知识讲解 机械振动 复习与巩固 提高

1 机械振动 复习与巩固 【学习目标】 1．通过观察和分析，理解简谐运动的特征。能用公式和图像描述简谐运动的特征。 2．通过实验，探究单摆的周期与摆长的关系。 3．知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。会用单摆测定重力加速度。 4．通过实验，认识受迫振动的特点。了解产生共振的条件以及在技术上的应用。 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、简谐运动 1．定义 物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用下的振动，叫简 谐运动。 表达式为： ，是判断一个振动是不是简谐运动的充分必要条件。凡是简谐运动沿振动方F kx=－2 向的合力必须满足该条件；反之，只要沿振动方向的合力满足该条件，那么该振动一定是简谐运动。 2．几个重要的物理量间的关系 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移 x、回复力 F、加速度 a、速度 v 这 四个矢量的相互关系。 （1）由定义知： ，方向与位移方向相反。 （2）由牛顿第二定律知： ，方向与 方向相同。 （3）由以上两条可知： ，方向与位移方向相反。 （4） 和 之间的关系最复杂：当 同向（即 同向，也就是 反向）时 一 定增大； 当 反向（即 反向，也就是 同向）时， 一定减小。 3．从总体上描述简谐运动的物理量 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围，用振幅 A 来描述；在时间上则用周期 来描述完成一次全振动所需的时间。 （1）振幅 A 是描述振动强弱的物理量。（一定要将振幅跟位移相区别，在简谐运动的振动过程中， 振幅是不变的而位移是时刻在改变的） （2）周期 T 是描述振动快慢的物理量。周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。任何简谐 运动都有共同的周期公式： （其中 是振动物体的质量， 是回复力系数，即简谐运动 的判定式 中的比例系数，对于弹簧振子 k 就是弹簧的劲度，对其它简谐运动它就不再是弹簧 的劲度了）。 （3）频率也是描述振动快慢的物理量。周期与频率的关系是 。 4．表达式 ， 其中 A 是振幅， ， F x∝ a F∝ F a x∝ v x F a、 、 v a、 v F、 v x、 v v a、 v F、 v x、 v T 2 mT k π= m k F kx=－ 1f T = sin( )x A tω ϕ= + 2 2 fT πω π= =3 是 时的相位，即初相位或初相。 5．简谐运动的能量特征 振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械能的大小与振幅有关，振幅越大， 振动的能量越大。简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。 　 6．简谐运动中路程和时间的关系 （1）若质点运动时间 与周期 的关系满足 （ ），则 成立 　　要点诠释：不论计时起点对应质点在哪个位置向哪个方向运动，经历一个周期就完成一次全振动， 完成任何一次全振动质点通过的路程都等于 。 （2）若质点运动时间 与周期 的关系满足 （ ），则 成立 （3）若质点运动时间 与周期 的关系满足 ，此种情况最复杂，分三种情形 ①计时起点对应质点在三个特殊位置（两个最大位移处，一个平衡位置），由简谐运动的周期性 和对称性知， 成立。 ②计时起点对应质点在最大位移和平衡位置之间，向平衡位置运动，则 ． ③计时起点对应质点在最大位移处和平衡位置之间，向最大位移处运动，则 ． （4）质点运动时间 为非特殊值，则需要利用简谐运动的振动图象进行计算。 　　７．简谐运动的位移、速度、加速度及对称性 （1）位移：方向为从平衡位置指向振子位置，大小为平衡位置到该位置的距离。 位移的表示方法：以平衡位置为原点，以振动所在的直线为坐标轴，规定正方向，则某一时刻振子 （偏离平衡位置）的位移用该时刻振子所在位置的坐标来表示。振子通过平衡位置时，位移改变方向。 （2）速度：描述振子在振动过程中经过某一位置或在某一时刻运动的快慢。在所建立的坐标轴上， 速度的正负号表示振子运动方向与坐标轴的正方向相同或相反。 振子在最大位移处速度为零，在平衡位置时速度最大，振子在最大位移处速度方向发生改变。 （3）加速度：根据牛顿第二定律，做简谐运动物体的加速度 ．由此可知，加速度的大 小跟位移大小成正比，其方向与位移方向总是相反。 　振子在位移最大处加速度最大，通过平衡位置时加速度为零，此时加速度改变方向。 （4）简谐运动的对称性 ①瞬时量的对称性：做简谐运动的物体，在关于平衡位置对称的两点，回复力、位移、加速度具 ϕ 0t = t T t nT= 1 2 3n ＝ ，， 4ts AT = × 4A t T 2 Tt n= × 1 2 3n ＝ ，， 4ts AT = × t T 4 Tt = s A= s A＞ s A＜ t ka xm = −4 有等大反向的关系。另外速度、动量的大小具有对称性，方向可能相同或相反。 ②过程量的对称性：振动质点来回通过相同的两点间的时间相等，如 ；质点经过关于平 衡位置对称的等长的两线段时时间相等，如 ，如图所示： 　　要点诠释： ①利用简谐运动的对称性，可以解决物体的受力问题，如放在竖直弹簧上做简谐运动的物体，若 已知物体在最高点的合力或加速度，可求物体在最低点的合力或加速度。但要注意最高点和最低点合 力或加速度的方向相反。 ②由于简谐运动有周期性，因此涉及简谐运动时，往往出现多解，分析时应特别注意：物体在某 一位置时，位移是确定的，而速度不确定；时间也存在周期性关系。 要点二、简谐运动的图象 　　1．简谐运动的图象 以横轴表示时间 ，以纵轴表示位移 ，建立坐标系，画出的简谐运动的位移—时间图象都是正弦 或余弦曲线。 　　2．简谐运动的图象 （1）从平衡位置开始计时，函数表达式为 ，图象如图。 （2）从最大位移处开始计时，函数表达式 ，图象如图。 　　3．振动图象的物理意义 表示振动物体的位移随时间变化的规律。 　　4．从图象中可以知道 BC CBt t= ' 'BC C Bt t= t x sinx A tω= cosx A tω=5 （1）任一个时刻质点的位移 （2）振幅 （3）周期 （4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出 （5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。只要从振动图象中认清位 移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。 5．关于振动图象的讨论 （1）简谐运动的图象不是振动质点的轨迹。做简谐运动质点的轨迹是质点往复运动的那一段线段 （如弹簧振子）或那一段圆弧（如单摆）。这种往复运动的位移图象，就是以 x 轴上纵坐标的数值表 示质点对平衡位置的位移，以 t 轴横坐标数值表示各个时刻，这样在 x—t 坐标系内，可以找到各个时 刻对应质点位移坐标的点，即位移随时间分布的情况——振动图象。 （2）简谐运动的周期性体现在振动图象上是曲线的重复性。简谐运动是一种复杂的非匀变速运动， 但运动的特点具有简单的周期性、重复性、对称性。所以用图象研究要比用方程要直观、简便。简谐 运动的图象随时间的增加将逐渐延伸，过去时刻的图形将永远不变，任一时刻图线上过该点切线的斜 率数值代表该时刻振子的速度大小，正负表示速度的方向，斜率为正时表示速度沿 正向，斜率为负 时表示速度沿 负向。 6．根据简谐运动图象分析简谐运动情况的基本方法 简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体的运动过程联系起来是讨 论简谐运动的一种方法。 （1）从简谐运动图象上可以直接读出不同时刻 的位移值，从而知道位移 随时间 的变化情况。 （2）在简谐运动图象中，用作曲线上某点切线的方法可确定各时刻质点的速度大小和方向。切线 与 x 轴正方向夹角小于 时，速度方向与选定的正方向相同，且夹角越大表明此时速度越大；当切 线与 x 轴正方向的夹角大于 时，速度方向与选定的正方向相反，且夹角越大表明此时速度越小。 也可以根据位移情况来判断速度的大小，因为质点离平衡位置越近，质点速度越大，而最大位移处， 质点速度为零。根据位移变化趋势判定速度方向，若正位移增大，速度为正方向，若正位移减小，速 度为负方向；反之，若负位移增大，速度为负方向，若负位移减小，速度为正方向。 （3）由于 ，故可以根据图象上各个时刻的位移变化情况确定质点加速度的变化情况。 同样只要知道了位移和速度的变化情况，也就不难判断出质点在不同时刻的动能和势能的变化情况。 A T x x t x t 90° 90° ka xm = −6 要点三、典型的简谐运动 1．弹簧振子 （1）周期 ，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。 （2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是 。这个结 论可以直接使用。 在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的回复力是 弹簧弹力和重力的合力。 2．单摆 （1）在一条不可伸长的、质量可以忽略的细线下拴一质点，上端固定，构成的装置叫单摆；当单 摆的最大偏角小于 时，单摆的振动近似为简谐运动。 （2）单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向并且指向平衡位置的分力，偏角越大回复力越大，加速 度( )越大，由于摆球的轨迹是圆弧，所以除最高点外，摆球的回复力并不等于合外力。 （3）单摆的周期： 。在小振幅摆动时，单摆的振动周期跟振幅和振子的质量都没有 关系。 3．简谐运动的两种模型的比较 　 弹簧振子 单摆 模型示意 特点 （1）忽略摩擦力，弹簧对小球的弹力提供回复力 （2）弹簧的质量可忽略 （1）细线的质量，球的直径均可忽略 （2）摆角 很小 公式 回复力 （1）回复力 2 mT k π= 2 mT k π= 5° sing α 2 lT g π= θ F kx=－ 2 mT k π=7 （2）周期 4．类单摆的等效摆长和等效重力加速度 在有些振动系统中 不一定是绳长， 也不一定为 ，因此出现了等效摆长和等效重力加速 度的问题。 （1）等效摆长：如图所示，三根等长的绳 共同系住一密度均匀的小球 ，球直径为 。 与天花板的夹角 。若摆球在纸面内做小角度的左右摆动，则摆动圆弧的圆心在 处， 故等效摆 长 ，周期 ；若摆球做垂直纸面的小角度摆动，则摆动圆弧的圆心在 处，故等 效摆长为 ，周期 ． （2）等效重力加速度：公式中的 由单摆所在的空间位置决定。 由 知， 随地球表面不同位置、不同高度而变化，在不同星球上也不相同，因此应求 出单摆所在处的等效值 代入公式，即 不一定等于 ． 还由单摆系统的运动状态决定。如单摆处在向上加速发射的航天飞机内，设加速度为 ，此时 摆球处于超重状态，沿圆弧切线方向的回复力变大，摆球质量不变，则重力加速度的等效值 ．再如，单摆若在轨道上运行的航天飞机内，摆球完全失重，回复力为零，则等效值 ，所以周期为无穷大，即单摆不摆动了。 还由单摆所处的物理环境决定。如带电小球做成的单摆在竖直方向的匀强电场中，回复力应是 2 lT g π= l g 29.8m/s 1 2 3l l l、 、 m d 2 3l l、 α °＜30 1O 1 2 dl + 1 1 22 dl T g π + = O 1 2 sin 2 dl l α+ + 1 2 1 sin 22 dl l T g α π + + = g 2 MG gR = g 'g g 29.8m/s g a 'g g a= + ' 0g = g8 重力和竖直电场力的合力在圆弧切线方向的分力，所以也有等效值 的问题。 在均匀场中 值等于摆球静止在平衡位置时摆线的张力与摆球质量的比值，由此找到等效重力加速 度 代入公式即可求得周期 。若 ， 变短； ， 变长。 【典型例题】 类型一、简谐运动的对称性应用 例 1．如图所示，质量为 的物体放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动，当振幅为 时，物体对弹簧的最大压力是物重的 倍． （1）物体对弹簧的最小压力是多少？ （2）要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？ 【思路点拨】对竖直方向的弹簧振子分析时要注意四个位置特点，平衡位置与弹簧原长处不同， 平衡位置 ，速度最大，弹簧原长处，弹力为零，加速度为 ，速度不是最大．最高点和最低点， 速度均为零，加速度等大、反向，相对于平衡位置对称，而不是相对于原长处对称． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）物体做简谐运动在最低点时物体对弹簧的压力最大，在最高点时物体对弹簧的压力 最小．物体在最高点的加速度与在最低点时的加速度大小相等，回复力的大小相等． 物体在最低点时： ， ① 物体在最高点时： ． ② 由①②两式联立解得 ． （2）当振幅为 A 时 ， 即 ． ③ 'g 'g 'g T ' gg＞ T ' gg＜ T m A 1.5 0F =合 g 0.5mg 1.5F mg mg ma= =回 － NF mg F ma= =回 － 0.5NF mg= 0.5F mg=回 0.5kA mg=9 欲使物体在振动中不离开弹簧，则最大回复力可为 ， 即 ④ 由③④得： ． 即要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过 ． 【总结升华】对竖直方向的弹簧振子分析时要注意四个位置特点，平衡位置与弹簧原长处不同， 平衡位置 ，速度最大，弹簧原长处，弹力为零，加速度为 ，速度不是最大．最高点和最低点， 速度均为零，加速度等大、反向，相对于平衡位置对称，而不是相对于原长处对称． 举一反三: 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例 1】 【变式 1】关于回复力的说法，正确的是（ ） A．回复力是指物体受到的指向平衡位置的力； B．回复力是指物体受的合外力； C．回复力是从力的作用效果来命名的，可以是弹力，也可以是重力或摩擦的合力； D．回复力实质上就是向心力． 【答案】AC 【变式 2】一个质点在平衡位置 点附近做机械振动。若从 点开始计时，经过 质点第一次经 过 点（如图所示）；再继续运动，又经过 它第二次经过 点；则该质点第三次经过 点还需的 时间是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】由简谐振动的对称性可知，质点由 ， ； ， ； ， ；所用时间分别对应相等。又因为开始计时时，质点从 点开始运动方向不明确，故应分为 两种情况讨论。 （1）当质点开始从 点向右运动时，由题意得， ， ， 而 mg kA mg≤＇ 2A A≤＇ 2A 0F =合 g O O 3s M 2s M M 8s 4s 14s 10 s3 O a→ a O→ O M→ M O→ M b→ b M→ O O 3sOMt = 2 2sMbt =10 ， 所以有 ， 故质点第三次达 点还需要时间为 ． （2）当质点开始从 点向左运动时，由题意得， ，2 =2s， 而 ， 所以有 ， ， 故质点第三次达 点还需要时间为 ． 类型二、简谐振动与运动合成的综合 例 2．如图所示，在水平地面上有一段光滑圆弧形槽，弧的半径是 ，所对圆心角小于 ，现 在圆弧的右侧边缘 处放一个小球 ，使其由静止下滑，则： （1）球由 至 的过程中所需时间 为多少？在此过程中能量如何转化？（定性说明） （2）若在 圆弧上存在两点 ，且 关于 对称，且已测得球 由 直达 所需时间 为 ，则球由 至 的最短时间为多少？ （3）若在圆弧的最低点 的正上方 处由静止释放小球 ，让其自由下落，同时 球从圆弧右侧 由静止释放，欲使 两球在圆弧最低点 处相遇，则 球下落的高度 是多少？ 　　【答案】（1） ．在由 的过程中球 的重力势能转化为动能。 4OM Mb Tt t+ = 16sT = M 2 8s 6s=14s2 OM Tt t= + = + O 3s2 OM T t+ = 4OM Mb Tt t+ = 16 s3T = 1 s3OMt = M ' 102 s2 3OM Tt t= + = R 10° M A A O t MN P Q、 P Q、 O A P Q t∆ Q N O h B A A B、 O B h 1 4 2AO Rt T g π= = A O→ A11 （2） 　　（3） 【解析】（1）由单摆周期公式 知：球 的运动周期 ， 所以 在由 的过程中球 的重力势能转化为动能。 （2）由对称性可知 , ． 代入数据解得 至 的最短时间 （3）欲使 相遇，则两球运动时间相同，且必须同时到达 点， 球能到 点的时间可以是 ，也可以是 。故由简谐运动的周期性可知两球相遇所经历的 时间可以是 或 所以 球运动的时间必为 的奇数倍，即 所以 。 　　【总结升华】要抓住圆弧光滑且圆心角小于 这个条件，隐含条件是小球的运动可等效为单摆， 即球在圆弧上做简谐运动。从而利用简谐运动的周期性和对称性以及机械能守恒定律解决问题。 　　本题易出现的错误一是不会利用简谐运动对称性；二是不注意周期性带来多解问题，误认为从 1 2 2QN Rt tg π ∆= − 2 2(2 1) ( 0,1, 2, 3 )8 nh R n π+= =  2 lT g π= A 2 RT g π= 1 4 2AO Rt T g π= = A O→ A 1 2OQt t∆= 1 4OQ QNt t T+ = Q N 1 2 2QN Rt tg π ∆= − A B、 O A O 1 4T 3 4T 1( )4 n T+ 3( )4 n T+ ( 0,1, 2, 3 )n =  A 1 4T 2 (2 1)2 h Rt ng g π= = + 2 2(2 1) ( 0,1, 2, 3 )8 nh R n π+= =  10° A12 到 时间仅为 。 【变式】在一加速系统中有一摆长为 的单摆。 （1）当加速系统以加速度 竖直向上做匀加速运动时，单摆的周期多大？若竖直向下加速呢？ （2）当加速系统在水平方向以加速度 做匀加速直线运动时，单摆的周期多大？ 【答案】（1） （2） 【解析】 　（1）当单摆随加速系统向上加速时，设在平衡位置相对静止的摆球的视重力为 ，如图甲所示： 则 ， 故 ， 由 得，视重力加速度 ， 所以单摆周期 同理，当升降机竖直向下加速时，视重力 ， 则 ， 故 O 1 4T l a a 2 l g a π + 2 l g a π − 2 2 2 l g a π + F F mg ma− = ( )F m g a= + 'F mg= 'g g a= + 1 '2 2l lT g g a π π= = + ( )F m g a= − 'g g a= −13 　（2）当在水平方向加速时，相对系统静止时摆球的位置如图乙所示： 　　 视重力 ， 故视重力加速度 ， 所以周期 ． 类型三、弹簧振子模型 例 3．将一劲度系数为 的轻质弹簧竖直悬挂，下端系上质量为 的物块．将物块向下拉离平衡 位置后松开，物块上下做简谐运动，其振动周期恰好等于以物块平衡时弹簧的伸长量为摆长的单摆周 期．请由单摆的周期公式推算出该物块做简谐运动的周期 ． 【思路点拨】认真审题，利用相关公式进行替换。 【答案】 【解析】 单摆周期公式 ， 且 解得 ． 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例 2】 2 2 lT g a π= − 2 2F m g a= + ' 2 2g g a= + 3 2 2 2 lT g a π= + k m T 2 mT k π＝ 2 lT g π= kl mg＝ 2 mT k π＝14 【变式 1】如图所示为一弹簧振子，设向右为正方向，振子的运动（ ） A． 时，位移是正值，速度是正值； B． 时，位移是正值，速度是正值； C． 时，位移是负值，速度是负值； D． 时，位移是负值，速度是负值． 【答案】B 【解析】由振子运动知由 时 为正，在 点右侧的位移为正，故 B 正确。 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例 3】 【变式 2】一弹簧振子做等幅振动时，振子运动的加速度随时间变化的关系如图所示．则（ ） A．从 到 振子的速率逐渐增大； B．从 到 振子的势能逐渐减少； C．从 到 振子的位移由 至正向增大； D．从 到 振子的机械能逐渐减少． 【答案】B 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例 7】 【变式 3】做简谐运动的物体，回复力和位移的关系图是下图所给四个图像中的（ ） 【答案】D 【解析】简谐运动的特点为 ． C O→ O B→ B O→ C O→ C O B→ → v O 0 1t 1t 2t 2t 3t 0 3t 4t =-F kx回15 例 4.（2016 春 西城区校级期中）如图所示，一质量为 M 的球形容器，在 A 处与水平面接触．它 的内部有一直立的轻弹簧，劲度系数为 k，弹簧下端固定于容器内侧底部，上端系一质量为 m 的小 球．把小球从弹簧的原长处由静止释放，不计空气阻力，小球开始在竖直方向上做简谐运动，在此过 程中，球形容器一直保持静止． 求： （1）小球做简谐运动的振幅 （2）小球向下运动的最大距离 （3）小球做简谐运动的振幅为多大时，在其振动过程中才可能使球形容器有离开地面的瞬间（已 知弹簧一直处于弹性限度内） 【答案】（1）小球做简谐运动的振幅是 ． （2）小球向下运动的最大距离是 ． （3）小球做简谐运动的振幅为 时，在其振动过程中才可能使球形容器有离开地面的瞬 间． 【解析】（1）从释放点到平衡位置的距离就是小球的振幅，为： （2）根据简谐运动关于平衡位置对称，可知振子向下运动的最大距离 （3）球形容器要离开地面，最容易发生在小球运动到最高点时，此时弹簧处于拉伸状态，且拉力 的大小至少等于容器的重力，即 则弹簧的伸长量 小球振动时的平衡位置居于弹簧原长下方距离为： 所以，满足条件的最小振幅为： 【总结升华】对于简谐运动，关键要抓住对称性，分析振幅与弹簧形变量的关系，利用平衡条件 和胡克定律结合研究． 类型四、弹簧振子的振动与牛顿第二定律的结合 例 5．（2015 湖北期末）如图所示，两木块 和 叠放在光滑水平面上，质量分别为 m 和 M， 与 之间的最大静摩擦力为 f，B 与劲度系数为 k 的轻质弹簧连接构成弹簧振子，为使 A 和 B 在振动 mg k 2mg k ( )gm M k + mgA k = 22 mgs A k = = F Mg= 2 Mgx k = 1 mgx k = 1 2 ( )m M gA x x k +′ = + = A B A B16 过程中不发生相对滑动，则（ ）． A．它们的振幅不能大于 B．它们的振幅不能大于 C．它们的加速度不能大于 D．它们的加速度不能大于 【思路点拨】分别对 、整体运用牛顿第二定律。 【答案】B、D 【解析】当 A 和 B 在振动过程中恰好不发生相对滑动时，AB 间静摩擦力达到最大． 对 ，由牛顿第二定律 ， 解得 对 整体，由牛顿第二定律 联立两式，得 ， 故 BD 正确． 举一反三: 【高清课堂：机械振动 复习与巩固 例 6】 【变式】两木块质量分别为 ，用劲度系数为 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上，将木 块 压下一段距离后释放，它就上下做简谐振动。在振动过程中木块 刚好始终不离开地面（即它对地 面最小压力为零）。 　　　　 求木块 的最大加速度，木块 对地面的最大压力。 ( )M m fkM + ( )M m fkm + f M f m A A f ma= fa m = AB ( )kA M m a= + ( )M mA fkm += m M、 k 1 2 1 217 【答案】 【解析】 刚好未离开地面时，弹簧伸长量为 ， 对于 : 对于 此时，有最大加速度设为 ，且 应在最高点，那么 可得： ． 木块 对地面有最大压力时， 应在最低点，此时压缩量为 ， 对于 ： ， 得 ， 对于 ，最大压力： ． 类型五、单摆与天体运动的综合 例 6．一个在地球上做简谐运动的单摆，其振动图像如图甲所示，则此单摆的摆长约为 ________．今将此单摆移至某一行星上，其简谐运动图像如图乙所示．若已知该行星的质量为地球质 量的 倍，则该行星表面的重力加速度为地球表面重力加速度的________倍；该行星的半径与地球半 径之比为________。 【答案】 【解析】由图甲知其在地球表面上振动周期 M m gm + 2( )M m g+ 2 1x 2 1kx Mg= 1 ma 1 1 mmg kx ma+ = m M ma gm += 2 1 2x 1 2 mkx mg ma=- 2 2kx mg Mg+= 2 2 2 2 2( )mF kx Mg mg Mg M m g= + = += + 2 1m 1 4 2 2 1∶18 ， 而 ， 有 ， 近似计算时可取 ， 取 ，可解得 ． 由图乙知其在某行星上振动周期 ， 而 ， 则 ． 由 ， ， 可得 。 【总结升华】单摆周期与重力加速度有关，因此很容易与万有引力定律结合． 类型六、复合场中的单摆 例 7．（2015 武汉校级期中）如图所示，带电金属小球用绝缘丝线系住，丝线上端固定，形成一 个单摆。如果在摆球经过的区域加上如图所示的匀强磁场，不计摩擦及空气阻力，下列说法中正确的 是 2 sT = 2 /T l gπ= 2 24 T gl π= 2 10π = g 210 m/s 1 ml = 4 sT =＇ ' 2 / 'T l gπ= 2g g (T/T ) 1/4= =＇/ ＇ 2 Mmmg G R = 2 '' ' M mmg G R = ''/ 2 2' M gR R M g = ⋅ =19 A．单摆周期不变 B．单摆周期变大 C．单摆的振幅逐渐减小 D．摆球在最大位移处所受丝线的拉力大小不变 【思路点拨】单摆处在磁场中时，由于洛伦兹力始终和速度方向垂直，所以合力的切向分量不变， 故等效重力加速度为 g，周期不变；由于洛伦兹力不做功，故振幅不变；整个运动过程中，当达到最 大位移时，只受重力和拉力，所以拉力不变。 【答案】AD 【解析】不加磁场时，单摆的周期为 ，当加上磁场时，合力的切向分量不变，故等效重力加速度 为 a=g；根据单摆周期公式 故 A 正确，B 错误； 在整个摆动过程中，洛伦兹力不做功，由动能定理可知，单摆的振幅不变，故 C 错误； 由于在整个过程中洛伦兹力不做功，当达到最大位移时，只受重力和绳子的拉力，故拉力不变，故 D 正确。 类型七、测质量的新方法 例 8．某同学设计了一个测量物体质量的装置，如图所示，其中 是光滑水平面， 是轻质弹簧， 是质量为 、带夹子的标准质量金属块， 是待测质量的物体，已知该装置的弹簧振子做简谐振 动的周期为 ，其中， 是振子的质量， 是与弹簧的劲度系数有关的常数，当只有 物 体时，测得其振动周期为 ，将待测物体 固定在 上面后，振动周期为 ，则待测物体的质量为 ________． 【答案】 2 LT π g = 2 LT π g = P k A M Q 2 mT k π= m k A 1T Q A 2T 2 2 2 1 2 1 T T MT −20 【解析】依题意可知，只有标准质量金属块 时， ． ① 当振子为 与 的整体时（设 的质量为 ）有 ． ② 用①比②得， ， 整理得 。 【总结升华】（1）这种测量质量的方法比较新颖，通过测量周期直接求出质量．当振子质量改变 时，由周期公式 知振动的周期也发生相应变化． （2）这种测量质量的方法可以在失重状态下进行。而天平在失重状态下无法使用． 类型八、共振 例 9．如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答： （1）该单摆的摆长约为多少？ （2）共振时单摆的振幅多大？ 【思路点拨】由共振曲线结合频率公式。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）该题考查共振曲线．从共振曲线可知，单摆的固有频率 ， 因为 A 1 2 MT k π= Q A Q 0m 0 2 2 M mT k π += 1 2 0 T M T M m = + 2 2 2 1 0 2 1 T Tm MT −= 2 mT k π= 1 m 8 cm 0.5 Hzf =21 ， 所以 ， 代入数据解得 ． （2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅 ． 举一反三: 【变式】实验室可以做“声波碎杯”的实验。用手指轻弹一只酒杯，可以听到清脆的声音，测得 这声音的频率为 。将这只酒杯放在两只大功率的声波发生器之间，操作人员通过调整其发出的 声波，就能使酒杯碎掉。下列说法中正确的是（ ） A．操作人员一定是把声波发生器的功率调到很大 B．操作人员可能是使声波发生器发出了频率很高的超声波 C．操作人员一定是同时增大了声波发生器发出声波的频率和功率 D．操作人员一定要将声波发生器发出的声波频率调到 【答案】D 【解析】通过调整发生器发出的声波就能使酒杯碎掉，是利用共振的原理，因此操作人员一定要 将声波发生器发出的声波频率调到 ，故 D 选项正确。 1 2 gf lπ= 2 24 gl fπ= 1 ml = 8 cmmA = 500Hz 500Hz 500Hz