知识讲解 理想气体的状态方程

1 理想气体的状态方程 【学习目标】 1．知道什么是理想气体，理想气体分子的运动特点，气体压强产生的原因； 2．掌握理想气体的状态方程，知道理想气体状态方程的推出过程； 3．学会建立物理模型的研究方法； 4．利用理想气体的状态方程分析解决实际问题。 5．利用图象形象直观地表示气体状态及状态的变化． 6．学会利用图象和气体实验定律分析气体的状态变化。 7．在掌握图象的特点的基础上利用图象解决实际问题． 8．进一步明确图象上的一个点表示一定质量的气体的一个平衡状态对应着三个状态参 量，图象上的某一条直线或曲线表示一定质量气体状态变化的一个过程． 【要点梳理】 要点一、理想气体 1．理想气体 严格遵从 3 个实验定律的气体称为理想气体． 在任何温度、任何压强下都严格遵从气体实验定律的气体叫做理想气体． 要点诠释： 对理想气体应从以下几个方面理解： （1）理想气体是一种理想化模型，是对实际气体的科学抽象． （2）实际气体，特别是那些不容易液化的气体，如氢气、氧气、氮气、氦气等，在压 强不太大（不超过大气压的几倍），温度不太低（不低于负几十摄氏度）时，可以近似地视 为理想气体． （3）在微观意义上，理想气体分子本身大小与分子间的距离相比可以忽略不计，分子 间不存在相互作用的引力和斥力，所以理想气体的分子势能为零，理想气体的内能等于分子 的总动能． 2．理想气体的状态方程 一定质量的理想气体，由初状态（ ）变化到末状态（ ）时，各 量满足： 或 （ 为恒量）． 上面两式都叫做一定质量的理想气体的状态方程． 要点诠释： （1）气体的三个实验定律是理想气体状态方程的特例： ○1 当 时， （玻意耳定律）． ○2 当 时， （查理定律）． ○3 当 时， （盖—吕萨克定律）． 1 1 1p V T、 、 2 2 2p V T、 、 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = pV CT = C 1 2T T= 1 1 2 2pV p V= 1 2V V= 1 2 1 2 p p T T = 1 2p p= 1 2 1 2 V V T T =2 （2） 适用条件： 该方程是在理想气体质量不变的条件下才适用．是一定量理想气体两个状态参量的关系， 与变化过程无关． （3） 中的恒量 仅由气体的种类和质量决定，与其他参量无关． 要点二、应用理想气体状态方程解题的一般思路 １．应用理想气体状态方程解题的一般思路 （1）确定研究对象（某一部分气体），明确气体所处系统的力学状态（是否具有加速 度）． （2）弄清气体状态的变化过程（是单调变化还是非单调变化，是否会出现临界状态或 极值点）． （3）确定气体的初、末状态及其状态参量，并注意单位的统一． （4）根据题意，选用适当的气体状态方程求解．若非纯气体热学问题，还要综合应用 力学等有关知识列辅助方程． （5）分析讨论所得结果的合理性及其物理意义． 2．“两团气”问题的一般解法 “两团气”问题涉及两部分（或两部分以上）的气体，它们之间虽没有气体交换，但在 压强或体积这些量之间有一定的关系．分析清楚这些关系往往是解决问题的关键．解决此类 问题的一般方法是： （1）分别选取每团气体为研究对象，确定初、末状态及其状态参量，根据气体状态方 程写出状态参量间的关系式． （2）认真分析两团气体的压强或体积之间的关系，并写出关系式． （3）多个方程联立求解． 3．解决汽缸类问题的一般思路 （1）弄清题意，确定研究对象．一般来说，研究对象分两类，一类是热学研究对象（一 定质量的理想气体），另一类是力学研究对象（汽缸、活塞或某系统）． （2）分析清楚题目所求的物理过程，热学研究对象的初、末状态及状态变化过程，依 气体定律列出方程；对力学研究对象要正确地进行受力分析，依据力学规律列出方程． （3）注意挖掘题目中的隐含条件，如几何关系等，列出辅助方程． （4）多个方程联立求解．对求解的结果，注意检验它们的合理性． 4．汽缸类问题的几种常见类型 （1）气体系统处于平衡状态，需综合应用气体定律和物体的平衡条件解题． （2）气体系统处于力学非平衡状态，需要综合应用气体定律和牛顿运动定律解题． （3）封闭气体的容器（如汽缸、活塞、玻璃管等）与气体发生相互作用的过程中，如 果满足守恒定律的适用条件，可根据相应的守恒定律解题． （4）两个或多个汽缸封闭着几部分气体，并且汽缸之间相互关联的问题，解答时应分 别研究各部分气体，找出它们各自遵循的规律，并写出相应的方程：还要写出各部分气体之 间压强或体积的关系式，最后联立求解． 要点诠释： 当选取力学研究对象进行分析时，研究对象的选取并不唯一，同学们可以灵活地选整体 或部分为研究对象进行受力分析，列出平衡方程或动力学方程． 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = pV CT = C3 要点三、理想气体状态方程的推导 1．理想气体状态方程的推导 一定质量理想气体初态（ ）变化到末态（ ），因气体遵从三个实 验定律，我们可以从三个定律中任意选取其中两个，通过一个中间状态，建立两个方程，解 方程消去中间状态参量便可得到气态方程．组成方式有 种，如图所示。 我们选（1）先等温、后等压来证明． 从初态→中间态，由玻意耳定律得 ① 从中间态→末态，由盖一吕萨克定律得 ② 由①②式得 。 其余 5 组大家可试证明一下． 2．克拉珀龙方程 某 种 理 想 气 体 ， 设 质 量 为 ， 摩 尔 质 量 为 ， 则 该 理 想 气 体 状 态 方 程 为 。 式中 为摩尔气体常量，在国际单位制中 ． 这就是任意质量的理想气体的状态方程，也叫做克拉珀龙方程． 从上式可以看出在 中的恒量 由理想气体的质量、摩尔质量和摩尔气体常量 决定． 3．气体密度方程 1 1 1p V T、 、 2 2 2p V T、 、 6 1 1 2pV p V= ＇ 1 2 2 ' TV V T = 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = m M mpV RTM = R 8.31 J/(mol K)R = ⋅ pV CT = C 1 1 1 2 2 2/( )= / ( )p T p Tρ ρ4 对于一定质量的气体，在状态 时密度为 ，则 ， 在状态 时密度为 ，则 ， 将 、 代入状态方程 ． 得 ． 此方程与质量无关．可解决高质量问题． ４．理想气体状态方程的分态式 ， 式中 是气体终态的 个部分的状态参量．该方程根据质量守恒和克拉珀龙方程可导出，当理 想气体发生状态变化时，如伴随着有气体的迁移、分装、混合等各种情况，使用分态式会显 得特别方便． 要点三、气体状态变化的图象 用图象表示气体状态变化的过程及变化规律具有形象、直观、物理意义明朗等优点，另 外，利用图象对气体状态、状态变化及规律进行分析，将给解答带来很大的方便． 图象上的一个点表示定质量气体的一个平衡状态，它对应着三个状态参量；图象上的某 1 1 1p V T、 、 1 ρ 1 1 m V ρ = 2 2 2p V T、 、 2 ρ 2 2 m V ρ = 1 1 mV ρ= 2 2 mV ρ= 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = 1 2 1 1 2 2 p p T Tρ ρ= 1 1 2 2 1 2 n n n p VpV p VpV T T T T = + + + 1 1 1 2 2 2 n n np V T p V T p V T…（ 、 、 ）、（ 、 、 ）、 、（ 、 、 ） n5 一条直线或曲线表示定质量气体状态变化的一个过程． 1．定质量气体的等温变化图象 （1）在 图中，等温线是以两坐标轴为渐近线的一簇双曲线（反比例函数），每一 条双曲线表示一个等温变化过程．由定质量理想气体的状态方程 （恒量）可知： ① 一定时， 与 成反比．故每一条等温线都表示在一定温度下，气体的压强 跟 体积 的反比变化关系； ② 。过等温线上任意一点作两坐标轴的平行线围成的“矩形面积”，表示该状 态下的 值．“面积”越大， 值就越大，对应的 值也越大，即温度越高的等温线离 坐标轴越远．在图甲中， ． （2）定质量气体的等温变化过程，也可以用 图象来表示，如图乙所示． （3）在 图中，等温线是平行于 轴的直线，如图丙所示． （4）在 图中，等温线是平行于 轴的直线，如图丁所示． 2．定质量气体的等容变化图象 （1）在 图中，等容线是一簇延长线必定通过坐标原点的直线，如图 8-4-13 所示， 对于质量一定的理想气体，由状态方程 （恒量）可知： ① 一定时， 。任一条等容线都表示气体压强 与温度 的正比变化关系． p V− pV T C=／ T p V p V pV T∝ pV pV T 2 1T T＞ 1/p V− p T− p V T− V p T− pV T C=／ V p T∝ p T6 ②图线的斜率为 ．可见斜率越小，体积越大，体积越大的 等容线离 轴越近．在图甲中 。 （2）若横坐标用摄氏温度 表示，则定质量气体的等容变化图象如图乙所示． （3）在 图中，等容线是平行于 轴的直线，如图丙所示。 （4）在 图中，等容线是平行于 轴的直线，如图丁所示。 3．定质量气体的等压变化图象 （1）在 图中，等压线是一簇延长线必定通过坐标原点的直线，如图 8-4-17 所示， 对于质量一定的理想气体，由状态方程 （恒量）可知： ① 一定时， 。任一条等压线都表示气体体积 与温度 的正比变化关系． ②图线的斜率为 可见斜率越小，压强越大，压强越大的等 压线离 轴越近．在图甲中， 。 tan 1p T C V V= = ∝／ ／ ／ T 2 1V V＞ t p V− p V T− T V T− pV T C=／ p V T∝ V T tan 1V T C p pα = = ∝／ ／ ／ T 2 1p p＞7 （2）若横坐标用摄氏温度 表示，则定质量气体的等压变化图象如图乙所示． （3）在 图中，等压线是平行于 轴的直线，如图丙所示。 （4）在 图中，等压线是平行于 轴的直线，如图丁所示。 掌握以上气体状态变化图象的特点，可以简捷地判定气体状态变化是否为等值变化，还 可以比较非等值变化过程中，不同状态的温度的高低．压强和体积的大小．其方法一般是通 过所比较的点，定性作出相应的等温、等压或等容图象，比较其 值、斜率 tan 的大小， 就可以得出结论． 要点四、知识归纳总结 1．知识归纳 （1）理想气体的定义及气体实验定律的适用范围． （2）理想气体的状态方程 或 （ 为恒量）． 2．方法归纳 （1）理想气体状态方程实质上是三个实验定律的推广与拓展，它可以由三个实验定律 中的任意两个而得到． （2）应用状态方程解决气体问题时，往往比单纯使用实验定律要简单．使用时首先确 定好研究对象的始、末两个状态，然后确定好这两个状态对应的状态参量，最后应用状态方 程的表达式列方程．列方程时注意，公式两边 的单位分别一致，不一定采用国际 单位． （3）很多变质量问题可以通过灵活选取研究对象转化为定质量问题，从而能够使用气 体实验定律或理想气体的状态方程．研究力热综合问题时，要灵活地变换研究对象，以封闭 气体的液柱、活塞为研究对象，以压强为媒介，列出平衡方程或应用牛顿第二定律求解． 【典型例题】 类型一、理想气体 例 1．下列对理想气体的理解，正确的有（ ）． A．理想气体实际上并不存在,只是一种理想模型 t p V− V p T− T pV α 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = pV CT = C p V T、 、8 B．实只要气体压强不是很高就可视为理想气体 C．一定质量的某种理想气体的内能与温度、体积都有关 D．在任何温度、任何压强下,理想气体都遵循气体实验定律 【思路点拨】根据理想气体的特点。 【答案】A、D 【解析】理想气体是在忽略了实际气体分子间相互作用力的情况下而抽象出的一种理 想化模型，A 正确；实际气体能视为理想气体的条件是温度不太低、压强不太大，B 错误； 理想气体分子间无分子力作用，也就无分子势能，故一定质量的理想气体，其内能与体积无 关，只取决于温度，C 错误；由理想气体模型的定义可知 D 正确。 【总结升华】记住理想气体的特点是解此类试题的关键。 举一反三: 【变式】下列说法中正确的是（ ）． A．一定质量的气体被压缩时，气体压强不一定增大 B．一定质量的气体温度不变压强增大时，其体积也增大 C．气体压强是由气体分子间的斥力产生的 D．在失重情况下，密闭容器内的气体对器壁没有压强 【答案】A 【解析】气体质量一定时， 恒量，显然，A 对，B 错；由气体压强产生的原因知 C 错；D 中因为容器密闭，气体对器壁有压强，故 D 错． 类型二、理想气体状态方程的应用 例 2．一活塞将一定质量的理想气体封闭在汽缸内，初始时气体体积为 ．用 实验系统测得此时气体的温度和压强分别为 和 ．推动活塞压缩气体， 测得气体的温度和压强分别为 和 ． （1）求此时气体的体积； （2）保持温度不变，缓慢改变作用在活塞上的力，使气体压强变为 ，求此 时气体的体积． 【答案】见解析 【解析】（1）由理想气体状态方程得 ， pV T = -3 33.0 10 m× DIS 300 K 51.0 10 Pa× 320 K 51.0 10 Pa× 48.0 10 Pa× 0 0 1 1 0 1 p V pV T T =9 所以此时气体的体积为 ． （2）由玻意耳定律得 ， 所以 ． 举一反三: 【变式】分别以 表示气体的压强、体积、温度．一定质量的理想气体，其初 始状态表示为（ ）．若分别经历如下两种变化过程： ○1 从（ ）变为（ ）的过程中，温度保持不变（ ）； ○2 从（ ）变为（ ）的过程中，既不吸热，也不放热，在上述 两种变化过程中，如果 ，则（ ）． A． B． C． D． 【答案】 A 【解析】 解法一：依据理想气体状态方程 ．由已知条件 ， ，则 ，又 且 为绝热过程，则 ．综上所述 ，故选项 A 正确． 解法二：由条件 知，两种过程的体积都是变大的，即单位体积内分子个数 减少，造成 ．对于等温过程，则是气体分子碰撞器壁时产生的“碰撞力” 不变，而绝热过程，温度降低，可以认为单个气体分子碰撞器壁的力减小，故可知 ，故选项 A 是正确的． 5 3 3 3 30 0 1 1 5 0 1 1.0 10 3.0 10 320 m 3.2 10 m300 1.0 10 p V TV T p − −× × ×= ⋅ = × = ×× 1 1 2 2pV p V= 5 3 3 3 31 1 2 4 2 1.0 10 3.2 10 m 4.0 10 m8.0 10 pVV p − −× × ×= = = ×× p V T、 、 0 0 0p V T、 、 0 0 0p V T、 、 1 1 1p V T、 、 1 0T T= 0 0 0p V T、 、 2 2 2p V T、 、 1 2 0V V V= ＞ 1 2 1 2p p T T＞ ， ＞ 1 2 1 2p p T T＞ ， ＜ 1 2 1 2p p T T＜ ， ＜ 1 2 1 2p p T T＜ ， ＞ 0 0 1 1 2 2 0 1 2 p V pV p V T T T = = 1 0T T= 1 0V V＞ 1 0p p＜ 1 2V V= 0 2V V→ 2 0 1 2 1T T T p p=＜ ， ＜ 1 2 1 2T T p p＞ ， ＞ 1 2 0V V V= ＞ 0 1 0 2p p p p＞ ， ＞ 2 1 1 2p p T T＜ ， ＞10 类型三、“两团气”问题 例 3．(2016 佳木斯重点中学一模)如图所示，在两端封闭粗细均匀的竖直长管道内， 用一可自由移动的活塞 A 封闭体积相等的两部分气体。开始时管道内气体温度都为 T0＝500 K，下部分气体的压强 p0＝1.25×105 Pa，活塞质量 m＝0.25kg，管道的内径横截面积 S＝ 1cm2。现保持管道下部分气体温度不变，上部分气体温度缓慢降至 T，最终管道内上部分气 体体积变为原来的 ，若不计活塞与管道壁间的摩擦，g＝10 m/s2，求此时上部分气体的温 度 T。 【答案】281.25 K 【解析】设初状态时两部分气体体积均为 V0， 对下部分气体，等温变化，根据玻意耳定律知：p0V0＝pV，其中： 解得： 对上部分气体，初态： 末态： 根据理想气体状态方程，有： 解得：T＝281.25 K。 【总结升华】涉及两团气的问题出现时，明确其压强和体积这些参量间的关系，结合理 想气体的状态方程列方程求解是关键。 举一反三: 【变式】用销钉固定的活塞把容器分成 两部分，其容积之比 ，如图 3 4 0 5 4V V= 5 54 1.25 10 Pa 1 10 Pa5p = × × = × 5 1 0 1 10mg Sp p Pa= ×= − 5 2 0.75 10 Pamgp p S − ×= = 2 0 1 0 0 3 4p VpV T T =  A B、 2 1A BV V =∶ ∶11 所示，起初 中有温度为 、压强为 的空气， 中有温度为 ，压强为 的空气，拔去销钉，使活塞可以无摩擦地移动但不漏气，由于容器壁缓慢导热， 最后都变成室温 活塞也停住，求最后 中气体的压强． 【答案】 【僻析】对 气体，初态： ， ， ． 末态： ， ， ． 由气态方程 得： ．　　　　 ① 对 气体，初态： ， ， ． 末态： ， ， ． 由气态方程 得： ．　　　　 ② 又 A 127℃ 51.8 10 Pa× B 27℃ 51.2 10 Pa× 27℃ A B、 51.3 10 Pa× A 51.8 10 PaAp = × AV = ？ 400 KAT = Ap = ？＇ AV = ？＇ 300 KAT =＇ ' ' ' A A A A A A p V p V T T = 51.8 10 Pa ' ' 400K 300K A A AV p V× × = B 51.2 10 PaBp = × BV = ？ 300 KBT = Bp = ？＇ BV = ？＇ 300 KBT =＇ ' ' ' B B B B B B p V p V T T = 51.2 10 Pa ' ' 300K 300K B B BV p V× × =12 ．　　　　　　　　 ③ 　　 ．　　　　　　　　　　 ④ 　　 ．　　　　　　　　　　　　 ⑤ 由①②③④⑤得 ． 【总结升华】本题涉及两部分气体的状态变化，解题时应分别对两部分气体进行研究， 挖掘出它们之间的相关条件——体积关系、压强关系。 类型四、汽缸类问题 例 4．如图所示，有一圆柱形汽缸，上部有一固定开口挡板，汽缸内壁的高度是 2L， 一个很薄质量为 m = 0.4kg 的活塞封闭一定质量的理想气体，活塞的面积为 2cm2，开始时活 塞处在离底部 L 高处，外界大气压为 1.0 × 105Pa，温度为 27℃，现对气体加热，求： （1）活塞恰上升到气缸上部挡板处时气体的温度是多少℃； （2）当加热到 427℃时，气体的压强（结果保留三位有效数字）。 【答案】（1）327℃；（2）1.40×105Pa 【解析】（1）开始加热活塞上升的过程封闭气体做等压变化。 设气缸横截面积为 S，活塞恰上升到气缸上部挡板处时气体温度为 t℃，则对于封闭气体 状态一：T1=27+273=300K，V1=LS； 状态二：T2=（t+273）K，V2=2LS 由 即 解得 t=327℃ （2）设当加热到 4270C 时气体的压强变为 p3，在此之前活塞已上升到气缸上部挡板处。 对于封闭气体，初状态：T1=300K，V1=LS， 末状态：T3=700K，V3=2LS， A B A BV V V V+ = +＇ ＇ 2 1A BV V =∶ ∶ A Bp p=＇ ＇ 51.3 10 PaA Bp p= = ×＇ ＇ 1 2 1 2 V V T T = 2=300 273 LS LS t + 5 1 0 1.2 10 Pamgp p s = + = ×13 由 ，可得 代入数据得 p3=1.40×105Pa 类型五、气体状态变化的图象问题 例 5 一定质量的理想气体，封闭在带活塞的汽缸中，气体从状态 出发，经历 四个过程回到状态 ，各过程的压强 与温度 的关系如图所示，其中气 体不对外界做功，外界也不对气体做功的过程是（ ）． A． 过程 B． 过程 C． 过程 D． 过程 【思路点拨】明确图象的物理意义和特点，区分清楚各个不同的物理过程。 【答案】A、C 【解析】气体既不对外做功，外界也不对气体做功的过程，就是等容过程．从图象中 看，一定质量的气体，在由状态 到状态 的过程满足关系式 ，所以 过程 是等容过程．对于 的过程，从图可见，有 等，所以 过程也是等容过 程．选项 A、C 正确． 【总结升华】明确图象的物理意义和特点，区分清楚各个不同的物理过程是解题的关 键。 举一反三: 【变式】使一定质量的理想气体按图甲中箭头所示的顺序变化，图中 段是以纵轴和 横轴为渐近线的双曲线． （1）已知气体在状态 的温度 ，求气体在状态 和 的温度各是多 少？ （2）将上述状态变化过程在图乙中画成用体积 和温度 表示的图线（图中要标明 四点，并且要画箭头表示变化的方向）．说明每段图线各表示什么过程． 3 31 1 1 3 p VpV T T = 1 3 3 1 3 1 VTp pV T = a ab bc cd da， ， ， a p T ab bc cd da a b b a b a p p T T = a b→ c d→ d c d c p p T T = c d→ BC A 300 KAT = B C、 D V T A B C D、 、 、14 【答案】见解析 【解析】 由 图中直观地看出，气体在 各状态下压强和体积为 ． （1）根据气体状态方程，有 ， 可得 ， ， ． （2）由状态 到状态 为等温变化，由玻意耳定律有 ，得 。 在 图上状态变化过程的图线由 各状态点依次连接（如图）， 是 等压膨胀过程， 是等温膨胀过程， 是等压压缩过程． p V− A B C D、 、 、 =10 L =4 atm =4 atm =2 atm =2 arm =40L =20 LA A B C D C DV p p p p V V， ， ， ， ， ， C CA A D D A C D p Vp V p V T T T = = 2 40 300 K 600K4 10 C C C A A A p VT Tp V ×= ⋅ = × =× 20 2 300K 300K4 10 D D D A A A p VT Tp V ×= ⋅ = × =× 600 KB CT T= = B C B B C Cp V p V= 2 40 L 20 L4 C C B B p VV p ×= = = V T− A B C D、 、 、 AB BC CD15 例 6 如图所示为 摩尔的某种气体的压强和温度关系的 图线， 表示 个标 准大气压，则在状态 时气体的体积为（ ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 此气体在 时，压强为标准大气压。所以它的体积应为 ， 根据图线所示，从 到 状态，气体是等容变化， 状态的体积为 ，温度为 ， 从 状态到 状态为等压变化， 状态的温度为 ， 根据盖一吕萨克定律 ， ． 类型六、综合计算 例 7．如图所示， 两点代表一定质量理想气体的两个不同的状态，状态 的温度 为 ，状态 的温度为 ．由图可知（ ） A． B． C． D． 0.3 p t− 0p 1 B 5.6 L 3.2 L 1.2 L 8.4 L 0℃ 22.4 0.3L 6.72L× = 0p A A 6.72L 127 K 273 K 400 K+ = A B B 227 K 273 K 500 K+ = A B A B V V T T = 6.72 500 L 8.4L400 A B B A V TV T ×= = = A B、 A AT B BT 2A BT T= 4B AT T= 6B AT T= 8B AT T=16 【思路点拨】明确初末状态的参考量， ，再列方程求解。 【答案】C 【解析】 从已知 图上可知 ．为确定它们之间的定量关系，可以从 图上的标度值代替压强和体积的大小，代入理想气体状态方程 ， ， ． 【总结升华】理解理想气体的状态方程的实质即一定质量的理想气体在状态参量变化 时的 为常量。解题时应明确初末状态的参考量，而后再列方程求解。 举一反三: 【变式 1】房间的容积为 ，在温度为 、大气压强为 时，室内空气 质量是 ．当温度升高到 ，大气压强变为 时，室内空气的质量是多少？ 　　【答案】 【解析】 室内气体的温度、压强均发生了变化，原气体的体积不一定再是 ，可 能增大有气体流出，可能减小有气体流入。因此仍以原 气体为研究对象，通过计算才 能确定． 气体初态： 末态： 由状态方程： ， ∴ ． 因 ，故有气体从房间内流出． 房间内气体质量 pV CT = p V− B AT T＞ p V− A A B B A B p V p V T T = 2 1 3 4 A BT T × ×= 6B AT T= pV CT = 320m 7℃ 49.8 10 Pa× 25 kg 27℃ 51.0 10 Pa× 23.8kg 320m 25 kg 4 3 1 1 19.8 10 Pa 20m 280 Kp V T= × = =， ， ． 5 2 2 21.0 10 Pa 300 Kp V T= × = =， ？， ． 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = 4 3 31 2 2 1 5 2 1 9.8 10 300 20 m 21m1.0 10 280 p TV Vp T × × ×= = =× × 2 1V V＞17 ． 本题还可用密度公式来解决． ， 又 ， ∴ 。 【变式 2】钢筒内装有 气体，当温度为 时，压强为 ，如果用掉 气体后温度升高到 ，求筒内气体压强． 【答案】 　【解析】 以钢筒内剩下的 气体为研究对象．设钢管容积为 ，则该部分气体在 初状态占有的体积为 ，末状态时恰好充满整个钢筒． 由一定质量理想气体的状态方程 得 。 【总结升华】 通过恰当地选取研究对象，使变质量问题转化成定质量问题，这是求解本题 的关键。 1 2 1 2 20 25kg 23.8kg21 Vm mV = = × = 1 2 1 1 2 2 p p T Tρ ρ= 1 1 1 m V ρ = 2 2 2 m V ρ = 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 2 1 1 2 p T m p Tm V V mp T V p T ρ= = ⋅ ⋅ = ⋅ 5 4 1.0 10 280 25 kg 23.8kg9.8 10 300 × × ×= =× × 3 kg 23－ ℃ 4 atm 1 kg 27℃ 3.2atm 2 kg V 2 3V 1 1 2 2 1 2 pV p V T T = 1 1 2 2 2 1 24 3003 atm 3.2atm250 VpVTp V T V × × = = =×18 【巩固练习】 一、选择题 1．对于一定质量的理想气体，下述四个论述中正确的是（ ）． A．当分子热运动变剧烈时，压强必变大 B．当分子热运动变剧烈时，压强可以不变 C．当分子间的平均距离变大时，压强必变小 D．当分子间的平均距离变大时，压强必变大 2．关于理想气体，下列说法中哪些是正确的？（ ） A．严格遵守玻意耳定律和查理定律以及盖一吕萨克定律的气体称为理想气体 B．理想气体客观上是不存在的，它只是实际气体在一定程度上的近似 c．温度不太低（和室温比较）和压强不太大（和大气压比较）条件下的实际气体可以 近似看成理想气体 D．和质点的概念一样，理想气体是一种理想化的模型 3．一绝热隔板将一绝热长方形容器隔成两部分，两边分别充满气体，隔板可无摩擦移 动．开始时，左边的温度为 0℃，右边的温度为 20℃，当左边的气体加热到 20℃，右边的 气体加热到 40℃时，则达到平衡状态时隔板的最终位置（ ）． A．保持不动 B．在初始位置右侧 C．在初始位置左侧 D．决定于加热过程 4．常温下，在密闭容器里分别充入两种气体 0.1 mol，在一定条件下充分反应后，恢复 到原温度时，压强降低为初始的 ，则原混合气体可能是（ ）． A．H2 和 O2 B．H2 和 Cl2 C．NH3 和 HCl D．CO 和 O2 5．一定质量的理想气体的 p-t 图象如图所示，在状态 A 变化到状态曰的过程中，体积 （ ）． A．一定不变 B．一定减小 C．一定增加 D．可能不变 6．如图所示，a、b、c 分别是一定质量的理想气体的三个状态点，设 a、b、c 状态的气 体体积分别为 Va、Vb、Vc，则下列关系中正确的是（ ）． A．Va＜Vb＜Vc B．Va＞Vb＝Vc C．Va＝Vb＜Vc D．Va＝Vb＞Vc 7．如图所示，p0 为标准大气压，0.2 摩尔某种气体在 B 状态时的体积是（ ）． 1 419 A．48 L B．5.6 L C．4.48 L D．2.24 L 8．一定质量的理想气体由状态 A 沿着图所示的过程变化到 B，下列分析正确的是 （ ）． A．气体的温度保持不变 B．气体的温度先不变，后降低 C．气体的内能保持不变 D．气体的内能先不变，后减小 9．如图所示，U 型气缸固定在水平地面上，用重力不计的活塞封闭着一定质量的气体， 已知气缸不漏气，活塞移动过程无摩擦。初始时，外界大气压为 p0，活塞紧压小挡板。现 缓慢升高缸内气体温度，气缸内气体压强 p 随热力学温度 T 的变化规律是( ) 10．如图 8-4-33 所示，左边容器的体积是右边容器的 4 倍，两边充以同种气体，温度 分别为 20℃和 10℃，此时连接两容器的细玻璃管内的水银柱保持静止，如果容器两边的气 体温度各升高 10℃，忽略水银柱及容器的膨胀，则水银柱将（ ）． A．向左移动 B．向右移动 C．静止不动 D．条件不足，无法判断 11．(2016 潍坊模拟)如图所示，一定质量的理想气体，从图示 A 状态开始，经历了 B、C，最后到 D 状态，下列判断中正确的是(　　)20 A．A→B 温度升高，压强不变 B．B→C 体积不变，压强变大 C．B→C 体积不变，压强不变 D．C→D 体积变小，压强变大 二、解答题 12．内径均匀的 L 形直角细玻璃管，一端封闭，一端开口竖直向上，用水银柱将一定 质量空气封存在封闭端内，空气柱长 4 cm，水银柱高 58 cm，进入封闭端长 2 cm，如图所 示，温度是 87℃，大气压强为 75 cmHg，求： （1）在图示位置空气柱的压强 p1． （2）在图示位置，要使空气柱的长度变为 3 cm，温度必须降低到多少度？ 13．(2015 济南一模)如图所示，U 形管左端封闭，右端开口，左管横截面积为右管横 截面积的 2 倍，在左管内用水银封闭一段长为 26 cm、温度为 280 K 的空气柱，左右两管水 银面高度差为 36 cm，外界大气压为 76 cm Hg。若给左管的封闭气体加热，使管内气柱长度 变为 30 cm，则此时左管内气体的温度为多少? 14．（2015 宝鸡三检）如图所示，上端开口的光滑圆柱形气缸竖直放置，截面积为 的活塞将一定质量的气体封闭在气缸内。在气缸内距缸底 处设有 、 两限制 装 置 ， 使 活 塞 只 能 向 上 滑 动 。 开 始 时 活 塞 搁 在 、 上 ， 缸 内 气 体 的 压 强 为 （ 为大气压强），温度为 。现缓慢加热汽缸内气体，当温度为 ， 240cm cm60 a b a b 0p pap 5 0 100.1 ×= K300 K33021 活塞恰好离开 、 。求： （1）活塞的质量； （2）当温度升为 时活塞上升的高度 15．如果病人在静脉输液时，不慎将 5 mL 的空气柱输入体内，会造成空气栓塞，致使 病人死亡．设空气柱在输入体内前的压强为 760 mmHg，温度为 27℃，人的血压为 120／80 mmHg，试估算空气柱到达心脏处时，在收缩压和扩张压两种状态下，空气柱的体积分别为 多少？ 16．（2016 怀化三模）如图所示，A、B 为两个完全相同的导热气缸，内壁光滑，长均 为 30cm，截面积为 20cm2，C 是一质量和厚度均可忽略的活塞，D 为阀门，开始时阀门关 闭，C 位于 A 气缸的最右端．A 内有一个大气压的氢气，B 内有 2 个大气压的氧气，阀门打 开后，活塞 C 向左移动，最后达到平衡．设氢气、氧气均为理想气体，连接管道的体积可 忽略不计，一个大气压强值 p0=1.0×105Pa．求： （1）活塞 C 移动的距离及平衡后 A 中气体的压强； （2）若要使活塞 C 重新回到原来位置，则需对 A 气缸加热到多少摄氏度？（假设变化 前两缸温度为 300K，取 0℃为 273K，B 缸气体温度保持不变） 17．如图所示直线 AB 为一定质量的理想气体等容过程的 p-t 图线，原点 O 处的压强 p=0， 温度 t=0℃．现使该气体从状态 A 出发，经过一等温膨胀过程，体积变为原来体积的 2 倍， 然后保持体积不变，缓慢加热气体，使之到达某一状态 F，此时的压强等于状态 B 的压强， 试用作图方法，在所给的 p-t 图上，画出 F 的位置． 18．已知一定质量的理想气体的状态变化如图 8-4-31 所示，试在 V-T 图中画出这个循 环过程，并标出各状态的对应点． a b K36022 19．如图 8-4-32 所示，一定质量的理想气体，由状态 A 变到状态 B，试比较 pA 和 pB 的大小． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】分子热运动变剧烈，说明温度 T 升高，由“ 恒量”知，pV 要变大，但 不知体积的变化情况，故无法判定压强变化情况（p 可以不变、变大或变小），因此 A 错 B 对；分子间的平均间距变大，说明体积变大，由“ 恒量”知， 要变小，但温度 T 的变化情况不定，故无法确定 p 是变大还是变小，因此 C、D 皆错。本题正确答案是 B。 2．【答案】A、B、C、D 3．【答案】B 【 解 析 】 设 温 度 变 化 过 程 中 气 体 的 体 积 不 变 ， 据 查 理 定 律 得 ： 。对左边气体， ；对右边气 体， 。因初始 ，故 ，即隔板将向右侧移动。本题的 正确答案为 B。 4．【答案】A 【解析】根据克拉珀龙方程 ，在同温（T）、恒容（V）下，压强之比等于气 体的物质的量之比。显然，只有反应后容器中的气体（常温下）为 时，才符合题意。考查气体之间的有关反应，不难确定答案为 A。 5．【答案】D pV T = pV T = p T 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 1 p p p p T T pp TT T p T T − −= ⇒ = ⇒ ∆ = ∆ 20273 pp∆ = ×左 左 20293 pp∆ = ×右 右 p p=左 右 p p∆ > ∆左 右 pV nRT = 10.1mol 2 0.05mol4 × × =23 6．【答案】C 7．【答案】B 8．【答案】B、D 9．【答案】B 【解析】当缓慢升高缸内气体温度时，气体先发生等容变化，根据查理定律，缸内气体 的压强 p 与热力学温度 T 成正比，图线是过原点的倾斜的直线；当缸内气体的压强等于外 界的大气压时，气体发生等压膨胀，图线是平行于 T 轴的直线。 10．【答案】A 【解析】 一定质量的气体。温度、体积和压强的变化是互相关联的，一动俱动，这是 一个动态变化问题，采用计算的办法比较复杂．水银柱如何移动，决定于两容器气体压强的 大小．由于初态 20℃的气体与 10℃的气体压强相同，可分别作出两容器中气体的等容线， 如图所示．由图知 10℃气体的等容线的斜率较大，因而当两容器温度各升 10℃后，右边容 器内气体压强比左边容器内气体压强增大得多，故水银柱向左移动． 11．【答案】AD 【解析】由图像可知，在 A→B 的过程中，气体温度升高体积变大，且体积与温度成正 比，由 ，气体压强不变，故 A 正确；由图像可知，在 B→C 的过程中，体积不变 而热力学温度降低，由 可知，压强 p 减小，故 B、C 错误；由图像可知，在 C→D 的过程中，气体温度不变，体积减小，由 可知，压强 p 增大，故 D 正确。 二、解答题 12．【答案】（1）133 cmHg. （2）－5℃ 【解析】（1）p1=p0+ph=(75+58) cmHg=133 cmHg. （2）对空气柱：初态：p1=133 cm Hg，V1=4S，T1=(273+87) K=360 K。 末态：p2=p0+ph＇=(75+57) cmHg=132 cmHg，V2=3S。 由 代入数值，解得 T=268 K=－5℃。 13．【答案】 【解析】以封闭气体为研究对象，设左管横截面积为 ，当左管封闭的气柱长度变为 时，左管水银柱下降 ，右管水银柱上升 ，即两端水银柱高度差为：h′=24cm 由题意得： ， ， 420K S 30cm 4cm 8cm 1 1 26V L S S= = 1 0 1 76 36 40P P h cmHg cmHg cmHg= − = − = pV CT = pV CT = pV CT = 1 1 2 2 1 2 pV p V T T =24 ， ， 由理想气体状态方程： 解得： 14．【答案】（1） ；（2） 【解析】（1）由题意可得： ， 气体经过等容变化： 解得： （2）由题意可得： ， 气体经过等压变化： （或 ） 15．【答案】 【解析】空气柱在体外时的状态参量为： p1=760 mmHg，V1=5 mL，T1=300 K。 空气柱在体内收缩压时的状态参量为： p2=120 mmHg，T2=310 K。 由理想气体状态方程得，空气柱在收缩压下的体积为： 。 空气柱在体内扩张压时的状态参量为 p3=80 mmHg，T3=310 K。 由理想气体状态方程得，空气柱在扩张压下的体积为 。 16．【答案】（1）10cm，1.5×105Pa；（2）327℃ 【解析】（1）气体发生等温变化，由玻意耳定律得： 1 280T K= 2 0 52P P h cmHg′= − = 2 2 30V L S S= = 1 1 2 2 1 2 PV PV T T = 2 420T K= 4kg 5.5cm 01 pp = KT 3001 = s mgpp += 02 2 2 1 1 T p T p = kgm 4= KT 3603 = 3 112 2400 cmShVV === 3 3 2 2 T V T V = cmS Vh 5.653 == cmhhh 5.513 =−=∆ cmhhh 45.513 =−=∆ 32.7mL 49.1mL 1 1 2 2 1 2 760 5 310 mL 32.7mL300 120 pVTV T p × ×= = =× 1 1 3 3 1 3 760 5 310 mL 49.1mL300 80 pVTV T p × ×= = =×25 对 A 部分气体：pALS=p（L─x）S， 对 B 部分气体：pBLS=p（L+x）S， 代入数据记得：x=10cm，p=1.5×105Pa； （2）设 A 缸需加热至 T，由理想气体状态方程得： 对 A 气体： 对 B 气体：p（L+x）S=p′LS， 代入数据解得： ； T=2T0=600K，温度：t=T─273=327℃ 17．【答案】见解析 【解析】气体从状态 A 出发经过一等温过程，体积变为原来的 2 倍，据玻意耳定律， 其压强必为原来的 1／2，即此过程是由状态 A 出发，沿 p 轴向下到 OA 的中点 C 处．下一 过程是等容过程，它在图中是一条直线．因为在 p-t 图上任何等容线上 Op 轴以左的延长线 都必定交于 t 轴上同一点（－273.15℃）处．延长 BA 得此点 O＇，虚线连接 O＇C，并延长 到 p 轴右方实线便得等容线 CE．据题设最后状态的压强与 B 点压强相等，故过 B 点作平行 于 t 轴的虚线与等容线 CE 交于一点，这点即为 F 点，如图所示． 18．【答案】见解析 【解析】从 p-V 图中找出各状态及过程的 V、T 值便可画出 V-T 图．状态 1 的体积为 V1、 温度为 T1，从状态 1 到 2 为等压变化，且 V2＞V1，则在 V-T 图中，1、2 状态在同一等压线 上；而从状态 2 到状态 3 为等容变化，且 p3＜p2，注意到 1 和 3 状态不在同一等温线上，故 有 V3=V2，T3＞T1；从状态 3 到状态 4 又为等压变化，从状态 4 到状态 1 为等容变化，且 p1 ＞p4，故有 V4=V1，且 T4=p4T1／p1＜T1，将对应点画出，并利用等压线和等容线的特点， 将各点连接起来，即得 V-T 图．如图所示． 19．【答案】pA＜pB 【解析】解法一：过 A 作通过原点的直线，过 B 作水平直线，如图所示，两线交于 C．由于 VC=VB，而 TC＜TB，由理想气体状态方程知 pC＜pB，又因为 pC=pA，故 pA＜pB． ( ) 0 p L x S p LS T T − ′= 5 0 4 2 2 10 Pa3p p p′ = = = ×26 解法二：分别过 A、B 作过原点的直线，如图所示．由于 ，故 VA／TA＞ VB／TB，又因 pAVA／TA=pBVB，所以得 pA＜pB． tan tanα β>