知识讲解 圆周运动（提高）

1 物理总复习：圆周运动 【考纲要求】 1、知道匀速圆周运动的定义及相关物理量； 2、知道匀速圆周运动的动力学特征； 3、会正确分析向心力的来源； 4、知道向心力的公式； 5、理解圆周运动的临界条件； 6、掌握利用牛顿运动定律分析匀速圆周运动问题。 【知识网络】 角速度 线速度 向心加速度 运行周期 向心力 【考点梳理】 考点一、描述圆周运动的物理量 1、描述圆周运动的物理量 　　描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心 力等。 2、匀速圆周运动 　　特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力 的大小也都是恒定不变的。 要点诠释：1、匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是 加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。2、只存在向心加速度，向心力就是做 匀速圆周运动的物体所受的合外力。3、质点做匀速圆周运动的条件（1）物体具有初速度； （2）物体受到的合外力 F 的方向与速度 的方向始终垂直。（匀速圆周运动） 考点二、向心力的性质和来源 要点诠释：向心力是按力的效果命名的，它可以是做圆周运动的物体受到的某一个力或是几 个力的合力或是某一个力的分力，要视具体问题而定。 　　在匀速圆周运动中，由于物体运动的速率不变，动能不变，故物体所受合外力与速度时 刻垂直、不做功，其方向指向圆心，充当向心力，只改变速度的方向，产生向心加速度。 考点三、传动装置中各物理量之间的关系 　　在分析传动装置中各物理量的关系时，一定要明确哪个量是相等的，哪个量是不等的。 1、角速度相等：同轴转动的物体上的各点角速度相等。 2、线速度大小相等：（要求：在不打滑的条件下） （1）皮带传动的两轮在皮带不打滑的条件下，皮带上及两轮边缘各点的线速度大小相等； （2）齿轮传动；（3）链条传动；（4）摩擦轮传动； （5）交通工具的前后轮（自行车、摩托车、拖拉机、汽车、火车等等） 2 v t T r θ πω = = = 2s rv rt T π ω= = = 2 2 2 2 4v ra r vr T π ω ω= = = = 2 2 rT v π π ω= = 2 2 2 2 4vF ma m m r mrr T πω= = = = v2 考点四、圆周运动实例分析 1、火车转弯 　　在转弯处，若向心力完全由重力 G 和支持力 的合力 来提供，则铁轨不受轮缘的 挤压，此时行车最安全。R 为转弯半径， 为斜面的倾角， ， 所以 。 （1）当 时，即 ，重力与支持力 的合力不 足以提供向心力，则外轨对轮缘有侧向压力。（2）当 时，即 ，重力 与支持力 的合力大于所需向心力，则内轨对轮缘有侧向压力。（3）当 时， ，火车转弯时不受内、外轨对轮缘的侧向压力，火车行驶最安全。 　　2、汽车过拱桥 　　如汽车过拱桥桥顶时向心力完全由重力提供（支持力为零），则据向心力公式 得： （R 为圆周半径），故汽车是否受拱桥桥顶作用力的临界条 件为： ，此时汽车与拱桥桥顶无作用力。 　　3、航天器中的失重现象 　　航天员在航天器中绕地球做匀速圆周运动时，航天员只受地球引力，座舱对航天员的支 持力为零，航天员处于完全失重状态。引力提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力。 4、离心运动 　　做圆周运动的物体，当提供的向心力等于做圆周运动所需要的向心力时，沿圆周运动。 当提供的向心力小于做圆周运动所需要的向心力时，物体沿切线与圆周之间的一条曲线 运动。当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去。 NF F合 θ 2 = tan vF F mg m R θ= = 临 向 合 = tanv gR θ临 v v> 临 2 tanvm mgR θ> NF v v< 临 2 tanvm mgR θ< NF v v= 临 2 tanvm mgR θ= 2 = vF mg m R =向 v gR= v gR=临3 【典型例题】 类型一、传动装置中各物理量之间的关系 【高清课堂：圆周运动例 1】 　 例 1、如图所示的皮带传动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，RA：RC=1：2， RA：RB=2：3。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的 A、B、C 三点的角速度 之比是__________；线速度之比是_________； 向心加速度之比是_________。 【答案】 【解析】A、C 角速度相等，写着 1: ：1， A、B 线速度相等， ，可知角速度与 半径成反比， , 代入上面的空格，即得三点的角速度之比是 。 求线速度之比，写着 1:1： ，就是要求 A、C 的线速度之比，而 A、C 的角速度相等，同 理，由 可知线速度与半径成正比，即 ,所以，线速度之比是 。 求向心加速度之比， （ ）将已求出的角速度之比、线速度之 比代入，可知向心加速度之比 。 【总结升华】这类问题必须首先抓住是线速度相等还是角速度相等，再根据公式按比例计算。 举一反三 【变式】如图中，A、B 为啮合传动的两齿轮， ，则 A、B 两轮边缘上两点的（　 ） 　　A．角速度之比为 2:1 　　　　 B．周期之比为 1:2 　　C．向心加速度之比为 1:2 　　 D．转速之比为 2:1 【答案】C 3: 2:3 1:1: 2 3: 2:6 v rω= : : 3: 2A B B AR Rω ω = = 3: 2:3 v rω= : 1: 2A Cv v = 1:1: 2 a vω= 2a r r vω ω ω ω= = ⋅ = ⋅ 3: 2:6 2A BR R=4 【解析】本题是齿轮传动问题，A、B 两轮边缘上两点线速度相等 由公式 有： ，A 项错；由公式 有 ，B 项错；由公式 有： ， C 项正确；由公式 有： ，D 项错。 类型二、向心力来源分析 向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种性质力，而是根据力的效果命名的。在 分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力（重力、弹力、摩擦力、万 有引力等）以外再添加一个向心力。向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受到 的几个力的合力或某一个力的分力。 　　 例 2、圆锥摆如图所示，小球质量为 m，绳长为 l，一端固定在天花板上，绳与竖直方向成 θ 角，求小球在水平面内转动的周期。 【答案】 【解析】 作出力的平行四边形，拉力与重力的合力 F 提供向心力 即 （也可以这样分析：轻绳竖直方向的分力与重力平衡，轻绳水平方向的分力提供向心力。 解得 ） 所需要的向心力为 （ 为做圆周运动的半径） 提供的向心力=所需要的向心力 解得 v rω= : 1: 2A B B AR Rω ω = =： 2 rv T π= : : 2:1A B A BT T R R= = 2va r = : : 1: 2A B B Aa a R R= = 2v rnπ= : : 1: 2A B B An n R R= = cos2 lT g θπ= tan F mg θ = tanF mg θ= cosT mgθ = sinT ma Fθ = = tanF mg θ= 22m rT π     sinr l θ= r 2 2 4tan sinmg m lT πθ θ= cos2 lT g θπ=5 【总结升华】只有当物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体所受所有力的合力。当物体做 变速圆周运动时不能认为向心力一定是物体所受外力的合力。要分析清楚提供的向心力、所 需要的向心力，再将未知量用已知量表示出来。 举一反三 【变式 1】杂技演员在表演“水流星”的节目时（如图），盛水的杯子经过最高点杯口向下时， 水也不洒出来。对于杯子经过最高点时水的受力情况，下面说法正确的是（　 ） 　　A．水处于失重状态，不受重力的作用 　　B．水受平衡力的作用，合力为零 　　C．由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用 　　D．杯底对水的作用力可能为零 【答案】D 【解析】当杯子在最高点时，有向下的加速度，因此处于失重状态，但仍受重力作用，故 A 错。又因圆周运动是曲线运动，其合外力必不为零。因此杯子不可能处于平衡状态，故 B 项错误。由于向心力并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力等之外的另一种力。因此杯子 不能同时受重力和向心力两个力作用，而是重力是向心力的一部分，还有可能受杯底对水的 作用力，故 C 错、D 正确。 【变式 2】（2016 浙江卷）如图所示为赛车场的一个“梨形”赛道，两个弯道分别为半径 R=90m 的大圆弧和 r=40m 的小圆弧，直道与弯道相切。大、小圆弧圆心 O、O'距离 L=100m。赛车 沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25 倍，假设赛车在直 道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑，绕赛道一圈时间最短 （ ）（发动机功率足够大，重力加速度 g=10m/s2, =3.14）。 A．在绕过小圆弧弯道后加速 π6 B．在大圆弧弯道上的速率为 45 m/s C．在直道上的加速度大小为 5.63 m/s2 D．通过小圆弧弯道的时间为 5.85 s 【答案】AB 【解析】在弯道上做匀速圆周运动时，根据牛顿定律 ，故当弯道半径 时， 在弯道上的最大速度是一定的，且在大弯道上的最大速度大于小湾道上的最大速度，故要想 时间最短，故可在绕过小圆弧弯道后加速，选项 A 正确；在大圆弧弯道上的速率为 选项 B 正确；直道的长度为 在小弯道上的最大速度： 故在在直道上的加速度大小为 选项 C 错误；由几何关系可知，小圆弧轨道的长度为 ，通过小圆弧弯道的时间为 选项 D 错误；故选 AB． 类型三、圆周运动的连接体问题 例 3、如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球 p 和 q 可以在光滑 水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，mp＝2mq，当整个装置绕中心轴以角速 度 ω 匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时( ) A．两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用 B．p 球受到的向心力大于 q 球受到的向心力 2 mvkmg m r = 2.25 10 90m/s 45m/smRv kgR= = × × = 2 2( ) 50 3mx L R r= − − = 2.25 10 40m/s 30m/smrv kgr= = × × = 2 2 2 2 2 245 30 m/s 6.50m/s2 2 50 3 mR mrv va x − −= = ≈ × 2 3 rπ 2 2 3.14 403 s 2.80s3 30mr r t v π × ×= = ≈×7 C．ｒp 一定等于 D．当 ω 增大时，p 球将向外运动 【答案】C 【解析】向心力不是单独的一个力，A 错。由于两球离转轴的距离保持不变，而且球 p 和 q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，所以绳子的拉力提供了两个小球的向心力，可知两个小 球 的 向 心 力 大 小 相 等 ， B 错 。 由 向 心 力 公 式 ， ， 得 到 即 ，所以 C 对。 说明了两球的质量与运动半径的乘积始终相等， 与角速度的大小无关，D 错。故正确选项为 C。 举一反三 【变式】如图所示，两物块 A、B 套在水平粗糙的 CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整 个装置能绕过 CD 中点的轴 OO'转动，已知两物块质量相等，杆 CD 对物块 A、B 的最大静 摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块 A 到 OO'轴的 距离为物块 B 到 OO'轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳 子处于自然长度到两物块 A、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ） A．B 受到的静摩擦力一直增大 B．B 受到的静摩擦力是先增大后减小 C．A 受到的静摩擦力是先增大后减小 D．A 受到的合外力一直在增大 【答案】D 【解析】在转动过程中，两物体都需要向心力，开始时是静摩擦力提供向心力，当静摩擦力 不足以提供向心力时，绳子的拉力就会来做补充，速度再快，当这 2 个力的合力都不足以提 供向心力时，物体将会发生相对滑动。根据向心力公式， ，在发生相对滑动前物 2 qr 2=F m rω向 2 2 p p q qm r m rω ω= p p q qm r m r= 1 2 p q q p r m r m = = p p q qm r m r= 2 = vF m R向8 体的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体的合力， D 对。由于 A 的半径比 B 大。根据向心力 可知 A、B 的角速度相同，所以 A 所 需向心力比 B 大，因为两物体的最大静摩擦力一样，所以 A 物体的静摩擦力会先不足以提 供向心力而使绳子产生拉力，之后随着速度的增大，静摩擦力已经最大不变了，绳子拉力不 断增大来提供向心力，所以 A 所受静摩擦力是先增大后不变的，C 错。再看 B，因为是 A 先使绳子产生拉力的，所以当绳子刚好产生拉力时 B 受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力， 此后 B 的向心力一部分将会由绳子拉力来提供，静摩擦力会减小，而在产生拉力前 B 的静 摩擦力是一直增大的，B 对 A 错。故选 D。 类型四、圆周运动的临界问题 【高清课堂：圆周运动例 3】 例 4、（1）长为 的轻绳拉着小球在竖直面内转动，要使小球能做完整的圆周运动，那 么小球最高点的速度必须满足的条件是什么？若在最高点时小球对绳的拉力等于重力的一 半，则小球的速度是多少？（2）长为 的轻杆拉着小球在竖直面内转动，要使小球能做完 整的圆周运动，那么小球最高点的速度必须满足的条件是什么？若在最高点时小球对杆的弹 力等于重力的一半，则小球的速度是多少？ 【答案】（1） （2） 当支持力方向向下时， ；当支持力方向向上时 【解析】（1）“使小球能做完整的圆周运动”意思是速度小于某一值，小球就不能通过最高 点，即临界速度，向心力完全由重力提供， ,解得 。 当 时，根据牛顿第二定律 ， 解得 。 （2）轻杆与轻绳是有区别的，杆对小球有支撑作用， ，可以看出只要 即可。 当 时，设方向向下， 解得 （支持力与重力方向相同时，提供的向心力较大，因此速度较大） 当支持力方向向上时 解得 （支持力与重力方向相反时，提供的向心力较小，因此速度较小） 【总结升华】要准确理解临界条件的物理意义，轻绳拉小球作圆周运动，到最高点的最小速 度是 （类似的物体在轨道内侧），把这种情况叫做“绳球模型”。轻杆：到最高点的最小 速度是零（类似的圆管道内，小球穿在环上），叫做“杆球模型”。 举一反三 2=F m rω向 l l v gR gl≥ = 3 2v gl′ = 0v > 3 2v gl= 1 2v gl′ = 2vmg m R ≤ v gR gl≥ = 1 2T mg= 21 2 vmg mg m l ′+ = 3 2v gl′ = 2vmg N m R − = 0v > 1 2N mg= 2vmg N m l + = 3 2v gl= 2vmg N m l ′− = 1 2v gl′ = v gR=9 【变式】有一轻质杆，长 l=0.5m，一端固定一质量 m=0.5kg 的小球，轻杆绕另一端在竖直 面内做圆周运动。（1）当小球运动到最高点的速度大小为 4m/s 时，求小球对杆的作用力； （2）当小球运动到最低点时，球受杆的拉力为 41N，求此时小球的速度大小。 【答案】（1） ，方向向上。（2） 。 【解析】做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，合外力指向圆心；轻杆上的小球在 竖直面内做的是非匀速圆周运动。其合外力并不总指向圆心，只有在运动到最高点或最低点 时，合外力才指向圆心，提供向心力。　 （1）当小球运动到最高点时，小球受重力 mg，和杆对球的作用力 F（设为拉力），合力作 向心力。 根据牛顿第二定律 说明所设拉力是正确的，即小球受到杆的拉力。 根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为 11.1N，方向向上。 （2）当小球运动到最低点时，小球受到重力 mg、杆对小球的拉力 F 指向圆心，合力提供 向心力。 根据牛顿第二定律 　 【总结升华】这是典型的“杆球模型”。杆或管对物体能产生拉力，也能产生支持力。当物体 通 过最高点时有 ，因为 可为正（拉力），也可以为负（支持力），还可 以为零，故物体通过最高点的速度可为任意值。有以下四种情况： （1） 时， ，负号表示支持力。 （2） 时， ，杆对物体无作用力 （3） 时， ，杆对物体为支持力 （4） 时， ，杆对物体产生拉力 11.1F N= 6 /v m s′ = 2vmg F m l + = 2 11.1vF m mg Nl = − = 0F > 2vF mg m l ′′− = 41F N′ = ( ) / (41 0.5 10) 0.5 / 0.5 6 /v F mg l m m s′ ′= − = − × × = 2 N vF mg m r + = NF 0v = NF mg= − v gr= 0NF = 0 v gr< < 0NF < v gr> 0NF >10 例 5、一光滑圆锥体固定在水平面上，OC⊥AB， ∠AOC=30o，一条不计质量，长为 l （l B．ω> C．a>g D． == 212 2R gt= 5 2 mgR 212 2f CW mgR mv− = 4C xv R g = 2 Cvmg m R =26 从 A 到 C 的过程中由动能定理有： （3）若力最小，从A到C的过程中由动能定理有： 由二次方程求极值得： x=4R最小的力F=mg 【思路点拨】本题求解时，注意状态的选取，第 1 问：初状态选 A 点，末状态选 C 点， 有些同学可能选 B 点，那求解步骤就较多。要会挖掘出要使在 AB 过程中所做的功少，必须 在 C 点的速度最小，就只有重力提供向心力，根据平抛运动规律和动能定理就可求出答案。 第 3 问要会利用数学方法求极值才能求出答案。 212 2f CW mgR mv− = 5 2fW mgR= 4 2c Rx v g R== 2 2 12 cmvmgRFx =− g Rxvc 4=