知识讲解 波的传播的多解性 提高

1 波的传播的多解性 【学习目标】 1．理解波传播的时间周期性特征。 2．理解波传播的空间周期性特征。 【要点梳理】 要点一、波的传播的多解性的形成原因 机械波传播过程中在时间和空间上的周期性、传播方向上的双向性、质点振动方向的不确定性都 是形成波动问题多解的主要原因．解题时常出现漏解，现归类分析． 1．波动图像的周期性形成多解 机械波在一个周期内不同时刻图像的形状是不同的，但在相隔时间为周期整数倍的不同时刻图像 的形状则是相同的．机械波的这种周期性必然导致波的传播距离、时间和速度等物理量有多值与之对 应，即这三个物理量可分别表示为： ， ， ， 其中 ； ． 2．波的传播方向的双向性形成多解 在一维条件下，机械波既可以向 轴正方向传播，也可以向 轴负方向传播，这就是波传播的双 向性． 3．波形的隐含性形成多解 许多波动习题往往只给出完整波形的一部分，或给出了几个特点，而其余部分处于隐含状态．这 样，一道习题就有多个图形与之对应，从而形成多解． 由于波动的时间周期性、空间周期性及传播的双向性，从而造成波动问题的多解．解题时要先建 立通式，再根据限制条件从中取出符合题意的解． 要点二、波的传播的多解性的解题方法 1．多解问题的解题技巧 （1）方向性不确定出现多解． 波总是由波源发出向外传播的，介质中各质点的振动情况是根据波的传播方向来确定的，反之亦 然．因此，题目中不确定波的传播方向或者不确定质点的振动方向，就会出现多解，学生在解题时往 往凭主观选定某一方向为波的传播方向或质点振动方向，这样就会漏掉一个相反方向的解． 【例】图为一列简谐横波在某时刻的波形图，其中 点为介质中一质点，此时刻恰好过平衡位置， 已知振动周期为 ，问 至少过多长时间达到波峰位置？ 【解析】题设条件中没有给出 点过平衡位置的振动方向，也没给出波的传播方向，故我们应分 情况讨论，当波向右传播时， 点向下振动，则至少经过 才能达到波峰；当波向左传播时，质 点 向上振动，则至少需要 才能够到达波峰，所以此题应该有两个答案．即至少再经过 或 ， 点到达波峰． （2）时间、距离不确定形成多解． 沿波的传播方向，相隔一个波长的两个相邻的质点振动的步调是完全相同的，相隔一定周期的前 后两个相邻时刻的波形图线是完全相同的，所以题目中没有给定传播时间与周期的关系或传播距离与 s n sλ ∆= + t kT t∆= + / ( ) / ( )v s t n s kT tλ ∆ ∆= = + + 0 1 2 3n = ， ，，， 0 1 2 3k = ， ，，， x x M 0.8 s M M M 3 / 4T M / 4T 0.6 s 0.2 s M2 波长的关系，就会出现多解现象，学生解题时只按 小于 或 小于 来解，就会造成用特解取代 通解的现象． 【例】如图所示。实线表示 时刻的波形图线，箭头表示波的传播方向，虚线表示经过 时的波 形图线，已知波长为 ，求波的传播速度是多大？ 【解析】此题并未给定传播距离，将实线波形和虚线波形相比较，在出时间内，波向右传播的距 离可能是 ， ， ， 即 ，则可求出波速的通解．即 ． （3）波形的隐含性形成多解． 在波的传播方向上，如果两个质点间的距离不确定或者相位之间的关系不确定，就会形成多解， 学生在想不到所有可能的情况下，就会出现漏解． 【例】如图所示， 是一列简谐横波中的两点．某时刻， 正处于正向最大位移处，另一点 恰好通过平衡位置向 方向振动．已知 的横坐标分别为 ， ，并且波长 符 合不等式： ，求波长 ． 【解析】根据题目中 点和 点的位置，作出 间的两种最简波形图（如图中的实、虚两种 曲线波形）． t∆ T x∆ λ t t∆ λ / 4λ 5 / 4λ 9 / 4λ  ( 1/ 4) 0 1 2 3k kλ+ = （ ， ，，， ） ( )/ ( 1/ 4) / 4 1 / (4 ) 0 1 2 3v x t k t k t k∆ ∆ λ ∆ λ ∆= = + = + ⋅ ⋅ = （ ，，，， ） A B、 A B y- A B、 0Ax = 70 mBx = λ 20 m 80 mλ＜ ＜ λ A B A B、3 ①由实线最简波形图写出这种情况的通式为 ，得 ． 所以波长通式为 ，其中 ，将 依次代入通式解得 ，由已知 的限制条件，波长应为 或 或 ，且该波向 方向传播。 ②由虚线最简波形，写出这种情况的通式为 ，得 ，所以波长的 通 式 ， 其 中 ， 将 依 次 代 入 通 式 解 得 由已知 的限制条件，波长应为 或 ， 且波向 方向传播． 即波长 可能为 ， ， ， ， ． 2．波动的周期性理解要点 内容 说明或提示 （1）质点振动路程的周期性 （2）传播距离的周期性： （3）传播时间的周期性： （4）传播速度可能的多解性： （1）式中 为振幅， 为不足一次全振动通 过的路程 （2）式中 为波长， 是不足一个波长的那 部分距离，如 等 （3）式中 为周期， 是不足一个周期的那 部分时间，如 等 （4）式中 【典型例题】 类型一、波的周期与双向性引起多解的问题 例 1.（2016 闵行区一模）一列横波在 t=0 时的波形如图所示，A、B 两质点间距为 8m，B、C 两 质点在平衡位置的间距为 3m，当 t=1s 时，质点 C 恰好通过平衡位置，该波的波速可能为（　　） 1 4B Ax x n λ − = +   4 170 4 n λ+= 4 70 m4 1n λ ×= + 0 1 2 3n = ， ，，， 0 1 2 3n = ， ，，， 1280 m 56 m 31 m9 λ = ， ， ， 20 m 80 mλ＜ ＜ 721 m13 131 m9 56 m x- 3 4B Ax x n λ − = +   4 370 4 n λ+= 4 70 m4 3n λ ×= + 0 1 2 3n = ， ，，， 0 1 2 3n = ， ，，， 1 593 m 40 m 25 m3 11 λ = ， ， ， 20 m 80 mλ＜ ＜ 525 m11 40 m x+ λ 721 m13 131 m9 56 m 525 m11 40 m ·4 0 1 2s n A s n∆= + = （ ，， ） 0 1 2x n x nλ ∆= + = （ ，， ） 0 1 2t nT t n∆= + = （ ，，， ） x n x xv T t nT t t λ λ + ∆ ∆= = = =+ ∆ ∆ A s∆ λ x∆ / 4x∆ λ= T t∆ / 4t T∆ = 0n =4 A． m/s B．3m/s C．13m/s D．27m/s 【思路点拨】本题中波可能向右传播，也可能向左传播，分两种情况进行分析．由图知：AB 间距 离等于一个波长 λ．根据波形的平移法得到时间 t=1s 与周期的关系式，求出周期的通项，求出波速的 通项，再得到波速的特殊值． 【答案】BCD 【解析】由图读出波长 λ=8m． 若波向右传播，质点 C 恰好通过平衡位置时，波传播的最短距离为 1m，根据波形的平移法得： 或 ，n=0，1，2…，，则波速 m/s 或 m/s① 同理，若波向右传播，波速 m/s 或 m/s ② 当 n=1 时，由①得：v=13m/s 当 n=0 时，由②式得 v=3m/s， 当 n=3 时，由②式得 v=27m/s 由于 n 是整数，v 不可能等于 m/s． 故选 BCD 【总结升华】本题的解题关键是运用波形平移法，得到时间与周期的关系式，得到波速的通项， 再研究特殊值． 举一反三: 【高清课堂：波的传播的多解性 例 8】 【变式】在波的传播直线上有两个介质质点 ,它们相距 ,当 质点在平衡位置处向上 振动时, 质点处于波谷位置.若波速的大小为 ,则波的频率可能值是 ( ) A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】向右传播： ， ． 向左传播： ， ． 1 3 1( )8t n T= + 5( )8t n T= + (8 1)v nT λ= = + (8 5)v n= + (8 3)v nT λ= = + (8 7)v n= + 1 3 A B、 60cm A B 24m/s 30Hz 410Hz 400Hz 490Hz 10.6m ( )4n λ= + 0 1 2 3n = （ ， ，，， ） 0.6 14n λ = + 24 40 100.6 14 vf n n λ= = = + + 30.6 ( )4m n λ= + 0 1 2 3n = （ ， ，，， ） 0.6 34n λ = + 40 30f n= +5 对左右传播方向的频率分别代入 可得 ABD 正确。 例 2．有两列简谐横波 在同一介质中沿 轴正方向传播，波速均为 ．在 时， 两列波的波峰正好在 处重合，如图所示． （1）求两列波的周期 和 ． （2）求 时，两列波的波峰重合处的所有位置． （3）辨析题：分析并判断在 时是否存在两列波的波谷重合处． 某同学分析如下：既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在．只要找到 这两列波半波长的最小公倍数，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置． 你认为该同学的分析正确吗？若正确，求出这些点的位置．若不正确，指出错误处并通过计算说 明理由． 【答案】见解析 【解析】（1）从图中可以看出两列波的波长分别为 ， ，因此它们的周期分 别为 ， ． （2）两列波波长的最小公倍数为 ． 时，两列波的波峰重合处的所有位置为 （3）该同学的分析不正确． 要找两列波的波谷与波谷重合处，必须从波峰重合处出发，找到这两列波半波长的奇数倍恰好相 等的位置．设距离 为 处两列波的波谷与波谷相遇，并设 ， ， 式中 均为正整数．只要找到相应的 即可． 将 ， 代入并整理，得 ． 0 1 2 3n = （ ， ，，， ） a b、 x 2.5 m/sv = 0t = 2.5 mx = aT bT 0t = 0t = 2.5 ma λ = 4.0 mb λ = 2.5 s 1s2.5 a aT v λ= = = 4.0 s 1.6s2.5 b bT v λ= = = 20 ms = 0t = 2.5 20 m 0 1 2 3x k k= ± = （ ） ， ， ，，， 2.5 mx = L (2 1) 2 aL m λ= − (2 1) 2 bL n λ= − m n、 m n、 2.5 ma λ = 4.0 mb λ = 2 1 4.0 8 2 1 2.5 5 b a m n λ λ − = = =−6 由于上式中 在整数范围内无解，所以不存在波谷与波谷重合处． 【总结升华】对于“既然两列波的波峰存在重合处，那么波谷与波谷重合处也一定存在．只要找 到这两列波半波长的最小公倍数，即可得到波谷与波谷重合处的所有位置．”这样的猜测，需要经过严 谨的计算、推理才能得到正确的判断。 类型二、波的传播方向不确定引起的多解 例 3．（2015 龙岩校级期中）如图所示实线是一列简谐横波在 t1＝0 时刻的波形，虚线是这列波 在 t2＝0.5 s 时刻的波形，这列波的周期 T 符合：3T