运动图像、追及与相遇 知识讲解 提高

第 1 页 共 18 页 运动图像、追及与相遇 【考纲要求】 1.理解匀速直线运动的速度图像和位移图象； 2. 理解匀变速直线运动的速度图像和位移图象； 3.会利用速度图像求速度和加速度； 4.会求解追及与相遇问题。 【考点梳理】 考点一：直线运动的 x-t 图象 要点诠释： 1．x-t 图象的意义 　　x-t 图象表示运动的位移随时间的变化规律。 　　匀速直线运动的 x-t 图象，是一条倾斜直线。速度的大小在数值上等于图象的斜率的绝对值，即 ， 如图所示： 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　2．x-t 图象的理解 　　（1）x-t 图象不是物体实际运动的轨迹。 　　（2）从 x-t 图象上判断物体的运动性质。 　　①图线平行于时间轴，表示物体静止； 　　②图线是倾斜直线，表示物体做匀速直线运动； 　　③图线是曲线，表示物体做变速直些运动。 　　（3）x-t 图象的斜率表示物体的速度，匀速直线运动斜率不变。 　　（4）x-t 图象的交点：如果两物体在同一直线上运动，其 x-t 图象的交点表示两物体相遇。 考点二：直线运动的 v-t 图象 　　要点诠释： 1．常见的 v-t 图像 a.匀速直线运动的 v-t 图象 　　（1）匀速直线运动的 v-t 图象是与横轴平行的直线。 　　　　　　　　　　　　　　　　　 xv t ∆= ∆第 2 页 共 18 页 　　（2）由图象不仅可以求出速度的大小，而且可以求出位移大小（即图中画有斜线部分的面积）。 b．匀变速直线运动的 v-t 图象 　　（1）匀变速直线运动的 v-t 图象是一条倾斜直线，如图所示。 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　（2）直线斜率的大小等于加速度的大小，即 。斜率越大，则加速度也越大，反之，则越小。 　　（3）当 v0＞ 0 时，若直线的斜率大于零，则加速度大于零，表示加速运动；若直线的斜率小于零， 则加速度小于零，表示减速运动。 2.对匀变速直线运动 v-t 图象的理解 　　(1)v-t 图象能准确、全面地反映速度 v 随时间 t 的变化及其规律，图象符合客观要求。 　　(2)v-t 图线是直线，表示物体做匀变速直线运动（一条倾斜的直线）或匀速直线运动（一条平行于 t 轴 的直线）；v-t 图线是曲线，则表示物体做非匀变速直线运动。 　　(3)v-t 图线过坐标原点表示物体做初速度为零的匀变速直线运动，图线不过坐标原点，有两种情况： 　　v-t 图线在纵轴（v 轴）上的截距，表示运动物体的初速度 v0；v-t 图线在横轴（t 轴）上的截距表示物 体在开始计时后过一段时间才开始运动。 　　(4)两 v-t 图线相交（如图所示），说明两物体在交点时刻的瞬时速度相等，其交点的横坐标表示两物 体达到速度相等的时刻；纵坐标表示两物体达到速度相等时的速度。 　　　　　　　　　　　　　　　　 　　(5)v-t 图线与横轴（t 轴）交叉，表示物体运动的速度反向。 　　(6)v-t 图线与坐标轴所围梯形面积的大小等于物体在该段时间内的位移大小 　　 　　另外，在用 v-t 图象分析问题时还应当注意不论 v-t 图象的形状如何（直线或曲线），反映的都是直线 运动。这是由于坐标轴只能有正负两个方向的原因。 考点三：x-t 图象与 v-t 图象的比较 　　要点诠释： 　　　　　　　　 va t ∆= ∆ 20 0 0 0 ( ) 1 2 2 2 v v v v atx t t v t at + + += = = +第 3 页 共 18 页 　　图甲、乙两图以及下表是形状一样的图线在 x-t 图象与 v-t 图象中的比较． x-t 图 v-t 图 ①表示物体做匀速直线运动（斜率表示速度 v） ①表示物体做匀加速直线运动（斜率表示加速度 a） ②表示物体静止 ②表示物体做匀速直线运动 ③表示物体静止在原点 O ③表示物体静止 ④表示物体向反方向做匀速直线运动；初位置为 x0 ④表示物体做匀减速直线运动；初速度为 v0 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点相遇时的位置 ⑤交点的纵坐标表示三个运动质点的共同速度 ⑥t1 时间内物体位移为 x1 ⑥t1 时刻物体速度为 v1（图中阴影部分面积表示 质点在 0～t1 时间内的位移） 考点四:运用图象时的注意问题 　　要点诠释： 1．首先明确所给的图象是什么图象，即认清图中横、纵轴所代表的物理量及它们的函数关系。特别 是那些图形相似，容易混淆的图象，更要注意区分。 　　2．要清楚地理解图象中的“点”、“线”、“斜率”、“截距”、“面积”的物理意义。 　　（1）点：图线上的每一个点都对应研究对象的一个状态，特别注意“起点”、“终点”、“拐点”，它们往 往对应一个特殊状态。 　　（2）线：表示研究对象的变化过程和规律，如 v-t 图象中图线若为倾斜直线，则表示物体做匀变速直 线运动。 　　（3）斜率：表示横、纵坐标轴上两物理量的比值，常有一个重要的物理量与之对应。用于定量计算 对应物理量的大小和定性分析变化的快慢问题。如 x-t 图象的斜率表示速度大小，v-t 图象的斜率表示加速 度大小。 　　（4）面积：图线与坐标轴围成的面积常与某一表示过程的物理量相对应。如 v-t 图象与横轴包围的“面 积”大小表示位移大小。 　　（5）截距：表示横、纵坐标两物理量在“边界”条件下的物理量的大小。由此往往能得到一个很有意义 的物理量。 要点五、追及与相遇问题 　　要点诠释： 两物体在同一直线上运动，往往涉及追及、相遇或避免碰撞问题。 1．追及问题 　　追和被追的两物体的速度相等（同向运动）是能否追上及两者距离有极值的临界条件。 　　第一类：速度大者减速（如匀减速直线运动）追速度小者（如匀速运动）： 　　（1）当两者速度相等时，若追者位移仍小于被追者位移，则永远追不上，此时两者间有最小距离。 　　（2）若两者位移相等，且两者速度相等时，则恰能追上，也是两者避免碰撞的临界条件。 　　（3）若两者位移相等时，追者速度仍大于被追者的速度，则被追者还有一次追上追者的机会，其间 速度相等时两者间距离有一个最大值。 　　第二类：速度小者加速（如初速度为零的匀加速直线运动）追速度大者（如匀速运动）： 　　（1）当两者速度相等时有最大距离。 　　（2）若两者位移相等时，则追上。 2．相遇问题 　　（1）同向运动的两物体追上即相遇。 　　（2）相向运动的物体，当各自发生的位移大小之和等于开始时两物体的距离时即相遇。 3．解答此类问题的关键条件第 4 页 共 18 页 　　两物体能否同时到达空间某位置，因此应分别对两物体进行研究，列出位移方程，然后利用时间关系、 速度关系、位移关系来处理。其中速度关系特点是关键，它是两物体间距最大或最小，相遇或不相遇的临 界条件。 要点六、分析追及、相遇问题时要注意的事项 　　要点诠释： 1．分析问题时，一定要注意抓住一个条件、两个关系：一个条件是两物体速度相等时满足的临界条 件，如两物体的距离是最大还是最小，是否恰好追上等。两个关系是时间关系和位移关系，时间关系是指 两物体运动时间是否相等，两物体是同时运动还是一先一后等；位移关系是指两物体同地运动还是一前一 后运动等，其中通过画运动示意图找到两物体间的位移关系是解题的突破口，因此在学习中一定要养成画 草图分析问题的良好习惯，这对帮助我们理解题意、启迪思维大有裨益。 　　2．若被追赶的物体做匀减速运动，一定要注意，追上前该物体是否停止运动。 　　3．仔细审题，注意抓住题目中的关键字眼，充分挖掘题目中的隐含条件，如“刚好”、“恰巧”、“最 多””、“至少”等，根据它们对应的临界状态分析相应的临界条件。 要点七、用 v-t 图象解决追及、相遇问题 　要点诠释： 类型 图象 特点 一、匀加速追匀速 二、匀速追匀减速 三、匀加速追匀减速 能追及且只能相遇一次。 交点意义：速度相等，两物体相 距最远。 四、匀减速追匀速 五、匀速追匀加速 当两物体速度相等时，如果 ，则恰好追上，这也是避 免相撞的临界条件，只相遇一次； 若 ，则不能追上，交点意 义：速度相等时距离最近；若 ，则相遇两次。设 t1 时 0s s∆ = 0s s∆ < 0s s∆ >第 5 页 共 18 页 六、匀减速追匀加速 刻 第一次相遇，则 t2 时 刻第二次相遇。 说明： 　　（1）表中的 是开始追及以后，后面物体因速度大而比前面物体多运动的位移； 　　（2）s0 是开始追及以前两物体之间的距离，在一、二、三中把 t0 看作追及的时刻； 　　（3） ； 　　（4）v1 是前面物体的速度，v2 是后面物体的速度。 　　由上表可看出，追及问题可分类，一类（如表一、二、三）是 可以随时间无限增加；另一类（如 表四、五、六）是 到速度相等时受到限制。 【典型例题】 类型一、对 x-t 图象的应用 例 1、（2016 江苏卷）小球从一定高度处由静止下落，与地面碰撞后回到原高度再次下落，重复上述运动， 取小球的落地点为原点建立坐标系，竖直向上为正方向，下列速度 和位置 和 x 的关系图象中，能描述 该过程的是（ ） 【答案】A 【解析】由题意知，小球在下落的过程中速度方向向下，与题目中规定的正方向相反，为负值，C、D 错；小球的运动为匀变速运动，依据 可知速度与时间的关系为二次函数，故 A 正确，B 错。 故选 A。 举一反三 【高清课程：运动图像 追及与相遇 例 1】 【变式】一物体做加速直线运动，依次经过 A、B、C 三个位置，B 为 AC 中点，物体在 AB 段的加速度为 a1，在 BC 段加速度为 a2。设 A、C 的速度分别为 vA 和 vC，B 的速度为(vA+vC)/2，则 a1 和 a2 的大小的关系 为（ ） A. a1> a2 B. a1= a2 C. a1< a2 D.条件不足，无法判定 【答案】C 类型二、通过对 v-t 图象分析获取信息 例 2、一质点沿 x 轴做直线运动，其 v-t 图像如图所示．质点在 t＝0 时位于 x＝5m 处，开始沿 x 轴正向运 动．当 t＝8s 时，质点在 x 轴上的位置为(　　) v x 2 2 0 2v v ax- = 0s s∆ = s∆ 2 0 0 1t t t t− = − s∆ s∆第 6 页 共 18 页 A．x＝3 m B．x＝8 m C．x＝9 m D．x＝14 m 【答案】 B 【解析】本题考查 v-t 图像. v-t 图像与 x 轴围成的面积表示位移，即位移为 x1－x2＝3m，由于初始坐标 是 5m，所以 t＝8s 时质点在 x 轴上的位置为 x＝3m＋5m＝8m，因此 B 正确． 【总结升华】从 v-t 图象可获取物体运动的信息有： 　　1．物体运动的快慢（速度大小）——对应纵轴数值； 　　2．物体运动的方向——t 轴上方为正方向，t 轴下方为负方向； 　　3．运动速度的变化——图象对应的 v 的数值变化可以看出运动快慢的变化； 　　4．加速度大小及变化——图象斜率大小即加速度大小（ ）。斜率变大，则 a 变大；反之， 则 a 变小；斜率不变，则是加速度不变的匀变速直线运动； 　　5．物体运动的位移——图象和坐标轴围成的图形的面积大小。 举一反三 【变式】某人在静止的湖面上竖直上抛一小铁球，小铁球上升到最高点后自由下落，穿过湖水并陷入湖底 的淤泥中一段深度。不计空气阻力，取向上为正方向，在下边 v-t 图象中，最能反映小铁球运动过程的速 度——时间图线是（ ） 　　　　　 　　　　 【答案】C 【解析】小球竖直上抛后，在上升过程，速度减小，到最高点时速度等于零，下降时速度增大，进入水中 后，因受到水的阻力，加速度减小，但速度仍增大，进入淤泥后，淤泥对球的阻力大于小球的重力，故向 下减速运动，直到速度为零，由以上分析知，选项 C 正确。 类型三、图象问题的实际应用 例 3、如图所示是某物体做匀变速直线运动的速度图线，某同学根据图线得出以下分析结论: ①物体始终沿正方向运动; ②物体先向负方向运动,在 t＝2 s 后开始向正方向运动; ③在 t＝2 s 前物体位于出发点负方向上，在 t＝2 s 后位于出发点正方向上； ④前 4 s 内，在 t＝2 s 时，物体距出发点最远． 以上分析结论正确的是 (　　) A．只有①③ B．只有②③ C．只有②④ D．只有① tana θ=第 7 页 共 18 页 【答案】C 【解析】物体的运动方向即为速度方向，从图上可知物体在 2 s 前速度为负值，即物体向负方向运动；2 s 后速度为正值，即物体向正方向运动．故①是错误的，②是正确的．物体的位置要通过分析位移来确定， 物体在某段时间内的位移等于速度—时间图线中对应图线所包围的面积的代数和．由图可知前 4 s 内物体 在 2 s 时有最大的负位移；虽然 2 s 后运动方向改为正方向，但它的位置仍在位置坐标值负值处(4 s 末物 体回到出发点)，故③是错误的，④是正确的．所以选项 C 对． 【总结升华】分析运动图象应注意： (1)区别 x－t 图象和 v－t 图象的物理意义． (2)两种运动图象均表示直线运动． (3)能从图线分析出物体的运动性质，从而正确应用运动学公式． 举一反三 【变式 1】有一行星探测器，质量为 1800 kg，现将探测器从某一行星的表面竖直升空，探测器的发动机推 力恒定。发射升空后 9s 末，发动机因发生故障突然熄火。图是从探测器发射到落回地面全过程的速度图象， 已知该行星表面没有大气，若不考虑探测器总质量的变化。求： 　　（1）该行星表面附近的重力加速度大小； 　　（2）发动机正常工作时的推力； 　　（3）探测器落回星球表面时的速度。 　　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】a=4m/s2 v=80 m/s 【解析】(1）由 v-t 图象可知 9～45 s 内行星探测器只在行星重力作用下运动。故其运动的加速度 a=4m/s2， 即为行星表面的重力加速度。 　　（2）取探测器研究。在 0～9s 内， 　　由牛顿第二定律得 　　解得 　　（3）由上升位移与下落位移相等得 　　解出：v=80 m/s。 【高清课程：运动图像 追及与相遇 例 3】 【变式 2】物体分别沿如图所示两条路线运动，已知直线 AB=AC+CD，斜面都是光滑的，求沿哪条路径先 到达水平面。 4 2 10F N= × 264 /9a m s′ = F ma ma′− = 4 2 10F N= × 21 64 252 2 v a × × =第 8 页 共 18 页 【答案】tAB>tACD 类型四、追及与相遇问题 例 4、 在水平轨道上有两列火车 A 和 B 相距 x，A 车在后面做初速度为 v0、加速度大小为 2a 的匀减速直 线运动，而 B 车同时做初速度为零、加速度为 a 的匀加速直线运动，两车运动方向相同．要使两车不相撞， 求 A 车的初速度 v0 满足什么条件． 【答案】v0≤ 【解析】解法一：(物理分析法)A、B 车的运动过程(如右图甲) 利用位移公式、速度公式求解． 对 A 车有 xA＝v0t＋ ×(－2a)×t2 vA＝v0＋(－2a)×t 对 B 车有 xB＝ at2，vB＝at，两车有 x＝xA－xB 追上时，两车不相撞的临界条件是 vA＝vB 联立以上各式解得 v0＝ 故要使两车不相撞，A 车的初速度 v0 应满足的条件是 v0≤ . 解法二：(极值法)利用判别式求解，由解法一可知 xA＝x＋xB，即 v0t＋ ×(－2a) ×t2＝x＋ at2，整理得 3at2－2v0t＋2x＝0，这是一个关于时间 t 的一元二次方程，当根的判别式 Δ＝(2v0)2－ 4×3a×2x