知识讲解_带电粒子在磁场中的运动 提高

第 1 页 共 20 页 带电粒子在磁场中的运动 【学习目标】 1．掌握带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的特点和解决此类运动的方法。 　　2．理解质谱仪和回旋加速器的工作原理和作用。 【要点梳理】 要点一：带电粒子在匀强磁场中的运动 　　要点诠释： 1．运动轨迹 带电粒子（不计重力）以一定的速度 v 进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中： （1）当 v∥B 时，带电粒子将做匀速直线运动； （2）当 v⊥B 时，带电粒子将做匀速圆周运动； （3）当 v 与 B 的夹角为 （ ≠0°，90°，180°）时，带电粒子将做等螺距的螺旋线运动． 说明：电场和磁场都能对带电粒子施加影响，带电粒子在匀强电场中只在电场力作用下，可能做匀变 速直线运动，也可能做匀变速曲线运动，但不可能做匀速直线运动；在匀强磁场中，只在磁场力作用下可 以做曲线运动．但不可能做变速直线运动． 2．带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 如图所示，带电粒子以速度 v 垂直磁场方向入射，在磁场中做匀速圆周运动，设带电粒子的质量为 m， 所带的电荷量为 q． （1）轨道半径：由于洛伦兹力提供向心力，则有 ，得到轨道半径 ． （2）周期：由轨道半径与周期之间的关系 可得周期 ． 说明：（1）由公式 知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，其轨道半径跟运动速率 成正比． （2）由公式 知，在匀强磁场中，做匀速圆周运动的带电粒子，周期跟轨道半径和运动速率 均无关，而与比荷 成反比． 注意： 与 是两个重要的表达式，每年的高考都会考查．但应用时应注意在计算说明 题中，两公式不能直接当原理式使用． 要点二：带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题分析 要点诠释： θ θ 2vqvB m r = mvr qB = 2 rT v π= 2 mT qB π= mvr qB = 2 mT qB π= q m mvr qB = 2 mT qB π=第 2 页 共 20 页 1．分析方法 研究带电粒子在匀强磁场中做圆周运动的问题，应遵循“一找圆心，二找半径 R=mv／qB，三找周期 T=2 πm／Bq 或时间”的基本方法和规律，具体分析为： （1）圆心的确定 带电粒子进入一个有界磁场后的轨道是一段圆弧，如何确定圆心是解决问题的前提，也是解题的关 键．首先，应有一个最基本的思路：即圆心一定在与速度方向垂直的直线上．通常有两种确定方法： ①已知入射方向和出射方向时，可以通过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条 直线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图甲所示，图中 P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆心）． ②已知入射方向和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其 中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心（如图乙所示，P 为入射点，M 为出射点，O 为轨道圆 心）． （2）运动半径的确定： 作入射点、出射点对应的半径，并作出相应的辅助三角形，利用三角形的解析方法或其他几何方法， 求解出半径的大小，并与半径公式 联立求解． （3）运动时间的确定 粒子在磁场中运动一周的时间为 T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为 时，其运动时间可由下式 表示： （或 ）．可见粒子转过的圆心角越大，所用时间越长． 2．有界磁场 （1）磁场边界的类型如图所示 （2）与磁场边界的关系 ①刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切． ②当速度 v 一定时，弧长（或弦长）越长，圆周角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越 长． ③当速率 v 变化时，圆周角越大的，运动的时间越长． （3）有界磁场中运动的对称性 ①从某一直线边界射入的粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等； ②在圆形磁场区域内，沿径向射入的粒子，必沿径向射出． 3．解题步骤 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的解题方法——三步法： mvr Bq = α 360t T α= ° 2t T α π=第 3 页 共 20 页 （1）画轨迹：即确定圆心，几何方法求半径并画出轨迹． （2）找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角运动时间相联系，在磁 场中运动的时间与周期相联系． （3）用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式、半径公式． 注意： （1）带电粒子射出磁场的速度方向与射入磁场的速度方向之间的夹角 叫做偏向角，偏向角等于圆 弧轨道 对应的圆心角 ，即 ，如图所示． （2）圆弧轨道 所对圆心角 等于 PM 弦与切线的夹角（弦切角） 的 2 倍，即 ，如图所 示． 要点三：质谱仪 要点诠释： （1）构造 质谱仪由粒子注入器、加速电场、速度选择器、偏转电场和照相底片组成，如图所示． （2）工作原理 ①加速： ， ②偏转： ， 由以上两式得：粒子在磁场中作匀速圆周运动的半径 。 可见从粒子打在底片上的位置可以测出圆周半径 r，进而可以算出粒子的比荷 或算出它的 质量 ． （3）应用：测定带电粒子的质量和分析同位素 要点四：回旋加速器 要点诠释： （1）构造：回旋加速器是用磁场控制较适用电场进行加速的仪器．它由两个中空的半圆金属盒构成， 两盒间留有缝隙置于真空中，如图所示． ϕ PM α α ϕ= PM α θ 2α θ= 21 2qU mv= 2vqvB m r = 1 2mur B q = 2 2 2q U m B r = 2 2 2 qB rm U =第 4 页 共 20 页 （2）工作原理 回旋加速器的工作原理如图所示．放在 A0 处的粒子源发出一个带正电的粒子，它以某一速率 v0 垂直 进入匀强磁场中，在磁场中做匀速圆周运动．经过半个周期，当它沿着半圆 A0A1 时，我们在 A1A1＇处设置一 个向上的电场，使这个带电粒子在 A1A1＇处受到一次电场的加速，速率由 v0 增加到 v1，然后粒子以速率 v1 在磁场中做匀速圆周运动．我们知道，粒子的轨道半径跟它的速率成正比，因而粒子将沿着增大了的圆周 运动．又经过半个周期，当它沿着半圆弧 A1＇A2＇到达 A2＇时，我们在 A2＇A2 处设置一个向下的电场，使 粒子又一次受到电场的加速，速率增加到 v2．如此继续下去，每当粒子运动到 A1A1＇、A3A3＇等处时都使它受 到一个向上电场的加速，每当粒子运动到 A2＇A2、A4＇A4 等处时都使它受到一个向下电场的加速，那么， 粒子将沿着图示的螺旋线回旋下去，速率将一步一步地增大． （3）回旋加速器的旋转周期 在 A、A＇间处加一个交变电场，使它的变化周期等于带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期 ，就可以保证粒子每经过 A、A＇时都正好赶上适合的电场方向而被加速． （4）带电粒子的最终能量 当带电粒子的速度最大时，其运动半径也最大，由牛顿第二定律 ，得 ，若 D 形盒 的半径为 R，则 r=R，带电粒子的最终动能 ． 说明：（1）使带电粒子在回旋加速器的金属盒中运动，是利用了金属盒的静电屏蔽作用，不受外界 电场干扰，带电粒子在金属盒内只受洛伦兹力作用而做匀速圆周运动． （ 2 ） 回 旋 加 速 器 中 所 加 交 变 电 压 的 频 率 为 f ， 与 带 电 粒 子 做 匀 速 圆 周 运 动 的 频 率 相 等 ： ． （3）要使粒子射出的动能 增大，就要使磁场的磁感应强度 B 以及 D 形盒的半径 R 增 大，而与加速电压 U 的大小无关（U≠0）．加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数，并不影响回 旋加速后的最大动能． （4）带电粒子在回旋加速器中的运行时间 t 等于带电粒子在磁场中的回旋时间 t 磁与在电场中的加速 时间 t 电之和，即 （式中 n 为回旋圈数，d 为两 D 形盒的缝隙，R 为 Q 形盒的半径），因为两半圆形 D 型金属盒之间的缝隙很小，故带电粒子在电场中的加速时间可以忽略 不计，故 ． 2 mT Bq π= 2mvqvB r = qBrv m = 2 2 2 2 2 max 1 1 2 2 2 qBR q B RE mv m m m  = = ⋅ =   1 2 qBf T mπ= = 2 2 2 max 2 q B RE m = 2 2 4nd n m nmdt t t nT qB qBRv π= + = + = +磁 电 2n mt qB π=第 5 页 共 20 页 （5）回旋加速器加速的带电粒子，能量达到 25 MeV～30 MeV 后就很难再加速了．原因是按照狭义相 对论，粒子的质量随着速度的增大而增大．而质量的变化会导致其回旋周期的变化，从而破坏了与电场变 化周期的同步． 要点五：“电偏转”与“磁偏砖”的区别 所谓“电偏转”与“磁偏转”是指分别利用电场和磁场对运动电荷施加作用，从而控制其运动方向， 但电场和磁场对电荷的作用特点不同，因此这两种偏转有明显的差别． 类型 比较 垂直电场线进入匀强电场 （不计重力）——电偏转 垂直磁感线进入匀强磁场 （不计重力）——磁偏转 受力情况 电场力 F=Eq，大小、方向不变 洛伦兹力 F=Bqv，大小不变，方向随 v 而改变 运动类型 类似平抛运动 匀速圆周运动或其一部分 运动轨迹 抛物线 圆或圆的一部分 运动图示 求解方法处理 横向偏移 y 和偏转角 要通过类似 平抛运动的规律求解 横向偏移 y 和偏转角 要结合圆的几何关系 通过对圆周运动的讨论求解 运动的变化 电场力与速度的夹角越来越小，动能 不断增大，并增大得越来越快 洛伦兹力不做功，所以动能保持不变 【典型例题】 类型一、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 例 1、 质子（ ）和 粒子（ ）从静止开始经相同的电势差加速后垂直进入同一匀强磁场做 圆周运动，则这两个粒子的动能之比 Ek1∶Ek2=________，轨道半径之比 r1∶r2=________，周期之比 T1∶ T2=________． 【答案】 1∶2 1∶ 1∶2 【解析】 本题考查了带电粒子经电场加速后进入匀强磁场做匀速圆周运动的问题． 粒子在电场中加速时，只有电场力做功，由动能定理得 ． 故 ． 由 得 ． 又由牛顿第二定律，设粒子在磁感应强度为 B 的匀强磁场中做圆周运动，则 ． 故圆周半径 ． ϕ ϕ 1 1H α 4 2 He 2 21 2qU mv= k1 k2 1 2 1 2E E q U q U q q 1 2= = =∶ ∶ ∶ ∶ 21 2qU mv= 2qUv m = 2mvqvB r = 2 1 2mv m qU mUr qB qB m B q = = ⋅ = ⋅第 6 页 共 20 页 所以 粒子做圆周运动的周期 ． 故 ． 【点评】 关于带电粒子在匀强磁场中的运动问题，应注意以下三点： （1）带电粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，即 得 ， ； （2）带电粒子在磁场中运动的周期与速度无关； （3）洛伦兹力永不做功，粒子运动的速率大小不变． 举一反三 【高清课程：带电粒子在磁场中的运动 例 2】 【变式】两个粒子，带电量相等, 在同一匀强磁场中只受磁场力而作匀速圆周运动（ ） A、若速率相等，则半径必相等 B、若质量相等，则周期必相等 C、若动量相等，则半径必相等 D、若动能相等，则周期必相等 【答案】BC 类型二、 带电粒子在有界匀强磁场中的运动 例 2、（2016 菏泽一模）如图所示，半径为 R 的圆形区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场．重力不 计、电荷量一定的带电粒子以速度 v 正对着圆心 O 射入磁场，若粒子射入、射出磁场点间的距离为 R，则 粒子在磁场中的运动时间为（　　） 　 A． B． C． D． 【答案】A 【解析】粒子在磁场中做匀速圆周运动，画出轨迹，如图所示： 1 2 1 2 1 2 1 2m mr r q q = =∶ ∶ ∶ 2 mT qB π= 1 2 1 2 1 2 1 2m mT T q q = =∶ ∶ ∶ 2vqvB m r = mvr qB = 2 2r mT v qB π π= = 2 3π 9 R v 2π 3 R v 2 3π 3 R v π 3 R v第 7 页 共 20 页 故轨道半径： 根据洛伦兹力提供向心力，有： 解得： 联立解得： 故在磁场中的运动时间： 【点评】对带电粒子的匀速圆周运动的求解，关键是画出匀速圆周运动的轨迹，利用几何知识找出圆 心及相应的半径．由圆心和轨迹用几何知识确定半径是研究带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的重要 方法． 举一反三 【高清课程：带电粒子在磁场中的运动 例 4】 【变式】如图所示，在直线 MN 的右侧有磁感应强度为 B 的匀强磁场，方向垂直纸面向里。电子(电量 e、质量 m)以速度 v 从 MN 上的孔 A，垂直于 MN 方向射入匀强磁场，途经 P 点，并最终打在 MN 上的 C 点、 已知 AP 连线与速度方向的夹角为θ，不计重力。求 （1）A、C 之间的距离 （2）从 A 运动到 P 点所用的时间。 【答案】 类型三、带电粒子在匀强磁场中运动的临界（极值）问题 例 3、如图所示，在平面直角坐标系 xOy 的第四象限有垂直纸面向里的匀强磁场，一质量为 m＝5.0×10 －8 kg、电量为 q＝1.0×10－6 C 的带电粒子。从静止开始经 U0＝10 V 的电压加速后，从 P 点沿图示方向进 入磁场，已知 OP＝30 cm，(粒子重力不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)，求： 3 3r R= 2vqvB m r = mvr qB = 3 3 qBRv m = 2 π 2 3π3 9 r Rt v v = = 2mvAC 2r eB = = 2 2mt T2 eB θ θ π= =第 8 页 共 20 页 (1)带电粒子到达 P 点时速度 v 的大小； (2)若磁感应强度 B＝2.0 T，粒子从 x 轴上的 Q 点离开磁场，求 OQ 的距离； (3)若粒子不能进入 x 轴上方，求磁感应强度 B′满足的条件。 【答案】(1)20 m/s　(2)0.90 m　(3)B′>5.33 T 【解析】(1)对带电粒子的加速过程，由 动能定理 代入数据得：v＝20 m/s (2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，有： 得 代入数据得：R＝0.50 m 而 OP/cos 53°＝0.50 m 故圆心一定在 x 轴上，轨迹如图甲所示。 由几何关系可知： OQ＝R＋Rsin 53° 故 OQ＝0.90 m (3)带电粒子不从 x 轴射出(如图乙)，由几何关系得： OP>R′＋R′cos 53°① ② 由①②并代入数据得： 【点评】此题是带电粒子在有界匀强磁场中的临界（极值）问题．分析该类题目的关键是找出临界 （极值）条件，分析可能的情况． 类型四、 两种偏转（电偏转、磁偏转）的问题 例 4、汤姆生在测定阴极射线的荷质比时采用的方法是利用电场、磁场偏转法，即通过测出阴极射线 在给定匀强电场和匀强磁场中穿过一定距离时的速度偏转角来达到测定其荷质比的目的．利用这种方法也 可以测定其他未知粒子的荷质比，反过来，知道了某种粒子的荷质比，也可以利用该方法了解电场或者磁 场的情况． 假设已知某种带正电粒子（不计重力）的荷质比（q／m）为 k，匀强电场的电场强度为 E，方向竖直 向下．先让粒子沿垂直于电场的方向射入电场，测出它穿过水平距离 L 后的速度偏转角 （ 很小，可认 21 2qU mv＝ 2mvqvB R = mvR qB = mvR qB ′ = ′ 16 T 5.33 T3B′ > ＝ θ θ第 9 页 共 20 页 为 =tan ）（如图甲），接着用匀强磁场代替电场，让粒子以同样的初速度沿垂直于磁场的方向射入磁场， 测出它通过一段不超过 1／4 圆周长的弧长 s 后的速度偏转角 （如图乙所示）．试求出以 k、E、L、s 和 所表示的测定磁感应强度 B 的关系式． 【答案】 【解析】 本题考查了带电粒子在匀强电场和匀强磁场中偏转的问题． 设粒子的初速度为 v，在电场中粒子做类似平抛运动，有 L=Vt…①，vy=at…②，a=qE／m=kE…③， …④，解得 …⑤． 在磁场中粒子做匀速圆周运动，有 …⑥， …⑦，解得 …⑧．联 立⑤⑧两式，解得 。 【点评】 带电粒子在电场．和磁场中运动有不同的规律，注意对它们要用不同的处理方法，并区 别它们． 类型五、回旋加速器问题 例 5、（2016 江苏卷）回旋加速器的工作原理如题 15-1 图所示，置于真空中的 D 形金属盒半径为 R， 两盒间狭缝的间距为 d，磁感应强度为 B 的匀强磁场与盒面垂直，被加速粒子的质量为 m，电荷量为+q， 加在狭缝间的交变电压如题 15-2 图所示，电压值的大小为 U0．周期 T= ．一束该种粒子在 t=0~ 时 间内从 A 处均匀地飘入狭缝，其初速度视为零．现考虑粒子在狭缝中的运动时间，假设能够出射的粒子每 次经过狭缝均 做加速运动，不考虑粒子间的相互作用．求： （1）出射粒子的动能 ； （2）粒子从飘入狭缝至动能达到 所需的总时间 ； （3）要使飘入狭缝的粒子中有超过 99%能射出，d 应满足的条件． θ θ ϕ ϕ ELB s k ϕ θ= ytan v v= =θ ／ 2v kEL= ／θ 2qvB mv R= ／ s R= ϕ v kBs= ϕ／ ELB s k ϕ θ= 2πm qB 2 T mE mE 0t第 10 页 共 20 页 【答案】(1) （2） （3） [ 【解析】（1）由 ， 解得 （1）粒子被加速 n 次达到动能 ，则 ,粒子在狭缝间做匀加速运动，设 n 次经过狭缝的 总时间 加速度 匀加速直线运动： 由 解得 (3)只有在 时间内飘入的粒子才能每次均被加速 所占的比例 为 由 , 解 得 ． 2 2 2 m 2 q B RE m = 2 0 0 π 2 π 2 BR BRd mt U qB += − 0 2 π 100 mUd qB R < 2vqvB m R = 21 2mE mv= 2 2 2 2m q B vE m = mE 0mE nqU= t∆ 0qUa md = 21 2nd a t= ∆ 0 ( 1) ,2 Tt n t= − + ∆ 2 0 0 2 2 BR BRd mt U qB π π+= − 0 ( )2 T t− − ∆ 2 2 T t T η − ∆ = 99%η > 0 2 π 100 mUd qB R 0 4 Bqdv m > 2 mT Bq π= 2 T mt Bq π= = 02 sinmv qB θ− 2π1 π m qB θ −  第 17 页 共 20 页 由于洛伦兹力提供向心力，则： ，R 为圆轨道的半径， 解得： ① 圆轨道的圆心位于 OA 的中垂线上，由几何关系可得： ② 联立①②两式解得 L= ； 所以粒子离开磁场的位置为（ ，0）； （2）因为 该粒子在磁场中运动的时间 ． 3．（1） 　 （2）Ek　 （3）1∶2 解析：应用粒子在磁场中做圆周运动的半径公式和周期公式便可求出速度的表达式及频率表达式。 　　（1）设加速器 D 形盒半径为 R，磁场磁感应强度为 B，由 ，得 ， 。所以 粒子获得的速度 。 　　（2）由动能 ，得 　　　　 。 　　　　 所以 粒子获得的动能也为 Ek。 　　（3）交流电压频率与粒子在磁场中的回旋频率相等 　 　　　 ， 。 　　　 　所以 粒子与质子所需交流电压频率之比为 1∶2。 4． 解析：粒子在磁场中做匀速圆周运动（如图）． 2 0 0 vqv B m R = 0mvR qB = sin2 L R θ= 02 sinmvL qB θ= 02 sinmv qB θ− 2πmT qB = 2π 2 2π12π π mt T qB θ θ−  = = −   v 2 mvR Bq = 2 2 1 2 2 l d vl + 2 2 1 1 2 2 2 1 2arcsin2 l d dl dl l d + +第 18 页 共 20 页 由于粒子在分界线处的速度与分界线垂直，圆心 O 应在分界线上．OP 长度即为粒子运动的圆弧的半径 R．由几何关系得 …①．设粒子的质量和所带电荷量分别为 m 和 q，由洛伦兹力公式和 牛顿第二定律得 …②．设 P＇为 P 量 Q 量与分界线的交点，∠POP＇= ，则粒子在磁场中的运 动时间为 …③，式中 …④。粒子进入电场后做类平抛运动，其初速度为 v，方向垂直于 电场，设粒子加速度大小为 a，由牛顿第二定律得 qE=ma…⑤．由运动学公式有 …⑥， … ⑦ ． 式 中 t2 是 粒 子 在 电 场 中 运 动 的 时 间 ， 由 ① ② ⑤ ⑥ ⑦ 式 得 ， 由 ① ③ ④ ⑦ 式 得 ． 5．【答案】（1） ；（2） ；（3） 、 【解析】（1）设粒子射出时速度方向与 x 轴正方向夹角为 ，则有： ， 所以： ， ， 所以： （2）设粒子在第二象限磁场中做匀速圆周运动的半径为 R（如图）， 则： ， 得： ， （3）在第一种情况下，粒子进入第一象限的速度为 ， 在磁场 B0 中做匀速圆周运动的半径： 2 0 7 mv qa 02 7 mv qa 2 2 0 2 0 2 2 qE aa a mv π     ， ， 2 2 0 2 0 3+1) 18 qE aa a mv π     ，( ， θ 3tan 2tan 2 3 2 3 a a θ α= = × = 060θ = 0 0 0 3sin60 2y vv v= = 22 3 y qE a vm × × = 2 0 8 mvE qa = 0mvR qB = ( ) ( )2 22 2 3 3R a R a= + − 3.5R a= 02 7 mvB qa = 1v 0 0 1 0 cos60 2 vv v= = 1 1 0 mvR aqB = = 2 2 2 1 ( )R l R d= + − 2vqvB m R = α 1 Rt v α= 1sin l R α = 2 2 1 2d at= 2 2l vt= 2 2 1 2 2 l dE B l += 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 2arcsin2 t l d dl t dl l d += + O＇R第 19 页 共 20 页 从进入第一象限到打到光屏上的时间为： 粒子在 z 轴方向上做初速度为 0 的匀加速直线运动，在 时间内沿 z 轴方向通过的距离： ， 则粒子在光屏上的位置坐标为： 在第二种情况下，粒子进入第一象限的速度为 ， 在磁场 中做匀速圆周运动的半径： 从进入第一象限到打到光屏上的时间为： 粒子在 z 轴方向上做初速度为 0 的匀加速直线运动，在 时间内沿 z 轴方向通过的距离： ， 则粒子在光屏上的位置坐标为： ． 6． 解析：粒子在整个运动过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内磁感应强度为 B1 与 B2 的磁场区域中 做匀速圆周运动，轨道都是半个圆周。 设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1 和 r2，有 　　 　　 　　　　①　　　　 　　　 ② 　　现分析粒子运动的轨迹。在 xOy 平面内，粒子先沿半径为 r1 的半圆 C1 运动至 y 轴上离 O 点距离为 2r1 的 A 点，接着沿半径为 r2 的半圆 D1 运动至 y 轴上的 O1 点，OO1 的距离 　 　　　d=2(r2－r1)　 ③ 　　此后，粒子每经历一次“回旋”（即从 y 轴出发沿半径为 r1 的半圆和半径为 r2 的半圆回到原点下方的 y 轴），粒子的 y 坐标就减小 d。设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On 点，若 OOn 即 nd 满足　　　　 nd=2r1　　　 1 04 T at v π= = 1t 2 2 20 0 1 1 2 0 1 2 2 qE qE az tm mv π= = 2 2 0 2 0 2 2 qE aa a mv π     ， ， 2v 2 0v v= 0B 2 2 0 2mvR aqB = = 2 012 3 T at v π= = 2t 2 2 20 0 2 2 2 0 1 2 18 qE qE az tm mv π= = 2 2 0 2 0 3+1) 18 qE aa a mv π     ，( ，第 20 页 共 20 页 ④ 　　则粒子再经过半圆 Cn+1 就能够经过原点，式中 n=1，2，3……为回旋次数。 　　由③④式解得　 　　　⑤ 　　联立①②⑤式可得 B1、B2 应满足的条件： 　　　　　　　　　 　　　 ⑥