选修3-1 电势差与电场强度的关系 要点梳理B

1 电势差与电场强度的关系 【学习目标】 1、理解匀强电场中电势差跟电场强度的关系 U=Ed 2、会用 U=Ed 或 解决有关问题 【要点梳理】 要点一、电势差与电场强度的关系 1．关系式推导 如图所示，在匀强电场力作用下，电荷 q 从 A 点移动到 B 点． 静电力做功 WAB 与 UAB 的关系为 WAB＝qUAB，因为匀强电场中电场强度处处相等．所以电荷 q 所受静电力 F＝qE 是一个恒力，它所做的功为 WAB＝Fd＝qEd． 比较功的两个计算结果得：UAB＝Ed 2．匀强电场中电势差与电场强度的关系 (1)匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积． (2)公式：UAB＝Ed． 要点诠释： (1)此公式只适用于匀强电场． (2)公式中 d 必须是沿场强方向的距离．当电场中的两点不在同一条电场线上时，d 应为两点在场强方 向上的投影的距离，亦为电场中的两点所在的等势面的垂直距离． (3)对于非匀强电场，用公式 可以定性分析某些问题．例如等差等势面 E 越大，d 越小，因此 可以断定等差等势面越密的地方电场强度越大．如图所示，在点电荷的电场中有 A、B、C 三点， ，要求比较 UAB 与 UBC 的大小时，可以利用 即 U＝Ed 定性说明．AB 段电场强度 比 BC 段电场强度 大，故 UAB＞UBC． 要点二、 电场强度的另一种表述 1．表述：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的电势差与两点间沿电场强度方向距离的比 值． 2．公式： 3．数值：电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势． 4．单位：伏特每米(V/m)，且 1V/m＝1N/C． 要点诠释： UE d = UE d = AB BC= UE d = ABE BCE ABUE d =2 (1)电场强度的方向就是电势降低最快的方向，只有沿场强方向，在单位长度上的电势差最大，也就 是说电势降低最快的方向为电场强度的方向．但是，电势降落的方向不一定是电场强度的方向． (2)电场线与等势面处处垂直，并且电场线由高等势面指向低等势面． (3)在同一幅图中，等差等势面越密(即相邻等势面间距越小)的地方，场强越大．如图中左、右两端 与上、下两部分比较就很明显． (4)电场强度与电势无直接关系．因为电场中某点电势的值是相对选取的零电势点而言的，选取的零 电势点不同，电势的值也不同，而场强不变，零电势可以人为选取，而场强是否为零则由电场本身决 定．初学者容易犯的一个错误是把电势高低与电场强度大小联系起来，误认为电场中某点电势高，场强就 大；某点电势低，场强就小． 要点三、 电场强度、电势和电势差的比较 电场强度 E 电势 电势差 U 定义 放入电场中某一点的电荷受 到的电场力跟它的电荷量的 比值 电荷在电场中某一点的电 势能与它的电荷量的比值 在电场中两点间移动电荷时， 电场力所做的功跟电荷量的 比值 定义式 方向 规定为正电荷在该点所受电 场力的方向 标量，无方向 标量，无方向 大小 数值上等于单位电荷受到的 力 数值上等于单位正电荷具 有的电势能 数值上等于单位正电荷从一 点移到另一点时，电场力所 做的功 区 别 物理意义 描述电场的力的性质 描述电场的能的性质 描述电场的能的性质 联系 ①场强的方向是电势降落最快的方向，但电势降落的方向不一定是场强的方向 ②电势与场强大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地 方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高 ③场强的大小等于沿场强方向每单位长度上的电势降落，即 或 U＝Ed(匀强电场) ④电势差等于电场中两点电势间的差，即 要点四、 电场强度的三个公式的区别 区别 公式 物理含义 引入过程 适用范围 是电场强度大小的定义式 ， 与 F、q 无关， 是反映某点电场的性质 适用于一切电场 是真空中点电荷场强的决定式 由 和库仑定律导出 在真空中，场源电荷 Q 是点 电荷 ϕ FE q = pE q ϕ = WU q = UE d = ab a bU ϕ ϕ= − FE q = F q∝ F q 2 QE k r = FE q = 物理量 内容 项目3 是匀强电场中场强的决定式 由 F＝qE 和 W＝qU 导出 匀强电场 说明：在选取物理公式时一定要注意公式的适用条件，应用时还要理解公式中各量的物理意义． 要点五、用“等分法”计算匀强电场中的电势 在匀强电场中，沿任意一个方向，电势降落都是均匀的，故在同一直线上相同间距两点间的电势差相 等．如果把某两点间的距离等分为 n 段，则每段线段两端点的电势差等于原电势差的 1/n 倍，像这样采用 这种等分间距求电势的方法，叫做等分法． 要点诠释： (1)在已知电场中几点的电势时，如果要求其他某点的电势，一般采用“等分法”在电场中找与待求 点的电势相同的等势点．等分法也常用在画电场线的问题中． (2)在匀强电场中，相互平行的相等的线段两端点电势差相等，用这一点可求解电势． 【典型例题】 类型一、匀强电场中电场强度与电势差的关系 例 1、关于匀强电场中场强和电势差的关系，下列说法正确的是 ( ) A．任意两点间的电势差等于场强和这两点间距离的乘积 B．沿电场线方向，任何相同距离上电势降落必定相等 C．电势降低的方向必是场强方向 D．在相同距离的两点上，电势差大的其场强也大 【思路点拨】正确理解匀强电场中场强与电势差的关系，注意场强的方向是电势降低“最快的”方向。 【答案】 B 【解析】本题的关键是理解匀强电场中场强与电势差的关系，公式 中，d 是沿场强方向上两点的距 离，由此很容易判断出 A 错，D 错，B 项正确．场强的方向是电势降低“最快的”方向而不是指电势降低 的方向，故 C 项错误． 【总结升华】正确理解公式 U＝Ed 或 中各物理量的物理含义，特别是 d 的物理意义，是分析场强与 电势差关系的关键． 举一反三 【变式】下列关于匀强电场中场强和电势差的关系，正确的说法是( ) A．在相同距离上的两点，电势差大的其场强也必定大 B．场强在数值上等于每单位距离上的电势降落 C．沿着电场方向，任何相同距离上的电势降落必定相等 D．电势降低的方向必定是电场强度的方向 【答案】C 【解析】选项 A、B 的错误在于对 d 的错误理解，d 应为沿场强方向的距离．选项 D 的错误在于忽视了电势 降低的方向有很多，不同方向的电势降落快慢程度可能不同． 类型二、用 U＝Ed 或 定性分析非匀强电场中的场强与电势差的关系 例 2、（2015 宜昌校级三模）如图所示 ，A、B、C 是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个 点，各点的电势分别为 φA＝5 V，φB＝2 V，φC＝3 V，H、F 三等分 AB，G 为 AC 的中点，在下列各示意 图中，能正确表示该电场强度方向的是(　　) UE d = UE d = UE d = UE d =4 【答案】BC 【解析】匀强电场中将任一线段等分，则电势差等分。把 AB 等分为三段，AB 间电压为 3 V，则每等 分电压为 1 V，H 点电势为 4 V，F 点电势为 3 V，将 FC 相连，则 FC 为等势线，电场线垂直于 FC，从高 电势指向低电势，C 正确；把 AC 相连，分为两份，AC 电压为 2V，则 G 点电势为 4V，GH 为等势线，电 场线垂直于 GH，从高电势指向低电势，B 正确。 举一反三 【高清课程：电势差和电场强度的关系 例 1】 【变式】如图所示，四种典型电场中分别有 a、b、c 三点 (1)试在甲乙丙丁四幅图中比较以下物理量(用等式或不等式表示三者关系) ①a、b、c 三点场强大小的关系：甲________，乙________，丙________，丁________； ②a、b、c 三点电势的关系：甲________，乙________，丙________，丁________。 (2)试在甲乙丙丁四幅图中判断以下过程中移动正电荷，电场做功的情况(填“正功”、“负功”或“不 做功”) ①a→c 过程中：甲________，乙________，丙________，丁________； ②a→b 过程中：甲________，乙________，丙________，丁________。 (3)在以上分析的基础上，判断以下说法中正确的是 ( ) A．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小一定不相等 B．在静电场中沿电场线方向的各点的电势一定降低，场强大小不一定相等 C．在静电场中同一等势面上各点电势一定相等，场强大小不一定相等 D．在静电场中，点电荷 q 沿任意路径从 a 点移至 b 点，只要 a、b 在同一等势面上，电场力做功 就一定为零 【答案】（1）① ， ， ， ② ， ， ， a b cE E E= = a b cE E E= < a b cE E E= > a b cE E E= > a c b ϕ ϕ ϕ= > a c b ϕ ϕ ϕ= < a c b ϕ ϕ ϕ> > a b c ϕ ϕ ϕ= WU q = U WE d qd = =14 的电势才是 ，而题中并没有说明何处为零势点，所以 D 项错．正确的选项只有 A． 5．AC 解析：由电场的基本性质可知，0～x1 间为等势面(或等势体)，故 A 项正确，B 项错．由电势呈线性减小 可知 x1～x2 间存在沿 x 方向的匀强电场，故 C 项正确，D 项错． 6．【答案】B 【解析】图中 P 点电场强度 E 的方向是沿 x 轴正方向，由对称性和电场叠加可知，O 点电场强度 E 为零， 选项 B 正确 A 错误。由于 O 点电场强度为零，无限远处的电场强度为零，所以从 O 点到 P 点，电场强度 E 可能是先增大后减小，电势 φ 一定逐渐减小，选项 C、D 错误。 7．C 解析：微粒从 C 点离开时具有最大动能说明 A，C 两点间的电势差是 A 与圆周上各点间电势差中最大的， 即在圆周上各点中 C 点的电势最低，C 点单独在一个等势面上，又因为匀强电场的等势面是与电场线垂直 的平面，所以经过 C 点圆的切线是一个等势线，因此 OC 是经过 C 点的电场线． 8．C 解析：粒子在竖直方向上做初速度为 v0、加速度为 g 的匀减速运动，其末速度为零，因此它从 a 到 b 的运 动 时 间 为 ： ． 粒 子 从 a 到 b 在 水 平 方 向 上 做 匀 加 速 运 动 ， 其 水 平 位 移 为 ． 设 匀 强 电 场 场 强 大 小 为 E ， 在 水 平 方 向 上 根 据 牛 顿 第 二 定 律 得 ： ， ．ab 两点之间的电势差为 ．或者直接对 a、b 两点 应用动能定理 ，故 9．AD 解析：作出过点 M 的等势线，因电场线与等势线是垂直的，且沿电场线方向电势是降低的，故 A 正确．将 负电荷从 O 点移到 P 点时，电势降低，其电势能增大，故应是克服电场力做功，B 错误．由 及电 场线疏密程度知 O、M 两点间电势差应大于 M、N 两点间电势差，C 错误．沿 y 轴上各点场强方向相同， 故从 O 点由静止释放的带正电粒子运动中始终受到沿 y 轴正方向的电场力，D 正确． 10．AD 解析:在 图中，图像斜率表示场强大小．结合题中图像特点可知 ， ，故 A 对 C 错．根据电场中沿着电场线的方向电势逐渐降低可知 沿 x 轴负方向，B 项错．负电荷在正 x 轴上受电 场力沿 x 轴负向，在负 x 轴上受电场力沿 x 轴正向，故可判断负电荷从 B 移到 C 的过程中，电场力先做正 功后做负功，D 项正确． 11．B 解析：在匀强电场中，沿某一方向电势是均匀变化的．由 ， 知，在匀强 W q 0 00 v vt g g −= =− 2 0 00 2 2x v vs t g += = 2 0(2 ) 0 2 x Eqv sm − = 2mgE q = 2 02 ab x mvU E s q = × = 2 2 2 0 0 0 1 1 3(2 )2 2 2abqU m v mv mv= − = 2 0 3 2abU mvq = UE d = xϕ − Bx CxE E> 0OxE = BxE (2 3)Va ϕ = − (2 3)Vb ϕ = +15 电场中连线 ab 的中点 O 处电势 ，又 ，所以连线 Oc 是一条等势线，过 O 点作 Oc 的 垂 线 即 是 一 条 电 场 线 ， 如 图 所 示 ． 由 题 知 电 场 线 E 与 圆 的 交 点 d 处 电 势 最 低 ， 且 有 ，解得 ，同理知点 e 处电势最高， ． 二、计算题： 1．答案：（1）﹣300V，﹣300V； （2）104V/m，方向由 A 指向 D； （3）3.25×10﹣6J． 解：（1）由电势差的定义得 ， A 点电势为 0，故 则 B 点电势 φB=UBA=﹣UAB=﹣300V C 点电势 φC=UCA=﹣UAC=﹣300V； （2）B、C 等势，则 BC 为匀强电场中的一等势面，电场线垂直于等势面，过 A 作 AD 垂直于 BC，则电场 方向为由 A 指向 D，如图所示． （3）微粒过 A 点的速度垂直电场线，微粒做类平抛运动． lsin30°=v0t vy=at 2V2 a b O ϕ ϕϕ += = 2Vc ϕ = cos30 O d O a R R ϕ ϕ ϕ ϕ− −=  ° 0Vd ϕ = 4Ve ϕ = 6 1 8 1 3 10 V 300V10AB WU q − − ×= = = 6 2 8 2 3 10 V 300V10AC WU q − − − − ×= = =− 4 2 300 V/m 10 V/mcos30 32 3 10 2 ABUE l − = = =° × × 21cos30 2l at° = qEa m =16 联立解得 ． 2．(1)如图所示 (2)增加 J 解析：(1)由平衡条件可知静电力方向与 F 方向相反，大小相等，又知电荷带负电，故场强方向与静电力 方 向 相 反 ， 所 以 电 场 方 向 与 F 方 向 相 同 ， 如 图 所 示 ． ， ， ． (2)电荷 q 由 A 到 B 电势能增加，增量为 ． 2 2 2 0 1 1 ( )2 2k yE mv m v v= = + 63.25 10 JkE −= × 54.8 10−× 4 2 7 1.5 10 N / C 5 10 N / C3 10 FE q − − ×= = = ×× cosAB A BU E ABϕ ϕ α= − =  cos 60VB A E ABϕ ϕ α= − = − 7 53 10 160J 4.8 10 JE qE d qU − −= = = × × = ×△