，装置转动的角速度 ω0； (3)弹簧长度从 缓慢缩短为 的过程中，外界对转动装置所做的功 W。 6、（2015 浙江高考）甲同学准备“验证机械能守恒定律”实验，乙同学准备做“探究加速度与力、质量的关 系”实验。 （1）图 1 中 A、B、C、D、E 表示部分实验器材，甲同学需在图中选用的器材________；乙同学需在 图中选用的器材________。（用字母表示） （2）乙同学在实验室选齐所需器材后，经正确操作获得如图 2 所示的两条纸带①和②。纸带________ 的加速度大（填“①”“②”），其加速度大小为________。 7. 如图所示，两个质量各为 m1 和 m2 的小物块 A 和 B，分别系在一条跨过定滑轮的软绳两端，已知 m1＞ m2．现要利用此装置验证机械能守恒定律． (1)若选定物块 A 从静止开始下落的过程进行测量，则需要测量的物理量有________．(在横线上填入 选项前的编号) ①物块的质量 m1、m2； 3 2 L 3 2 L 1 2 L14 ②物块 A 下落的距离及下落这段距离所用的时间； ③物块 B 上升的距离及上升这段距离所用的时间； ④绳子的长度． (2)为提高实验结果的准确程度，某小组同学对此实验提出以下建议： ①绳的质量要轻； ②在“轻质绳”的前提下，绳子越长越好； ③尽量保证物块只沿竖直方向运动，不要摇晃； ④两个物块的质量之差要尽可能小． 以上建议中确定对提高准确程度有用的是________(在横线上填入选项前的编号) (3)写出一条上面没有提到的对提高实验结果准确程度有益的建议：________________． 15 【答案与解析】 一、选择题： 1．B 解析：由于链条在运动过程中，只有重力做功，故链条的机械能守恒。 设链条的总质量为 ，取桌面处的重力势能为零，则 初状态链条的机械能为： ； 末状态的机械能 。 　　由 得 　　所以 2．BC 解析：B 球从水平位置下摆到最低点过程中，受重力和杆的作用力，杆的作用力方向待定。下摆过程中重 力势能减少动能增加，但机械能是否守恒不确定。A 球在 B 下摆过程中，重力势能增加，动能增加，机械 能增加。由于 A+B 系统只有重力做功，系统机械能守恒，A 球机械能增加，B 球机械能一定减少。所以 B， C 选项正确。 3．AD 解析：物体仅受重力机械能守恒，故 A 正确；对于 D 选项，比如，加速下降的物体受到空气的阻力，但 是阻力小于重力，该物体速度增加，但是机械能在减小。对于 BC 选项，例如：物体放在水平转动的平台 上随平台一起做匀速圆周运动,是静摩擦力改变速度方向,而速度大小不变,同时物体的高度也不变。此时机 械能不变。 4．CD 解析：因重力做正功 mgh，所以重力势能减少 mgh，除了重力做功以外，还有其他力做功，故机械能不守 恒。以物体为研究对象，合力的功为 2mgh，所以物体的动能增加为 2mgh，以物体和地球为系统，外力做 正功为 mgh，故物体的机械能增加 mgh，故 CD 选项正确。 5. B、D 解析：对物体，克服绳的拉力做功，故其机械能减小，所以 A 错； 软绳重力势能减少量 ， 故 B 正确；由能量关系可知 C 错，D 正确． 6. A、C 解析：如图所示，设 b 球摆过的角度为θ时，a 球对地面的压力为零，设此时 b 球的速度为 v，b 球做圆周 运动的半径为 l，由题意可知此时绳上的拉力为 3mg． 取 b 球研究有： ． m 84 1 1 lmgE ×−= 22 1 2 2 lmgmvE ×−= 21 EE = mglmvmgl 2 1 2 1 32 1 2 −=− glv 154 1= 1 1 1sin2 2 4 = ⋅ − ⋅ =θE mg mg mgl△ 2 3 sin mvmg mg l θ− =16 在这一过程中由机械能守恒得： ． 两式联立可解得： ，故θ＝90°．A 正确． 由功率的公式 P＝mgvcosθ 可知，b 球摆动到最低点的过程中，重力对小球做功的功率先增大后减小， C 正确． 7. B 解析：由机械能守恒定律，Ep＝E-Ek，故势能与动能的图像为倾斜的直线，C 错；由动能定理，Ek＝mgh， 则 Ep＝E-mgh，故势能与 h 的图像也为倾斜的直线，D 错；又 ，故势能与速度的图像为开 口向下的抛物线，B 对；同理 ，势能与时间的图像也为开口向下的抛物线，A 错． 8、C 解析：设 B 的质量为 m，则 A 的质量为 2m，以 A、B 组成的系统为研究对象，在 A 落地前，由动能定理 可得： ，以 B 为研究对象，在 B 上升过程中，由动能定理可得： 。，则 B 上升的最大高度 H=R+h，解得： ；故选 C。 二、解答题： 1． 解析：从 A 点到 B 点只有重力做功，机械能守恒，取 B 点为零势能面，则根据机械能守恒可知： 又因 可解得： 2．2m/s；0.2m 解析：（1）系统机械能守恒可知： （2）对 B 利用机械能守恒：设还能升高 ，取离地面 1m 处为零势能面 3．2J；2m/s 解析：（1）取地面为零势能面，则砝码的重力势能为： 21sin 2mgl mvθ = sin 1θ = 2 p 1 2E E mv= − 2 2 p 1 2E E mg t= − 212 ( 2 ) 02mgR mgR m m v− + = + − 210 2mgh mv− = − 4 3 RH = 0 3v gR= 2 2 0 Bmv mv=1 1mg3R+2 2 3Bv gR= 0 3v gR= 21( ) ( )2M m gh M m v v − = + = 2ｍ／ｓ h′ 21 2 0.2 mgh mv h m ′ = ′ =17 （2）根据机械能守恒可知，砝码减少的重力势能等于砝码和小车共同增加的动能，即： 4、解析：（1）甲球受到重力、轨道水平向右的支持力和杆的弹力， 根据平衡条件得杆对甲球的弹力大小为 （2）解除乙球锁定，由系统机械能守恒， 又因为 v 甲=v 乙 得 对甲球，由动能定理得 解得 。 5、解析：（1）装置静止时，设 OA、AB 杆中的弹力分别为 F1、T1，OA 杆与转轴的夹角为 θ1。 小环受到弹簧的弹力 小环受力平衡 小球受力平衡 解得 （2）设 OA、AB 杆中的弹力分别为 F2、T2，OA 杆与转轴的夹角为 θ2，弹簧长度为 x。 小环受到弹簧的弹力 F 弹 2=k(x－L) 小环受力平衡 F 弹 2=mg 得 对小球 F2cosθ2=mg；F2sinθ2=mω02lsinθ2 且 解得 （3）弹簧长度为 时，设 OA、AB 杆中的弹力分别为 F3、T3，OA 杆与弹簧的夹角为 θ3。 小环受到弹簧的弹力 小环受力平衡 3T3cosθ3=mg+F 弹 3 且 对小球 F3cosθ3=T3cosθ3+mg；F3sinθ3+T3sinθ3mω32lsinθ3 0.2 10 1 2mgh J= × × = 21 ( )2 2 / mgh m M v v m s = + = 2cos45 mgF mg= =° 2 21 12 22 2mgR mgR mv mv− = ⋅ +甲 乙 2 3v gR=甲 212 22mgR W mv+ = ⋅ 甲 4 3W mgR= − 1 2 LF k= ⋅弹 1 1 12 cosF mg T θ= +弹 1 1 1 1 1 1 1 1cos cos ; sin sinF T mg F Tθ θ θ θ+ = = 4mgk L = 5 4x L= 2cos 2 x l θ = 0 8 5 g L ω = 1 2 L 3 1 2F kL=弹 3cos 4 L l θ =18 解得 整个过程弹簧弹性势能变化为零，则弹力做的功为零，由动能定理 解得 6、解析：（1）AB；BDE （2）①，（2.5±0.2）m/s2 解析：根据纸带求加速度利用公式 Δx=at2，采用逐差法求解。 解析：小球沿光滑轨道滑至桌面时的速度为 v，由机械能守恒得： ，故有 ，小球 从桌面飞出后做平抛运动，设时间为 t，则有 ；s＝vt 综合以上几式可得 ，即有 s2＝4Hh． 7. (1)①②或①③ (2)①③ (3)m1 和 m2 的体积尽量小，质量尽量大；选取光滑的滑轮；对同一高 度进行多次测量取平均值；选取受力后伸长相对尽量小的绳等 解析：本题验证的是小物块 A 和 B 组成的系统在运动过程中减少的重力势能与增加的动能之间是否相等， 由运动学知识我们可知：这一过程中 A、B 两物块都在竖直方向上做匀加速直线运动，设 A 物块下落 h 高 度时(B 物块也上升 h)，A、B 的速度为 ，这一过程所用时间 t，则 ，我们验证的是 是否成立，将 代入上式化简整理可得：(m1-m2)gt2＝2(m1+m2)h， 这一关系只要成立就说明系统的机械能是守恒的．由实验原理我们就能很简便地得出本题的答案． 【点评】明确实验原理是解决本题的关键，由于两物块都做匀加速直线运动，可由平均速度公式来计算其 下落一定高度时的末速度，然后将公式化简进行验证；另外物体下落过程中不可避免地受到阻力的作用， 两物体的质量之差不能太小，系统的加速度越小，阻力因素对实验误差的影响越大． 3 16g L ω = 2 3 3 3 3 1( ) 2 ( ) 2 ( sin )2 2 4 4 2 L L L LW mg mg m lω θ− − − − = × 216mglW mgL L = + 21 2mgh mv= 2v gh= 21 2H gt= 2s Hh= v末 2hv t =末 2 1 2 1 2 1( ) ( )2m m gh m m v− = + 末 2hv t =末