知识讲解 机械能复习与巩固 提高

1 机械能复习与巩固 【学习目标】 1.做功的计算方法。 2.动能定理的内容及其应用 3.机械能守恒定律内容及其与其他运动形式的综合应用 4.能量守恒定律及应用 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、功 要点诠释： 1．功的概念 （1）定义：物体受到力的作用，并且在力的方向上发生了一段位移，我们说力对物体做了功。 （2）功的定义式：W=F cosα （3）功的单位：国际制单位是焦耳，符号 J。 （4）功是标量，只有大小，没有方向。 2．关于总功的计算 l2 一个物体往往同时在若干个力作用下发生位移，每个力都可能做功，它们所做的功产生的效果，即是 总功产生的效果。 总功的计算一般有两个途径： （1）对物体受力分析，求合力，再求合力做功——总功。 （2）对物体受力分析，确定每个力的方向（或反方向）上的位移，求出每个力所做的功，然后再求它们 的代数和——总功。 要点二、功率 要点诠释： 1．物理意义 功率是表示做功快慢的物理量。所谓做功快慢的实质是物体（或系统）能量转化的快慢。 2．功率的大小 力做的功和做这些功所用时间的比值叫功率，即：P= =Fvcosα，其中 α 是力与速度间的夹角 这两种表达形式在使用中应注意： (1) 是求一个力在 t 时间内做功的平均功率。 (2)P= Fvcosα 有两种用法： ①求某一时刻的瞬时功率。这时 F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的 P 为 F 在该时刻的瞬 时功率； ②求某一段时间内的平均功率。当 v 为某段时间（位移）内的平均速度时，要求在这段时间（位移） 内 F 为恒力，对应的 P 为 F 在该段时间内的平均功率。 3.机车启动的两种方式 （1）恒定功率 P0（一般以额定功率）的加速 依公式 P=Fv 可知，P 不变，随着汽车速度 v 的增加，F 只能逐渐减小；物体的加速度 ，尽 管 F 减小，但 F＞f，故汽车做加速度逐渐减小的加速运动，直到 a=0；以后汽车做匀速直线运动。 当牵引力 F=f（a=0）时，汽车具有最大速度 。 （2）恒定牵引力的加速（即恒定加速度启动） 要点三、重力势能 要点诠释： 1.重力势能 2.重力做功跟重力势能变化的关系 重力势能的变化过程，也是重力做功的过程，二者的关系为 ， 表示 t W WP t = m fFa −= 0 m Pv f = PE mgh= 1 2 1 2G P PW E E mgh mgh= − = − 1PE3 在初位置的重力势能， 表示在末位置的重力势能 （1）当物体由高处运动到低处时， ，表明重力做正功时，重力势能减少，减少的重力 势能等于重力所做的功。 （2）当物体由低处运动到高处时， ，表明重力做负功时（即物体克服重力做功），重力 势能增加，增加的重力势能等于克服重力所做的功。 要点四、动能定理 要点诠释： 1.内容 力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫动能定理。 另一表述：合外力对物体所做的总功等于物体动能的变化。 2.表达式 是外力所做的总功， 、 分别表示初、末状态的动能。 要点五、机械能守恒定律 要点诠释： 1.机械能 物体的动能和势能之和称为物体的机械能。（势能包含重力势能和弹性势能） 2.机械能守恒定律 （1）机械能守恒定律的内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以相互转化，而总的 机械能保持不变，这叫做机械能守恒定律。 3.机械能守恒定律的三种表达式 （1）守恒的观点： ，即初状态的动能与势能之和等于末状态的动能与势能之和。 （2）转化的观点： ，即动能的减少量等于势能的增加量。 （3）转移观点： ，即由 A、B 两个物体组成的系统中，A 物体的机械能的减少量等于 B 物 体机械能的增加量。 要点六、能量转化和守恒定律 要点诠释： 1.内容 能量既不会消灭，也不会创生，它只会从一种形式转化为其他形式，或者从一个物体转移到另一个物 体，而在转化和转移的过程中，能量的总量保持不变。 2.定律的表达式 ； 3.注意 （1）某种形式的能减少，一定存在其他形式的能增加，且减少量一定和增加量相等。 （2）某个物体的能量减少，一定存在其他物体的能量增加，且减少量和增加量一定相等。 2PE 1 20,G p pW E E> > 1 20,G p pW E E< < 2 2 2 1 2 1 1 1 2 2K KW E E mv mv= − = − W 1KE 2KE 1 1 2 2k p k pE E E E+ = + kE E∆ = ∆减 p增 A BE E∆ = ∆减 增 E E=初 末 E E∆ = ∆增 减4 4.功是能量转化的量度。做了多少功就有多少能量发生了转化。 重力做功等于重力势能的变化； 合外力做功等于物体动能的变化。 【典型例题】 类型一、功的计算问题 例 1、（2016 江西省南昌大学附中月考）一个质量为 4 kg 的物体静止在足够大的水平地面上，物体 与地面间的动摩擦因数μ=0.1。从 t=0 开始，物体受到一个大小和方向呈周期性变化的水平力 F 作用，力 F 随时间的变化规律如图所示。 求 83 秒内物体的位移大小和力 F 对物体所做的功。g 取 10 m／s2。 【解析】当物体在前半周期时由牛顿第二定律，得 F1－μmg=ma1， ， 当物体在后半周期时， 由牛顿第二定律，得 F2+μmg=ma1， ， 前半周期和后半周期位移相等 ， 一个周期的位移为 8 m 最后 1 s 的位移为 1 m， 83 秒内物体的位移大小为 x=20×8+4+3=167 m 一个周期 F 做的功为 W1=（F1－F2）x1=（12－4）×4=32 J， 力 F 对物体所做的功 W=20×32+12×4－4×3=676 J 【点评】本题涉及牛顿运动定律和运动学的知识，求解本题的关键是认真分析物理过程，主要考查分 析、推理的综合能力。 举一反三 【高清课程：机械能复习与巩固 例题 1】 【变式 1】如图所示，子弹水平射入木块，在射穿前的某时刻，子弹进入木块深度为 d，木块位移为 s，设子弹与木块相互作用力大小为 f，则此过程中 木块对子弹做功 Wf 子= ；子弹对木块做功 Wf 木= ；一对作用力与反作用力 f 对系统做功 Wf 系= ； 答案：-f(s+d)；fs；-fd 【变式 2】（2015 期末考）如图所示，滑 雪者由静止开始沿斜坡从 A 点自由滑下，然后在 水平面上前进至 B 点停下。已知斜坡、水平面与滑雪板之间的动摩擦因数都为 μ，滑雪者(包括滑雪板)的 21 1 12 0.1 4 10 2m / s4 F mga m µ− − × ×= = = 22 2 4 0.1 4 10 2m / s4 F mga m µ+ + × ×= = = 2 2 1 1 1 0.5 2 2 4m2x a t= = × × =5 质量为 m，A、B 两点间的水平距离为，在滑雪者经过 AB 段运动的过程中，克服摩擦力做的功( ) A．大于 μmgL　　　　　　 B．等于 μmgL C．小于 μmgL D．以上三种情况都有可能 【答案】B 【解析】在 AC 段，滑雪者的摩擦力大小 f=μmgcosθ AC 段克服摩擦力做的功 WAC=μmgcosθ•LAC LACcosθ=L1，即为 AC 段在水平方向的距离． CB 段克服摩擦力做的功 WCB=μmgLBC 所以在滑雪者经过 AB 段运动的过程中，克服摩擦力做的功 W=μmgL． 例 2、成年人的正常的心跳每分钟为 75 次，一次血液循环中左心室的血压(可以看成心脏送血的压强) 的平均值为 1.37×104 Pa，左、右心室收缩时射出的血量均为 70 mL，右心室对肺动脉的压力为左心室的 0.2 倍，由此估算心脏工作时每分钟做的总功． 【解析】一次心跳左心室做的功为 1.37×104×70× J＝0.959 J。 一次心跳右心室做的功为 ． 故每分钟做的总功为 W＝n(W1+W2)＝86.31 J． 类型二、机车启动问题 例 3、汽车发动机的额定功率为 Pm＝60 kW，汽车质量为 m＝5t，运动时与地面间的动摩擦因数为 μ＝ 0.1．求：(1)汽车所能达到的最大速度 vm； (2)若汽车以 a＝0.5 m/s2 的加速度由静止开始做匀加速直线运动，这一过程能维持多长时间?(取 g＝ 10m/s2) (3)当速度 v1＝4 m/s 时，汽车的加速度 a1，是多大？功率 P1 是多大? (4)当速度 v2＝10 m/s 时，汽车的加速度 a2 是多大?功率 P2 是多大? 【思路点拨】分析汽车匀加速运动物理过程，理解 P 与 F 之间的变化关系，是本题的难点． 【解析】(1)当汽车达最大速度 vm 时，a＝0，牵引力 F 等于阻力 f，f＝μmg． 由 Pm＝Fvm 得最大速度大小为： ． (2)汽车从静止开始匀加速启动，牵引力 F 恒定且由 F-f＝ma， 得：F＝f+ma＝μmg +ma． 由于速度不断增大，因此发动机功率 P 也不断增大(因 P＝Fv∝v)，当功率增至额定功率 Pm 时，匀加 速运动结束，其匀速运动阶段的最大速度为： ＝8 m/s． 故可知加速运动维持的时间为 ． (3)由于速度 v1＝4 m/s＜v′，因此汽车仍处于匀加速运动阶段，故加速度 1W pV= = 610− 2 1 1 0.1918J5W W= = 3 3 60 10 m /s 12m /s0.1 5 10 10 m m m P Pv F mgµ ×= = = =× × × 3 m m 3 3 60 10 m /s0.1 5 10 10 5 10 0.5 P Pv F mg maµ ×′ = = =+ × × × + × × 8 s 16s0.5 vt a ′′ = = =6 a1＝a＝5 m/s2， 功率：P1＝Fv1＝(f+ma)v1＝(0.1×5×103×10+5×103×0.5)×4W＝3×104 W＝30kW． (4)由于速度 v2＝10 m/s＞v′，且 v2＜v1，因此汽车做变加速运动，其功率 P2＝Pm＝60 kW． 由 P2＝F2v2 得牵引力 ． 加速度 ． 【总结升华：】当汽车加速度为零时，速度增至最大，此时所受合力为零；当汽车功率还没有达到额 定功率时，汽车维持匀加速运动，实际功率随速度增大而增大；当汽车实际功率达到额定功率以后，随着 速度的增大，汽车牵引力不断减小，汽车做变加速运动，直到最终匀速运动． 举一反三 【高清课程：机械能复习与巩固 例题 2】 【变式 1】一质量为 4.0×103kg 的汽车从静止开始以加速度 a = 0.5m/s2 做匀加速直线运动，其发动机 的额定功率 P = 60kW，汽车所受阻力为车重的 0.1 倍，g = 10m/s2，求： (1)启动后 2s 末发动机的输出功率 (2)匀加速直线运动所能维持的时间 (3)汽车所能达到的最大速度 【答案】(1)6000W；（2）20s；（3）15m/s 【变式 2】汽车发动机的额定功率 60 千瓦，汽车的质量 5 吨，汽车在水平路面上行驶时，阻力是车重 的 0.1 倍。问： （1）汽车保持以额定功率从静止起动后能达到的最大速度是多少？ （2）汽车从静止开始，保持以 0.5m/s2 的加速度做匀加速运动，这一过程能维持多长时间？ 解析：（1） （2）汽车以恒定的加速度起动： 结论：以恒定加速度起动、到速度达到最大值，经历两个过程，匀加速直线运动和变加速直线运动， 维持匀加速直线运动到输出功率等于额定功率时： 3 32 2 2 60 10 N 6 10 N10 PF v ×= = = × 3 3 2 22 2 3 6 10 0.1 5 10 10 m /s 0.2m /s5 10 F fa m − × − × × ×= = =× P F v= · ( ) v P F v P f v P mg m m m m = = = = × × × × =µ 60 10 5 10 10 01 12 3 3 . m / s F ma f= + 3 3 35 10 0.5 5 10 0.1 7.5 10F N= × × + × × = × 3 3 60 10 8 /7.5 10 PP Fv v m sF ×= ⇒ = = =× 8 160.5 vt sa = = =7 类型三、动能定理的应用 例 4、（2015 期末考）如图所示，倾角为 θ 的光滑斜面上放有两个质量分别为 m 的小球 A 和 B，两球之间用一根长为 L 的轻杆相连，下面的小球 B 离斜面底端的高度为 h。两球从静止开始下滑， 不计球与地面碰撞时的机械能损失，且地面光滑，求： （1） 两球在水平地面上运动时的速度大小； （2） 此过程中杆对 A 球所做的功； （3） 试用文字表述杆对 A 做功所处的时间段。 【解析】（1）以 A、B 组成的系统为研究对象，设地面为零势能面，A、B 所组成的系统机械能守恒， 根据机械能守恒定律得： ，解得： （2）以 A 球为研究对象，设杆对 A 球做功为 W，由动能定理： 解得： （3）从 B 球与地面刚接触开始至 A 球也到达地面这段时间内，杆对 A 球做了 W 的负功。 【总结升华】B 球与地面接触之前，A、B 球的加速度相等，速度相等，因此 A、B 球间的杆无作用 力，B 球与地面接触的后，B 球的速度比 A 球的速度小，杆的作用力对 B 球做正功，对 A 球做负功，使 得 A 球到达地面后 A、B 球的速度再次相等，此后 A、B 以共同的速度在光滑地面上做匀速直线运动，所 以对 A、B 组成的系统而言，杆不做功，但对 A 球、或 B 球单独研究时，杆对其做功不为零。 举一反三 【高清课程：机械能复习与巩固 例题 7】 【变式 1】一质量 m=2kg 的物块，放在高 h=2m 的平台上，现受一水平推力 F=10N ，由静止开始运动， 物块与平台间的动摩擦因数 μ=0.2。当物块滑行了 s1= 5m 时撤去 F ，继续向前滑行 s2=5m 后飞出平台， 不计空气阻力，求物块落地时速度的大小? 【答案】 【变式 2】一辆汽车的质量是 5×103 kg，发动机的额定功率为 60 kW,汽车所受阻力恒为 5 000 N，如 果汽车从静止开始以 0. 5 m/s2 的加速度做匀加速直线运动，功率达到最大后又以额定功率运动了一段距离 后汽车达到了最大速度，在整个过程中，汽车运动了 125 m．问在这个过程中，汽车发动机的牵引力做功 多少？ 下面是甲、乙两位同学的解法： 甲同学： 乙同学：F=ma＋f=7500 N. W=Fs=7 500×125 J =9. 375×105 J. 请对上述两位同学的解法做出评价，若都不同意请给出你的解法． 解析：甲、乙两位同学的解法都不正确． 甲同学把 125 m 全部当做匀加速直线运动的位移，求出运动时间 t，这一步就错了，然后又用公式 W=Pt 21( sin ) 22mgh mg h L mvθ+ + = × 2 sinv gh gL θ= + 21(h sin ) W 2mg L mvθ+ + = 1 sin2W mgL θ= − 5 2m/ s ssa st 36.225.0 12522 =×== 4 66 10 22.36 1.34 10W Pt J= = × × = × A L B8 来求牵引力做功，而汽车在做匀加速运动的过程中功率是逐渐变大的，这一步骤又错了． 而乙同学的做法中，第一步是正确的，但力 F 是汽车做匀加速运动时的牵引力，当汽车以额定功率行 驶时，牵引力是变力，做功不能用 W=Fs 来计算． 正确的解法是：汽车行驶的最大速度为 根据动能定理得 ， 。 【变式 3】杂技演员在进行“顶杆”表演时，用的是一根质量可忽略不计的长竹竿，质量为 30kg 的演 员自杆顶由静止开始下滑，滑到杆底时速度正好为零．已知竹竿底部与下面顶杆人肩部之间有一传感器， 传感器显示顶杆人肩部的受力情况如图所示，取 g= 10 m/s2。求： (1)杆上的人下滑过程中的最大速度； (2)竹竿的长度． 解析：(1)以人为研究对象，人加速下滑过程中受重力 mg 和杆对人的作用力 F1，由题图可知，人加速 下滑过程中杆对人的作用力 F1 为 180 N．由牛顿第二定律得 mg 一 F1 =ma，则 a=4 m/s2. 1s 末人的速度达到最大，则 v=at1=4 m/s. (2）加速下降时位移为： =2 m. 减速下降时，由动能定理得 代入数据解得 . 类型四、功能关系 例 5、面积很大的水池，水深为 H，水面上浮着一正方体木块，木块边长为 a，密度为水的一半，质 量为 a．开始时，木块静止，有一半没入水中，如图所示．现用力 F 将木块缓慢地压到池底，不计水的阻 力，求： (1)从木块刚好完全没入水中到停在池底的过程中，池水势能的改变量； (2)从开始下压到木块刚好完全没入水的过程中，力 F 所做的功． 【思路点拨】本题中因水池的水面面积很大，所以浮在水面上的木块完全没入水中时，不考虑池中水 深的变化，这是个重要的隐含条件． 【解析】(1)如图中 1 和 2 分别表示木块在刚没入水中时和到达池底对的位置．本块从 l 移到 2，相当 smsmf Pv /12/5000 106 4 =×== 02 1 2 −=− mvfsW JfsmvW 52 1085.92 1 ×=+= 2 11 2 1 ats = ,2 10)( 2 22 mvsFmg −=− msssms 6,4 212 =+==9 于使等体积的水从 2 移到 1，所以池水势能的改变量等于这部分水在位置 1 和位置 2 的势能之差．因为木 块密度为水的一半，木块的质量为 m，所以与木块等体积的水的质量为 2m，故池水势能的改变量为 ． (2)因为水池面积很大，可忽略因木块压入水中所引起的水深变化．木块刚好完全没入水中时，图中 原来处于划斜线区域的水被排开，后果等效于使这部分水平铺于水面，这部分水的质量为 m，其势能的改 变量 ． 木块势能的改变量为 ． 根据功能原理，力 F 所做的功为 ． 举一反三 【高清课程：机械能复习与巩固 例题 2】 【变式】一质量为 m 的物体以某一速度从 A 点冲上一个倾角为 30°的斜面，其运动的加速度为 3g/4。 这个物体在斜面上上升的最大高度为 h，则在这过程中（ ） A．物体的重力势能增加了 3mgh/4 B．物体的机械能损失了 mgh/2 C．物体的动能损失了 mgh D．物体的重力势能增加了 mgh 【答案】BD 类型五、机械能、能量守恒问题 例 6、如图所示，水平传送带 AB 为 L=21m，以 6m/s 顺时针匀速转动，台面传送带平滑连接于 B 点， 半圆形光滑轨道半径 R=1.25m，与水平台面相切于 C 点， BC 长 S=5.5m，一质量为 m=1kg 的小物块（可视 为质点），从 A 点无初速释放，物块与带及台面间的动摩擦因数 求： （1）物块从 A 点一直向右运动到 C 点所用时间。 P 2 2 2 ( )2 2 a aE mg H mg mg H a = − − ⋅ = −  △ p1 3 3 4 4E mgH mg H a mga = − − =  △ p2 1 2 2 aE mg H mgH mga = − − = −  △ p1 p2 3 1 1 4 2 4W E E mga mga mga= + = − =△ △ .1.0=µ10 （2）试分析物块能否越过与圆心 O 等高的 P 点？若能，物块做斜抛还是平抛；若不能，最终将停在离 C 点多远处？ 思路点拨：此题过程比较复杂，属于单物体多过程问题，要注重过程的分解，定律、定理的选取。 解析：（1）开始物块在传送带上做匀加速运动，由牛顿第二定律： ① 设经时间 t1 达到与带同速，此时物块对地面前进 ② ③ 得 t1=6s x=18m，因 x=18m