知识讲解 外力作用下的振动 提高

1 外力作用下的振动 【学习目标】 1．知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况。 2．知道做受迫振动物体的振动频率跟固有频率无关，而等于驱动力的频率。 3．知道共振以及发生共振的条件，知道共振的应用和防止的实例。 4．会用单摆测定重力加速度． 5．学会用公式法和图像法处理实验数据． 【要点梳理】 要点一、振动的分类 1．振动的分类 按振子受力的不同可将振动分为： （1）自由振动（又称固有振动）． 回复力是系统内部的相互作用力．弹簧振子的弹力是系统内部的力，单摆的重力的切向分量也是 系统内部的力． （2）阻尼振动． 系统受到摩擦力或其他阻力．系统克服阻力的作用要消耗机械能．因而振幅减少，最后停下来， 阻尼振动的图像如图所示． 要点诠释： 物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定。并不 会随振幅的减小而变化．例如：用力敲锣，由于锣受到空气的阻尼作用，振幅越来越小，锣声减弱， 但音调不变． （3）受迫振动． 如系统受到周期性外力的作用，就可以利用外力对系统做功，补偿系统因阻尼作用而损失的能量， 使系统持续地振动下去． 这种周期性的外力叫驱动力． 系统在驱动力作用下的振动叫受迫振动． 2．受迫振动的频率 系统做受追振动的频率总是等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关． 3．共振2 系统做受迫振动时，如果驱动力的频率可以调节，把不同频率的驱动力先后作用于同—个振动系 统，其受迫振动的振幅将不同，如图是共振曲线图． 驱动力频率 f 等于系统的固有频率 f0 时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振． 要点诠释：驱动力频率接近物体的固有频率时，受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振． 要点二、共振的应用与防止 1．共振的应用与防止 （1）共振的应用：由共振的条件知，要利用共振就应尽量使驱动力的频率与物体的固有频率一 致．如：共振筛、共振转速计、共鸣箱、核磁共振仪等． ①共振筛：共振筛是利用共振现象制成的．把筛子用四根弹簧支起来，在筛架上安装一个偏心轮， 就成了共振筛．偏心轮在发动机的带动下转动时，适当调节偏心轮的转速，可以使筛子受到的驱动力 的频率接近筛子的固有频率，筛子发生共振，提高了筛选工作的效率． ②共鸣箱：乐器发出的声音也作为驱动力使乐器箱内的空气做受迫振动．当满足共振条件时，箱 内空气处于共振状态而有较大的振幅，这种声音的共振现象通常叫做共鸣．各种各样的乐器如小提琴、 大提琴、二胡、琵琶……它们都有形状不同、构造各异的共鸣箱，靠箱内空气的共鸣，才发出洪亮、 美妙、动听的声音． ③在无线电接收技术中用到的电谐振，它是共振的另一种表现形式． （2）共振的防止：由共振曲线可知，在需要防止共振时，要尽量使驱动力的频率和物体振动的固 有频率不相等，而且相差越多越好． 要点诠释：如：部队过桥时，为避免周期性的驱动力使桥发生共振，应便步走． 2．微波炉原理 微波炉的微波频率与水分子振动的固有频率 非常接近，因此，当微波照射到食物时， 微波施加的驱动力使食物中的水分子做受迫振动，并且处于共振状态而剧烈振动，使食物的温度迅速 升高．由于这种“加热”方式是从里到外同时发生的，所以比其他煮熟食物的方式更快捷． 3．减振原理 思路一是给被保护的物体加一层减振的阻尼材料（如泡沫塑料等），使冲击过程的机械能尽可能多 地转化为阻尼材料的内能，减轻被保护物体受到的冲击作用．思路二是在物体与外界冲击作用之间安 装一个“质量一弹簧”系统，如果该系统的固有周期比外界冲击力的周期大很多，它不会及时地把该 冲击力传递给物体，这种延缓的过程实际上对冲击力起到了平均的作用． 4．声音的共振现象（共鸣） 如：取两个频率相同的音叉 和 ，相距不远并排放在桌面上，敲击音叉 的叉股，使它发声， 过一会儿用手抓住音叉 的叉股，可听到没有被敲的音叉 在发声．说明 受 的驱动作用而发生了 共振． 2500 MHz A B A A B B A3 声音的共振在乐器上应用很广泛，如小提琴、二胡等，通过共振现象，可以增加声强，改善音 色． 二胡、小提琴等弦乐器主要是由弦的振动带动周围空气振动而发声的． 二胡、小提琴等弦乐器都带有一个“箱子”，这是因为这些“箱子”中都有空气，当弦乐器中的弦 振动发声时，对“箱子”中的空气柱有一个周期性的驱动力，使“箱子”中的空气柱也振动起来，改 变“箱子”的大小和形状，就会改变空气柱的固有频率，当它的固有频率与驱动力的频率相同时，就 会出现声音的共振现象——共鸣，使乐器中原来的声音变得洪亮动听，因此把这个“箱子”叫做共鸣 箱． 弦乐器的弦一般很细，与周围空气的接触面积很小，即使再强烈的弦振动，也搅动不了多少空气， 所以它发出的声音也不会很强，但是，把弦的振动传给共鸣箱后，就能搅动许多空气，这样就把声音 放大了． 要点诠释：乐器的共鸣箱不仅有放大声音的作用，而且兼有改善音色的作用．如：音箱的固有频 率在低音范围，演奏到某些音调时，由于共鸣的作用，发音可以很强，使音色浑厚动听． 要点三、利用单摆测定重力加速度 1．实验内容 （1）实验目的： 利用单摆测定当地的重力加速度，巩固和加深对单摆周期公式的理解． （2）实验原理： 单摆在偏角很小时，可看成简谐运动，其固有周期 ，可得 ．据此，通过实 验方法测出摆长 和周期 ，即可计算得到当地的重力加速度值． （3）实验器材： 铁架台及铁夹，金属小球（最好上面有一个通过球心的小孔），秒表，细线（ 左右），刻度尺 （最小刻度为 ）． （4）实验步骤： ①让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆． ②将铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定 在铁夹上，使摆球自由下垂． ③用刻度尺测量单摆的摆长（摆线静止悬挂时从悬点到球心间的距离）． ④把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不太大，再释放小球．当摆球摆动稳定以后， 过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动 次（或 次）的时间，求出 次全振动的时间， 即单摆的振动周期． ⑤改变摆长，反复测量三次，将算出的周期 及测得的摆长 代入公式 ，求出重力加速 2 lT g π= 2 2 4 lg T π= l T 1 m mm 30 50 1 T l 2 2 4 lg T π=4 度的值，然后求 的平均值． 2．实验数据的处理 （1）平均值法：每改变一次摆长，将相应的 和 代入公式 中，求出 值，并最后求 出 的平均值． （2）图像法：由 ，得 ，作出 图像，即以 为纵轴，以 为横轴．其 斜率 ，由图像的斜率即可求出重力加速度 ． 3．实验注意事项 （1）选择材料时应选择细而不易伸长的线，比如用单根尼龙丝、丝线等，长度一般不应短于 ，小球应选用密度较大的金属球，直径应较小，最好不超过 ． （2）单摆悬线的上端不可随意卷在铁夹的杆上，应夹紧在铁夹中，以免摆动时发生摆线下滑、摆 长改变的现象． （3）注意摆动时控制摆线偏离竖直方向不太大，可通过估算振幅的办法掌握． （4）摆球摆动时，要使之保持在同一个竖直平面内，不要形成圆锥摆． （5）计算单摆的振动次数时，应以摆球通过最低位置时开始计时为好，以后摆球应从同一方向通 过最低点时计数，要多测几次（如 次或 次）全振动的时间，用取平均值的办法求周期． 4．误差的分析 （1）本实验系统误差主要来源于单摆模型本身是否符合要求．即：悬点是否固定，是单摆还是复 摆．球、线是否符合要求，振动是圆锥摆还是同一竖直平面内的振动以及测量哪段长度作为摆长等 等．只要注意了上面这些方面，就可以使系统误差减小到远远小于偶然误差，达到忽略不计的程度． （2）本实验偶然误差主要来自时间（即单摆周期）的测量上．因此，要注意测准时间（周期）， 要从摆球通过平衡位置开始计时，并采用倒数计时计数的方法，不能多记或漏记振动次数．为了减小 偶然误差，进行多次测量后取平均值． （3）本实验中长度（摆线长、摆球的直径）的测量时，读数读到毫米位即可（即使用游标卡尺测 摆球直径也只需读到毫米位），时间的测量中，秒表读数的有效数字的末位在“秒”的十分位即可，秒 表读数不需要估读． 5．其他测重力加速度的方法 （1）滴水法测重力加速度．滴水法测重力加速度的过程是这样的：让水龙头的水一滴一滴地滴在 其正下方的盘子里，调整盘子的高度，让前一滴水滴到盘子时后一滴恰好离开水龙头，测出几滴水落 到盘子中的总时间 ，用刻度尺量出水龙头到盘子的高度差 ，即可算出重力加速度． 这种实验方法简单易行，只是在操作上有些麻烦，比如在处理让前一滴水滴到盘子时后一滴水恰 好离开水龙头，仅凭人眼大致判断有点难度．由于水滴下落的时间很短，为减少误差，应测几十滴水 的总下落时间再算一滴水下落的时间，这也是累计法的运用． （2）用验证机械能守恒定律的实验装置测重力加速度：用 ，为减少误差， 除去前面几个点，从后面点迹清楚稳定的计时点中取两点，量出下落高度和算出两点的速度，不必测 质量． g l T 2 2 4 lg T π= g g 2 lT g π= 2 2 4T lg π= 2T l− 2T l 24k g π= g 1m 2 cm 30 50 t h 2 2 2 1 1 1 2 2mv mv mgh− =5 此方法仪器现成，学生对实验装置熟悉，原理清楚，主要的实验误差是纸带与限位孔间的摩擦造 成的，可通过增加所挂物体的质量来减少误差． （3）利用平抛物体的实验装置测重力加速度：在画好平抛曲线的坐标纸上，先求出初速度，再依 次取 个水平等间隔的点，算出它们的时间间隔，量出它们在竖直方向上的位移，用匀变速直线运动 公式 可得． 此方法设备也是现成的，由于画曲线时人为因素较大，相比较而言误差较大． 【典型例题】 类型一、阻尼振动的理解 例 1．一单摆做阻尼振动，则在振动过程中（ ）． A．振幅越来越小，周期也越来越小 B．振幅越来越小，周期不变 C．在振动过程中，通过某一位置时，机械能始终不变 D．振动过程中，机械能不守恒，周期不变 【思路点拨】阻尼振动的周期是不变的，但它不等于固有周期． 【答案】B、D 【解析】该题考查阻尼振动的能量和周期．因单摆做阻尼振动。所以振幅越来越小，机械能越来 越小．振动周期不变，只是比单摆的固有周期大． 【总结升华】阻尼振动的周期是不变的，但它不等于固有周期．很多资料上都认为两者相等．这 是不对的． 举一反三: 【高清课堂：外力作用下的振动 例 1】 【变式】如图所示，曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以带动弹簧振子上下振动．开始 时不转动摇把，而用手往下拉振子，放手使之上下振动，测得振子在 内完成 次全振动，然后匀 速转动摇把，转速为 ．当振子振动稳定时，其振动周期为（ ） A． B． C． 　 D． 【答案】B 类型二、阻尼振动中的能量 例 2．如图所示是单摆做阻尼振动的振动图线，下列说法中正确的是（ ）． 3 2 2 1s s gT=－ 10s 20 240r/min 0.5s 0.25s 2s 4s6 A．摆球在 时刻的动能等于 时刻的动能 B．摆球在 时刻的势能等于 时刻的势能 C．摆球在 时刻的机械能等于 时刻的机械能 D．摆球在 时刻的机械能大于 时刻的机械能 【答案】B、D 【解析】该题考查阻尼振动的图像以及能量的转化关系．在单摆振动过程中，因不断克服空气阻 力做功使机械能逐渐转化为内能，C 项错误，D 项正确；虽然单摆总的机械能在逐渐减小，但在振动 过程中动能和势能仍不断地相互转化．由于 、 两时刻，单摆的位移相等，所以势能相等，但动能 不相等，A 项错误，B 项正确． 【总结升华】机械能 等于动能 和势能 之和．即 ，阻尼振动中， 减小，但 动能和势能相互转化．当 相等时， 不相等．而从振动图像上，可以确定 的关系． 举一反三: 【高清课堂：外力作用下的振动 例 2】 【变式】在一根张紧的绳下端挂几只摆球，如图所示．其中，摆球 的质量较其他三只摆球的质 量大得多，当 摆球摆动起来后，通过张紧的绳的作用使其余三只摆球也摆动起来，达到稳定后，有 （ ） A．单摆 的摆长最长，振动的周期最大 B．单摆 的振动周期一样大 C．单摆 距离摆 最远，它的振幅最小 D．单摆 的摆长与单摆 的相同，它的振幅最大 【答案】D 类型三、受迫振动的应用 例 3．（2015 银川校级期末）如图所示，曲轴上挂一个弹簧振子，转动摇把曲轴可带动弹簧振子 A B A B A B A B A B E kE pE k pE E E= + E pE kE pE A A C B C D、 、 B A B A7 上下振动，开始时不转动摇把，让振子自由振动，测得其频率为 2Hz，现匀速转动摇把，转速为 240r/min，则（ ） A．当振子稳定时，它的振动周期是 0.5s B．当振子稳定时，它的振动周期是 0.25s C．当摇把转速为 240r/min 时，弹簧振子的振幅最大，若减小摇把转速，弹簧振子的振幅一定减 小 D．若摇把转速从 240r/min 进一步增大，弹簧振子的振幅也增大 【答案】B 【解析】摇把转速为 n=240r/min=4r/s，它的周期 ，弹簧振子做受迫振动，振 动周期等于驱动力的周期，当振子稳定时，它的振动周期是 0.25s，故 A 错误 B 正确；弹簧振子的固 有周期 ，当驱动力的周期是 0.5s 时，提供驱动力的摇把转速为 2r/s=120r/min，振 子发生共振，振幅最大，故 C 错误；摇把转动的周期与弹簧振子的固有周期相差越小，振子的振幅越 大，并不是转速越大，弹簧振子的振幅就越大，故 D 错误。 举一反三: 【高清课堂：外力作用下的振动 例 5】 【变式】共振筛是利用共振现象制成的.把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮， 它每转一周就给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛.筛子在做自由振动时，完成 次全振动用 ，在某电压下，电动偏心轮的转速是 （转每分）.已知增大电压，可以使偏心轮转速提高， 增加筛子的质量，可以增大筛子的固有周期，那么要使筛子的振幅增大，下列做法正确的是（ ） A．提高输入电压 B．降低输入电压 C．增加筛子的质量 D．减小筛子的质量 【答案】AC 【解析】在题给条件下，筛子振动固有周期 ，电动偏心轮的转动周期（对筛子来 说是驱动力的周期） ．要使筛子振幅增大，就得使这两个周期值靠近，可采用两种 做法：第一，提高输入电压使偏心轮转得快一些，减小驱动力的周期；第二，增加筛子的质量使筛子 的固有周期增大． 正确选项为 AC． 【总结升华】理解并掌握共振原理在实际中的运用. 1 1 s 0.25s4T n = = = 1 1= s 0.5s2T f = =固 10 15s 36 r/min 15= =1.510T固 （s） 60= =1.6736T （s）驱8 类型四、受迫振动与驱动频率的关系的应用 例 4. （2016 春 邯郸校级月考）如图所示是一个单摆的共振曲线，读图回答下列问题： （1）该单摆摆长多大？ （2）共振时单摆振幅多大？ （3）若把该单摆从北京移到广州，共振曲线的峰值将怎样移动？ 【答案】（1）摆长为 1m； （2）振幅为 8cm； （3）峰值左移． 【解析】（1）由图可知，当驱动力的频率等于 0.5Hz 时，单摆达到共振，则可知，该摆的频率为 0.5Hz； 则根据频率公式可知： 解得：L=1m； （2）由图可知，共振时的振幅为 8cm； （3）由北京移到广州时，重力加速度减小，则可知，固有频率减小，则共振曲线的峰值将左移； 【总结升华】本题考查对共振现象及共振曲线的理解能力，关键抓住产生共振的条件：驱动力频 率与物体的固有频率相等． 类型五、测重力加速度中的图像问题及操作步骤 例 5．某同学利用单摆测定当地重力加速度，发现单摆静止时摆球重心在球心的正下方，他仍将 从悬点到球心的距离当做摆长 ，通过改变摆线的长度，测得 6 组 和对应的周期 ，画出 图 线，然后在图线上选取 两个点，坐标如图所示．他采用恰当的数据处理方法，则计算重力加速 度的表达式应为 。请你判断该同学得到的实验结果与摆球重心就在球心处的情况相比， 将 （填“偏大”“偏小”或“相同”）． 1 2 gf Lπ= L L T 2-L T A B、 ________g = ________9 【思路点拨】由单摆的周期公式 ，结合题意，作出相关计算。 【答案】 相同 【解析】由单摆的周期公式 得 ， 则 可得 ， 由此式可知测得的 与某一次的摆长无关，与两次实验中的摆长差有关，所以 值与摆球重心在 不在球心处无关． 例 6．(2015 北京东城一检)实验小组的同学做“用单摆测重力加速度”的实验。 ⑴实验前他们根据单摆周期公式导出了重力加速度的表达式 ，其中 L 表示摆长，T 表 示周期。对于此式的理解，四位同学说出了自己的观点： 同学甲：T 一定时，g 与 L 成正比 同学乙：L 一定时，g 与 T2 成反比 同学丙：L 变化时，T2 是不变的 2 lT g π= 2 2 2 4 ( )B A B A L L T T π − − 2 lT g π= 2 24 LT g π= 2 24 A A LT g π= 2 2 2 4 ( )B A B A L Lg T T π −= − g g 2 24 T Lg π=10 同学丁：L 变化时，L 与 T2 的比值是定值 其中观点正确的是同学 （选填“甲”、 “乙”、“丙”、“丁”）。 ⑵实验室有如下器材可供选用： A．长约 1 m 的细线 B．长约 1 m 的橡皮绳 C．直径约 2 cm 的均匀铁球 D．直径约 5cm 的均匀木球 E．秒表 F．时钟[ G．最小刻度为毫米的米尺 实验小组的同学选用了最小刻度为毫米的米尺，他们还需要从上述器材中选择： （填 写器材前面的字母）。 ⑶他们将符合实验要求的单摆悬挂在铁架台上，将其上端固定，下端自由下垂（如图所示）。用 刻度尺测量悬点到 之间的距离记为单摆的摆长 L。 ⑷在小球平稳摆动后，他们记录小球完成 n 次全振动的总时间 t，则单摆的周期 T= 。 ⑸如果实验得到的结果是g=10.29m/s2，比当地的重力加速度值大，分析可能是哪些不当的实际操作造成 这种结果，并写出其中一种： 。 【答案】 ⑴丁 ⑵ACE ⑶小球球心 ⑷ ⑸可能是振动次数 n 计多了；可能是测量摆长时从悬点量到了小球底部；可能在计时的时候秒表开表晚了 【解析】（1）重力加速度的大小与摆长和周期的大小无关，根据表达式 可知，L 变化 时，T2 是变化的，但是 L 与 T2 的比值不变，故观点正确的是同学丁； （2）单摆模型中，摆球的密度要大，体积要小，空气阻力的影响才小，小球视为质点，故要选择 直径约 2cm 的均匀铁球，长度 1m 左右的细线，不能用橡皮条，否则摆长会变化，秒表可以控制开始 计时和结束计时的时刻，还需要 ACE； （3）摆长为悬点到球心之间的距离； （4）根据题意可知 ； （5）g 比当地的重力加速度值大，根据表达式 可知，可能周期偏小或者摆长偏大，符合这 两 种 情 况 的 均 可 。 t n 2 24 T Lg π= tT n = 2 24 T Lg π=11 【巩固练习】 一、选择题 1．一单摆在空气中振动，振幅逐渐减小，下列说法正确的是（ ）． A．机械能逐渐转化为其他形式的能 B．后一时刻的动能一定小于前一时刻的动能 C．后一时刻的势能一定小于前一时刻的势能 D．后一时刻的机械能一定小于前一时刻的机械能 2.（2016 南宁模拟）正在运转的机器，当其飞轮以角速度 ω0 匀速转动时，机器的振动不强烈， 切断电源，飞轮的转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，此后飞轮转速继续 变慢，机器的振动也随之减弱，在机器停下来之后若重新启动机器，使飞轮转动的角速度从 0 较缓慢 地增大到 ω0，在这一过程中（　　） A．机器不一定还会发生强烈的振动 B．机器一定还会发生强烈的振动 C．若机器发生强烈振动，强烈振动可能发生在飞轮角速度为 ω0 时 D．若机器发生强烈振动，强烈振动时飞轮的角速度肯定不为 ω0 3．（2014 平江区校级期末）下表记录了某受迫振动的振幅随驱动力频率变化的关系，若该振动 系统的固有频率为 f 固，则(　　) 驱动力频率 /Hz 3 0 4 0 5 0 6 0 7 0 8 0 受迫振动振幅 /cm 1 0.2 1 6.8 2 7.2 2 8.1 1 6.5 8 .3 A．f 固＝60 Hz B．60 Hz＜f 固＜70 Hz C．50 Hz＜f 固＜60 Hz D．以上三个都不对 4．在用单摆测重力加速度的实验中，为减小误差（ ）． A．应选质量小的球做摆球 B．先使摆球摆动几次，从摆球经过平衡位置时开始计时 C．用秒表测出 30～50 次全振动的时间，计算出平均周期 D．在测量摆线长度时，对安装好的单摆，要用力拉紧摆线后再测量 5．（2015 北京校级月考）如图所示，质量相同的四个摆球悬于同一根横线上，四个摆的摆长分 别为 L1＝2 m、L2＝1.5 m、L3＝1 m、L4＝0.5 m.现以摆 3 为驱动摆，让摆 3 振动，使其余三个摆也振 动起来，则摆球振动稳定后 (　　) A．摆 1 的振幅一定最大12 B．摆 4 的周期一定最短 C．四个摆的振幅相同 D．四个摆的周期相同 6．如图为单摆在两次受迫振动中的共振曲线．则下列说法正确的是（ ）． A．若两次受迫振动分别在月球上和地球上进行，且摆长相同，则图线Ⅰ表示月球上单摆的共振 曲线 B．若两次受迫振动是在地球上同一地点进行，则两次摆长之比 C．图线Ⅱ若是在地面上完成的，则该摆摆长约为 1 m D．若摆长均为 1 m，则图线 I 是在地面上完成的 二、填空题 7．（2015 盐城三模）一个竖直圆盘转动时，固定在圆盘上的圆柱体带动一个 T 型支架在竖直方 向振动，T 型架下面系着一个弹簧和小球组成的系统。圆盘以不同的周期匀速转动时，测得小球振动 的振幅与圆盘转动频率如图所示。当圆盘的频率为 0.4Hz 时，晓求得振动周期是________s；当圆盘停 止转动后，小球自由振动时，它的频率是________Hz。 8．任何物体都有一定的固有频率，如果把人作为一个整体来看，在水平方向的固有频率约为 3～ 6 Hz，竖直方向的固有频率约为 4～8 Hz，拖拉机驾驶员、风镐、风铲、铆钉机等操作工在工作时将做 ________振动，这时若操作工的振动频率跟振源的频率_______就会对操作工的身体造成伤害，为保障 操作工的安全与健康，有关部门作出规定，用手操作的各类振动机械的频率必须大于 20 Hz，这是为 了防止________所造成的危害． 9．（1）物理课外小组研究用单摆测重力加速度的实验，他们依照教材实验直接测量的物理量应为： ________、________、________、________，其公式为________． （2）他们测出不同的摆长（ ）所对应的周期（T），在进行数据处理时：①如果甲同学以摆长 （ ）为横坐标、周期（T）的平方为纵坐标作出了 T2- 图像，若他测得的图像的斜率为 k，则测得的 重力加速度 g=________．若甲同学测摆长时，忘记测摆球的半径，则他用图像法求得的重力加速度 I II 25 4l l =∶ ∶ l l l13 ________（填“偏小”“偏大”或“准确”）．②乙同学根据公式： 得 ，并计算重 力加速度，若乙同学测摆长时，也忘记了测摆球的半径，则他测得的重力加速度________（填“偏小” “偏大”或“准确”）． （3）甲同学测量 5 种不同摆长下单摆的振动周期，记录结果如下表： ／m 0.5 0.8 0.9 1.0 1.2 T／s 1.42 1.79 1.90 2.00 2.20 T2／s2 2.02 3.20 3.61 4.00 4.84 以摆长（ ）为横坐标、周期（T）的平方为纵坐标，请你替他在上面的虚线框中作出 T2- 图像， 利用此图像求出的重力加速度为________． 10．在利用单摆测定重力加速度的实验中，由单摆做简谐运动的周期公式得到 ．只要测 出多组单摆的摆长 和运动周期 T，作出 T2- 图像，就可以求出当地的重力加速度．理论上 T2- 图像 是一条过坐标原点的直线，某同学根据实验数据作出的图像如图所示． （1）造成图像不过坐标原点的原因可能是________。 （2）由图像求出的重力加速度 g=________m／s2（取π2=9.87）． 11．将图 11-5-19 甲所示的演示简谐振动图像的沙摆实验稍作改变：使木板沿直线 OO＇做匀加速 直线运动，摆动着的漏斗中漏出的沙在木板上显示出图 11-5-19 乙所示曲线，A、B、C、D、E 均为 OO＇轴上的点，测出 AB=s1，BC=s2，摆长为 L（可视为不变），摆角小于 10°，则木板的加速度大小 约为________。 三、解答题 12.（2016 金山区一模）用单摆测定重力加速度的实验装置如图 1 所示． 2 lT g π= 2 2 4 lg T π= l l l 2 2 4 lg T π= l l l14 （1）如表为某同学记录的 3 组实验数据，并做了部分计算处理．请计算出第 3 组实验中的 T=　　s， g=　　m/s2． 组次 1 2 3 摆长 L/cm 80.00 90.00 100.00 50 次全振动的时间 t/s 90.0 95.5 101.0 振动周期 T/s 1.80 1.91 重力加速度 g/（m•s﹣2） 9.74 9.73 （2）若有三位同学用多组实验数据做出的 T2﹣L 图线的示意图如图 2 中的 a、b、c 所示，其中 a 和 b 平行，b 和 c 都过原点，图线 b 对应的 g 值最接近当地重力加速度的值． 则　　 （A）图线 a 对应的 g 值大于图线 b 对应的 g 值 （B）图线 c 对应的 g 值小于图线 b 对应的 g 值 （C）出现图线 c 的原因可能是误将 49 次全振动记为 50 次 （D）出现图线 a 的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长 L （3）某同学用细线和铁锁制成一个单摆，如图 3 所示．由于只有一根量程为 30cm 的刻度尺，于 是他在细线上的 A 点做了一个标记，使得悬点 O 到 A 点间的细线长度小于刻度尺量程．保持该标记以 下的细线长度不变，通过改变 O、A 间细线长度以改变摆长．实验中，当 O、A 间细线的长度分别为 l1、l2 时，测得相应单摆的周期为 T1、T2．由此可得重力加速度 g=　　（用 l1、l2、T1、T2 表示）． 13．洗衣机脱水缸正常工作时，转速为 2800 r／min，脱水后由切断电源到电动机停止转动的时间 为 16 s．实际发现 13 s 左右时，洗衣机震荡最为激烈，若切断电源后转速是随时间均匀减小的，则洗 衣机振动的固有频率大约是多少？ 14．在火车车厢里吊着一小球，由于车轮在铁轨接合处受到冲击而使其振动，若钢轨长 12.5 m， 线长 40 cm，那么当火车的速度达到多大时，球振动的振幅最大？ 15．一位同学用单摆做测定重力加速度的实验．他将摆挂起后，进行了如下操作步骤： A．测摆长 ：用米尺量出摆线的长度； B．测周期 T：将摆球拉起，然后放开，在摆球某次通过最低点时，按下秒表开始计时，同时将此 次通过最低点作为第 1 次，接着一直数到摆球第 60 次通过最低点时，按秒表停止计时，读出这段时间 t，算出单摆的周期 ； C．将所测得的 和 T 代入单摆的周期公式 ，算出 g，将它作为实验结果写入报告 中． 请指出上述步骤中遗漏或错误的地方并加以改正． l 60 tT = l 2 lT g π=15 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A、D 【解析】单摆在空气振动，由于空气阻力的作用，振幅越来越小．机械能逐渐转化为其他形式的 能，即机械能逐渐减小，但后一时刻的动能或势能不一定比前一时刻小，故 A、D 两项正确． 2.【答案】BD． 【解析】A、B 以角速度 ω0 转动逐渐慢下来，在某一小段时间内机器却发生了强烈的振动，说明 此过程机器的固有频率与驱动频率相等达到了共振， 当飞轮转动的角速度从 0 较缓慢地增大到 ω0，在这一过程中，仍一定会有机器的固有频率与驱动频率 相等，即达到共振，机器一定还会发生强烈的振动，故 A 错误 B 正确； C、D 由已知当其飞轮以角速度 ω0 匀速转动时，机器的振动不强烈，则机器发生强烈振动，强烈振动 时飞轮的角速度肯定不为 ω0，故 C 错误 D 正确； 故选：BD． 3．【答案】C 【解析】从如图所示的共振曲线可判断出 f 驱与 f 固相差越大，受迫振动的振幅越小；f 驱与 f 固越接 近，受迫振动的振幅越大．并可以从中看出 f 驱越接近 f 固，振幅的变化越慢．比较各组数据知 f 驱在 50 Hz～60 Hz 范围内时，振幅变化最小，因此 50 Hz＜f 固＜60 Hz，即 C 正确． 4．【答案】B、C 【解析】摆球应选择质量大、体积小的小球，A 项错误．开始计时的起点应从平衡位置开始．此 位置速度大，位置确定，误差小，B 项正确．计算周期时，应用多个周期的累加时间，测时间时误差 小，C 项正确．测摆长时应使摆线自然下垂，不能拉紧，这样会使测得的摆长变长，误差大，D 项错 误． 5．【答案】D 【解析】让摆 3 振动，则其余三个摆做受迫振动，四个摆的周期相同，振幅不同，摆 1 的振幅最 小，选项 D 正确． 6．【答案】A、B、C 【解析】受迫振动的频率与固有频率无关，但当驱动力的频率与物体固有频率相等时，受迫振动 的振幅最大，所以，可以根据物体做受迫振动的共振曲线判断出物体的固有频率．根据单摆振动周期 公式 ，可以得到单摆固有频率 ，根据图像中 f 的信息可以推断摆长或重 力加速度的变化情况． 二、填空题 7．【答案】2.5；0.6 【解析】当圆盘以 0.4Hz 的频率匀速转动，经过一段时间后，小球振动达到稳定，是受迫振动， 2 lT g π= 1 1 2 gf T lπ= =16 振动频率等于驱动力的频率，为 0.4hz，故有 ；一个单摆的摆动频率与球做阻尼振 动的频率相同，故为 0.6Hz． 8．【答案】受迫 相等 共振 9．【答案】（1）摆线长 0 摆球直径 d 完成全振动的次数 n 完成 n 次全振动所用时间 t （2）① 准确 ②偏小 （3）图像如图所示． 9.86 m／s2 【解析】（1）本实验是利用单摆的周期 得 ．即只要测出摆长 和周期 T 就能 求出当地的重力加速度 g，而 = 0+d／2，T=t／n．显然，本实验直接测量的物理量应为：摆线长 0、 摆 球 直 径 d 、 完 成 全 振 动 的 次 数 n 以 及 完 成 n 次 全 振 动 所 用 的 时 间 t ． 其 公 式 为 ． （2）①若依据测量数据，作出 T2- 图像，其斜率为 k=T2／ ，而 ，故有 ．图 像函数式应为 ，如果没忘记测量 d。则函数式应写为： ，显然图像的 斜率不变，所以加速度的测量值不变． ②若根据公式 得 ，并计算加速度，如果没忘记测量 d，测量公式应写为 ．显然忘记测量 d 后，测量值偏小． （3）建立如图所示坐标系，并标出适当的尺度，依据数学描点法画出 T2- 图像，则图像的斜率 大约为 k=4.0．依据图像求出重力加速度为 ． 10．【答案】（1）测摆长时漏掉了摆球半径 （2）9.87 11．【答案】 三、解答题 12. 【答案】（1）2.02；9.68；（2）C；（3） ． 1 1 s=2.5s0.4T f = = l 2 2 0 2 4 ( / 2)l d ng t π += 24 k π 2 lT g π= 2 2 4 lg T π= l l l l 2 2 0 2 4 ( / 2)l d ng t π += l l 2 2 4 lg T π= 24g k π= 2 2 4T lg π= 2 2 4 ( / 2)T l dg π= ⋅ − 2 lT g π= 2 2 4 lg T π= 2 0 2 4 ( / 2)l dg T π += l 2 24 9.86m / sg k π= = 2 1 2 s s glπ − 2 1 2 2 2 1 2 4 ( )l l T T π − −17 【解析】（1）第 3 组实验中振动周期 ；单摆周期公式 ，可得 =9.68m/s2； （2）根据单摆的周期公式 ，得 ，根据数学知识可知，T2﹣L 图象的斜率 ，当地的重力加速度 A、图线 a 与 b 平行，则斜率 k 相等，当地的重力加速度 ，故图线 a 对应的 g 值等于图 线 b 对应的 g 值，A 错误； B、图线 c 的斜率比 b 小，而当地的重力加速度 ，则图线 c 对应的 g 值大于图线 b 对应 的 g 值，B 错误； C、实验中误将 49 次全振动记为 50 次，则周期的测量值偏小，导致重力加速度的测量值偏大， T2﹣L 图象的斜率 偏小．C 正确； D、图线 a 是在 L 为 0 时，T 有数值，出现这种情况，只有可能是误将悬点到小球上端的距离记为 摆长 L，D 错误； （3）设摆线总长为 l，当 O、A 间细线的长度为 l1 时实际摆长变为 l﹣l1；由单摆周期公式 有 当 O、A 间细线的长度为 l2 时实际摆长变为 l﹣l2；由单摆周期公式 有 解得 13．【答案】见解析 【解析】洗衣机震荡最激烈时，是发生共振现象，即洗衣机的固有频率和脱水缸的转动频率相等 101.0 s 2.02s50T = = 2 LT g π= 2 2 4 Lg T π= 2 LT g π= 2 2 4 LT g π= 24k g π= 24g k π= 24g k π= 24g k π= 24k g π= 2 LT g π= 1 1 2 l lT g π −= 2 LT g π= 2 2 2 l lT g π −= 2 1 2 2 2 1 2 4 ( )l lg T T π −= −18 时发生共振现象，即只要算出 13 s 时脱水缸的转动频率即可．由题可知脱水缸的转速是随时间均匀减 小 的 ， 作 出 图 像 可 求 得 13 s 时 的 转 速 为 n1 。 如 图 ， 求 得 r ／ min ， 则 频 率 Hz=8.75 Hz。 14．【答案】见解析 【解析】悬线吊着的小球由于车轮在钢轨接合处受到冲击而摆动，显然稳定后摆球做受迫振动， 在受迫振动中当驱动力的频率等于小球振动的固有频率时发生共振，单摆振动的振幅最大，f 驱=f 固． 设钢轨长为 L，线长为 ． 即 。 。 15．【答案】见解析 【解析】本题考查的是用单摆测定重力加速度这个实验内容中的摆长、周期概念，主要考查的是 理解能力、实验能力、综合分析能力．在 A 中单摆的摆长定义是悬点到摆球重心的距离，摆线长并不 是摆长，摆长等于摆线长加上摆球半径，摆球直径可用游标卡尺来测量．在 B 中摆球在某次通过最低 点时，按下秒表开始计时，同时将此次作为第一次通过最低点，到 60 次停表时，实际是 29.5 个周期， 周期 T 应为 。在 C 中应改变摆长多测几次，算出几次测量的平均值，将 g 的平均值作为实验结 果写入报告中． 1 2800 3 16n ×= 1 2800 3 60 60 16 nf ×= = × l 1 2 v L l g π = 10m / s2 L gv lπ= = 1 29.5