知识讲解 简谐运动及其图象

1 简谐运动及其图象 【学习目标】 1．知道什么是弹簧振子以及弹簧振子是理想化模型。 2．知道什么样的振动是简谐运动。 3．明确简谐运动图像的意义及表示方法。 4．知道什么是振动的振幅、周期和频率。 5．理解周期和频率的关系及固有周期、固有频率的意义。 6．知道简谐运动的图像是一条正弦或余弦曲线，明确图像的物理意义及图像信息。 7．能用公式描述简谐运动的特征。 【要点梳理】 要点一、机械振动 1．弹簧振子 弹簧振子是小球和弹簧所组成的系统，这是一种理想化模型．如图所示装置，如果球与杆之间的 摩擦可以忽略，且弹簧的质量与小球的质量相比也可以忽略，则该装置为弹簧振子． 2．平衡位置 平衡位置是指物体所受回复力为零的位置． 3．振动 物体（或物体的一部分）在平衡位置附近所做的往复运动，叫做机械振动． 振动的特征是运动具有重复性． 要点诠释：振动的轨迹可以是直线也可以是曲线． 4．振动图像 （1）图像的建立：用横坐标表示振动物体运动的时间 ，纵坐标表示振动物体运动过程中对平衡 位置的位移 ，建立坐标系，如图所示． t x2 （2）图像意义：反映了振动物体相对于平衡位置的位移 随时间 变化的规律． （3）振动位移：通常以平衡位置为位移起点，所以振动位移的方向总是背离平衡位置的．如图所 示，在 图像中，某时刻质点位置在 轴上方，表示位移为正（如图中 时刻），某时刻质点位 置在 轴下方，表示位移为负（如图中 时刻）． （4）速度：跟运动学中的含义相同，在所建立的坐标轴（也称为“一维坐标系”）上，速度的正 负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反． 如图所示，在 坐标轴上，设 点为平衡位置。 为位移最大处，则在 点速度最大，在 两点速度为零． 在前面的 图像中， 时刻速度为正， 时刻速度为负． 要点二、简谐运动 1．简谐运动 如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像是一条正弦曲线，这样的振动 叫做简谐运动． 简谐运动是物体偏离平衡位置的位移随时间做正弦或余弦规律而变化的运动，它是一种非匀变速 运动． 物体在跟位移的大小成正比，方向总是指向平衡位置的力的作用下的振动，叫做简谐运动． 简谐运动是最简单、最基本的振动． 2．实际物体看做理想振子的条件 （1）弹簧的质量比小球的质量小得多，可以认为质量集中于振子（小球）；（2）当与弹簧相接的 小球体积足够小时，可以认为小球是一个质点；（3）当水平杆足够光滑时，可以忽略弹簧以及小球与 水平杆之间的摩擦力；（4）小球从平衡位置拉开的位移在弹簧的弹性限度内． 3．理解简谐运动的对称性 如图所示，物体在 与 间运动， 点为平衡位置， 和 两点关于 点对称，则有： （1）时间的对称： ， ， x t x t− t 1 2t t、 t 3 4t t、 x O A B、 O A B、 x t− 1 4t t、 2 3t t、 A B O C D O 4OB BO OA AO Tt t t t= = = = OD DO OC CDt t t t= = =3 ． （2）速度的对称： ①物体连续两次经过同一点（如 点）的速度大小相等，方向相反． ②物体经过关于 点对称的两点（如 与 两点）的速度大小相等，方向可能相同，也可能相 反． 4．从振动图像分析速度的方法 （1）从振动位移变化情况分析：如图所示，例如欲确定质点 在 时刻的速度方向，取大于 一小 段时间的另一时刻 ，并使 极小，考查质点在 时刻的位置 （ ），可知 ， 即 位于 的下方，也就是经过很短的时间，质点的位移将减小，说明 时刻质点速度方向沿 轴的 负方向．同理可判定 时刻质点沿 轴负方向运动，正在离开平衡位置向负最大位移处运动． 若 ，由简谐运动的对称特点，还可判断 和 时刻对应的速度大小关系为 。 （2）从图像斜率分析：图像切线斜率为正，速度方向为正方向，图像切线斜率为负，速度方向为 负方向，斜率绝对值表示速度大小．斜率大、速度大． 要点三、描述简谐运动的基本概念 1．全振动 一个完整的振动过程，称为一次全振动． 不管以哪里作为开始研究的起点，弹簧振子完成一次全振动的时间总是相同的． 2．周期 （1）定义：做简谐运动的物体完成一次全振动所需要的时间叫做振动的周期，用 表示． （2）单位：在国际单位制中，周期的单位是秒（ ）． （3）意义：周期是表示振动快慢的物理量． 周期越长表示物体运动得越慢，周期越短表示物体运动得越快． （4）简谐运动的周期公式： ． 要点诠释：公式中 为做简谐运动物体的质量， 为做简谐运动物体受到的合外力跟位移的大小 的比例常数． 3．振幅 （1）定义：振动物体离开平衡位置的最大距离，叫做振幅，用 表示． DB BD AC CAt t t t= = = D O C D 1P 1t 1t 1t＇ 1 1t t＇- 1t＇ 1P＇ 1 1t x，＇ ＇ 1 1x x＜＇ 1P＇ 1P 1t x 2t x 1 2x x＜ 1t 2t 1 2v v＞ T s 2 mT k π= m k A4 （2）单位：在国际单位制中，振幅的单位是米（ ）． （3）意义：振幅是表示振动强弱的物理量． 要点诠释：①振幅是一个标量，是指物体偏离平衡位置的最大距离．它没有负值，也无方向，所 以振幅不同于最大位移．②在简谐运动中，振幅跟频率或周期无关．在一个稳定的振动中，物体的振 幅是不变的．③振动物体在一个全振动过程通过的路程等于 个振幅，在半个周期内通过的路程是两 个振幅，但 个周期内通过的路程不一定等于一个振幅．可以比一个振幅大，也可以比一个振幅 小． 4．频率 （1）定义：单位时间内完成的全振动的次数，叫故振动的频率，用 表示．常把物体在 内完 成的全振动次数叫做频率． （2）单位：在国际单位制中，频率的单位是赫兹（ ）． （3）意义：频率是表示物体振动快慢的物理量．频率越大表示振动得越快，频率越小表示振动得 越慢． （4）周期与频率的关系： 。 （5）固有频率和固有周期：振子获得能量后，物体开始振动．物体的振动频率，只是由振动系统 本身的性质决定，与其他因素无关，其振动频率叫固有频率，振动周期也叫固有周期． 要点四、简谐运动的描述 1．简谐运动的表达式： （1）式中 表示振动质点相对于平衡位置的位移， 表示振动的时间． （2） 表示振动质点偏离平衡位置的最大距离，即振幅． （3） 叫做简谐运动的圆频率，它也表示简谐运动物体振动的快慢．与周期 及频率 的关系： 　　　　 。 所以表达式也可写成： 或 ． （4） 表示 时，简谐运动质点所处的状态，称为初相位或初相． 代表了简谐运动的 质点在 时刻处在一个运动周期中的哪个状态，所以代表简谐运动的相位． m 4 1 4 f 1 s Hz 1T f = sin( )x A tω ϕ= + x t A ω T f 2 2 fT πω π= = 2sinx A tT π ϕ = +   sin(2 )x A f tπ ϕ= + ϕ 0t = tω ϕ+ t5 （5）简谐运动的位移和时间的关系也可用余弦函数表示成： ，注意同 一振动用不同函数表示时相位不同，而且相位 是随时间变化的量． （6）相位每增加 就意味着完成了一次全振动． 2．测量弹簧振子周期的方法 弹簧振子的周期一般较小，测定其周期时，一般是用秒表测出振子完成 次全振动所用的时间 ， 则 ． 值取大一些（如 ）可以减小周期的测量误差． 3．计算振动物体通过的路程的方法 一个周期内，振子的运动路程为 ．若全振动的次数为 ，则振动物体通过的路程为 ． 4．对一次全振动的认识 对简谐运动的物体，某一阶段的振动是否为一次全振动，可以从以下两个角度判断： 一是从物体经过某点时的特征物理量看，如果物体的位移和速度都回到原值（大小、方向两方 面），即物体完成了一次全振动； 二是看物体在这段时间内通过的路程是否等于振幅的四倍． 5．相位差 是指两个相位之差，在实际中经常用到的是两个具有相同频率的简谐运动的相位差，反映出两简 谐运动的步调差异． 设两简谐运动 和 的振动方程分别为： 　　 ， ， 它们的相位差为 ． 可见，其相位差恰好等于它们的初相之差，因为初相是确定的，所以频率相同的两个简谐运动有 确定的相位差． 若 ， 则称 的相位比 的相位超前 ，或 的相位比 的相位落后 ； 若 ， 则称 的相位比 的相位落后 ，或 的相位比 的相位超前 ． （1）同相：相位差为零，一般的为 ． cos ( )2x A t π ω ϕ = − +   tω ϕ+ 2π n t tT n = n 50 4A n 4nA A B 1 1 1sin( )x A tω ϕ= + 2 2 2sin( )x A tω ϕ= + 2 1 2 1( ) ( )t tϕ ω ϕ ω ϕ ϕ ϕ∆ = + − + = − 2 1 0ϕ ϕ ϕ∆ = − > B A ϕ∆ A B ϕ∆ 2 1 0ϕ ϕ ϕ∆ = − < B A ϕ∆ A B ϕ∆ 2 0 1 2n nϕ π∆ = = （ ， ， ， ）6 （2）反相：相位差为π，一般的为 ． 要点诠释：比较相位或计算相位差时，要用同种函数来表示振动方程，相位差的取值范围： ． 6．振动图像的信息 如图所示，则 （1）从图像上可知振动的振幅为 ； （2）从图像上可知振动的周期为 ； （3）从图像上可知质点在不同时刻的位移， 时刻对应位移 ， 时刻对应位移 ； （4）从图像上可以比较质点在各个时刻速度的大小及符号（表示方向），如 时刻质点的速度较 时刻质点的速度小， 时刻质点的速度为负， 时刻质点的速度也为负（ 时刻是质点由最大位移处 向平衡位置运动过程的某一时刻，而 时刻是质点由平衡位置向负的最大位移运动过程中的某一时 刻）； （5）从图像上可以比较质点在各个时刻加速度的大小及符号，如 时刻的加速度较质点在 时刻 的加速度大， 时刻质点加速度符号为负， 时刻质点加速度符号为正； （6）从图像可以看出质点在不同时刻之间的相位差． 7．简谐运动的周期性 简谐运动是一种周而复始的周期性的运动，按其周期性可作如下判断： （1）若 ， 则 两时刻振动物体在同一位置，运动情况相同． （2）若 ， 则 两时刻，描述运动的物理量 均大小相等，方向相反． (2 1) 0 1 2n nϕ π∆ = + = （ ， ， ， ） π ϕ π− < ∆ ≤ A T 1t 1x 2t 2x 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 1t 2t 2 1t t nT=－ 1 2t t、 2 1 1 2t t nT T− = + 1 2t t、 x F a v（ 、 、 、 ）7 （3）若 或 ， 则当 时刻物体到达最大位移处时， 时刻物体到达平衡位置；当 时刻物体在平衡位置时， 时刻到达最大位移处；若 时刻，物体在其他位置， 时刻物体到达何处就要视具体情况而定． 【典型例题】 类型一、简谐运动的基本概念 例 1 关于机械振动的位移和平衡位置，以下说法中正确的是（ ）． A．平衡位置就是物体振动范围的中心位置 B．机械振动的位移总是以平衡位置为起点的位移 C．机械振动的物体运动的路程越大，发生的位移也越大 D．机械振动的位移是指振动物体偏离平衡位置最远时的位移 【思路点拨】平衡位置是物体所受回复力为零时所在的位置． 【答案】B 【解析】平衡位置是物体可以静止时的位置，所以应与受力有关，与是否为振动范围的中心位置 无关．如乒乓球竖直落在台面上的运动是一个机械振动，显然其运动过程的中心位置应在台面上，所 以 A 项不正确；振动位移是以平衡位置为初始点，到质点所在位置的有向线段，振动位移随时间而变， 振子偏离平衡位置最远时，振动物体振动位移最大，所以只有选项 B 正确． 【总结升华】位移和平衡位置是机械振动问题中非常重要的概念．位移的正负方向应该作出规定， 平衡位置则是物体所受回复力为零时所在的位置． 举一反三: 【高清课堂：简谐振动及其图像例 1】 【变式 1】一质点做简谐运动，其振动图象如图所示，则（ ） A．振幅是 B．振动频率为 C． 时，质点速度为正且最大 D． 时，质点速度为正且最大 2 1 1 4t t nT T− = + 2 1 3 4t t nT T− = + 1t 2t 1t 2t 1t 2t 2cm 4Hz 3st = 4st =8 【答案】A C 【高清课堂：简谐振动及其图像例 2】 【变式 2】一质点作简谐运动，图象如图所示，在 到 这段时间内，质点的运动情况是 （ ） A．沿负方向运动，且速度不断增大 B．沿负方向运动的位移不断增大 C．沿正方向运动，且速度不断增大 D．沿正方向的加速度不断减小 【答案】C D 类型二、振动图像的理解 例 2 （2015 东城一模）如图甲所示，弹簧的一端与一个带孔小球连接，小球穿在光滑水平杆上， 弹簧的另一端固定在竖直墙壁上。小球可在 a、b 两点之间做简谐运动，O 点为其平衡位置。根据图乙 所示小球的振动图像，可以判断（ ） A．t=0 时刻小球运动到 a 点 B．t=t1 时刻小球的速度为零 C．从 t1 到 t2 时间内小球从 O 点向 b 点运动 D．从 t1 到 t2 时间内小球刚好完成一次全振动 【答案】C 【解析】由图可直观地获得以下信息：t=0 和 t=t1 时刻小球均处于平衡位置，速度最大，方向相反， 故 A、B 均错；从 t1 到 t2 时间内小球向 x 轴正方向运动，即从 O 点向 b 点运动，故 C 正确；从 t1 到 t2 时间内小球刚好完成 个全振动，故 D 错误． 类型三、根据质点振动判断振动图像 例 3 一弹簧振子沿 轴振动，振幅为 ，振子的平衡位置位于 轴上的 点．如图甲中的 为四个不同的振动状态：黑点表示振子的位置，黑点上的箭头表示运动的方向．如图乙 给出的①②③④四条振动曲线，可用于表示振子的振动图像的是（ ）． 0.2s 0.3s 1 4 x 4 cm x 0 a b c d、 、 、9 A．若规定状态 时 ，则图像为① B．若规定状态 时 ，则图像为② C．若规定状态 时 ，则图像为③ D．若规定状态 时 ，则图像为④ 【思路点拨】把振动图像和振动的情景结合起来，由图像获取信息形成物理情景，或由实际运动 情景转化为振动图像．并注意规定正方向和零时刻不同。 【答案】A、D 【解析】振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的正方向运动，故选项 A 正 确．振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的负方向运动。相应的图中初始位移不 对．振子在状态 时 ，此时的位移为 ，且向规定的负方向运动，相应的图中运动方向及 初始位移均不对．振子在状态 时 ，此时的位移为 ，速度为零，故选项 D 正确． 【总结升华】解决振动问题技巧之一是把振动图像和振动的情景结合起来，由图像获取信息形成 物理情景，或由实际运动情景转化为振动图像．并注意规定正方向和零时刻不同。振动图像的形状一 般不同． 举一反三: 【高清课堂：简谐振动及其图像例 3】 【变式 1】一个弹簧振子在 间做简谐运动， 为平衡位置，如图甲所示，从某时刻起开始 计时 ，经过 周期，振子具有正向最大速度，则如图乙所示的图象中，哪一个能正确反映振子 的振动情况？ a 0t = b 0t = c 0t = d 0t = a 0t = 3 cm b 0t = 2 cm c 0t = 2 cm－ d 0t = 4 cm－ A B、 O 0t = 1/ 410 【答案】C 【高清课堂：简谐振动及其图像例 6】 【变式 2】（1）做简谐振动的物体，振动周期为 ，从振子经过平衡位置时开始计时，那么当 时，物体（ ） 　　A．正在做加速运动，且加速度逐渐增大 　　B．正在做加速运动，且加速度逐渐减小 　　C．正在做减速运动，且加速度逐渐增大 　　D．正在做减速运动，且加速度逐渐减小 　　　　　　 　　 　　（2）如上图是竖直放置的弹簧振子不计空气阻力时的振动情况。由图可知：弹簧振子相对平衡位 置的位移 和时间 的函数关系为_______________；若从如图位置开始计时，则位移 和时间 的函 数关系为_______________，请在原图上画出该图象。 【答案】（1）C　 （2） ， 【解析】（1） 秒等于 个周期，从振子经过平衡位置时开始计时，向上还是向下振动，没有 说，可以分别设开始时向上、向下振动，都在远离平衡位置，即做减速运动，加速度逐渐增大。 　　（2）分析右图，由振幅、周期，算出角速度 ，初相位为 ，从而写出振动方程。 　　由左图可知，从振子经过平衡位置向上时开始计时，振幅、周期与右图均相同，初相位为零，从 而写出振动方程。 类型四、简谐运动的位移、振幅、路程的关系及简谐振动周期性的多解问题 例 4 一个质点做简谐运动，振幅是 ，频率为 ，该质点从平衡位置起向正方向运动， 经 ，质点的位移和路程分别是（ ）． A． B． C． D． 2s 1.2st = x t x t 0.05sin(5 - )(m)2x t ππ= =0.05sin (5 )(m)x tπ 1.2 0.6 =5ω π - 2 π 4 cm 2.5 Hz 2.5 s 4 cm 24 cm、 4 cm 100 cm－ 、 0 100 cm、 4 cm 100 cm、11 【答案】D 【解析】 由 得 ， ． 每个周期质点通过的路程为 ， 故质点的总路程 ， 质点 时刻从平衡位置向正向位移运动，经过 周期运动到正向最大位移处，即位移 ， 故 D 项正确． 【总结升华】求路程时，首先应明确振动过程经过几个整数周期，最后再分析最后不到一个周期 的时间内的路程，两部分之和即为总的路程，振子在 周期内的路程可能等于一个振幅，也可能大于 一个振幅，还可能小于一个振幅，只有从平衡位置或最大位移处开始运动， 周期内的路程才等于一 个振幅． 例 5 一质点在平衡位置 附近做简谐运动，从它经过平衡位置起开始计时，经 质点第一次 通过 点，再经 第二次通过 点，则质点振动周期是多少？ 【思路点拨】由于振动的往复性，质点经过某一位置时，因速度方向不一致会导致多解． 【答案】 　　 ． 【解析】将物理过程模型化，画出具体化的图景，如图甲所示，设质点从平衡位置 向右运动到 点，那么质点从 到 运动时间为 。再由 经最右端 返回 ,经历时间 ，如图乙 所示．另一种可能就是 点在 点左方。如图丙所示，质点由 经右端最大位移 处向左经过 点 到达 历时 ，再由 向左经左端最大位移 处返回 点历时 ，根据以上分析，质点振 动周期共存在两种可能性．一种可能如图乙所示，可以看出 历时 0.18 秒．根据对称性可 得到周期性： ． 1f T = 1 0.4sT f = = 12.5s 6 4t T∆ = = 4 4 cm 16 cm× = 16 16cm 100cm4s = × = 0 1 4 4 cmx = 1 4 1 4 O 0.13 s M 0.1 s M 0.72 s 0.24 s O M O M 0.13 s M A M 0.1 s M O O A O M 0.13 s M A＇ M 0.1 s O M A→ → 1=4 0.18 s 0.72 sT × =12 另一种可能如图丙所示，由 历时 ．由 历时 ，则 ， 所以质点的振动周期的可能值为 和 ． 【总结升华】由于简谐运动的周期性，结合初始条件的不确定性。往往引起此类问题的多解，解 决此类问题时要对题目分析透彻、弄清各种．可能性，切勿丢解． 类型五、由简谐振动的表达式求物理量 例 6. （2016 春 和平区期中）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 （cm），则下列关于质点运动的说法中正确的是（　　） A．质点做简谐运动的振幅为 5cm B．质点做简谐运动的周期为 4s C．在 t=4s 时质点的速度最大 D．在 t=4s 时质点的位移最大 【答案】C． 【解析】A、B：根据简谐运动的表达式为 ，知振幅为 10cm，周期 s，故 AB 错误； C、D：在 t=4s 时可得位移 x=0，平衡位置速度最大故 C 正确 D 错误； 故选：C． 【总结升华】解决本题的关键掌握简谐运动的表达式为 ，知道 A 为振幅，ω 为 圆频率．根据 可求周期． 类型六、由图像比较速度、加速度大小和方向问题 例 7 如图为某一质点的振动图像，由图可知，在 和 两时刻 ，质点速度 与加速 度 的关系正确的是（ ）． A． ，方向相同 O A M→ → 1 0.13 st = M A→ 2 0.05 st = 2 1 2 4 ( ) 0.24s3T t t= + = 0.72 s 0.24 s 10sin( )4x t π= sin( )x A tω φ= + 2 2 8 4 T π π πω= = = sin( )x A tω φ= + 2T π ω= 1t 2t 1 2x x＞ 1 2v v、 1 2a a、 1 2v v＜13 B． ，方向相反 C． ，方向相同 D． ，方向相反 【思路点拨】图像不是振动物体的运动轨迹． 【答案】A、D 【解析】在 时刻，质点向平衡位置运动，在 时刻，质点向远离平衡位置运动，故速度 与 方向相同，由于 ，所以 ，A 对；在 和 时刻，质点离开平衡位置的位移方向相反。 因而回复力方向相反，加速度方向相反，但 ， 时刻的回复力大于 时刻的回复力，故 ，D 对． 【总结升华】处理振动图像问题一定要把图像还原成质点的实际振动过程来分析。图像不是振动 物体的运动轨迹． 例 8 有一个在光滑水平面内的弹簧振子，第一次用力把弹簧压缩 后释放让它振动，第二次把弹 簧压缩 后释放让它振动，则先后两次振动的周期之比和振幅之比分别为（ ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】弹簧的压缩量即为振子振动过程中偏离平衡位置的最大距离，即振幅，故振幅之比为 ．而对同一振动系统。其周期与振幅无关，故周期之比为 ． 【总结升华】振动周期由振动系统自身的性质决定，与振幅无关． 类型七、由图像获得物理量信息的问题 例 9（2015 福建期末）一质点做简谐运动，其位移和时间的关系如图所示． (1)求 t＝0.25×10－2 s 时的位移； (2)在 t＝1.5×10－2 s 到 t＝2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何 变化？ (3)在 t＝0 到 t＝8.5×10－2 s 时间内，质点的路程、位移各多大？ 【答案】　(1) ； (2)变大　变大　变小　变小　变大； (3)34 cm　2 cm 1 2v v＜ 1 2a a＞ 1 2a a＞ 1t 2t 1v 2v 1 2x x＞ 1 2v v＜ 1t 2t 1 2x x＞ 1t 2t 1 2a a＞ x 2x 1 1 1 1∶ ∶ 1 1 1 2∶ ∶ 1 4 1 4∶ ∶ 1 2 1 2∶ ∶ 1 2∶ 1 1∶ 2cm－14 【解析】(1)由题图可知 A＝2 cm，T＝2×10－2 s，振动方程为 x＝Asin (ωt－ )＝－Acos ωt＝－2cos cm＝－2cos 100πt cm 当 t＝0.25×10－2 s 时， (2)由题图可知在 1.5×10－2 s～2×10－2 s 的振动过程中，质点的位移变大，回复力变大，速度变小， 动能变小，势能变大． (3)从 t＝0 至 t＝8.5×10－2 s 时间内经历 个周期，质点的路程为 s＝17A＝34 cm，位移为 2 cm. 类型八、振子对称性及周期性的应用 例 10 一弹簧振子做简谐运动，周期为 （ ）． A．若 时刻和（ ）时刻振子运动速度的大小相等、方向相反，则 一定等于 的整数 倍 B．若 时刻和（ ）时刻振子运动位移的大小相等、方向相同，则 一定等于 的整数倍 C．若 ，则在 时刻和（ ）时刻弹簧的长度一定相等 D．若 ，则在 时刻和（ ）时刻振子运动的加速度一定相等 【思路点拨】位移和速度均大小相等、方向相反的两个时刻之间的时间为半个周期的奇数倍．位 移和速度均相同的两个时刻之间的时间为周期的整数倍． 【答案】D 【解析】若 或 （ ），则在 和（ ）两时刻振子 必在关于平衡位置对称的两位置（包括平衡位置），这两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相 等、方向相反，但在这两时刻弹簧的长度并不一定相等 [只有当振子在 和（ ）两时刻均在平衡 位置时，弹簧长度才相等]．反过来，若在 和（ ）两时刻振子的位移、加速度和速度均大小相 等、方向相反，则 一定等于 的奇数倍，即 （ ）．如果仅仅是 振子的速度在 和（ ）两时刻大小相等、方向相反，那么不能得出 ，更不能得出 （ ）．根据以上分析，A、C 选项均错． 若 在 和 （ ） 两 时 刻 ， 振 予 的 位 移 、 加 速 度 、 速 度 等 均 相 同 ， 则 （ ），但仅仅根据两时刻振子的位移相同，不能得出 ，所以 B 选项错．若 ，在 和（ ）两时刻，振子的位移、加速度、速度等均大小相等、方向相同，D 选项正 确． 【总结升华】不能仅根据两时刻位移或速度是否大小相等、方向相反来判断这一段时间是不是半 个周期的奇数倍，必须是位移和速度均大小相等、方向相反的两个时刻之间的时间才为半个周期的奇 数倍．同样，也不能仅根据两时刻位移或速度是否相同来判断这一段时间是不是周期的整数倍，必须 是 位 移 和 速 度 均 相 同 的 两 个 时 刻 之 间 的 时 间 才 为 周 期 的 整 数 倍 ． 2 π 2 2 2 10 π t−× 2cos cm 2cm4 πx＝－ ＝－ 17 4 T t t t+ ∆ t∆ / 2T t t t+ ∆ t∆ T / 2t T∆ = t t t+ ∆ t T∆ = t t t+ ∆ / 2t T∆ = / 2t nT T∆ = － 1, 2 3n = ， ， t t t+ ∆ t t t+ ∆ t t t+ ∆ t∆ T/2 (2 1) 2 Tt n∆ = − 1, 2 3n = ， ， t t t+ ∆ (2 1) 2 Tt n∆ = − 2 Tt n∆ = 1, 2 3n = ， ， t t t+ ∆ t nT∆ = 1, 2 3n = ， ， t nT∆ = t T∆ = t t t+ ∆15 【巩固练习】 一、选择题 1．弹簧上端固定在 O 点，下端连结一小球，组成一个振动系统，如图所示，用手向下拉一小段 距离后释放小球，小球便上下振动起来，下列说法正确的是（ ）． A．球的最低点为平衡位置 B．弹簧原长时的位置为平衡位置 C．球速为零的位置为平衡位置 D．球原来静止的位置为平衡位置 2．如图所示为某物体做简谐运动的图像，下列说法中正确的是（ ）． A．由 P→Q 位移在增大 B．由 P→Q 速度在增大 C．由 M→N 速度是先减小后增大 D．由 M→N 位移始终减小 3．（2015 枣阳市期末）如图甲所示，弹簧振子以 O 点为平衡位置，在 A、B 两点之间做简谐运 动．取向右为正方向，振子的位移 x 随时间 t 的变化如图乙所示，下列说法正确的是(　　) A．t＝0.8 s 时，振子的速度方向向左 B．t＝0.2 s 时，振子在 O 点右侧 6 cm 处 C．t＝0.4 s 和 t＝1.2 s 时，振子的加速度完全相同 D．t＝0.4 s 到 t＝0.8 s 的时间内，振子的速度逐渐减小 4．一水平弹簧振子的振动周期是 0.025 s，当振子从平衡位置开始向右运动，经过 0.17 s 时，振子 的运动情况是（ ）． A．正在向右做减速运动 B．正在向右做加速运动16 C．正在向左做减速运动 D．正在向左做加速运动 5.（2016 春 福建校级期中）一个质点做简谐振动，其位移 x 与时间 t 的关系图线如图所示，在 t=4s 时，质点的（　　） A．速度为正的最大值，加速度为零 B．速度为负的最大值，加速度为零 C．速度为零，加速度为正的最大值 D．速度为零，加速度为负的最大值 6．（2015 进贤县校级期中）某质点做简谐运动，其位移随时间变化的关系式为 x， 则质点 (　　) A．第 1 s 末与第 3 s 末的位移相同 B．第 1 s 末与第 3 s 末的速度相同 C．3 s 末至 5 s 末的位移方向都相同 D．3 s 末至 5 s 末的速度方向都相同 7．一弹簧振子在振动过程中，振子经 a、b 两点的速度相同，若它从 a 到 b 历时 0.2 s，从 b 再回 到 a 的最短时间为 0.4 s，则振子的振动频率为（ ）． A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 8．一个质点在平衡位置 O 点附近做简谐运动，如图所示，若从 O 点开始计时，经过 3 s 质点第一 次经过 M 点，再继续运动，又经过 2 s 它第二次经过 M 点，则该质点第三次经过 M 点还需的时间是 （ ）． A．8 s B．4 s C．14 s D． 9．如图（a）是演示简谐运动图像的装置，当盛沙漏斗下面的薄木板 N 被匀速地拉出时，摆动着 的漏斗中漏出的沙在板上形成的曲线显示出摆的位移随时间变化的关系．板上的直线 OO＇代表时间 轴．如图（b）是两个摆中的沙在各自木板上形成的曲线．若板 N1 和板 N2 的速度 v1 和 v2 的关系为 v2=2v1．当两板匀速拉出的距离相同时，则板 N1、N2 上曲线所代表的振动的周期 T1 和 T2 的关系为 （ ）． sin 4 πx A t＝ 10 s317 A．T2=T1 B．T2=2T1 C．T2=4T1 D．T2= T1 10．弹簧振子在 t1 时刻速度为 v，t2 时刻速度也为 v，且方向相同，已知（t2－t1）小于周期 T，则 （t2－t1）（t≠0）（ ）． A．可能大于四分之一周期 B．可能小于四分之一周期 C．一定小于二分之一周期 D．可能等于二分之一周期 二、填空题 11．分析如图所示的弹簧振子在一次振动中的运动情况，填好下表． 振子的运动 A→O O→A＇ A＇→O O→A 位移的方向、大小 速度的方向、大小 三、解答题 12．如图甲所示的频闪照片中，取小球在中心位置 O（平衡位置）时为 t=0，此时小球向右运动， 设水平向右的位移为正，每次曝光的时间间隔为Δt．请你用图中刻度尺测量小球在不同时刻的位移 （刻度尺最小刻度为 mm），记录在你设计的表格中，根据记录的数据在图乙所示的坐标平面上描绘出 振子做简谐运动的位移一时间图像． 13．（2015 北京校级月考）如图所示是某质点做简谐运动的振动图像，根据图中的信息，回答下 列问题． 1 418 （1）质点离开平衡位置的最大距离有多大？ （2）写出此振动质点的运动表达式； （3）在 1.5 s 和 3.5 s 两个时刻，质点向哪个方向运动？ （4）质点在第 2 秒末的位移是多少？在前 4 秒内的路程是多少？ 14．甲、乙两人先后观察同一弹簧振子在竖直方向上下振动的情况． （1）甲开始观察时，振子正好在平衡位置并向下运动，试在图（a）中画出甲观察到的弹簧振子 的振动图像．已知经过 1 s 后，振子第一次回到平衡位置，振子振幅为 5 cm（设平衡位置上方为正方 向，时间轴上每格代表 0.5 s）． （2）乙在甲观察 3.5 s 后，开始观察并记录时间，试画出乙观察到的弹簧振子的振动图像．画在 图（b）上． 15. （2016 春 邢台校级月考）在心电图仪、地震仪等仪器工作过程中，要进行振动记录，如图 甲所示是一个常用的记录方法，在弹簧振子的小球上安装一支记录用笔 P，在下面放一条白纸带．当 小球振动时，匀速拉动纸带（纸带运动方向与振子振动方向垂直），笔就在纸带上画出一条曲线，如图 乙所示． （1）若匀速拉动纸带的速度为 1m/s，则由图中数据算出振子的振动周期为多少？ （2）作出 P 的振动图象． （3）若拉动纸带做匀加速运动，且振子振动周期与原来相同，由图丙中的数据求纸带的加速度大 小． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D 19 【解析】平衡位置是振动系统不振动时，振子处于平衡状态时所处的位置，故 D 项正确． 2．【答案】A 【解析】简谐运动位移是以平衡位置为初始位置的，P→Q 的过程位移在增大，速度在减小，故 A 项正确，B 项错误；由 M→N 速度先增大后减小，故 C 项错误；M→N 位移先减小后增大，故 D 项错 误． 3．【答案】A 【解析】本题考查了弹簧振子以及振动图象，意在考查学生对简谐运动的理解．从 t＝0.8 s 时起， 再过一段微小时间，振子的位移为负值，因为取向右为正方向，故 t＝0.8 s 时，速度方向向左，A 正 确；由题中图象得振子的位移 ，故 t＝0.2 s 时， ，故 B 错误；t＝0.4 s 和 t＝1.2 s 时，振子的位移方向相反，由 知，加速度方向相反，C 错误；t＝0.4 s 到 t＝0.8 s 的时 间内，振子的位移逐渐变小，故振子逐渐靠近平衡位置，其速度逐渐变大，故 D 错误． 4．【答案】B 【解析】0.17 s=6.8T，振予经 6T，回到原位置，只考虑 0.8T 时的位置，此时振子在平衡位置左侧， 正向平衡位置做加速运动．故 B 选项正确． 5.【答案】B． 【解析】在 t=4s 时，质点的在平衡位置，所以回复力等于 0．物体的加速度等于 0；此时物体正 在向 x 的负方向运动所以速度为负向最大．故选项 B 正确，选项 ACD 错误． 故选：B． 6．【答案】AD 【解析】由关系式 知， ，简谐运动的周期 ．关系式对应的振动图 象如图所示． 质点在 1s 末的位移 ，质点在 3s 末的位移 ，故 A 正 确．由前面计算可知 t＝1s 和 t＝3s 质点连续通过同一位置，故两时刻质点速度大小相等，但方向相反， B 错误；由 x－t 图象可知，3s～4 s 内质点的位移为正值，4 s～5 s 内质点的位移为负值，C 错误；同 样由 x－t 图象可知，在 3 s～5 s 内，质点一直向负方向运动，D 正确． 7．【答案】B 【解析】振子经 a、b 两点的速度相同，根据振子做周期性运动的特点可知，a、b 两点是关于平 衡位置 O（如图所示）对称的． 512sin cm4 πx t＝ 6 2cmx＝ kxa m −= sin 4 πx A t＝ 4 πω = 2 8sπT ω = = 1 2sin 1 2( )4 πx A A×＝ ＝ 3 2sin 3 2( )4 πx A A×＝ ＝20 又由从 b 回到 a 的最短时间为 0.4 s 知，振子振动到 b 点后是第一次回到 a 点，且 a、b 两点不是 振子的最大位移．设图中 c、d 为最大位移处，则振子 b→c→b 历时 0.2 s．同理振子由 a→d→a 也应历 时 0.2 s，故振予的振动周期应为 0.8 s，由周期和频率关系不难确定频率为 1.25 Hz，故选 B． 8．【答案】C、D 【解析】设题图中 a、b 两点为质点振动过程中最大位移处，若开始计时时质点从 O 点向右运 动．从 O 到 M 过程历时 3 s．再 M→b→M 的过程历时 2 s，则有 ，即 T=16 s．质点第三次经 过 M 点还需时间为Δt=16 s－2 s=14 s，故 C 正确． 若开始计时时质点从 O 点向左运动，则 O→a→O→M 运动经历 3 s，从 M→b→M 历时 2 s，显然 得 ，质点第 3 次再经过 M 点还需时间 ，故 D 正确． 9．【答案】D 【解析】因 N2 板和 N1 板匀速拉过的距离相同，故两板运动时间之比 ． 在这段距离内 N1 板上方的摆只完成一个全振动，N2 板上方的摆已完成两个全振动，即 t1=T1， t2=2T2． 故 ，D 项正确。 10．【答案】A、B 【解析】如图所示弹簧振子在 AA＇间做简谐运动，O 为平衡位置，C、C＇分别是 OA 和 OA＇ 间的以 O 对称的两位置，根据对称性，从 C→O→C＇过程中，C、C＇两位置均有向右的速度 v． 若 C 对应 t1 时刻，C＇对应 t2 时刻，则 t2－t1=nT+Δt（n=0，1，2，3，…）． 其中Δt 为 t2－t1 的最小值，对应的运动过程是 C→O→C＇，由图所示： ；根据题意 有，t2－t1＜T，即 ．进一步观察：C、C＇可无限靠近 0，因此Δt 可无限短，即Δt 可小 于 ，也可大于 ，故 A、B 正确． 若 C＇对应 t1 时刻，C 对应 t2 时刻，则 t2－t1=nT+Δt＇（n=0，1，2，3，…），其中Δt＇为 t2－t1 的最小值，对应的运动过程是：C＇→A＇→C＇→O→C→A→C，由图可知： ，即 ，所以 C、D 不正确． 二、填空题 11．【答案】见解析 【解析】如表所示． 振子的运动 A→O O→A＇ A＇→O O→A 位移的方向、大小 方向：向右 大小：减小 方向：向左 大小：增大 方向：向左 大小：减小 方向：向右 大小：增大 4s4 T = 4s2 4 T T+ = 16 s3T = 16 10s 2s s3 3t∆ = − = 1 2 2 1 2t v t v = = 2 1 1 4T T= 0 2 Tt< ∆ < 2 1 70 2t t< − < 1 4T 1 4T '2 T t T< ∆ < 2 12 T t t T< −