知识讲解 曲线运动、运动的合成和分解（提高）

1 物理总复习：曲线运动、运动的合成和分解 【考纲要求】 1、知道物体做曲线运动的条件，并会判断物体是否做曲线运动； 2、掌握运动的合成、运动的分解基本方法； 3、掌握“小船靠岸”、“小船过河”两种基本模型，会解决类似实际问题。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、曲线运动 1、曲线运动 　　物体运动轨迹是曲线的运动叫做曲线运动。 2、曲线运动的速度方向 　　曲线运动中速度的方向是时刻改变的，质点在某一点（或某一时刻）的速度方向是曲线 上该点的切线方向。 3、曲线运动的性质 　　做曲线运动的物体，速度方向时刻在改变，所以曲线运动一定是变速运动，但变速运动 不一定是曲线运动。 4、物体做曲线运动的条件 　　从运动学角度说，物体的加速度方向跟速度方向不在一条直线上，物体就做曲线运动； 从动力学角度来说，如果物体所受合外力的方向跟物体的速度方向不在一条直线上时，物体 就做曲线运动。 要点诠释：如图所示，物体受到的合力 F 跟速度 方向成 角（ ）。 将力 F 沿切线方向和垂直切线方向分解为 和 ，可以看出分力 使物体速度大小发生改 变，分力 使物体的速度方向发生改变。即在 F 的作用下，物体速度的大小和方向均改变， 物体必定做曲线运动。　①当 或 180°时， ， 方向不变，物体做直线运动。② 当 时， =0， 大小不变； ， 方向改变，物体做速度大小不变、方向改变 的曲线运动，即匀速圆周运动。 0v θ 0 , 180θ θ≠ ≠  1F 2F 1F 2F 0θ =  2 0F = v 90θ =  1F v 2 0F ≠ v2 　　③当 时， 使物体速度增加，此时物体做加速运动；当 时， 分力 使物体速度减小，此时物体做减速运动。 　　例、下列说法正确的是：（ ） 　　A．曲线运动的速度大小可以不变，但速度方向一定改变 　　B．曲线运动的速度方向可以不变，但速度大小一定改变 　　C．曲线运动的物体的速度方向不是物体的运动方向 　　D．曲线运动的物体在某点的速度方向即为该点的切线方向 【答案】AD 【解析】在曲线运动中，物体在任何一点的速度方向，就是通过这一点的曲线的切线方向， 所以曲线运动的速度方向一定变化。但曲线运动的速度大小可以不变，也可以变化。曲线运 动的物体的速度方向就是物体的运动方向。 考点二、运动的合成和分解 1、运动的合成与分解 　　已知分运动求合运动，叫做运动的合成；已知合运动求分运动，叫做运动的分解。 分运动与合运动是一种等效替代关系，运动的合成与分解是研究曲线运动的一种基本方法。 要点诠释：合运动与分运动的关系 　　（1）等时性：各分运动经历的时间与合运动经历的时间相等。例如：平抛运动水平方 向与竖直方向的时间相等。 　　（2）独立性：一个物体同时参与几个分运动，各分运动独立进行，不受其他分运动的 影响。 　　（3）等效性：各分运动的叠加与合运动有完全相同的效果。 2、合运动的性质和轨迹的判定 　　合运动的性质和轨迹：由合初速度和合加速度共同决定。 要点诠释：（1）两个匀速直线运动的合运动为一匀速直线运动。因为 。 （2）一个匀速直线运动与一个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动。因为 恒量。 若二者共线，则为匀变速直线运动，如竖直上抛运动；若二者不共线，则为匀变速曲线运动， 如平抛运动。（3）两个匀变速直线运动的合运动为一匀变速运动。因为 恒量。若合初 速度与合加速度共线，则为匀变速直线运动；若合初速度与合加速度不共线，则为匀变速曲 线运动。 根据力与运动的关系的判断：物体运动的形式，按速度分类有匀速和变速；按轨迹分类 有直线和曲线。运动的形式决定于物体的初速度 和合外力 F，具体分类如下： （1）F=0：静止或匀速运动；（2）F≠0：变速运动；（3）F 为恒量时：匀变速运动； （4）F 为变量时：非匀变速运动；（5）F 和 的方向在同一直线时：直线运动； （6）F 和 的方向不在同一直线时：曲线运动。 实例分析：小船渡河问题的分析与求解方法 小船渡河问题可以分为四类，即能否垂直于河岸过河、过河时间最短、过河位移最短和 躲避障碍四类，考查最多的仍是过河最短时间和最短位移两类。 0 90θ< 船 水 v v A BT T=14 人拉绳行走的速度 v 人=vcosθ，A 对，B 错；绳对船的拉力等于人拉绳的力，即绳的拉 力大小为 F，与水平方向成 θ 角，因此 Fcosθ-Ff = ma，得 ，C 对，D 错。 【总结提升】绳端物体速度的分解方法及规律： (1)分解方法：在进行绳拉船模型绳末端速度的分解时,应从以下两个方面考虑： ①速度分解的一个基本原则就是按实际效果来进行分解。物体的实际运动方向就是合速 度的方向,然后分析由这个合速度所产生的实际效果,以确定两个分速度的方向。 ②跨过定滑轮绳拉物体运动的速度分解：物体速度 v 沿绳方向的分速度就是绳子拉长或 缩短的速度。物体速度 v 垂直于绳子的分速度是以滑轮支点为圆心的圆周运动末端的线速度。 (2) 分 解 规 律 ： 由 于 绳 长 不 变 , 所 以 绳 两 端 所 连 接 的 两 个 物 体 沿 绳 方 向 速 度 相 等 。 cos fF Fa m θ −=15 【巩固练习】 一、选择题 1、（2016 上海 虹口一模）如图所示是 α 粒子（氦原子核）被中金属原子核散射的运动轨迹， M、N、P、Q 是轨迹上的四点，在散射过程中可以认为重金属原子核静止不动。图中所标 出的 α 粒子在各点处的加速度方向正确的是（ ） A. M 点 B. N 点 C. P 点 D. Q 点 【答案】C 【解析】根据轨迹弯曲的方向，可以判定粒子受力的方向大体向上，与粒子和重金属 原子核的连线方向相反，故 M、N、P、Q 是轨迹上的四点的加速度的方向中，只有 P 点标 出的方向是正确的。 故选 C。 2、下列说法中正确的是（ ） A.物体在恒力作用下不可能作曲线运动； B.物体在变力作用下一定作曲线运动； C.曲线运动一定是变速运动； D.曲线运动一定是变加速运动。 3、关于两个运动的合成，下列说法中正确的是 （ ） A、两个直线运动的合运动一定是直线运动 　　B、互成角度的两个初速度为零的匀加速直线运动的合运动是直线运动 　　C、互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运动 　　D、两个分运动时间一定与合运动时间相同 4、如图所示，在不计滑轮摩擦和绳子质量的条件下，当小车匀速向右运动时， 物体 A 的受力情况是 （ ） A．绳的拉力大于 A 的重力 B．绳的拉力等于 A 的重力 C．绳的拉力小于 A 的重力 D．拉力先大于 A 的重力，后变为小于 A 的重力 5、2008 年除夕夜，中国国家足球队客场挑战伊拉克队。第 71 分钟，由山东鲁能队球员郑 智头球扳平比分。设郑智跃起顶球后，球以 =24J 的初动能水平飞出，球落地时的动能 = 32J，不计空气阻力。则球落地时的速度与水平方向的夹角为（ ） 　　A．　 　　　 B．　 　　　 C．　 　　　 D． 1E 2E 30 37 45 6016 6、河宽 420m，船在静水中速度为 4m／s，水流速度是 3m／s，则船过河的最短时间为(　 ) 　　A、140s　 　B、105s　 　　C、84s　 D、60s 7、一小船以恒定速度垂直向对岸划去，当河水不流动时，渡河时间为 t1；当河水匀速向下 流动时，渡河时间为 t2，则 (　 ) A、t1>t2　 B、t1v2)。河岸宽度为 d，则战士想渡河救人，则摩 托艇的最短距离为 （ ） 100 3m 4 3 /3 m s 8 3 /3 m s 1v 2v 1 2v v= 2 1v v> 2 1v v< 2 1v vv2，则此人过河最短距离为 ， 此时船头的方向为 。 3、某人站在自动扶梯上，经过 时间从一楼升到二楼。如果自动扶梯不运动，人沿着扶梯 从一楼走到二楼的时间为 ，现使自动扶梯正常运转，人也保持原有速度沿扶梯向上走， 2 2 2 2 1 dv v v− 1 2 dv v 2 1 dv v 0 1v 2v 1t 2t18 则人从一楼走到二楼所用时间为________。 三、计算题 1、船在静水中的航行速度 ，水流速度 ，河宽 ，设 船头垂直于河岸航行。求： 　　(1)船实际的速度 　　(2)渡河时间 　　(3)船到达对岸的位置？ 　　(4)若使船的实际航线垂直于河岸，船应朝什么方向航行？这时船的速度 2、一艘小艇从河岸的 A 处出发渡河，小艇保持与河岸垂直方向行驶，经过 10min 到达正 对岸下游 120m 的 C 处，如图所示。如果小艇保持原来的速度逆水斜向上游与河岸成 α 角方 向行驶，则经过 12.5min 恰好到达正对岸的 B 处，求河的宽度。 3、(2014 淮北模拟)某日清晨，中国海监船在执行东海定期维权巡航执法过程中，发现从 事非法调查作业活动的某船只位于图甲中的 A 处，预计在 80s 的时间内将到达图甲的 C 处， 我国海监执法人员立即调整好航向，沿直线 BC 从静止出发恰好在运动了 80s 时到达 C 处， 而此时该非法船只也恰好到达 C 处，我国海监部门立即对非法船只进行了驱赶。非法船只 一直做匀速直线运动且 AC 与 BC 距离相等，我国海监船运动的 v-t 图像如图乙所示。 (1)求非法船只的速度大小。 1 5 3 /v m s= 2 5 /v m s= 200 3s m= ?v = ?t = ?v′ =19 (2)若海监船加速与减速过程的加速度大小不变，海监船从 B 处由静止开始若以最短时 间准确停在 C 点，需要加速的时间为多少? 【答案与解析】 一、选择题 1、【答案】C 【解析】根据轨迹弯曲的方向，可以判定粒子受力的方向大体向上，与粒子和重金属 原子核的连线方向相反，故 M、N、P、Q 是轨迹上的四点的加速度的方向中，只有 P 点标 出的方向是正确的。 故选 C。 2、C 解析：曲线运动速度方向一定是改变的，所以是变速运动。 3、BCD 解析：两个分运动具有等时性，D 正确。互成角度的两个初速度为零的匀加速直线运动的合 运动是直线运动，可以作图分析，B 正确。互成角度的匀速直线运动的合运动一定是直线运 动，C 正确。故选 BCD。 4、 A　 解析：先分析小车向右匀速运动时，物体 A 如何运动。 小车水平向右的速度（也就是绳子末端的运动速度）为合速度，它的两个分速度 、 ， 如图所示， 其中 就是拉动绳子的速度，它等于 A 上升的速度，由图得 　　小车匀速向右运动的过程中， 逐渐变小，知 逐渐增大，故 A 做加速运动，由 A 的 受力及牛顿第二定律知绳的拉力大于 A 的重力。故选 A。 5、A 解析：如图所示， ， ， 1v 2v 2v 2 cosAv v v θ= = θ Av 21 2E mv= 2 1 1 1 2E mv=20 且有 。 变形可得 ，得 ， 故球落地时的速度与水平方向的夹角为 。 6、B 解析：最短渡河时间 7、C 解析：渡河时间是由船速决定的，与水流速度无关。 8、C　 解析：由题图可知， ，当小船的速度方向与 A 到岸边 B 点的连线垂直时速度最小，故 。 9、C 解析：作出速度的平行四边形，设绳与水平方向的夹角为 ，可知 ，小车向左运动， 变小， 变大，即 变大，所以物体做加速运动。 所以 C 正确。 10、C 解析：由运动的独立性原理，要使到达岸边的时间最短，船头应垂直于河岸，渡河时间 ，这段时间内船沿水流方向的位移 。 11、【答案】 【解析】若小船在静水中的速度方向垂直河岸，水流速度方向自西向东，根据平行四边 形定则，则合速度的方向偏向下游，渡河的轨迹为倾斜的直线，A 错，C 正确；小船在静水 中的速度方向斜向下游，根据平行四边形定则可知，合速度的方向不可能与静水中的速度方 向重合，B 错；根据平行四边形定则可知，合速度的方向夹在静水中的速度方向与水流速度 方向之间，不可能垂直河岸，D 错。 故选 C。 2 2 2 1 2E mv= 2 2 2 1 2v v v= + 2 1 2 2 8 24 v v = 1 2 1tan 3 v v θ = = 30 420= =1054 dt sv = 船 100 3tan 3100 3 θ = = 30θ =  1 2 /2v v m s= =船 水 θ 2 1v v< 2 1 cosv v θ= θ cosθ 2v 2 dt v = 1 2 dvs v =21 二、填空题 1、解析：运动时间 ，所以水平方向平均速度为 ，瞬时速度为 ，由速度合成知此刻 R 的速度大小为 5cm/s,由曲线运动条件知道 D 正确。 “ 研 究 运 动 的 合 成 与 分 解 ” 实 验 中 ： 小 圆 柱 体 R 在 竖 直 方 向 匀 速 运 动 有 ， ，在水平方向做初速为 0 的匀加直线运动 得 ， R 的速度大小为 ，轨迹示意图是 D。 2、 、垂直河岸指向对岸、H、与上游河岸夹角 3、 解析：设从一楼到二楼电梯的长度是 s，则电梯对地的速度是 ， 人对于电梯的速度是　 　电梯开动时人对地的速度是以上两个速度的合成， 即 所以人从一楼走到二楼所用时间为 三、填空题 1、(1) 　 (2) （3）船到达正对岸下游 200m 处 （4）船应朝着上游与河岸成( )航行) 解析：船航行的示意图如下： 　 　(1)由图可知道，船的实际速度大小 ， 6 23t s= = 4 2 /2v cm s= = 4 /v cm s= tvy 0= sscm cm v yt 2/3 6 0 === 2 2 1 atx = 2/2 scma = scmtavv /5222 0 =+= 1/ vH 1 2arccos v v=θ 1 2 1 2 t t t t+ 1 1 sv t = 2 2 sv t = 1 2v v v= + 1 2 1 2 1 2 t tst v v t t = =+ + 10 /v m s= 40t s= 90 α− 2 5 2 /v m s′ = 2 2 1 2 10 /v v v m s= + =22 　　 　 船与水流速度方向成的角　 　　(2)合运动和分运动具有等时性　 所以渡河时间是 　　注： 　　(3) (即船到达正对岸下游 200m 处) 　　(4) 若使船的实际航线垂直于河岸，画图如下： 　　 答：船应朝着上游与河岸成( )航行。 2、200 米。 解析：设河宽为 d，河水流速为 ，船速第一次为 ， （1） 水速 河宽 （2） 第二次过河如图 河宽 （3） 解（2）（3） 得 1 2 5 3tan 35 v v θ = = = 60θ =  AD ABt t= 1 200 3 40 5 3 ABst s sv = = = 1 2 ACAB ADss st v v v = = = 2 5 40 200BD ACs s v t m m= = = × = 2 2 2 2 2 1 2 (5 3) 5 5 2 /v v v m s′ = − = − = 2 1 5 1sin 5 3 3 v v α = = = 1 1sin ( ) 3 α −= 90 α− 1v 2v 1 1BCx v t= 1 1 120 0.2 /10 60 BCxv m st = = =× 2 1d v t= 2 2sind v tθ= 2 2 2 1sind v t v tθ= =23 求出 即：船头与河岸间的夹角 （4） 又 （5） 船在静水中的速度 代入（2） 河宽： 3、【答案】(1)15m/s　(2) 【解析】 (1)结合图像可知海监船运行的位移即为 v-t 图线与横坐标轴所围的面积： 由运动学公式 x=vt 代入数据可求得：v=15m/s (2)由加速度定义式： 代入数据可求加速与减速过程中加速度大小分别为 设加速时间为 t1,减速时间为 t2,要使时间最短有 a1t1=a2t2 解得 30 3s [ ]1 (70 30) 80 20m 1200m2x = − + × = va t ∆= ∆ 2 2 1 20 0 2m/s m/s30 2a −= = 2 2 2 20 0 m/s 2m/s10a −= = 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2a t a t x+ = 1 30 3st = 1 2 10 4sin 12.5 5 t t θ = = = 53θ =  1 2 cos v v θ = 1 1 2 1 /cos 0.6 3 v vv m sθ= = = 2 1 1 10 60 2003d v t m m= = × × =