知识讲解 行星的运动与万有引力定律（提高）

1 物理总复习：行星的运动与万有引力定律 【考纲要求】 1、了解开普勒关于行星运动的描述； 2、知道引力常数的数值、单位及其测量装置； 3、掌握万有引力定律并能应用； 4、理解三种宇宙速度及其区别。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、开普勒行星运动定律 1、开普勒第一定律 　　所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上。这就是开普勒第一定律， 又称椭圆轨道定律。 2、开普勒第二定律 　　对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积。这就是开普勒第二定律， 又称面积定律。 3、开普勒第三定律 　　所以行星轨道的半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等。这就是开普勒第三定律，又称周 期定律。若用 表示椭圆轨道的半长轴，T 表示公转周期，则 （ 是一个与行星无关的常量）。 要点诠释：由第一定律出发，行星运动时，轨道上出现了近日点和远日点。由第二定律可以知道，从近日 点向远日点运动时，速率变小，从远日点向近日点运动时速率变大。由第三定律知道 ，而 值 只与太阳有关，与行星无关。 开普勒定律的应用 　　（1）行星的轨道都近似为圆，计算时可认为行星做匀速圆周运动，这时太阳在圆心上，第三定律为 ；（2）开普勒定律不仅适用于行星，也适用于卫星，若把卫星轨道近似看作圆，第三定律公式为 ，这时 由行星决定，与卫星无关。当天体绕不同的中心星球运行时， 中的 值是不同 a 3 2 a kT = k 3 2 a kT = k 3 2 r kT = 3 2 r kT ′= k′ 3 2 a kT = k2 的。（3）对于椭圆轨道问题只能用开普勒定律解决。卫星变轨问题，可结合提供的向心力和需要的向心力 的关系来解决。 　　 例、关于行星绕太阳运动的下列说法中正确的是：（　 ） 　　A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动 　　B．行星绕太阳运动时太阳位于行星轨道的中心处 　　C．离太阳越近的行星的运动周期越长 　　D．所有行星的轨道半长轴的三次方跟公转周期的二次方的比值都相等 　【答案】D 　【解析】所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳在一个焦点上，但并非在同一个椭圆上，故 A、B 错。由第三定律知离太阳越近的行星运动周期越小，故 C 错、D 正确。 考点二、万有引力定律 　 1、公式：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体质量的乘积成正比，与它们之间距 离的平方成反比。 　　 ， 为万有引力常量， 。 2、适用条件：公式适用于质点间万有引力大小的计算。当两个物体间的距离远远大于物体本身的大 小时，物体可视为质点。另外，公式也适用于均匀球体间万有引力大小的计算，只不过 r 应是两球心间的 距离。 3、万有引力的特点（1）普适性：（2）相互性：（3）宏观性： 要点诠释：重力和万有引力的联系和区别 　　重力是地面附近的物体受到地球的万有引力而产生的；万有引力是物体随地球自转所需向心力和重力 的合力。如图所示， 产生两个效果：一是提供物体随地球自转所需的向心力；二是产生物体的重力。 由于 ，随纬度的增大而减小，所以 物体的重力随纬度的增大而增大，即重力加速度从赤道到两极逐渐增大； 但 一般很小，在一般情况下可认为重力和万有引力近似相等， 即 常用来计算星球表面的重力加速度。 在地球同一纬度处，g 随物体离地面高度的增加而减小，因为物体所受万有引力随物体离地面高度的增 加而减小，即 。 　　例、对于质量为 和 的两个物体间的万有引力的表达式 ，下列说法正确的是：（　 ） 　　A．公式中的 G 是引力常量，它是由实验得出的，而不是人为规定的 　　B．当两物体间的距离 r 趋于零时，万有引力趋于无穷大 　　C． 和 所受引力大小总是相等的 　　D．两个物体间的引力总是大小相等，方向相反的，是一对平衡力 【答案】AC 【解析】　由基本概念、万有引力定律及其适用条件逐项判断。引力常量 G 值是由英国物理学家卡文迪许 运用构思巧妙的“精密”扭秤实验第一次测定出来的，所以选项 A 正确。万有引力表达式只适用于质点间的 1 2 2 m mF G r = G 11 2 26.67 10 /G N m kg−= × ⋅ F引 2=F m rω向 F向 2 MmG mgR = 2 GMg R = 2( ) GMg R h ′ = + 1m 2m 1 2 2 m mF G r = 1m 2m3 作用，当 r 趋于零时任何物体都不能再视为质点，公式不成立，此时两物体间的作用力并非无穷大，故 B 错误。两个物体之间的万有引力是一对作用力与反作用力，它们总是大小相等，方向相反，分别作用在两 个物体上，所以选项 C 正确、D 错误。 考点三、应用万有引力定律分析天体的运动 　　 1、基本方法 　　把天体（或人造卫星）的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由万有引力提供。 公式为 解决问题时可根据情况选择公式分析、计算。 2、天体质量 M、密度 的计算 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径 和周期 T，由 得 ( 为中心天体的半径） 当卫星沿中心天体表面绕天体运动时， ，则 。 3、天体（如卫星）运动的线速度、角速度、周期与轨道半径 r 的关系 　　（1）由 得 ，所以 越大， 越小； 　　（2）由 得 ，所以 越大， 越小； 　　（3）由 得 ，所以 越大，T 越大。 4、黄金代换式 　 在地球表面的物体所受重力和地球对该物体的万有引力差别很小，在一般讨论和计算时，可以认为 ，且有 。对其它行星也适用，不过 是行星表面的重力加速度，R 是行星的半径， M 是行星的质量。 例、如图，卫星从远地点 B 向近地点 A 运动,则下列说法正确的是（ ） A. 卫星的速度越来越大 B. 卫星的机械能越来越大 C. 卫星受到的万有引力越来越大 D. 卫星与地球连线单位时间扫过的面积越来越大 【答案】A C 【解析】卫星从远地点 B 向近地点 A 运动，轨道半径变小，因此速度越来越大，A 对。卫星与地球组成的 系统，只有引力做功，机械能守恒，B 错。由万有引力公式，万有引力越来越大，C 对。由开普勒第二定 2 2 2 2 2 2 4 (2 )Mm vF G m m r mr m f rr r T πω π= = = = = r 2 2 2( )MmG m rr T π= 2 2 4 rM GT π= 3 2 3 3 0 0 3 4 3 M M r V GT RR πρ π = = = 0R 0r R= 2 3 GT πρ = 2 2 Mm vG mr r = GMv r = r v 2 2 MmG m rr ω= 3 GM r ω = r ω 2 2 2( )MmG m rr T π= 2 34 rT GM π= r 2 MmG mgR = g ρ 2GM gR= 2GM gR=4 律知，在相等的时间内扫过相等的面积，D 错。故选 A C。 5、天体质量的几种计算方法（以地球质量 M 为例） （1）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的周期 T 和轨道半径 。 由 得 。 　　（2）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 和半径 。 由 得 。 　　（3）若已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度 和周期 T。 由 及 得 。 　　（4）若已知地球半径 R 及表面的重力加速度 g。 由 得 。 【典型例题】 类型一、天体质量、密度的计算 例 1、从地球上观测到太阳的直径对地球的张角为 ，引力恒量 ，每年按 365 天计算，试求： 　　（1）估算出太阳的平均密度； 　　（2）如果太阳密度与地球密度之比为 0.3，估算地球的半径。 【答案】（1） （2） 【解析】 （1）根据万有引力定律 太阳的质量为 ， 又∵ 太阳的直径对地球的张角为 得 公转周期 太阳的平均密度 　（2）地球表面物体重力近似等于万有引力 ， 地球的密度 联立方程并将 代入 r 2 2 4MmG m rr T π= 2 3 2 4 rM GT π= v r 2 2 Mm vG mr r = 2v rM G = v 2 2( )MmG mvr T π= 2 vTr π= 3 2 v TM Gπ= 2 MmG mgR = 2gRM G = 0.5 116.67 10G −= × 2 2/N m kg⋅ 3 31.7 10 /kg mρ = × 6=6.4 10R m×地 2 2 4MmG m rr T π= 2 3 2 4 rM GT π= 34 3M Rρ π= × 0.5 tan 0.25 R r = 365 24 3600T s= × × ∴ 3 3 3 2 3 2 3 3 3 1.7 10 /(tan 0.25 ) r kg mGT R GT π πρ = = = ×  2 Mmmg G R = 地 3 = 4 3 M R ρ π 地 地 地 = 0.3 ρρ地 29.8 /g m s=5 得地球的半径 【总结升华】只能求中心天体的质量。密度公式 中，求太阳的密度，质量是太阳的，体积也是太 阳的。把天体都看成球体，要用太阳半径 。 举一反三 【变式 1】已知地球的半径为 ，地球表面的重力加速度为 ，万有引力常量为 如果不考虑地球自转的 影响，那么地球的平均密度表达式为________。 【答案】 【解析】由地球表面物体重力近似等于万有引力 得 地球的体积 地球的密度 【变式 2】一艘宇宙飞船飞近某一新发现的行星，并进入靠近行星表面的圆形轨道绕行数圈后，着陆在该 行星上，飞船上备有以下实验器材料： A.精确秒表一个 B.已知质量为 m 的物体一个 C.弹簧测力计一个 D.天平一台（附砝码） 已知宇航员在绕行时和着陆后各作了一次测量，依据测量数据，可求出该行星的半径 R 和行星密度 。（已 知万有引力常量为 G） （1）两次测量所选用的器材分别为 、 （用序号表示） （2）两次测量的物理量分别是 、 （写出物理量名称和表示的字母） （3）用该数据推出半径 R、密度 的表达式：R= ， = 。 【答案】（1）A；BC（2）周期 T；物体的重力 F（3） 【解析】靠近行星表面运动时，万有引力提供向心力，轨道半径为行星半径 （1） 在行星表面用弹簧测力计测出物体的重力为 ， 在行星表面物体重力近似等于万有引力 （2） 由（1）、（2）得 所以 又 所以 密度 【总结升华】密度 是推导出来的，当然具有普遍意义，可以得出结论：当卫星绕行星表面附 近（轨道半径等于行星的半径）运行时，行星的密度只与卫星的周期有关，与卫星周期的平方成反比。 6=6.4 10R m×地 M V ρ = R R g G 3 4 g GR ρ π= 2 MmG mgR = 2gRM G = 34 3V Rπ= 2 3 3 4 4 3 M gR g V GRG R ρ ππ = = = × ρ ρ ρ 2 24 FTR mπ= 2 3 GT πρ = R 2 2 2 4MmG m RR T π= F 2 MmG FR = 2 2 4m R FT π = 2 24 FTR mπ= 3 4 4 316 F TM m Gπ= 2 MmG FR = 34 3M R πρ= 2 3 GT πρ = 2 3 GT πρ =6 【变式 3】相距甚远的两颗行星 A 与 B 的表面附近各发射一颗卫星 a 和 b，测得卫星 a 绕行星 A 的周期为 ，卫星 b 绕行星 B 的周期为 ，这两颗行星的密度之比 __________。 【答案】根据 可知 类型二、求行星表面的重力加速度 （1）根据在行星表面物体重力近似等于万有引力 例 2、已知火星的半径是地球半径的 1/2，火星的质量是地球的质量为 1/10。如果地球上质量为 60kg 的人到火星上去，在火星表面由于火星的引力产生的加速度大小为 。（地球表面重力加速 度为 ） 【答案】 【解析】火星的物理量加一撇表示 火星表面 地球表面 两式相除（或认为 与星球质量成正比，与半径的平方成反比） 所以 【总结升华】这类题的特点就是根据在行星表面物体重力近似等于万有引力，在地球表面物体重力近似等 于万有引力，采用比例求解，位置不能用错，半径有平方不能丢掉。 举一反三 【变式 1】（2016 四川卷）国务院批复，自 2016 年起将 4 月 24 日设立为“中国航天日”.1970 年 4 月 24 日我国首次成功发射的人造卫星东方红一号，目前仍然在椭圆轨道上运行，其轨道近地点高度约为 440 km，远地点高度约为 2060 km；1984 年 4 月 8 日成功发射的东方红二号卫星运行在赤道上空 35786 km 的 地球同步轨道上．设东方红一号在远地点的加速度为 a1，东方红二号的加速度为 a2，固定在地球赤道上的 物体随地球自转的加速度为 a3，则 a1、a2、a3 的大小关系为(　　) A．a2＞a1＞a3 B．a3＞a2＞a1 C．a3＞a1＞a2 D．a1＞a2＞a3 【答案】D aT bT :A B ρ ρ = 2 3 GT πρ = 2 2 bA B a T T ρ ρ = 2 MmG mgR = 2/m s 210 /m s 24 /m s 1 10 M M ′ = 1 2 R R ′ = 2 M mG mgR ′ ′=′ 2 MmG mgR = g 2 2 2 1 2( ) 0.410 1 g M R g MR ′ ′= = × =′ 20.4 4 /g g m s′ = =7 【解析】 由于东方红二号卫星是同步卫星，则其角速度和赤道上的物体角速度相等，可得：a＝ω2r， 由于 r2>r3，则可以得出：a2>a3；又由万有引力定律有： ，且 r1