知识讲解 交变电流的产生和变化规律

1 交变电流的产生和变化规律 【学习目标】 　　1．理解正弦交流电的产生过程及产生条件，能够利用电磁感应定律推导计算正弦交流电的瞬时 值表达式 、 、 。 　　2．从正弦交流电产生过程、变化图象及解析式 三个方面的结合上去理解它的变化 规律。 　　3．理解描述交流电的物理量：最大值、有效值、周期、频率等的意义及相应计算，尤其是有效 值的意义和相关计算。 　　4．能够熟练地写出正弦交流电的瞬时值表达式以及从它的变化图象上读出有用信息。 　　5．了解电感电容对交流电的影响以及交流电、直流电作用于电感电容的不同之处；了解电感和 电容在交流电路中的应用。 　　6．能将电磁感应的相关知识迁移到本部分内容中解决问题；能理解物理学等效思想的意义。 【要点梳理】 要点一、直流电和交流电 1．直流电 　　电流的方向不随时间变化的电流或电压叫做直流电。直流电可以分为：脉动直流电和恒定电流两 种形式。 　　脉动直流电：电流或电压的大小随时间发生变化，但方向不发生变化，如图甲、乙所示。 　　恒定电流（或恒定电压）：电流或电压的大小和方向都不随时间发生变化，如图丙、丁。 　 　 2．交电流 1．定义：大小和方向都随时间做周期性变化的电流叫交变电流。 要点诠释： （1）方向不变的电流叫做直流，大小和方向都不变的电流叫恒定电流。 （2）大小不变、方向改变的电流也是交变电流。 2．产生：在匀强磁场中，绕垂直于磁场方向的轴匀速转动的线圈里产生的是正弦式交变电流。 要点诠释： （1）矩形线框在匀强磁场中匀速转动，仅是产生交变电流的一种方式，但不是唯一方式。 （2）交变电流的典型特征是电流方向变化，其大小可能不变，如图所示的交变电流称为矩形交 sinme E tω= sinmu U tω= sinmi I tω= sinme E tω=2 变电流，在方向变化时其大小可能不变。 3．中性面：线圈平面垂直于磁感线时，各边都不切割磁感线，线圈中的感应电流为零，这一位 置叫中性面。 特点：（1）线圈位于中性面时，穿过线圈的磁通量最大，磁通量的变化率为零，感应电动势为 零，感应电流为零。 （2）线圈经过中性面时，线圈中的电流方向要发生改变。线圈转一周有两次经过中性面，所以 每转一周电流方向改变两次。 要点二、交变电流的变化规律 如图所示，该线圈从中性面起经时间 转过角度 ，则 ，此时两边 速度方向与磁 感线方向的夹角分别为 和 ，它们产生的感应电动势同向相加，整个线圈中的感应电动 势为： ， 因为 ，代入上式得 。 令 （若线圈有 N 匝，所围面积为 ，则 ，跟线圈形状无关），则有 ， 为电动势在 时刻的瞬时值， 为电动势的最大值。 要点诠释： （1）电动势按正弦规律变化 ，仅限于线框自中性面开始计时的情形；若线圈从磁 t θ tθ ω= ab cd、 tω 180 tω°－ sin sin(180 ) 2 sinab cd abe Bl v t Bl v t Bl v tω ω ω= + °− = 2 adlv ω= ⋅ sine B S tω ω= mE B Sω= S mE NB Sω= sinme E tω= e t mE sinme E tω=3 感线与线圈平面平行的位置开始计时，表达式变为： 。 （2）在轴和磁场垂直的前提下，交变电流的表达式与轴的位置无关。 （3）若线圈给外电阻 供电，设线圈本身电阻为 ，由闭合电路欧姆定律得： ， 这种按正弦规律变化的电流叫做正弦式交变电流，它是最简单又最基本的交变电流。 两端的电压可记为： 。 要点三、交变电流的图象 1．物理意义：描述交变电流（电动势 、电流 、电压 ）随时间 （或角度 ）变化的规律。 2．正弦式交变电流的图象 3．几种不同类型的交变电流 要点诠释： 一、理解中性面和中性面的垂直面两特殊位置的不同特点及应用 1．线圈平面与中性面重合时， ， 最大，但 ， ， ，电流方向将发生改 变。 2．线圈平面与中性面垂直时， ， ， 最大， 最大， 最大，电流方向不变。 cos cosme NB S t E tω ω ω= = R r sin sinm m Eei t I tR r R r ω ω= = =+ + R sinmu U tω= e i u t tω S B⊥ Ф 0Ф t ∆ =∆ 0e= 0i = S B∥ 0Ф = Ф t ∆ ∆ e i4 运用以上特点结合右手定则和楞次定律，可以快速、准确地解决一些有关电磁感应现象和交变电 流的问题。 二、 线圈转动过程中平均电动势的求法 线圈在转动过程中某一段时间内或从一个位置到另一个位置的过程中所产生的电动势，称为平均 电动势，它不等于始、末两时刻瞬时值的平均值，必须用法拉第电磁感应定律计算，即 。 同理，计算交变电流在某段时间内通过导体横截面的电荷量，也必须用平均值，即 （式 中 ）。 三、如何求交变电流的瞬时值 （1）确定线圈转动从哪个位置开始计时。 （2）确定表达式是正弦函数还是余弦函数。 （3）确定转动的角速度 （ 的单位为“转／秒”）、最大值 、初相位（即 线圈的计时位置）。 （4）写出表达式，代入角度求瞬时值。 四、图象的分析方法 （1）看清两轴物理量的物理意义，分清是何种图象。 （2）分析“斜率”、“截距”、“点”表示的物理意义。 （3）掌握“图与图”、“图与式”和“图与物”间的对应关系。 交变电流随时间 的变化规律不再是简单的正比例关系，所以借助图象法来分析研究比单纯用代 数的方法更简捷、直观。 要点四、 交变电流的周期和频率 1．周期 ФE t ∆= ∆ Q I t= ∆ EI R r = + 2 nω π= n mE NB Sω= t T5 交变电流完成一次周期性变化所需的时间。单位 s。 2．频率 交变电流在 1 s 内完成周期性变化的次数。单位 Hz。 3．周期（ ）、频率（ ）及角速度（ ）之间的关系 或 、 4．物理意义： 表征交变电流变化的快慢，周期越大，交流变化越慢；频率越高，交流变化越快。 要点诠释： （1）我国工农业生产和生活所用的交变电流，周期是 ，频率是 ，角速度是 ，电流方向每秒改变 次。 （2）打点计时器接的交变电流， ， ，所以每 秒打一次点。 要点五、交变电流的有效值 1．根据电流的热效应来规定。让交变电流和直流通过相同阻值的电阻，如果它们在相等的时间 内产生的热量相等，就把这一直流的数值叫做这一交变电流的有效值。 2．有效值和最大值的关系 在正弦式电流中，最大值和有效值关系如下： ． ． ． 这一关系式只适合于正弦式交变电流。 要点诠释： （1）定义有效值时要注意“三同”，即电阻相同、时间相同、产生热量相同。 （2）在计算交变电流通过导体产生的热量和电功率以及确定保险丝的熔断电流时，只能用交变 电池的有效值。如电功率的计算式： 中， 均为有效值。 （3）在交流电路中，电压表、电流表、功率表等电子仪表的示数均为交变电流的有效值。在没 有具体说明的情况下，所给出的交变电流的电压、电流及电功率指的都是有效值。 （4）我国民用交变电流：照明电压 和动力电压 都是有效值。 要点六、交变电流的有效值和平均值的区别 交变电流的有效值是根据电流热效应定义的，即把跟交变电流的热效应相等的直流的值作为交变 电流的有效值，对一个确定的交变电流而言，有效值是恒定的。交变电流的平均值是交变电流中物理 f T f ω 1T f = 1f T = 2 2 fT πω π= = 0.02 s 50 Hz 100 rad/sπ 100 50 Hzf = 0.02 sT = 0.02 0.707 2 m m EE E= = 0.707 2 m m UU U= = 0.707 2 m m II I= = P UI= U I、 220 V 380 V6 量（ ）对时间的平均值，如平均电动势 ，其值的大小与所取时间间隔有关。 在计算交变电流通过导体产生的热量、热功率以及确定保险丝的熔断电流时，只能用有效值，而 不能用平均值；在计算通过导体的电荷量时，只能用交变电流的平均值，而不能用有效值。 要点七、交变电流有效值的求法 1．对于按正（余）弦规律变化的电流，可先根据 求出其最大值，再根据 求 出其有效值。 2．对于非正弦式交变电流的有效值，应按有效值的定义计算，计算时要紧扣电流通过电阻生热 进行计算，计算时间一般取一个周期，半周期对称的可取半周期。 3．几种常见交变电流有效值的计算 电流名称 电流图线 有效值 正弦式交变电流 正弦半波电流 正弦单向脉动 电流 矩形脉动电流 非对称性交变 电流 e i u、 、 ФE n t ∆= ∆ mE NB Sω= 2 mEE = 2 mII = 2 mII = 2 mII = m tI IT = 2 2 1 2 1 ( )2I I I= +7 要点八、交变电流平均值的求法 交变电流的图象中，图线和横轴（ 轴）所围面积跟时间的比值，称为交变电流的平均值。交变 电流的平均值与交变电流的方向及所取时间长短均有关，其数值可根据法拉第电磁感应定律 计算。 如正弦式电流，其正半周期或负半周期的平均电动势大小为 ，而一个周期内的平均 电动势却为零。 当需要求某段时间内通过某一面积的电荷量时，只能用 求解。 要点九、交变电流最大值的求法 矩 形 线 圈 在 匀 强 磁 场 中 绕 垂 直 于 磁 场 的 轴 转 到 与 磁 感 线 平 行 时 ， 感 应 电 动 势 有 最 大 值 。 此时电阻电路中的电流及用电器两端电压也有最大值 ， 。 最大值 和线圈形状无关，和垂直磁场的转动轴的选取无关，即 一定， 不变。 最大值在实际中有一定的指导意义，所有使用交变电流的用电器，其最大耐压值，应大于其使用 的交流电压的最大值，电容器上的标示电压，即其耐压值，是电容器所允许加的电压的最大值。 【典型例题】 类型一、判断电流是否为交变电流 例 1．如图所示图象中属于交变电流的有（ ） 　　　 　 【答案】ABC 【解析】本题考查交变电流的定义。A、B、C 中 的方向均发生了变化，故它们属于交变电流， 但不是正弦式交变电流，D 中的方向未变化，故是直流。 【点评】判断电流是交变电流还是直流应看方向是否变化。如 D 选项，尽管大小随时间变化的 情况与 A 相似，但因其方向不变，所以是直流。 类型二、交变电流瞬时值的应用 例 2．（2016 保定校级月考）图甲是交流发电机模型示意图。在磁感应强度为 B 的匀强磁场中， 有一矩形线圈 abcd 可绕线圈平面内垂直于磁感线的轴 OO′转动，由线圈引出的导线 ae 和 df 分别与两 t ФE n t ∆= ∆ 2 /NB Sω π E Ф Фq I t t n t nR t R ∆ ∆= ⋅∆ = ⋅∆ = ⋅∆ =∆ mE NB Sω= m m EI R r = + m mU I R= ⋅ mE N B Sω、 、 、 mE NB Sω= e8 个跟线圈一起绕 OO′转动的金属圆环相连接，金属圆环又分别与两个固定的电刷保持滑动接触，这样 矩形线圈在转动中就可以保持和外电路电阻 R 形成闭合电路。图乙是线圈的主视图，导线 ab 和 cd 分 别用它们的横截面来表示。已知 ab 长度为 L1，bc 长度为 L2，线圈以恒定角速度 ω 逆时针转动。(只 考虑单匝线圈) (1)线圈平面处于中性面位置时开始计时，试推导 t 时刻整个线圈中的感应电动势 e1 的表达式； (2)线圈平面处于与中性面成 φ0 夹角位置时开始计时，如图丙所示，试写出 t 时刻整个线圈中的 感应电动势 e2 的表达式。 【答案】(1)e1＝BL1L2ωsin ωt；(2)e2＝BL1L2ωsin(ωt＋φ0) 【解析】(1)矩形线圈 abcd 在磁场中转动时，只有 ab 和 cd 切割磁感线，且转动的半径为 ，设 ab 和 cd 的转动速度为 v，则 在 t 时刻，导线 ab 和 cd 因切割磁感线而产生的感应电动势均为 E1＝BL1v⊥ 由图可知 v⊥＝vsin ω t 则整个线圈的感应电动势为 e1＝2E1＝BL1L2ωsin ωt (2)当线圈由图丙位置开始运动时，在 t 时刻整个线圈的感应电动势为 e2＝BL1L2ωsin(ωt＋φ0) 举一反三 【高清课堂：交变电流的产生和变化规律　例 5】 【变式】面积为 的两个完全相同的单匝金属线圈分别放置在如图甲、乙所示的磁场中．甲图中 是磁感应强度为 的匀强磁场，线圈在磁场中以周期 绕 轴做匀速转动；乙图中磁场的变化规 律为 从图示时刻( 时刻)起计时，则( ) 2 2 Lr = 2 2 Lv ω=  S 0B T OO′ 0 2cosB B tT π= 0t =9 A．两线圈中的磁通量变化规律均为 B．两线圈中感应电动势达到最大值的时刻不同 C．两线圈中产生交流电流的最大值不同 D．从此刻起， 时间内流过两线圈截面的电量相同 【答案】BD 例 3．如图所示，匝数为 匝的圆形线圈绕与磁场垂直的轴 以 的转速转动，穿过线 圈的最大磁通量为 ，从图示的位置开始计时，写出线圈中感应电动势的瞬时表达式。 　　 　　　　 【答案】 或 【解析】本题考查电动势的瞬时值，关键要知道产生的交变电流和线圈形状无关。 线圈在匀强磁场中匀速转动产生正弦式电流，产生的交变电流与线圈的形状无关。 因 ， 又 ， ， 所以 ． 　　 ． 又线圈从与中性面成罢角度位置开始计时，故其瞬时表达式为： 　　 或 0 2cos tTФ B S π= / 4T 100 OO＇ 50 r/s 0.01 Wb 314sin(314 )V2e t π= + 314cos 314 Ve t= mE NBSω= mФ BS= 2 nω π= 2 100 0.01 2 3.14 50V 314Vm mE NФ nπ= ⋅ ≈ × × × × = 2 2 3.14 50 rad/s 314 rad/snω π= ≈ × × = 314sin(314 )V2e t π= + 314cos 314 Ve t=10 【点评】题中是隐含条件，是基本关系；从图示位置计时，也可以用余弦函数表示变化规律。 举一反三 【高清课堂：交变电流的产生和变化规律 例 6】 【变式】如图所示，匀强磁场磁感应强度 ，匝数为 匝的矩形线圈，绕转轴 垂直于匀强磁场匀速转动，每匝线圈长为 ，宽为 ，线圈每分钟转动 转，在 匀速转动过程中，从线圈平面经过图示位置时开始记时．求： （1）写出交流感应电动势 的瞬时值表达式； （2）若每匝线圈本身电阻 ，外接一阻值为 的用电器，使线圈的外电路成闭合电 路，写出感应电流 的瞬时值表达式； （3）若从线圈平面垂直于磁感线的位置开始记时，感应电动势 和感应电流 的瞬时表达式如 何? （4）画出（1）中的 图象和（2）中的 图象． 【 答 案 】（ 1 ） （ 2 ） （ 3 ） ， （4）见解析 【解析】（1）线圈匝数 ，磁场的磁感应强度 ，线圈转动的角速度为 ， 线圈的面积 ． 所以 从图示位置计时，有 ． （2）若 ，则 ． ． 由闭合电路欧姆定律得 0.5TB = 50n = OO′ 25cmL = 20cmd = 1500 e 0.02Ωr = 13Ω i e′ i′ e t− i t− 196cos(50 )Ve tπ= 14cos(50 )Ai tπ= 196sin(50 )Ve tπ′ = 14sin(50 )Ai tπ′ = 50n = 0.5TB = 15002 2 rad / s 50 rad / s60fω π π π= = × = 2 20.25 0.2m 0.05mS Ld= = × = 50 0.5 0.05 50 V 196VmE nBSω π= = × × × = cos 196cos(50 )Vme E t tω π= = 0.02Ωr = 50 0.02 50Ω=1.0Ωr r′ = = × 13Ω+1Ω=14ΩR R r= ′ =总 ＋11 所以 ． （3）若从线圈平面与磁感线垂直的位置开始计时，即从中性面开始计时，感应电动势和感应电 流的瞬时值分别为 ， ． （4）因为 ，所以 ， ， ． 图象、 图象如图 所示． 类型三、交变电流图象的应用 例 4．(2015 怀化三模）在匀强磁场中，一矩形金属线圈绕与磁感线垂直的转轴匀速转动，如图 甲所示，产生的交变电动势的图象如图乙所示，则 A．t=0.005s 时线圈平面与磁场方向平行 B．t=0.01s 时线圈的磁通量变化率最大 C．线圈产生的交变电动势的频率为 100HZ D．线圈产生的交变电动势的有效值为 311V 【答案】A 【解析】t=0.005s 电动势最大，则线圈平面与磁场方向平行，故 A 正确； t=0.010s 时电动势为 0，则线圈的磁通量变化率为 0，故 B 错误；由图可知周期为 0.02s，则频率为 ，故 C 错误；线圈产生的交变电动势有效值为 V，故 D 错误。 196 A=14A14 m m EI R = = 总 cos 14cos(50 )Ami I t tω π= = 196sin(50 )Ve tπ′ = 14sin(50 )Ai tπ′ = 50ω π= 2 2 1 0.04s50 25T π π ω π= = = = 196VmE = 14AmI = e t− i t− a b（ ）、（ ） 1 50Hzf T = = 311 2 e/VB t/sO 311 -311 0.01 ω 甲 乙12 【点评】本题要根据交变电流的产生过程和图象的对应去分析。 举一反三 【高清课堂：交变电流的产生和变化规律 例 1】 【变式 1】例题 1、处在匀强磁场中的矩形线圈 ，以恒定的角速度绕 边转动，磁场方向 平行于纸面并与 垂直．在 时刻，线圈平面与纸面重合（如图），线圈的 边离开纸面向外运 动． 若规定由 方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流 随时间 变化 的图线是（ ） 【答案】C 【高清课堂：交变电流的产生和变化规律 例 2】 【变式 2】如图所示，单匝矩形线圈的一半放在具有理想边界的匀强磁场中，线圈轴线 与磁 场边界重合，线圈按图示方向匀速转动（ 向纸外 向纸内）．若从图所示位置开始计时，并规定 电流方向沿 为正方向。 则线圈内感应电流随时间变化的图象是（ ） abcd ab ab 0t = cd a b c d a→ → → → I t OO′ ab cd a b c d a→ → → →13 【答案】D 类型四、线圈转动过程中平均电动势的求法 例 5．如图所示，匀强磁场 ，所用矩形线圈的匝数 ，边长 ， ，以角速度 绕 轴匀速转动。当线圈平面通过中性面时开始计时，试求： 　　　 　　　　 （1）线圈中感应电动势的大小。 （2）由 至 过程中的平均电动势值。 【答案】（1） （2） 【解析】本题考查了电动势瞬时值、平均值的求法。求电动势平均值时，必须由法拉第电磁感应 定律求解。 （1）解法一：线圈经过时间 转过角度 ，这时 和 边不切割磁感线， 和 边切 割磁感线产生感应电动势 ． 其中 ．所以 ． 　　 ． 所以 ． 解法二：感应电动势的瞬时值 ． 由题可知： 　　 ． ． 所以 0.1 TB = 100N = 0.2 mab= 0.5 mbc= 100 rad/sω π= OO＇ 0t = 4 Tt = 314sin100 Ve tπ= 200 V t tθ ω= bc da ab cd sinab cde e NBabv tω= = 2 2 ad bcv ω ω= = 2 2 sin sin2ab cd ab ade e e e NB ab t NBS tω ω ω ω= + = = = 100 0.1 0.1 100 V 314 VmE NBSω π= = × × × ≈ 314sin100 Ve tπ= sine NBS tω ω= 2 20.2 0.5m 0.1mS ab bc= ⋅ = × = 100 0.1 0.1 100 V 314 VmE NBSω π= = × × × ≈14 ． （2）用 计算 至 过程中的平均电动势。 　　 ． 代入数值得 。 【点评】第（1）问没有给出时间，求的是感应电动势随时间 t 变化的函数关系；第（2）问要理 解平均电动势既不是最大电动势值的一半，也不是等于历时一半时间的瞬时电动势，必须由法拉第电 磁感应定律求解。 类型五、表征交变电流的物理量的应用 例 6．交变电流电压表达式为 ，求这个交变电压的最大值 、有效值 、周 期 、频率 。画出交变电流的 图象。 【答案】见解析 【解析】本题考查表征交变电流的物理量，关键要知道表达式中各部分的物理意义。已知交变电 流的电压表达式 ，正弦符号前的系数即为最大值，根据正弦式交变电流的电压有效值与 最大值的关系 ，可求得 ；再根据 ，求得 ； ，求得 ． 据题意，交变电流电压最大值 ． 有效值 ． 周期 ． 频率 ． 交变电流的电压随时间变化的图象如图所示。 314sin100 Ve tπ= ФE N t ∆= ∆ 0t = 4t π= 0 2 | | | 0 | 4 2 204 4 Ф Ф BS NBSE N N NBST T π ωπ π ω − −= = = = − 200 VE = 20sin314 Vu t= mU U T f u t− sinmu U tω= 2 mUU = U 2T π ω= T 1f T = f 20 VmU = 10 2 V 2 mUU = = 2 2 s 0.02s314T π π ω= = = 1 50Hzf T = =15 【点评】画图象要做到规范，两轴物理量及单位、时刻、电压最大值要标明。 类型六、分类求解有效值 1．矩形波 例 7．波形如图甲、乙所示的交变电流，其有效值分别是多少？ 　　 【答案】 【解析】本题考查矩形波式交变电流的有效值，由交变电流有效值的定义易知，恒定电压 加 在电阻 上，在 1 个周期 内的发热量： 。如图甲所示的交变电压加在电阻 上，在 1 个周期 内发热量： ，根据有效值定义 ，解得交变电压的有效值为 。 恒定电流 I 通过电阻 ，在 1 个周期 内的发热量： ，如图乙所示的交变电流通过电 阻 ，在 1 个周期 内发热量 ，根据有效值定义 ，解得交变电流的有效 值为 。 【点评】求解此类问题应注意：（1）处理方法是分段化成恒定电流，再利用有效值定义计算； （2）只需求一个周期的发热量即可；（3）电流、电压所代的公式形式不同。 2．正弦波 （1）标准正弦波 例 8．将定值电阻 R1＝10 Ω、R2＝20 Ω 串联接在正弦交流电路中，通过电阻 R2 的电流 i 随时间 t 变化的情况如图所示。则(　　) 17 V 3 2 A U R T 2 ' UQ TR = R T 2 25 3 2 2 T TQ R R = ⋅ + ⋅ Q Q=＇ 17 VU = R T 2Q I RT=＇ R T 2 2 26 33 3 T TQ R R= + Q Q=＇ 2A3I =16 A．通过 R1 的电流有效值是 1.2 A B．R1 两端的电压有效值是 6 V C．通过 R2 的电流有效值是 A D．R2 两端的电压有效值是 V 【答案】B 【解析】通过 R1 的电流有效值是 ，R1 两端的电压有效值是 ，选项 A 错误 B 正确；通过 R2 的电流有效值是 ，R2 两端的电压有效值是 ， 选项 C、D 错误。故选 B。 【点评】标准正弦波只要利用课本上给定的正弦波的有效值和峰值的关系公式，代入计算即可。 （2）不对称正弦波 例 9．波形如图所示的交变电流，其有效值是多少？ 【答案】 【解析】本题考查不对称正弦式电流的有效值。由图可知： ， ，则 ， 。 根据热效应得 ，解得 。 【点评】非完整的正弦式交变电流可分段来求，对能使用正弦式交变电流公式 的部分可 1.2 2 6 2 0.6A 2 mII = = 1 6VU IR= = 0.6A 2 mII = = 2 12VU IR= = 11A 1 5 AmI = 2 4 AmI = 1 5 A 2 I = 2 4 A 2 I = 2 2 A= 2 2 2 1 2 2 3 3 T TI R I R I RT+ = 11AI = 2 mII =17 用该公式求解，不能整体乱套公式。 3．矩形波和正弦波结合 例 10．如图所示交变电流图象为某一正弦交变电流更换负值后的 图象，求该交变电流的有效 值。 【答案】 【解析】本题考查交变电流有效值的求法，关键是恰当选取研究时间，然后根据电流热效应求解。 根据交变电流有效值的定义取一个周期 。 ， ， 即 ， 所 以 有 效 值 。 【点评】只有正弦式交变电流才能用 的关系，其他交变电流不能乱套这一公式，要从有 效值的定义及电流的热效应角度进行计算。 4．正弦半波 例 11．图 为电热毯的电路示意图。电热丝接在 的电源上，电热毯被加 热到一定温度后，通过装置 使输入电压变为图 所示波形，从而进入保温状态。若电热丝电阻保 持不变，此时交流电压表的读数是（ ） A． B． C． U． 【答案】B i t− 8.7A T 2 2 210 102 22 T TI RT R R  = ⋅ + ⋅   0.2 sT = 2 1002 1002I = + 75A 8.7AI = ≈ 2 mII = ( )a 311sin(100 ) Vu tπ= P b（ ） 110 V 156 V 229 V 311 V18 【解析】本题考查交变电流的有效值，解题关键是要知道交流电压表的示数为有效值。图（b） 所示波形为正弦交变电流在时间轴上方的部分。取一个周期 的时间，根据有效值的定义有： 所以 。 【点评】理解交流电表测量的是交变电流的有效值。取一个周期 的时间，计算出直流和交变电 流分别通过相同的电阻产生的热量，列方程求解。 类型七、交变电流的有效值、平均值的应用 例 12．如图所示，矩形线圈面积为 ，匝数为 ，线圈电阻为 ，在磁感应强度为 的匀强磁 场中绕 轴以角速度 匀速转动，外电路电阻为 。当线圈由图示位置转过 的过程中，求： （1）通过电阻 的电荷量 ； （2）电阻 上所产生的热量 。 【答案】（1） （2） 【解析】本题考查交变电流平均值、有效值的应用，关键要知道求电荷量用交变电流的平均值， 求热量用交变电流的有效值。 （1）依题意磁通量的变化量 ，线圈转过 的时间为 ． 平均感应电动势为 ． 平均感应电流为 ． 通过电阻 的电荷量为 T 2 2(311/ 2) 2 T u TR R ⋅ = ⋅ 311 156V2u = ≈ T S N r B OO＇ ω R 90° R q R Q NBSq R r = + 2 2 2 24( ) N B S RQ R r ω π= + BS∆Φ = 90° 2 4 4 2 Tt π π ω ω∆ = = = 2Ф NBSE N t ω π ∆= =∆ 2 ( ) E NBSI R r R r ω π= =+ + R19 ． （2）线圈中感应电动势的有效值和最大值 的关系是 ． 电路中电流的有效值为 ． 电阻 上产生的热量为 ． 【点评】求热量或电阻消耗的电功问题： 、 ， 应为有效值；若求一段时间内 通过导体横截面的电荷量，应根据 ，而 求解。 类型八、交变电流的峰值 例 13 如图所示，单匝线圈在匀强磁场中绕 轴从图示位置开始匀速转动。已知从图示位置转 过 时，线圈中电动势大小为 ，求： （1）交变电动势的峰值； （2）线圈从图示位置转过 的过程中，交变电动势的平均值。 【答案】（1）20 V （2）12.7 V 【解析】本题考查交变电流的峰值和平均值。峰值可由 求，或由 求解。 （1）图示位置为中性面位置，从此时开始计时，交变电动势瞬时值表达式为： 。 NBSq I t R r = ⋅∆ = + mE 2 2 mE NBSE ω= = 2( ) E NBSI R r R r ω= =+ + R 2 2 2 2 24( ) N B S RQ I Rt R r ω π= = + 2Q I Rt= W UIt= I q I t= ⋅ E ФI R tR ∆= = ∆ OO＇ 6 π 10 V 2 π mE NB Sω= sinme E tω= sinme E tω=20 将 、 代入上式，解得峰值 。 （2）线圈从图示位置转过 的过程中，磁通量的变化量 ，经历的时间 ，所以 此过程中交变电动势的平均值 。 【点评】交变电流是电磁感应的具体应用，求解交变电流的峰值，实际是求解感应电动势的最大 值。 类型九、交变电流的电路问题 例 14．如图所示，线圈面积为 ，共 匝，线圈总电阻为 ，与外电阻 相连， 线圈在 的匀强磁场中绕 轴以转速 匀速转动。从线圈处于中性面开始计时， 求： （1）电动势的瞬时表达式； （2）两电表○A 、○V 的示数； （3）线圈转过 s 时电动势的瞬时值； （4）线圈转过 s 的过程中，通过电阻的电荷量； （5）线圈匀速转一周外力做的功。 【答案】见解析 【解析】本题考查交变电流“四值”的应用，关键是熟练掌握交变电流“四值”表达式的意义。 （1） ， ，因为 ． ． 所以 6t πω = 10 Ve= 20 VmE = 2 π BФ S∆ = 2t π ω∆ = 2 2 20V 12.7V2m Ф B SE Et ω π π π ∆= = = = × ≈∆ 20.05 m 100 1Ω 9ΩR = 2B Tπ= OO＇ 300 r/minn = 1 60 1 30 mE NBSω= 2 nω π= 300 r/min 5 r/sn = = 2 2 5 rad/s 10 rad/sn Tω π π π= = × =21 ． 从线圈转到中性面开始计时，则 ． 所以 ． （2）此时两表的示数： 　　 A． 　　 ． （3）当线圈转过 s 时， ． （４）线圈转过 的过程中，转过的角度为： ． 通过电阻的电荷量为： 　　 ． 　　 ． 所以 ． （5）线圈匀速转动一周，外力做功与电流做功相等： 　　 ． 【点评】正弦式交变电流的瞬时值、峰值、有效值、平均值之间存在着联系，熟练掌握它们之间 的 关 系 是 解 题 的 关 键 。 2100 0.05 10 V 100VmE NBSω ππ= = × × × = sine Em tω= 100sin10 Ve tπ= / 2 100 A 5 2 2 10 mEEI R r R r = = = =+ + × 5 2 9V 45 2 VRU IR= = × = 1 60 1100sin 10 V 100sin V 50V60 6e ππ = × = =   1 s30t = 110 30 3t πθ ω π= = ⋅ = | | | | ФNE N Фtq I t t tR r R r R r ∆ ∆∆= ∆ = ∆ = ∆ =+ + + 2 1 1cos 13 2Ф Ф Ф BS BS π ∆ = − = − =   1100| | 12 C10 2 BSN Фq R r π ×∆= = =+ 2 2(100/ 2) 1 J 100J10 5F EW TR r = = × =+22 【巩固练习】 一、选择题 1．如图所示为交流发电机示意图，线圈的 AB 边连在金属滑环 K 上，CD 边连在滑环 L 上，导体 制作的两个电刷 E、F 分别压在两个滑环上，线圈在转动时可以通过滑环和电刷保持与外电路的连接。 关于其工作原理，下列分析正确的是(　　) A．当线圈平面转到中性面的瞬间，穿过线圈的磁通量最大 B．当线圈平面转到中性面的瞬间，线圈中的感应电流最大 C．当线圈平面转到跟中性面垂直的瞬间，穿过线圈的磁通量最小 D．当线圈平面转到跟中性面垂直的瞬间，线圈中的感应电流最小 2．线圈在匀强磁场中转动时的电动势 e=Emsinωt。如果使感应电动势的最大值增加 1 倍，其他 物理量不变，可采取的方法是（ ） A．线圈面积增加 1 倍 B．线圈匝数增加 1 倍 C．角速度增加 1 倍 D．磁感应强度增加 1 倍 3．(2016 沧州五校高三联考)如图所示，一个单匝矩形导线圈在匀强磁场中绕垂直于磁感线的轴 OO′匀速转动，转动周期为 T0 。线圈产生的电动势的最大值为 Em，则(　　) A．线圈产生的电动势的有效值为 2Em B．线圈转动过程中穿过线圈的磁通量的最大值为 EmT0 2π C．线圈转动过程中磁通量变化率的最大值为 Em D．经过 2T0 的时间，通过线圈电流的方向改变 2 次 4．如图甲所示，A、B 为两个相同的环形线圈，共轴并靠近放置，A 线圈中通有如图乙所示的电 流 i，则（ ）23 ①在 t1 到 t2 时间内 A、B 两线圈相吸；②在 t2 到 t3 时间 内 A、B 两线圈相斥；③t1 时刻两线圈间 作用力为零；④t2 时刻两线圈的相互作用最大。 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 5．如图甲所示，一矩形线圈 abcd 放置在匀强磁场中，并绕过 ab、cd 中点的轴 OO＇以角速度ω 逆时针匀速转动。若以线圈平面与磁场夹角θ=45°时（如图乙）为计时起点，并规定当电流自 a 流 向 b 时电流方向为正。则图丙中正确的是（ ） 6．下列说法正确的是（ ） A．交变电流在一个周期内电流方向改变两次 B．交变电流的有效值总是最大值的 倍 C．因为有效值表示交变电流产生的平均效果，所以有效值与平均值相同 D．若正弦式交变电流的最大值是 10 A，则它的最小值是－10 A 7．下列关于交变电流的说法中，不正确的是（ ） A．若交变电流最大值为 5 A，则它的最小值为－5 A B．用交变电流表测交变电流时，指针来回摆动 1 224 C．我国工农业生产和生活用的交变电流，频率为 50 Hz，故电流方向每秒改变 100 次 D．正弦式交变电流 的最大值为 311 A，频率为 100 Hz 8．在如图所示的电路中，A 是熔断电流 I=2 A 的保险丝，R 是可变电阻，S 是交流电源。交流电 源的内电阻不计，其电动势随时间变化的规律是 。为了不使保险丝熔断，可变 电阻的阻值应该大于（ ） A． Ω B．110Ω C．220Ω D． Ω 9．好多同学家里都有调光电灯和调速风扇，过去是用变压器来实现的。缺点是成本高、体积大、 效率低，且不能任意调节灯的亮度或电风扇的转速，现在的调光灯和调速电风扇是用可控硅电子元件 来实现的。如图所示为经一双向可控硅调节后加在电灯上的电压，即在正弦式交变电流的每个二分之 一周期内，前 周期被截去，调节台灯上旋钮可以控制截去的多少，从而改变电灯两端的电压。那么 现在电灯两端的电压为（ ） A． B． C． D． 10．两个相同的电阻，分别通以如图所示的正弦式电流和方波式交变电流，两种交变电流的最大 值相等，周期相等。则在一个周期内，正弦式电流在电阻上产生的焦耳热 Q1 与方波式交变电流在电 阻上产生的焦耳热 Q2 之比等于（ ） A．3∶1 B．1∶2 C．2∶1 D．4∶3 二、填空题 11．我国照明电压（市电）的瞬时值表达式为 ，它的周期是________， 频率是_______，在 1 s 内电流方向改变________次，有效值是________，最大值是________。 12．交流发电机的线圈在转动过程中产生最大感应电动势的位置是________，穿过线圈的磁通量 200 2 sin100 Ai tπ= 220 2 sin314 Ve t= 110 2 220 2 1 4 2 mU 2 mU 2 2 mU 2 mU 220 2 sin100 Ve tπ=25 最大的位置是________。若线圈转过了 10 周，电流方向改变了________次。 　　13．(2015 津武清三模)如图所示，在匀强磁场中，一矩形金属线圈两次分别以不同的转速绕与 磁感线垂直的轴匀速转动，产生的交变电动势图象如图中曲线 ， 所示，则曲线 、 对应的周期 之比为________。曲线 表示的交变电动势的有效值为________V。 三、解答题 14．如图甲所示，一固定的矩形导体线圈水平放置，线圈的两端接一只小灯泡，在线圈所在空间 内存在着与线圈平面垂直的均匀分布的磁场。已知线圈的匝数 n＝100 匝，总电阻 r＝1.0 Ω，所围成 矩形的面积 S＝0.040 m2，小灯泡的电阻 R＝9.0 Ω，磁感应强度随时间按如图乙所示的规律变化，线 圈中产生的感应电动势瞬时值的表达式为 ，其中 Bm 为磁感应强度的最大值，T 为磁场变化的周期，不计灯丝电阻随温度的变化，求： (1)线圈中产生感应电动势的最大值； (2)小灯泡消耗的电功率； ( 3)在磁感应强度变化的 时间内，通过小灯泡的电荷量。 15．(2016 连云港摸底)如图甲所示为一台小型发电机的示意图，单匝线圈逆时针转动。若从中 性面开始计时，产生的电动势随时间的变化规律如图乙所示。已知发电机线圈内阻为 1.0 Ω，外接灯 泡的电阻为 9.0 Ω。求： a b a b b 2 2cosm π πe nB S tT T＝ 0 4 T～26 (1)写出流经灯泡的瞬时电流的表达式； (2)转动过程中穿过线圈的最大磁通量； (3)线圈匀速转动一周的过程中，外力所做的功。 16．如图所示，在匀强磁场中有一个“π”形导线框可绕 AB 轴转动，已知匀强磁场的磁感应强 度 ，线框的 CD 边长为 20 cm，CE、DF 边长为 10 cm，转速为 50 r／s。若从图示位置开 始计时： （1）写出线框中感应电动势的瞬时值表达式； （2）作出线框中感应电动势随时间变化关系的图象。 17．如图所示，一交流发电机的线圈在匀强磁场中匀速转动，线圈匝数 N=100 匝，线圈电阻 r=3 Ω，ab=cd=0.5 m，bc=ad=0.4 m，磁感应强度 B=0.5 T，电阻 R=311Ω，当线圈以 n=300 r／min 的转 速匀速转动时，求： （1）感应电动势的最大值。 （2）t=0 时线圈在图示位置，写出此交变电流电动势的瞬时值表达式。 （3）此电压表的示数是多少？ 18．在水平方向的匀强磁场中，有一正方形闭合线圈绕垂直磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝 数为 n=100 匝，边长为 20 cm，电阻为 10Ω，转动频率 f=50 Hz，磁场的磁感应强度为 0.5 T，求： （1）外力驱动线圈转动的功率。 （2）线圈平面转至与中性面的夹角为 30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小。 （3）线圈由中性面转至与中性面成 30°夹角的过程中，通过线圈横截面的电荷量。 19．如图所示为示波管内的偏转电路，管中真空速度为 6.4×107 m／s 的电子束连续地射入两平 行板之间，极板长度 =8.0×10－2 m，间距 d=5.0×10－3 m，两极板不带电时，电子沿中线通过，在两 5 2 TB π= l27 极板上加一频率为 50 Hz 的交变电压 u=U0sinωt。如果所加最大电压超过某一数值 Uc 时，将出现以下 现象：电子束有时能通过两极板，有时间断，不能通过。 （1）求 U 的大小； （2）U0 为何值时，才能使通过的时间Δt1 跟间断的时间Δt2 之比为 2∶1？ 20．曾经流行过一种向自行车车头灯供电的小型交流发电机，图甲为其结构示意图。图中 N、S 是一对固定的磁极，abcd 为固定在转轴上的矩形线框，转轴过 bc 边中点、与 ab 边平行，它的一端有 一半径 r0=1.0 cm 的摩擦小轮，小轮与自行车车轮的边缘相接触，如图乙所示。当车轮转动时，因摩 擦而带动小轮转动从而使线框在磁极间转动。设线框由 N=800 匝导线圈组成，每匝线圈的面积 S=20 cm2，磁极间的磁场可视作匀强磁场，磁感应强度 B=0.010 T，自行车车轮的半径 R1=35 cm，小齿轮 的半径 R2=4.0 cm，大齿轮的半径 R3=10.0 cm（如图）。现从静止开始使大齿轮加速转动，问大齿轮的 角速度为多大才能使发电机输出电压的有效值 U=3.2 V？（假定摩擦小轮与自行车车轮之间无相对 滑动） 28 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】AC 【解析】当线圈平面转到中性面的瞬间，穿过线圈的磁通量最大，磁通量变化率为零，感应电动 势为零，线圈中的感应电流为零，选项 A 正确 B 错误；当线圈平面转到跟中性面垂直的瞬间，穿过 线圈的磁通量最小，磁通量变化率最大，感应电动势最大，感应电流最大，选项 C 正确 D 错误。 2．【答案】ABD 【解析】因为 Em=nBSω，所以 A、B、C、D 四个选项都能实现，但因ω变化，会导致周期、频 率发生变化，所以 A、B、D 正确。 3．【答案】BC 【解析】由交变电流有效值和最大值的关系可知线圈产生的电动势的有效值为 2 2 Em，选项 A 错 误；由题意知线圈产生的电动势的最大值为 Em＝BSω＝BS2π T0，故线圈转动过程中穿过线圈的磁通量 的最大值 BS＝EmT0 2π ，选项 B 正确；线圈转动过程中磁通量变化率的大小等于产生的感应电动势的大 小，选项 C 正确；正弦式交变电流一个周期内电流方向变化两次，经过 2T0 的时间，通过线圈电流的 方向改变 4 次，选项 D 错误。 4．【答案】A 【解析】本题考查交变电流的变化规律和图象。由 t1 到 t2 时间内，穿过 B 线圈的磁通量在减小， 所以 B 中产生的感应电流方向与 A 中相同，即相吸；由 t2 到 t3 时间内，穿过 B 线圈的磁通量在减小， 所以 B 中产生的感应电流方向与 A 中相同，即相吸；由 t2 到 t3 时间内，穿过 B 线圈的磁通量在增大， B 中产生的感应电流方向与 A 中相反，即相斥；t1 时刻 A 中电流最大，B 中感应电流为零，t2 时刻 A 中电流为零，而 B 中感应电流最大，在 t1、t2 时刻两线圈的相互作用力都为零。故正确答案为 A。 5．【答案】D 【解析】矩形线圈绕垂直于匀强磁场的转轴匀速转动产生正弦式交变电流，在开始计时（t=0） 时线圈达到图乙所示的位置，据右手定则判断电流为负方向，首先排除 A、B 选项。若到达图甲所示 的位置，感应电流为负向的峰值，可见 t=0 的时刻交变电流处于负半周且再经 到达中性面位置，即 ，瞬时表达式 i ，所以 ， 。 6．【答案】A 【解析】线圈平面每经过中性面一次，电流方向改变一次，在一个周期内线圈平面有两次经过中 性面，A 正确；对于正弦式交变电流有效值是最大值的 倍，对其他的交变电流不一定有这样的 关系，B 错；交变电流的有效值是根据电流的热效应来规定的，与平均值不同，C 错；交变电流的正 负表示电流的方向，不表示电流的大小，交变电流的最小值为零，D 错。 7．【答案】ABD 【解析】交变电流最大值为 5 A，最小值应为 0，A 项说法错误；用交变电流表测交变电流时， 指针并不来回摆动，B 错误；我国交变电流，频率为 50 Hz，电流方向每秒改变 100 次，C 正确；正 8 T 0 4 πϕ = 0sin( )mi I tω ϕ= − 20 sin 4mI T π π = −   8 Tt = 1/ 229 弦式交变电流 的最大大值为 311 A，频率为 50 Hz，所以 D 说法也错误。 8．【答案】B 【解析】U=220 V， 。 9．【答案】A 10．【答案】B 【解析】正弦式电流有效值 ，所以 ，方波有效值 U2=Um，所以 ，所以选 B。 二、填空题 11．【答案】0.02 s 50 Hz 100 220 V V 12．【答案】与中性面垂直的位置，中性面，20 次。 　　13．【答案】(1) 2:3 ; （2） 【解析】(1)a 的周期为 0.04s，b 的周期为 0.06s，故周期之比为 2:3； （2）正弦交流电动势的有效值为 ，已知 ，且 ，故可 知 。 三、解答题 14．【答案】(1)8.0 V　(2)2.88 W　(3)4.0×10－3 C 【解析】(1)由图像知，线圈中产生的交变电流的周期 T＝3.14×10－2 s，所以 。 (2)电流的最大值 ，有效值 ， 小灯泡消耗的电功率 P＝I2R＝2.88 W。 (3)在 时间内，电动势的平均值 ， 200 2 sin100 Ai tπ= min 0 220 1102 UR I = = Ω = Ω 1 2 mUU = 22 1 1 2 mU TUQ TR R = = 22 2 2 mU TUQ TR R = = 220 2 4 2V 2 2 mE NBSωE = = 12 V 2aE = 2 3b aω ω= 2 12 V=4 2V3 2bE = × 2 8.0 Vm m m πB SE nB Sω T＝ ＝ ＝ 0.80 Am m EI R r+＝ ＝ 2 2 A52 mII＝ ＝ 0 4 T～ nS BE t ∆= ∆30 平均电流 ， 流过灯泡的电荷量 。 15．【答案】(1)i＝ 0.6 2sin 100πt(A)；(2)2.7×10－2 Wb；(3)7.2×10－2 J 【解析】(1)由图得 e＝Emsin ωt＝6 2sin 100πt(V) 则电流 i＝ e R＋r＝0.6 2sin 100πt(A)。 (2)Em＝BSω，Em＝6 2 V ω＝100π，Φm＝BS＝ Em ω ＝2.7×10－2 Wb。 (3)E＝Em 2 ＝6 V， 外力所做的功 W＝Q＝ E2 R＋rT＝7.2×10－2 J。 16．【答案】（1）e=102cos100πt V （2）图见解析 【解析】（1）线圈转动，开始计时的位置为线框平面与磁感线平行的位置，在 t 时刻线框转过 的角度为ωt，此时刻 ，即 e=BSωcosωt，其中 ，S=0.1×0.2 m 2=0.02 m2 ， ω =2 π n=2 π × 50 rad ／ s=100 π rad ／ s ， 故 ， 即 。 （2）线框中感应电动势随时间变化关系的图象如图所示。 17．【答案】（1）314 V （2）314sin10πt V （3）220 V 【解析】（1）电动势的最大值为： 。 （2）电动势瞬时值的表达式： 。 （3） 。 18．【答案】（1）1.97×104 W （2）31.4 A （3）0.027 C 【解析】解答本题可由交变电流的有效值计算电功率，由交变电流的瞬时值计算某时刻的安培力， 由交变电流的平均值计算通过线圈横截面的电荷量。 ( ) E nS BI R r R r t ∆= =+ + ∆ 34.0 10 CnS B RQ rI t ∆ +∆ × －＝ ＝ ＝ 1 2 cose Bl l tω ω= 5 2 TB π= 5 2 0.02 100 cos100 Ve tπ ππ= × × 10 2 cos100 Ve tπ= (2 ) ( ) 314VmE NB S NB n ab bcω π= = ⋅ ⋅ ⋅ ≈转 sin 314sin10 Vme E t tω π= = V 2 220V2 m RU ER r  = × =  +  31 （1）线圈中交变电动势的最大值 Em=nBSω=100×0.5×(0.2)2×2π×50 V≈628 V。 交变电动势的有效值 。 外界驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等。 即 。 （2）线圈转到中性面成 30°角时，其电动势的瞬时值 e=Emsin30°=314 V，交变电流的瞬时值 。 （3）在线圈中从中性面转过 30°角的过程中，线圈中的平均感应电动势 ， 平均感应电流 ，通过导体横截面的电荷量为 q， 则 。 19．【答案】（1）91 V （2）105 V 【解析】（1）电子通过平行板的时间 ，远小于交变电流周期 T，电子射入电 场可看做“类平抛运动”，由 知， 。 20．【答案】ω=3.2 rad / s 【解析】当自行车车轮转动时，通过摩擦小轮使发电机的线框在匀强磁场内转动，线框中产生一 正弦交流电动势，其最大值 Em=ω0BSN。其中ω0 为线框转动的角速度，即摩擦小轮转动的角速度。 发电机两端电压的有效值 。 设自行车车轮转动的角速度为ω1，由于自行车车轮与摩擦小轮之间无相对滑动，有 R1ω1=r0ω0。 小齿轮转动的角速度与自行车转动的角速度相同，也为ω1。设大齿轮转动的角速度为ω，有 R3ω =R2ω1。由以上各式解得 ，代入数据得ω≈3.2 rad / s。 314 2 V 2 mEE = = 2 2 4(314 2) W 1.97 10 W10 EP R = = = ×外 314 A 31.4A10 ei R = = = E n t ∆Φ= ∆ EI nR R t ∆Φ= = ⋅∆ q I t= ∆ 2 (1 cos30 )nBl R − °= 2100 0.5 0.2 (1 0.866) C 0.027C10 × × × −= = 91.25 10 slt v −= = × 21 2 2 cqUd tmd = 2 31 6 2 19 2 18 9.1 10 25 10 V 91V1.6 10 1.25 10c mdU ql − − − − × × ×= = =× × × 2 mEU = 2 0 3 12 /UR r BSNR Rω =