知识讲解 简谐运动的回复力和能量、单摆 提高

1 简谐运动的回复力和能量、单摆 编稿：张金虎 审稿：李勇康 【学习目标】 1．掌握简谐运动的动力学特征，明确回复力的概念。 2．知道简谐运动是一种没有能量损耗的理想情况。 3．理解简谐运动过程中位移、回复力、加速度、速度、动能、势能的变化情况。 4．知道什么是单摆。 5．理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动。 6．知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算。 【要点梳理】 要点一、简谐运动的回复力、能量 1．回复力 物体振动时受到的回复力的方向总是指向平衡位置，即总是要把物体拉回到平衡位置的力称为回 复力． ． 要点诠释：（1）负号表示回复力的方向是与位移方向相反．（2） 为 与 的比例系数，对于 弹簧振子， 为劲度系数．（3）对水平方向振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力提供；对竖直方向 振动的弹簧振子，回复力由弹簧的弹力与重力两力的合力提供．（4）物体做简谐运动到平衡位置时， 回复力为 （但合力可能不为 ）．（5）回复力大小随时间按正弦曲线变化． 2．简谐运动的能量 （1）弹簧振子运动的任意位置，系统的动能与势能之和都是一定的，即振动过程中机械能守 恒． （2）水平方向的振子在平衡位置的机械能以动能的形式出现，势能为零；在位移最大处势能最大， 动能为零． （3）简谐运动中系统的动能与势能之和称为简谐运动的能量，即 。 （4）简谐运动中的能量跟振幅有关，振幅越大，振动的能 量越大． （5）在振动的一个周期内，动能和势能间完成两次周期性变化，经过平衡位置时动能最大，势能 最小；经过最大位移处时，势能最大，动能最小． 要点二、简谐运动的特征 1．物体做简谐运动的三个特征 （1）振动图像是正弦曲线； （2）回复力满足条件 ； （3）机械能守恒． F kx=－ k F x k 0 0 21 2E kA= F kx=－2 2．简谐运动的判定方法 （1）简谐运动的位移一时间图像是正弦曲线或余弦曲线． （2）故简谐运动的物体所受的力满足 ，即回复力 与位移 成正比且方向总相反． （3）用 判定振动是否是简谐运动的步骤： ①对振动物体进行受力分析； ②沿振动方向对力进行合成与分解； ③找出回复力，判断是否符合 ． 要点三、简谐运动的运动特点 1．简谐运动的加速度分析方法 简谐运动是一种变加速的往复运动，由 知其加速度周期性变化，“ ”表示加速度的方 向与振动位移 的方向相反，即总是指向平衡位置， 的大小跟 成正比． 2．简谐运动的运动特点 位移 回复力 加速度 速度物体 位置 方 向 大小 方 向 大小 方 向 大小 方 向 大小 势能 动能 平衡 位置 O 最大位 移处 M 指 向 M 指 向 O 指 向 O 指 向 M 指 向 O 指 向 O 指 向 M 指 向 M 指 向 O 指 向 O 指 向 O 通过上表不难看出：位移、回复力、加速度三者同步变化，与速度的变化相反．通过上表可看出 两个转折点：平衡位置 点是位移方向、加速度方向和回复力方向变化的转折点；最大位移处是速度 方向变化的转折点．还可以比较出两个过程的不同特点，即向平衡位置 靠近的过程及远离平衡位置 的过程的不同特点：靠近 点时速度大小变大，远离 点时位移、加速度和回复力大小变大 3．弹簧振子在光滑斜面上的振动 光滑斜面上的小球连在弹簧上，把原来静止的小球沿斜面拉下一段距离后释放，小球的运动是简 谐运动． 分析如下： F kx=－ F x F kx=－ F kx=－ ka xm = − － x a x x F a v pE kE 零 零 零 mv 零 kmE A kA kA m 零 pmE 零 O M→ A→零 kA→零 kA m →零 mv → 零 pmE→零 kmE → 零 M O→ A → 零 kA → 零 kA m → 零 mv→零 pmE → 零 kmE→零 O O O O O3 如图所示，小球静止时弹簧的伸长量为 ， 往下拉后弹簧相对于静止位置伸长 时，物体所受回复力 ． 由此可判定物体是做简谐运动的． 要点四、单摆 1．单摆 单摆指在一条不可伸长的，又没有质量的线的下端系一质点所形成的装置．单摆是实际摆的理想 化的物理模型．实际摆可视为单摆的条件：细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线的长度相 比也可以忽略． 一个很轻的细线系着一个有质量的质点，这个模型叫做单摆．在实验室里，如果悬挂物体的细线 的伸缩和质量可以忽略，细线的长度比物体的直径大得多，这样的装置就叫做单摆． 单摆做简谐运动的条件： 小球摆到最高点时，细线与竖直方向的夹角叫偏角．偏角很小时，单摆做简谐运动． 2．单摆做简谐运动的回复力 单摆做简谐运动的回复力是由重力 沿圆弧切线的分力 提供（不要误认为是摆 0 sinmgx k θ= x ( )0 sinF k x x mg kxθ= + + =－ － mg sinF mg θ=切4 球所受的合外力）．当 很小时，圆弧 可以近似地看成直线 ， ．切线的分力 可以近似 地看做沿这条直线作用，这时可以证明 ． 可见，在偏角很小的情况下，单摆振动时回复力跟位移成正比而方向相反，是简谐运动． 3．单摆的周期公式 荷兰物理学家惠更斯发现在偏角很小的情况下，单摆的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速 度的平方根成反比，而跟摆球的质量和振幅无关，即 式中 为悬点到摆球球心间的距离， 为当地的重力加速度． （1）单摆的等时性：往振幅较小时，单摆的周期与单摆的振幅尤天，单摆的这种性质叫单摆的等 时性． （2）单摆的周期公式：由简谐运动的周期公式 ， 对于单摆 ， 所以 ． 周期为 的单摆，叫做秒摆，由周期公式 得秒摆的摆长 ． 要点五、单摆的应用 1．单摆的应用 （1）计时器：利用单摆周期与振幅无关的等时性，制成计时仪器，如摆钟等．由单摆周期公式知 道，调节单摆摆长即可调节钟表快慢． （2）测定重力加速度：把单摆周期公式变形，得 ．由此可知，只要测出单摆的摆长 和振动周期，就可以测出当地的重力加速度 。 θ s x sin x l θ = F mgF x kxl = − = − 2 lT g π= l g 2 mT k π= mgk l = 2 lT g π= 2 s 2 lT g π= 2 2 2 2 2 9.8 m 1m4 4 3.14 T gl π ⋅ ×= = ≈× 2 24 /g l Tπ= g5 2．如何理解单摆的周期公式 （1）等效摆长：摆长是指摆动圆弧的圆心到摆球重心的距离，而不是一定为摆线的长．如图中， 摆球可视为质点，各段绳长均为 ，甲、乙摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙摆球在纸面内做小角度 摆动， 为垂直纸面的钉子，而且 ，则各摆的周期为 甲：等效摆长 ， ． 乙：等效摆长 ， ． 丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由 变为 ，摆球振动时，半个周期摆长为 ，另半个周期摆 长为 ，即为 ，则单摆丙的周期为 。 （2）等效重力加速度 ， 不一定等于 ． ① 由单摆所在的空间位置决定．由 知， 随所在地球表面的位置和高度的变化而变 化，高度越高， 的值就越小，另外，在不同星球上 也不同． 同一单摆，在不同的地理位置上，由于重力加速度不同，其周期也不同． 同一单摆，在不同的星球上，其周期也不相同．例如单摆放在月球上时，由于 地，所以 同一单摆在月球上的周期比在地球上的周期大，但是水平弹簧振子不受 变化的影响而改变周期． ② 还由单摆系统的运动状态决定，如单摆处在向上加速的升降机中，设加速度为 ，则摆球处 于超重状态，沿圆弧的切向分力变大，则重力加速度的等效值 ，若升降机加速下降，则 重力加速度的等效值 ．单摆若在轨道上运行的卫星内，摆球完全失重，回复力为零，等 l O＇ ' 3 lOO = ' sinl l α= sin2 lT g απ=甲 ' sinl l lα= + (sin 1)2 lT g απ +=乙 O O＇ l 3 ll −   2 3 l 2 /3/ lT l g g π π= +丙 g g 29.8m/s g 2 Mg G R = g g g g g月 地＜ g g a g g a= +（ ）＇ g g a=（ － ）＇6 效值 ，摆球不摆动了，周期无穷大．若摆球在摆动过程中突然完全失重，则摆球将以那时的速 率相对悬点做匀速圆周运动． 一般情况下， 的值等于摆球相对于加速系统静止在平衡位置时，摆球所受的张力 与摆球质量 的比值．即 ． 3．圆锥摆 如图所示，用细线悬吊小球，使小球在水平面内做匀速圆周运动，即细线所扫过的面为圆锥面， 通常我们称为圆锥摆，实质上圆锥摆中的小球不是振动，是匀速圆周运动． 设运动过程中细线与竖直方向夹角为 ，线长为 ，则小球做圆周运动的半径 ， 向心力 ． 由 ， 得圆锥摆的周期 ． 显然该周期小于单摆周期，所以在用单摆测重力加速度的实验中，强调摆球必须在竖直面内摆 动． 4．摆钟快慢问题的分析方法 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢不同是由摆钟的周期变化引起的，分析时应注意： （1）由摆钟的机械构造所决定，摆钟每完成一次全振动。摆钟所显示的时间为一定值，也就是走 时准确的摆钟的周期 。 （2）在摆钟机械构造不变的前提下，走时快的摆钟，在给定时间内全振动的次数多，周期小，钟 面上显示的时间快．走时慢的摆钟，在给定时间内全振动的次数少，周期大，钟面上显示的时间就 慢．因钟面显示的时间 总等于摆动次数 乘以准确摆钟的周期 ，即 ，所以在同一时间 内，钟面指示时间之比等于摆动次数之比． （3）无论摆钟走时是否准确，钟面上显示的时间 ，其中 为走时准确摆钟的周期， 0g =＇ g＇ F m F m／ θ l sinr l θ= ⋅ tanF mg θ=向 2 2 4F m r T π= ⋅ ⋅向 cos2 lT g θπ= T t显 N sT · st N T=显 t · st N T=显 sT N7 为全振动的次数．同时对于走时不准确的摆钟，要计算其全振动的次数，不能用钟面上显示的时间除 以其周期，而应以准确时间除以其周期，即 ． 【例】甲、乙两只相同的摆钟同时计时，当甲摆钟指示 时，乙摆钟已指示 ，则甲、乙 两摆钟的摆长之比 。 【解析】 设甲、乙两摆钟经过的时间为 ，周期分别为 ，标准钟的周期为 ．则两钟在 时间内完成全振动次数为 　　 ， ． 两钟显示的时间为： 　　 ， 。 所以 ． 由 ， 得 　　 ． 【答案】16∶9 【说明】本题两摆钟所用时间相同，但显示的时间各不相同，无法判断哪只摆钟准确，也可能都 不准确，但对同一只摆钟每振动一次所显示的时间是一样的．摆钟所显示的时间就是摆的振动次数与 标准钟的周期的乘积． 【典型例题】 类型一、对简谐运动的理解 例 1．如图所示，水平面的轻弹簧一端与物体相连，另一端固定在墙上 点，已知物体的质量为 ，物体与水平面间的动摩擦因数 ，弹簧的劲度系数 ．现用力 拉物 体，使弹簧从处于自然状态的 点由静止开始向左移动 ，这时弹簧具有弹性势能 ， 物体处于静止状态．若取 ，则撤去外力 后（ ）． N t T=非 非／ 45 min l h ________l l =甲 乙∶ t T T甲 乙、 sT t N t T=甲 甲／ N t T=乙 乙／ s tt TT = ⋅甲 甲 s tt TT = ⋅乙 乙 t T t T =甲 乙 乙 甲 2 lT g π= 2 2 16 9l l t t= =乙 乙甲 甲∶ ∶ ∶ P 2.0 kgm = 0.4µ = 200 N/mk = F O 10 cm 1.0 JpE = 210m/sg = F8 A．物体向右滑动的距离可以达到 B．物体向右滑动的距离一定小于 C．物体回到 点时速度最大 D．物体到达最右端时动能为 ，系统机械能不为 【答案】B、D 【解析】如图所示，物体 由最大位移处释放，在弹力作用下向右加速，由于受滑动摩擦力的作 用，物体向右运动时的平衡位置应在 点左侧 处， 由平衡条件 得 ， 即 由简谐运动的对称性可知到达 点右侧 的 点时物体速度减小为零，即 ， A 项错误，B 项正确；在平衡位置 处速度最大，C 项错误；物体到达最右端时动能为零，弹簧 处于压缩状态，系统机械能不为零，故 D 项正确． 类型二、简谐振动中的牛顿第二定律 例 2．（2014 江苏一模）如图所示，水平面上质量相等的两木块 A、B 用一轻弹簧相连，整个系 统处于静止状态．t=0 时刻起用一竖直向上的力 F 拉动木块，使 A 向上做匀加速直线运动．t1 时刻弹簧 恰好恢复原长，t2 时刻木块 B 恰好要离开水平面．以下说法正确的是（　　） A．在 0~t2 时间内，拉力 F 与时间 t 成正比 B．在 0~t2 时间内，拉力 F 与 A 位移成正比 C．在 0~t2 间间内，拉力 F 做的功等于 A 的机械能增量 D．在 0~t1 时间内，拉力 F 做的功等于 A 的动能增量 12.5 cm 12.5 cm O 0 0 m O O＇ 0mg kxµ = 0 0.04m 4cmmgx k µ= = = 4 cmO D =＇ O 6 cmO A =＇ ＇ A＇ 12 cm 12.5 cmAA = ＜＇ O＇9 【思路点拨】以木块 A 为研究对象，分析受力情况，根据牛顿第二定律得出 F 与 A 位移 x 的关系 式，再根据位移时间公式，得出 F 与 t 的关系．根据功能关系分析拉力做功与 A 的机械能增量关系． 【答案】C 解 【解析】A、B 设原来系统静止时弹簧的压缩长度为 x0，当木块 A 的位移为 x 时，弹簧的压缩长度 为（x0─x），弹簧的弹力大小为 k（x0─x），根据牛顿第二定律得： F+ k（x0─x）─mg=ma 得到：F=kx─kx0+ma+mg， 又 kx0=mg，则得到：F=kx+ma 可见 F 与 x 是线性关系，但不是正比． 由 得： ，F 与 t 不成正比．故 AB 错误． 据题 t=0 时刻弹簧的弹力等于 A 的重力，t2 时刻弹簧的弹力等于 B 的重力，而两个物体的重力相 等，所以 t=0 时刻和 t2 时刻弹簧的弹力相等，弹性势能相等，根据功能关系可知，在 0~t2 时间内，拉 力 F 做的功等于 A 的机械能增量，故 C 正确． 根据动能定理可知：在 0~t1 时间内，拉力 F 做的功与弹力做功之和等于 A 的动能增量，故 D 错 误． 【总结升华】对于匀变速直线运动，运用根据牛顿第二定律研究力的大小是常用的思路．分析功 能关系时，要注意分析隐含的相等关系，要抓住 t=0 时刻和 t2 时刻弹簧的弹性势能相等进行研究． 举一反三: 【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例 1】 【变式】 如图所示，质量为 的物块 放置在质量为 的物块 上， 与弹簧相连，它们一起在光滑水 平面上做简谐运动，振动过程中 之间无相对运动，设弹簧的劲度系数为 ，当物块离开平衡位 置的位移为 时， 间摩擦力的大小等于（ ） 21 2x at= 21 2F k at ma= ⋅ + m A M B B A B、 k x A B、10 A． B． C． D． 【答案】D 类型三、振动与物体平衡的综合运用 例 3.（2016 南阳校级三模）如图所示，质量为 M=0.5kg 的物体 B 和质量为 m=0.2kg 的物体 C， 用劲度系数为 k=100N/m 的轻弹簧连在一起．物体 B 放在水平地面上，物体 C 在轻弹簧的上方静止不 动．现将物体 C 竖直向下缓慢压下一段距离 x=0.03m 后释放，物体 C 就上下做简谐运动，在运动过程 中，物体 B 始终不离开地面．已知重力加速度大小为 g=10m/s2．试求：当物体 C 运动到最高点时，物 体 C 的加速度大小和此时物体 B 对地面的压力大小． 【思路点拨】先根据胡克定律求解物体 C 受到的弹力，然后根据牛顿第二定律求解加速度，根据 平衡条件求解物体 B 对地面的压力大小． 【答案】当物体 C 运动到最高点时，物体 C 的加速度大小为 15m/s2；此时物体 B 对地面的压力大 小为 4N． 【解析】物体 C 放上之后静止时，设弹簧的压缩量为 x0．对物体 C，有： 解得： 物体 C 从静止向下压缩 x 后释放，物体 C 就以原来的静止位置为中心上下做简谐运动，振幅为： A=x=0.03m． 当物体 C 运动到最高点时，对物体 C，有： 解得：a=15m/s2 当物体 C 运动到最高点时，设地面对物体 B 的支持力大小为 F，对物体 B，有： 解得：F=4N 故物体 B 对地面的压力大小为 4N． 【总结升华】本题关键理解振幅的准确含义，抓住简谐运动的对称性，根据平衡条件、胡克定律 和牛顿第二定律列式分析． 举一反三: 【高清课堂：简谐运动的回复力和能量、单摆 例６】 0 kx m kxM m kxM m+ 0mg kx= 0 0.2 10 m 0.02m100 mgx k ×= = = 0( )mg k x x ma+ − = 0( )k x x F Mg− + =11 【变式】 如图所示，弹簧下面挂一质量为 的物体，物体在竖直方向上作振幅为 的简谐运动，当物体振 动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ） 　　　　 A．物体在最低点时的弹力大小应为 B．弹簧的弹性势能和物体动能总和不变 C．弹簧的最大弹性势能等于 D．物体的最大动能应等于 【答案】AC 【解析】A、小球做简谐运动的平衡位置处， ， ．当物体振动到最高点时，弹簧 正好为原长，可知 ．所以在最低点时，形变量为 ．弹力大小为 ．故 A 正确． B、在运动的过程中，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒，弹簧的弹性势能、物体的动能、 重力势能之和不变．故 B 错误． C、从最高点到最低点，动能变化为 ，重力势能减小 ，则弹性势能增加 ．而初位置弹 性势能为 ，在最低点弹性势能最大，为 ．故 C 正确． D、在平衡位置动能最大，由最高点到平衡位置，重力势能减小 ，动能和弹性势能增加，所以 物体的最大动能不等于 ．故 D 错误． 故选 AC． 【总结升华】解决本题的关键抓住简谐运动的对称性以及灵活运用能量守恒定律和机械能守恒定 律． 名题诠释 类型四、根据振动周期求摆长 例 4．已知单摆 完成 次全振动的时间内，单摆 完成 次全振动，两摆长之差为 ，则两 单摆摆长 与 分别为（ ）． A． ， B． ， m A 2mg 2mgA mgA mg kx= = mgx k x A= 2A 2mg 0 2mgA 2mgA 0 2mgA mgA mgA a 10 b 6 1.6 m al bl 2.5 mal = 0.9 mbl = 0.9 mal = 2.5 mbl =12 C． ， D． ， 【思路点拨】根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出其周期关系，利用周期公式可以求出 摆长． 【答案】B 【解析】该题考查的是单摆的周期公式．设两个单摆的周期分别为 和 ，由题意 ， 得 ． 根据单摆周期公式 ， 可知 ， 由此得 ． 则 ， ． 【总结升华】根据两单摆在相同时间内摆动的次数可以求出其周期关系，利用周期公式可以求出 摆长． 举一反三: 【变式】（2014 安徽卷）在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同 点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭 秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为 l， 引力常量为 G，地球质量为 M，摆球到地心的距离为 r，则单摆振动周期 T 与距离 r 的关系式为(　　) A． 　　 B． C． D． 【答案】B 【解析】本题考查单摆周期公式、万有引力定律与类比的方法，考查推理能力．在地球表面有 ，解得 。单摆的周期 ，选项 B 正确． 2.4 mal = 4.0 mbl = 4.0 mal = 2.4 mbl = aT bT 10 6a bT T= 6 10a bT T =∶ ∶ 2 lT g π= 2 24 gl Tπ= 2 2 36 100a b a bl l T T= =∶ ∶ ∶ 36 1.6m 0.9m100 36al = × =− 100 1.6m 2.5m100 36bl = × =− 2 GMT πr l = 2 lT πr GM = 2π GMT r l = 2 rT πl GM = 2 MmG mgr = 2 Mg G r = 2 2l lT π πrg GM = =13 例 5．如图所示，在竖直平面内有一段光滑圆弧轨道 ，它对应的圆心角小于 ， 是 的 中点，也是圆弧的最低点．在 间的一点 和 之间搭一光滑斜面并将其固定．将两个小滑块（可 视为质点）同时分别从 点和 点由静止开始释放，则两个小滑块第一次相遇时的位置（ ）． A．一定在斜面 上的一点 　 B．一定在 C．一定在 点 D．不知道斜面 的长短，无法判断 【总结升华】当 时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模型． 【答案】A 【解析】 点是最低点， 是圆弧上两点，对应圆弧半径为 ，由“等时圆”可知， 到 历时 ， 光滑圆弧轨道 所对应的圆心角小于 ，小滑块由 到 做简谐运动，由单摆周期公式 得 ， 所以 ， 故相遇时应在 上的一点，A 项正确． 【总结升华】圆弧形轨道上的运动时，当 时，可认为满足简谐振动条件，故为单摆模 型． 类型五、单摆在加速系统中的振动 例 6．在一加速系统中有一摆长为 的单摆． （1）当加速系统以加速度 竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？ （2）当加速系统在水平方向以加速度 做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？ MN 5° P MN NP Q P Q M PQ PM P PQ PM R P P Q、 R Q P 1 2 2 2 /Rt R gg ×= = MN 5° M N 2 /T L gπ= /4 2MP Tt R g π= = 1MPt t< PQ PM R l a a14 【答案】（1） , （2） 【解析】（1）当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重力为 ，如图 甲所示， 　　　　 则 ， 故 ， 由 得视重力加速度 ， 所以单摆周期 ． 同理，当单摆随加速系统竖直向下加速时，视重力 ， 则视重力加速度 ， 故 ． （2）当在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示，视重力 2 l g a π + 2 l g a π − 2 2 2 l g a π + F F mg ma=－ ( )F m g a= + F mg= ＇ g g a= +＇ 1 2 2' l lT g g a π π= = + ( )F m g a= － g g a= －＇ 2 2 lT g a π= −15 。 故视重力加速度 ， 所以周期 ． 类型六、月球上的摆钟问题 例 7．将在地面上校准的摆钟拿到月球上去，若此钟在月球上记录的时间是 ，那么实际的时间 是多少?若要在月球上使该钟与地面上时一样准，应如何调节？（已知 ） 【总结升华】摆钟指示的时间与摆钟振动的次数成正比． 【答案】将摆长调到原来的 【解析】设在地球上该钟的周期为 ，在月球上该钟的周期为 ，指示的时间为 ．则在月球上 该钟在时间 内振动的次数为 ． 在地面上振动次数为 时所指示的时间为 ，则有 ， 即 ， 所以 ． 所以在月球上记录时间是 ，则地面上的实际时间为 ． 要使其与在地面上时走得一样准，则 ， 即 2 2F m g a= + 2 2'g g a= + 3 2 2 2 lT g a π= + 1 h 6g g=月 地／ 1 6 0T T t t tN T = N 0t 0 0 tN T = 0 0 tt T T = 0 0 6 6 gTt t t tT g = ⋅ = ⋅ =月 地 1 h 6 h6 0T T=16 ， ． 即应将摆长调到原来的 ． 【总结升华】摆钟指示的时间与摆钟振动的次数成正比． 类型七、单摆振动与力学综合 例 8．摆长为 的单摆在平衡位置 的左右做摆角小于 的运动，当摆球经过平衡位置 （ 在 点的正上方）向右运动的同时，另一个以速度 在光滑水平面上运动的小滑块恰好经过 点向右运 动，如图所示，小滑块在与竖直挡板 碰撞后以原来的速率返回，略去碰撞所用时间，试问： （1） 间的距离满足什么条件，才能使滑块刚好返回 点时，摆球也同时到达 点且向左 运动？ （2） 间的最小距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】滑块从 向右运动到返回 点所用的时间等于单摆的半个周期再加整数倍周期，当滑块 返回 点所用的时间为半个周期时 间距离最小． （1）设小滑块做匀速直线运动从过 点到再次返回到 点所用时间为 ， ，则 ， 设单摆做简谐运动回到 点且向左运动所需时间为 ， （ ）， 其中 ， 2 2l l g g π π=月 地 月 地 1 6l l=月 地 1 6 l O 5° O O A v A P A P、 A O A P、 (2 1)(2 1) 24 2 v l n v ln g g ππ ++ ⋅ = min 2 v ls g π= A A A A P、 A A 1t AP s= 1 2st v = O 2t 2 2 Tt nT= + 0 1 2n = ， ， ， 2 lT g π=17 由题意可知 ， 所以 。 即 （ ）． （2）当 时， 的距离最小， ． 【总结升华】 考查单摆振动与力学知识综合，关键是要找到相应物理量之间的美系． 1 2t t= 2 2 s T nTv = + 1 (2 1)(2 1) (2 1) 22 2 4 4 2 v v v l n v ls n T n T n g g ππ + = + = + = + ⋅ =   0 1 2n = ， ， ， 0n = A P、 min 2 v ls g π=18 【巩固练习】 一、选择题 1．简谐运动的回复力（ ）． A．可以是恒力 B．可以是方向不变而大小变化的力 C．可以是大小不变而方向改变的力 D．一定是变力 2．关于振幅，以下说法中正确的是（ ）． A．物体振动的振幅越大，振动越强烈 B．一个确定的振动系统，振幅越大振动系统的能量越大 C．振幅越大，物体振动的位移越大 D．振幅越大，物体振动的加速度越大 3．做简谐运动的振子每次通过同一位置时，相同的物理量是（ ）． A．速度 B．加速度 C．位移 D．动能 4．（2015 福建期末）一个弹簧振子沿 x 轴做简谐运动，取平衡位置 O 为 x 轴坐标原点．从某时 刻开始计时，经过四分之一周期，振子具有沿 x 轴正方向的最大加速度．能正确反映振子位移 x 与时 间 t 关系的图像是 (　　) 5．汽车在凹凸不平的道路上前进，车厢上下振动．若在某段时间内，车厢做简谐运动．你坐在车 厢内，则车厢振动到何位置时，你感到车座对你的支持力最大（ ）． A．当振动到最低点时 B．当振动到最高点时 C．当向上振动经过平衡位置时 D．当向下振动经过平衡位置时 6．（2015 石家庄校级月考）如图所示，弹簧振子在振动过程中，振子从 a 到 b 历时 0.2 s，振子 经 a、b 两点时速度相同，若它从 b 再回到 a 的最短时间为 0.4 s，则该振子的振动频率为 (　　) A．1 Hz B．1.25 Hz C．2 Hz D．2.5 Hz 7．甲、乙两弹簧振子，振动图像如图所示，则可知（ ）． 19 A．两弹簧振子完全相同 B．两弹簧振子所受回复力最大值之比 F 甲∶F 乙=2∶1 C．振子甲速度为零时，振子乙速度最大 D．振子的振动频率之比，甲∶乙=1∶2 8.（2016 春 陕西校级期末）如图所示，两木块 A 和 B 叠放在光滑水平面上，质量分别为 m 和 M，A 与 B 之间的最大静摩擦力为 f，B 与劲度系数为 k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子．为使 A 和 B 在 振动过程中不发生相对滑动，则（　　） A．它们的振幅不能大于 B．它们的振幅不能大于 C．它们的最大加速度不能大于 D．它们的最大加速度不能大于 9．如图所示，弹簧上面固定一质量为 m 的小球，小球在竖直方向上做振幅为 A 的简谐运动，当 小球振动到最高点时弹簧正好为原长，则小球在振动过程中（ ）． A．小球最大动能应等于 mgA B．弹簧的弹性势能和小球动能总和保持不变 C．弹簧最大弹性势能等于 2mgA D．小球在最低点时的弹力大于 2mg 10．如图所示，光滑槽的半径 R 远大于小球运动弧长．今有两个小球（视为质点）同时由静止释 放，其中甲球开始时离圆槽最低点 O 点远些，则它们第一次相遇的地点在（ ）． A．O 点 B．O 点偏左 C．O 点偏右 D．无法确定，因为两小球质量关系未定 )M m fkM +（ )M m fkm +（ f M f m20 11．如图所示，用绝缘细丝线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（ ）． A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同 B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同 C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力 相同 D．撤去磁场后，小球摆动周期变大 12．一个单摆，在第一个行星上的周期为 T1，在第二个行星上的周期为 T2，若这两个行星的质量 之比为 M1∶M2=4∶1，半径之比 R1∶R2=2∶1，则（ ）． A．T1：T2=1∶1 B．T1∶T2=4∶1 C．T1：T2=2∶1 D．T1∶T2=1∶2 13．如图所示，三根细线于 O 点处打结，A、B 端固定在同一水平面上相距为三的两点上，使 AOB 成直角三角形，∠BAO=30°，已知 OC 线长是 L，下端 C 点系着一个小球（直径可忽略）．下列说法 中正确的是（ ）． A．让小球在纸面内摆动，周期 B．让小球在垂直纸面方向摆动，其周期 C．让小球在纸面内摆动，周期 D．让小球在垂直纸面内摆动，周期 二、填空题 14．(2015 扬州高三测试)一根轻绳一端系一小球，另一端固定在 O 点，制成单摆装置．在 O 点 有一个能测量绳的拉力大小的力传感器，让小球绕 O 点在竖直平面内做简谐振动，由传感器测出拉力 2 LT g π= 32 2 LT g π= 32 2 LT g π= 2 LT g π=21 F 随时间 t 的变化图像如图所示，则小球振动的周期为 s，此单摆的摆长为 m（重 力加速度 g 取 10m/s2，取 π2≈10）． 15．有五组同学用单摆测定重力加速度，各组的实验器材、数据如下表所示．若各组同学实验操 作水平一样，那么第________组同学测定的结果最准确．若该组同学根据自己测得的实验数据作出单 摆的振动图像，如图所示，那么该同学测出的重力加速度大小是________m／s2． 组制 摆球材料 最大偏角 摆长 测全振动次数 1 木 10° 0.40 m 10 2 铝 10° 0.50 m 20 3 铜 12° 0.60 m 30 4 铁 11° 0.80 m 40 5 铝 8° 0.80 m 50 16．如图所示为一单摆及其振动图像，根据图回答： （1）单摆的振幅为________，频率为________，摆长约为________；图中所示周期内位移 x 最大 的时刻为________． （2）若摆球从 E 指向 G 为正方向， 为最大摆角，则图像中 O、A、B、C 点分别对应单摆中________ 点．一周期内加速度为正且减小，并与速度同方向的时间范围是一势能增加且速度为正的时间范围是 ________。 （3）单摆摆球多次通过同一位置时，下述物理量变化的是________． A．位移 B．速度 C．加速度 D．动量 E．动能 F．摆线张力 α22 （4）当在悬点正下方 O＇处有一光滑水平细钉可挡住摆线，且 ，则单摆周期为 ________s，挡后绳张力________。 三、解答题 17.（2016 合肥二模）如图 1 所示，用一根不可伸长的轻质细线将小球悬挂在天花板上的 O 点， 现将小球拉离平衡位置，使细线与竖直方向成一夹角（该夹角小于 5°）后由静止释放．小球的大小和 受到的空气阻力忽略不计． （1）证明小球的运动是简谐运动； （2）由传感器测得小球偏离平衡位置的位移随时间变化的规律如图 2 所示，求小球运动过程中的 最大速度值． 18．有一单摆在地面上一定时间内振动了 N 次，将它移到某高山上，在相同时间内振动了（N－ 1）次，由此可粗略地推算出此山的高度约为地球半径的多少倍？ 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D 【解析】由 F=－kx 可知，由于位移的大小和方向在变化，因此回复力的大小和方向也在变化， 一定是变力． 2．【答案】A、B 【解析】物体振动的能量由振幅来表示．振幅越大，振动能量越大，振动越强烈．因此 A、B 两 项正确．振幅是质点离开平衡位置的最大距离，与位移无关．而加速度随时间时刻变化，所以 C、D 两项不正确． 3．【答案】B、C、D 【解析】振子通过同一位置时，位移、加速度的大小和方向都相同．速度的大小相同，但方向不 一定相同，因此 B、C、D 三项正确． 4．【答案】A 【解析】根据 F＝－kx 及牛顿第二定律得 ，当振子具有沿 x 轴正方向的最大加速 度时，其具有沿 x 轴负方向的最大位移，故选项 A 正确，选项 B、C、D 错误． 5．【答案】A 【解析】车厢和人在竖直方向做简谐运动时，运动到最低点，加速度向上且最大．由 FN－ mg=ma，可知 FN=mg+ma，FN 最大．而在平衡位置时 FN－mg=0，FN=mg．在最高点时，加速度方向 1' 4O E OE= F ka xm m = = −23 向下，FN＜mg． 6．【答案】B 【解析】由简谐运动的对称性可知，t O b＝0.1 s，t b c＝0.1 s，故 ，解得 T＝0.8 s， ，选项 B 正确． 7．【答案】C、D 【解析】由题图可知 f 甲∶f 乙=1∶2，因此振子不相同，A 项错误，D 项正确．由题图可知 C 正 确．因 F 甲=k 甲 A 甲，F 乙=k 乙 A 乙，由于 k 甲和 k 乙关系未知，因此无法判断 F 甲∶F 乙=2∶1，所以 B 项不正确． 8.【答案】BD． 【解析】当 A 和 B 在振动过程中恰好不发生相对滑动时，AB 间静摩擦力达到最大，此时 AB 到达 最大位移处． 根据牛顿第二定律，以 A 为研究对象，最大加速度： 以整体为研究对象： 联立两式得到最大振幅： 故选：BD． 9．【答案】C 【解析】小球平衡位置 kx0=mg， 当到达平衡位置时，有 ，A 错．机械能守恒，是动能、重力势能和弹性势能之和保持不变，B 错．从最高点到最低点，重力势能 全部转化弹性势能 Ep=2mgA，最低点加速度大小等于最高点加速度 g，据牛顿第二定律 F－mg=mg， F=2mg．D 错． 10．【答案】A 【 解 析 】 由 于 半 径 R 远 大 于 运 动 的 弧 长 ， 所 以 可 以 认 为 小 球 做 简 谐 运 动 ， 其 周 期 都 为 ，与位移的大小无关．同时到达 O 点，A 项正确． 11．【答案】A 【解析】小球在磁场中运动时，由于洛伦兹力不做功，所以机械能守恒．运动到最低点，小球的 速度大小相同，但方向可能不同，A 项正确，B 项错误．小球左、右通过最低点，向心力相同，洛伦 兹力方向相反，所以拉力不同，C 项不正确．由于洛伦兹力不提供回复力，因此有无磁场，不影响振 动周期，D 项错误． 12．【答案】A 0.2 4 T s= 1 1.25 Hzf T = = fa m = ( )kA M m a= + ( )M m fA km += 0 mgx A k = = 2 21 1 2 2mgA mv kA= + 2 RT g π=24 【 解 析 】 单 摆 的 周 期 公 式 为 ， 同 一 单 摆 即 有 ． 又 根 据 万 有 引 力 定 律 ，有 ，因此 ，故 ，故 A 项正确． 13．【答案】A 【 解 析 】 让 小 球 在 纸 面 内 摆 动 ， 在 摆 角 很 小 时 ， 单 摆 以 O 点 为 悬 点 ， 摆 长 为 L 周 期 为 。 让 小 球 在 垂 直 纸 面 内 摆 动 ， 摆 球 以 OC 的 延 长 线 与 AB 的 交 点 为 中 心 摆 动 ， 摆 长 为 ，周期为 ，选项 A 正确． 二、填空题 14．【答案】 、 【解析】因为一个周期内两次经过平衡位置，经过平衡位置时拉力最大，可知小球的周期为 ， 根据： ，得摆长为： 15．【答案】5 9.74 【解析】第 5 组同学的单摆摆长适当，偏角小于 10°，振动次数较多，误差最小．从振动图像上 知 T=1.80 s，代入公式 ，得 g=9.74 m／s2． 16．【答案】（1）3 cm 0.5 Hz 1 m 0.5 s 末和 1.5 s 末 （2）E、G、E、F 1.5～2.0 s 间 0～ 0.5 s 间 （3）B、D （4）1.5 变大 【解析】（4）放钉后改变了摆长．因此单摆周期应分成钉左侧的半个周期，前已求出摆长为 1 m， 所以 ；钉右侧的半个周期， ，所以 T=t 左+t 右=1.5 s．由受力分析， 张力 ，因为钉挡绳前后瞬间摆球速度不变，球重力不变，挡后摆线长为挡前的 ，所 以挡后绳张力变大． 三、解答题 17.【答案】（1）证明见下． （2）小球运动过程中的最大速度值为 0.08πm/s．． 【解析】（1）设小球偏角为 θ 时离开平衡位置的位移为 x，摆长为 L，θ＜5°，则： ， 4 4 4s 2 LT g π= 2 2 10 16 44 4 10 gTL m mπ ×= = =× 2 lT g π= 1T g ∝ 2 M mmg G R ⋅= 2 GMg R = 2RT M ∝ 2 1 2 1 2 2 1 2 4 1 1 14 1 R MT T M R ⋅ ×= = =⋅ ×∶ ∶ 2 LT g π= 3cos302 4 LL L L+ ° = + (4 3)' 2 4T Lg π += 2 2 4 lg T π= 1slt g π= =左 0.5s4 lt g π= =右 2vF mg m l = + 1 4 x Lθ= sinθ θ≈25 小球受到的回复力大小： 联立解得： 且因 F 与 x 方向相反，故有 ，则小球做简谐运动． （2）由图 2 可知摆球的振幅 A=0.08m，周期 T=2s 以摆球为研究对象：由周期公式： 由机械能守恒： 由三角函数知识： 由圆的知识： 联立解得： 18．【答案】见解析 【解析】设时间为 t，在地面上单摆的周期为 ，在高山上，单摆的周期为 。设 地面处的重力加速度为 g，高山上的重力加速度为 g＇，由单摆的周期公式可推得 ．设 高山的高度为 h，由万有引力定律得 ， ，所以 ．山高为 ，即山高为地球半径的 倍。 sinF mg θ= mgF xL = mgF xL = − 2 LT g π= 2 max 1(1 cos ) 2mgL mvθ− = 2 21 cos 2sin 2 2 θ θθ− = ≈ A L θ = max 0.08 m / sv π= tT N = ' 1 tT N = − 2 ' 1 g N g N  =  −  2 Mg G R = 2' ( ) Mg G R h = + 1 R h N R N + = − 1 1h RN = − 1 1N −