知识讲解 机械能守恒动率的应用（提高）

1 物理总复习：机械能守恒定律的应用 【考纲要求】 1、加深对机械能守恒条件的理解，能准确判断系统的机械能是否守恒； 　　 2、知道应用机械能守恒定律与应用动能定理解决问题的区别； 　　 3、能熟练应用机械能守恒定律解决问题。 【考点梳理】 考点一、判断系统的机械能是否守恒 判断机械能是否守恒的方法一般有两种： 　　（1）根据做功情况来判定：对某一系统，若只有重力和弹簧弹力做功，其它力不做功， 则系统的机械能守恒。 　　（2）根据能量转换来判定（常用于系统），对某一系统物体间只有动能和重力势能及弹 性势能相互转化，没有其它形式能的转化（如没有内能产生），则系统的机械能守恒。 考点二、机械能守恒定律的应用 1、应用机械能守恒定律与动能定理解决问题的区别： 要点诠释 （1）适用条件不同：机械能守恒定律适用于只有重力和弹力做功的情形；而动能定理 没有此条件的限制，它的变化量对应于外力所做的总功。 　　（2）分析内容不同：机械能守恒定律解题只分析研究对象的初、末状态的动能和势能 （包括重力势能和弹性势能）；而用动能定理解题时，分析研究对象的初、末状态的动能， 此外还要分析该过程中所有外力所做的总功。 （3）机械能守恒定律与动能定理解题时的方程不同。 2、机械能守恒定律的几种表述形式： 若某一系统的机械能守恒，则机械能守恒定律可以表示为如下的形式： （1）初状态的机械能等于末状态的机械能： （2）系统势能（或动能）的增加量等于动能（或势能）的减少量： （3）系统内 A 物体的机械能减少量等于 B 物体的机械能增加量： 要点诠释：根据（1）列方程时，一定要明确初、末状态的机械能；根据（2）列方程时一定 要分析清楚系统势能（或动能）的增加量或动能（或势能）的减少量，还要注意零势面在哪 里，重力势能是相对于零势面的。 【典型例题】 类型一、判断系统的机械能是否守恒 例 1、关于机械能守恒，下列说法正确的是（　 ） 　　A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒 　　B．只有重力对物体做功，物体的机械能一定守恒 　　C．外力对物体做功为零，则机械能一定守恒 　　D．只发生动能和势能的相互转化，不发生机械能与其他形式的能的转化，则机械能一 定守恒 【思路点拨】机械能守恒的条件是系统内没有外力做功。 【答案】BD 1 1 2 2p k p kE E E E+ = + p kE E∆ = ∆ A BE E∆ = ∆2 【解析】对于匀速运动的物体，或外力对物体做功为零时，只是物体的动能不变，但并不涉 及机械能守恒定律条件：系统只有重力、弹力做功，且只有动能和势能之间的相互转化，而 无机械能与其他形式能量之间的转化。因而 A、C 选项错，而 B、D 选项正确。 【总结升华】准确理解机械能守恒定律的条件是关键。 举一反三 【变式】如图所示，一物体以初速度 冲向光滑斜面 AB，并能沿斜面升高 h 到达 B 点，下 列说法中正确的是（不计空气阻力）（ ） A．若把斜面从 C 点锯断，由机械能守恒定律知，物体冲出 C 点后仍能升高 h B．若把斜面弯成如图所示的圆弧形，物体仍能沿 AB′升高 h C．若把斜面从Ｃ点锯断或弯成圆弧状，物体都不能升高 h，因为机械能不守恒 D．若把斜面从Ｃ点锯断或弯成圆弧状，物体都不能升高 h，但机械能仍守恒 【答案】D 【解析】若把斜面从 C 点锯断，物体将作斜上抛运动，到达最高点时还有水平速度，由机械 能守恒定律知不能升高到 h。若把斜面弯成圆弧形，到达图中最高点所需最小速度为 ，有 ，即 ，由机械能守恒定律知不能升高到 h。只有选项 D 正确。 例 2、判断下列各种情景系统是否遵循机械能守恒；若守恒，请利用机械能守恒求解相 关问题。（注意选择零势能面） 　　1、物体从高为 h、倾角为 的光滑斜面由静止下滑，求物体到达斜面底端时的速率？ 2、将物体以初速度 从高为 h＝10m 的位置分别水平、竖直向上、竖直向下、 斜抛出去，分别求落地时的速度大小？（ ） 3、小球在竖直面内沿光滑圆轨道做圆周运动，已知在最低点时小球的速度 ， 求小球运动到与圆心等高位置时的速度？求小球运动到最高点时的速度？ 4、如图质量为 m 的小球从离轻弹簧上端 h 处自由下落，接触后向下运动 时，速度为 ，求此时弹簧的弹性势能。 0v v 2vmg m R = v gR= θ 0 10 /v m s= 210 /g m s= 0 5v gR= x v3 【思路点拨】正确描写机械能守恒的方程，一般情况是：两点(初态、末态)的机械能相等。 【答案】1、 2、 3、 4、 【解析】1、物体由静止下滑到底端的过程 　　对物体受力分析可知，此过程中斜面的支持力始终与运动方向垂直不做功，所以只有重 力对物体做功，满足机械能守恒条件，因此物体与地球组成的系统机械能守恒。 由机械能守恒定律,以地面为零势能面 2、物体抛出后至落地的过程 　　对物体受力分析可知，此过程中物体抛出后只有重力对物体做功，因此物体与地球组成 的系统机械能守恒。由机械能守恒定律,以地面为零势能面 　3、小球从最低点到达最高点的过程 　　对物体受力分析可知，此过程中轨道对小球的支持力方向始终与其运动方向垂直，不做 功，因此只有重力对小球做功，系统机械能守恒。 由机械能守恒定律，以最低点为零势能面 　（1）从 A 至 B 的过程： 　（2）从 A 至 C 的过程： 4、小球自由下落到使弹簧压缩 的过程 　　以小球、弹簧和地球组成的系统为研究对象，对小球受力分析可知，此过程中只有重力 和弹力对小球做功，系统机械能守恒。 由机械能守恒定律，以弹簧的自由伸长处为零势能面 【总结升华】解题首先要确定研究对象，根据机械能守恒条件判断系统的机械能是否守恒， 2v gh= 2 0 2 17.3 /v v gh m s= + = 3Bv gR= cv gR= 21 2pE mgh mgx mv= + − 21 2mgh mv= 2v gh= 2 2 0 1 1 2 2mgh mv mv+ = 2 0 2 17.3 /v v gh m s= + = 2 2 0 1 1 2 2mv mv mgR= + 2 0 2 3Bv v gR gR= − = 2 2 0 1 1 22 2 cmv mv mgR= + 2 0 4cv v gR gR= − = x 21 ( )2 pmgh mv mgx E= + − + 21 2pE mgh mgx mv= + −4 再根据 ，列方程求解问题。 类型二、变速运动中机械能守恒问题 例 3、（2016 全国新课标Ⅱ卷）如图，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于 O 点， 另一端与小球相连．现将小球从 M 点由静止释放，它在下降的过程中经过了 N 点，已知在 M、N 两点处，弹簧对小球的弹力大小相等．且 ，在小球从 M 点运动 到 N 点的过程中 A．弹力对小球先做正功后做负功 B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零 D．小球到达 N 点时的动能等于其在 M、N 两点的重力势能差 【答案】BCD 【解析】由题意可知在运动过程中受力如下 小球的位移为 MN 则从 弹簧处于压缩态，则弹力做负功 从 弹簧从压缩变为原长，弹力做正功 从 弹簧从原长到伸长，弹力做负功，则 A 错 在 A 点受力如下 则 即 ，B 对 在 B 点弹簧处于原长则受力如下 在 A 点时， 垂直于杆，则 ，C 对 从 M 到 N 小球与弹簧机械能守恒，则 即 2ONM OMN π∠ < ∠ < M A→ A B→ B N→ F mg=合 a g= F弹 = cos =0P F V α弹 弹 k PE E=增 减 0kN P M P N P N P ME E E E E− = − + −重 重 弹 弹 1 1 2 2p k p kE E E E+ = +5 由于 M、N 两点弹簧弹力相同，由胡克定律可知，弹簧形变量相同，则 ， 即 ，D 对. 故选 BCD。 举一反三 【变式】以初速为 ，射程为 的平抛运动轨迹制成一光滑轨道。一物体由静止开始从轨道 顶端滑下，当其到达轨道底部时，物体的速率为 ，其水平方向的速度大小 为 。 【答案】 ， 【解析】平抛运动规律 ， 解得 根据机械能守恒： ，解得速率 。 ， 是轨道的切线与水平方向的夹角，即为平抛运动末速度与水平方向的 夹角，有 ， 是平抛运动位移方向与水平方法的夹角，则 ， 所以 ， 则 所以 例 4、在高度 h=0.8 m 的水平光滑桌面上，有一轻弹簧左端固定，质量为 m ＝1kg 的小 球在外力作用下使弹簧处于压缩状态，当弹簧具有 4.5J 的弹性势能时，由静止释放小球， 将小球水平弹出，如图所示，不计空气阻力，求小球落地时速度大小? 【思路点拨】正确描写初态、末态的机械能，初态的机械能等于末态的机械能。不要与动能 定理混淆。 【答案】 【解析】由小球的运动过程可知，在弹簧弹开小球的过程中，小球做的是变加速运动，牛顿 P N P ME E=弹 弹 KN P M P NE E E= −重 重 0v s 0/gs v 2 2 0 0/ 1 ( / )v v gs+ 0s v t= 21 2h gt= 2 2 02 gsh v = 21 2 mv mgh= 2 2 2 0 0 g s gsv v v = = cosxv v θ= θ tan 2tanθ α= α 2 0 tan 2 h gs s v α = = 2 0 tan gs v θ = 2 0 2 2 2 0 cos ( ) ( ) v gs v θ = + 0 2 20 cos 1 ( ) x vv v v gs θ= = + 5 /v m s=6 定律无法解决。从释放小球到它落地，由于只有重力和弹簧弹力做功，以弹簧和小球（含地 球）为研究对象，机械能守恒，以地面为重力势能参考平面， 系统初态机械能 落地时，即末态机械能 因为 E1=E2 所以 解得小球落地速度大小 【总结升华】注意与动能定理的联系和区别，只有重力做功问题，两者都可以求解，但动能 定理里是以功的形式体现，机械能守恒定律是以能的形式体现。一般来说，对于有弹簧的问 题，就是说有弹性势能，不能用动能定理（因为弹力的功高中阶段不要求计算），而是用机 械能守恒定律或功能关系求解。 类型三、机械能守恒定律与圆周运动的结合 例 5、长为 L 的细线的一端系一质量为 m 的小球，另一端固定在 O 点，细线可承受的 最大拉力为 7mg。将小球拉起，并在水平位置处释放，小球运动到 O 点的正下方时，悬线 碰到一钉子。求： （1）钉子与 O 点的距离为多少时，小球刚好能通过圆周的最高点？ （2）钉子与 O 点的距离为多少时，小球能通过圆周的最高点？ 【思路点拨】对综合题要分清物理过程：小球自由下落到最低点的过程，机械能守恒，在 D 点，小球恰好通过最高点，重力提供向心力，应用牛顿第二定律；从 C 至 D 的过程，应用 机械能守恒定律。第（2）问就是要找出临界条件。 【答案】（1） (2) 【解析】（1）小球自由下落到最低点的过程， 以最低点为零势能点，由机械能守恒定律： 在 D 点，小球恰好通过最高点，重力提供向心力 由牛顿第二定律： 从 C 至 D 的过程，由机械能守恒定律： 1 1 1 =0+k p p pE E E E mgh E= + + +弹 弹 2 2 2 2 2 1 102 2k pE E E mv mv= + = + = 21 =12.52 pmv mgh E J= + 弹 5 /v m s= 1 1 3 5x L r L= − = LlL 3 2 5 3 ≤≤ 21 2 CmgL mv= 2Cv gL= 2 1 Dvmg m r = 1Dv gr= 2 2 1 1 1 22 2C Dmv mv mgr= + 1 2 5r L=7 钉子与 O 点的距离为: 　（2）在 C 点，绳子刚好不断, 在最低点速度一定的情况下，能提供的 最大合外力对应的半径是最小半径。小球受力如图　 由牛顿第二定律： ( ) 钉子与 O 点的距离为: 综上可知， 即 【总结升华】机械能守恒定律往往与圆周运动结合在一起，机械能守恒只是一个物理过程， 要把物理过程分析清楚，满足机械能守恒的就用机械能守恒定律求解，圆周运动里与绳子拉 力结合的又是牛顿第二定律，还有临界条件等等。 举一反三 【变式 1】（2015 海南卷）如图，位于竖直水平面内的光滑轨道由四分之一圆弧 ab 和抛物 线 bc 组成，圆弧半径 Oa 水平，b 点为抛物线顶点。已知 h=2m， 。取重力加速度 大小 g=10m/s2。 （1）一小环套在轨道上从 a 点由静止滑下，当其在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相 互作用力，求圆弧轨道的半径； （2）若环从 b 点由静止因微小扰动而开始滑下，求环到达 c 点时速度的水平分量的大 小。 【答案】（1）0.25m（2）2m/s 【解析】（1）一小环套在 bc 段轨道运动时，与轨道之间无相互作用力，则说明下落到 b 点时的速度，使得小环套做平抛运动的轨迹与轨道 bc 重合，故有 s=vbt ① 1 1 3 5x L r L= − = 2 2 CvT mg m r − = 2 1 3r L= 6T mg= 2Cv gL= 2 2 2 3x L r L= − = 1 2L r OA L r− ≤ ≤ − 3 2 5 3L OA L≤ ≤ 2 ms =8 ② 从 ab 滑落过程中，根据动能定理可得 ③ 联立三式可得 （2）下滑过程中，初速度为零，只有重力做功，根据动能定理可得 ④ 因为物体滑到 c 点时与竖直方向的夹角等于（1）问中做平抛运动过程中经过 c 点时速 度与竖直方向的夹角相等，设为 θ，则根据平抛运动规律可知 ⑤ 根据运动的合成与分解可得 ⑥ 联立①②④⑤⑥可得 【高清课堂：重力势能、机械能守恒定律例 5】 【变式 2】如图所示，半径为 r 质量不计的圆盘盘面与地面垂直，圆心处有一个垂直盘面的 光滑水平固定轴 O，在盘的最右边缘固定一个质量为 m 的小球 A，在 O 点的正下方离 O 点 r/2 处固定一个质量也为 m 的小球 B。放开盘让其自由转动，问： （1）当 A 球转到最低点时，两小球的重力势能之和减少了多少? （2）A 球转到最低点时的线速度是多少? （3）在转动过程中半径 OA 向左偏离竖直方向的最大角度是多少? 【答案】（1） （2） （3）370 【解析】(1) 以 O 为零势面 初态： 末态： 21 2h gt= 21 2 bmgR mv= 2 0.25m4 sR h = = 21 2 cmgh mv= 2 2 sin 2 b b v v gh θ = + sin c v v θ = 水平 2 2= 2m/s4 s ghv s h =+水平 A B o mgr2 1 gr5 4 1 0,pAE = 1 1 2PBE mgr= − 2pAE mgr= − 2 0PBE =9 重力势能的减少量： （2）由于转动过程中机械能守恒，所以有： 即 解得 （3）如图，设最大角度为 θ，此时 A、B 速度均为零，即动能为零，重力势能分别为： 根据机械能守恒 即 解得 所以 【总结升华】本题利用两小球（系统）的重力势能之和的减少量等于动能的增加量，这类问 题难度较大，最好学习解析中列出初态、末态的重力势能，再利用公式计算重力势能的减少 量，就可以利用机械能守恒定律求出小球的速度。“在转动过程中半径 OA 向左偏离竖直方 向的最大角度”的意思是：速度为零，画出草图，找对几何关系。 类型四、机械能守恒定律的灵活应用 例 6、如图，质量为 m1 的物体 A 经一轻质弹簧与下方地面上的质量为 m2 的物体 B 相连， 弹簧的劲度系数为 k，A、B 都处于静止状态。一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮，一端连物 体 A，另一端连一轻挂钩。开始时各段绳都处于伸直状态，A 上方的一段绳沿竖直方向。现 在挂钩上挂一质量为 m3 的物体 C 并从静止状态释放，已知它恰好能使 B 离开地面但不继续 上升。若将 C 换成另一个质量为（m1+m3）的物体 D，仍从上述初始位置由静止状态释放， 则这次 B 刚离地面时 D 的速度的大小是多少？已知重力加速度为 g。 【思路点拨】本题难度较大，对物理过程一步一步分析，对每一个位置的能量也要描述清楚， 把握临界条件，根据机械能守恒定律求解。 1 1 2 2 1( ) ( ) 2p pA pB pA pBE E E E E mgr∆ = + − + = k pE E∆ = ∆ 2 21 1 1 2 2 2 2 vmv m mgr + =   4 5v gr= 3 cospAE mgr θ= − 3 1 sin2pBE mgr θ= 3 3 1 1pA pB pA pBE E E E+ = + 1 1cos sin2 2mgr mgr mgrθ θ− + = − sin 0.6θ = 37θ =  A B m1 m2 k10 【答案】 【解析】开始时，A、B 静止，设弹簧压缩量为 x1，有：kx1＝m1g ① 挂 C 并释放后，C 向下运动，A 向上运动，设 B 刚要离地时弹簧伸长量为 x2， 有： kx2＝m2g ② B 不再上升，表示此时 A 和 C 的速度为零，C 已降到其最低点。由机械能守恒，与初始状 态相比，弹簧性势能的增加量为： ③ C 换成 D 后，当 B 刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同，由能量关系得： ④ 由③④式得： ⑤ 由①②⑤式得： ⑥ 【总结升华】准确把握临界条件所蕴含的物理规律是解题的突破口，如本题 B 刚好离地的状 态是弹力和其重力相等，（即 ），但要注意第二种情况下 B 的平衡即将被打破。本 题的临界条件所蕴含的另一物理意义，是两种情况下弹簧所具有的弹性势能相同，这就建立 了两种情况之间的关系，这在高考中频繁出现，要予以高度的重视。 例 7、如图所示，一质量不计的细线绕过无摩擦的轻质小定滑轮 O 与质量为 5m 的砝码 相连，另一端与套在一根固定的光滑的竖直杆上质量为 m 的圆环相连，直杆上有 A、C、B 三 点，且 C 为 A、B 的中点，AO 与竖直杆的夹角 θ=53°，C 点与滑轮 O 在同一水平高度，滑 轮与竖直杆相距为 L，重力加速度为 g，设直杆足够长，圆环和砝码运动过程中不会与其他 物体相碰。现将圆环由 A 点静止开始释放（已知 sin53°=0.8，cos53°=0.6），试求: （1）砝码下降到最低点时，砝码和圆环的速度大小； （2）圆环能下滑的最大距离； （3）圆环下滑到 B 点时的速度大小。 )2( )(2 31 2 211 mmk gmmmv + += 3 1 2 1 1 2( ) ( )E m g x x m g x x∆ = + − + Exxgmxxgmmvmvmm ∆−+−++=++ )()()(2 1)(2 1 2112113 2 1 2 13 )()2(2 1 211 2 31 xxgmvmm +=+ kmm gmmmv )2( )(2 31 2 211 + += 2 2kx m g=11 【思路点拨】本题难度较大，把运动的合成和分解问题与机械能守恒定律综合在一起，对速 度要分解，理顺速度关系，对几何关系也要分析清楚。 【答案】（1） （2） （3） 【解析】先分析砝码在最低点时，砝码与圆环所对应的位置，再利用机械能守恒定律可求得 圆环此时的速度。而圆环下滑的距离最大时对应的特点是两者的速度恰好为零，再利用机械 能守恒定律可以求解下滑的最大距离。当圆环下滑到 B 点时，因为此时两者的速度为合速 度与分速度的关系，应对圆环的速度进行分解。 （1）当圆环到达 C 点时，砝码下降到最低点，此时砝码速度为零 圆环下降高度为 ，砝码下降高度为 （因为 ， ，所以 各边的关系式 3、4、5 的关系， 是 3， 是 4，斜边 是 5） 由系统机械能守恒 则圆环的速度 （2）当圆环下滑最大距离为 时，圆环和砝码的速度均为零 砝码上升的高度 由系统机械能守恒，圆环势能的减少量等于砝码势能的增加量 即 得圆环下滑的最大距离 （3）当圆环运动到 B 点时，下落的高度 ，而砝码的高度不变 设圆环的速度为 （圆环的速度是合速度）， 此时砝码的速度为 由系统机械能守恒 1 2v gL= 25 12 LH = 2 15 14 gLv = 3 4AC Lh = 5 4 4 L Lh L∆ = − = 53θ =  4tan53 3 = OAC∆ AC OC OA 2 1 15 2ACmgh mg h mv+ ∆ = 1 2v gL= H 2 23 5( )4 4 L LH H L∆ = − + − 5mgH mg H= ∆ 25 12 LH = 3 2AB Lh = 2v 2 cos53v  2 2 2 2 1 1 5 ( cos53 )2 2ABmgh mv m v= + × × 12 解得圆环下滑到 B 点时的速度 【总结升华】本题知识综合性强，难度较大。一是要根据“细线绕过无摩擦的轻质小定滑轮” “ 一根固定的光滑的竖直杆”，这些文字说明系统机械能守恒。二是同一根绳上是速度相等， 圆环沿竖直杆下滑是合速度，联想到“小船靠岸”模型，就是要对速度进行分解。三是几 何 关 系 ， 其 实 很 多 时 候 问 题 就 出 在 几 何 关 系 上 ， 要 习 惯 于 画 草 图 。 2 15 14 gLv =13 【巩固练习】 一、选择题 1、（2016 银川模拟）如图所示，质量为 m 的物块静止在水平地面上，物块上连接一根劲度 系数为 k 的轻质弹簧。某时刻（t =0）施加一外力在弹簧上端 A 点，让 A 点以速度 v 匀速上 升，重力加速度为 g，则下列说法正确的是（ ） A. 经过时间 物块脱离地面 B. 物块脱离地面后以速度 v 向上做匀速运动 C. 物块脱离地面后向上运动的过程中其机械能守恒 D. 整个过程中弹簧、物块、地球所组成的系统机械能守恒 2、质量为 100g 的钢球放在被压缩的轻弹簧上端，当弹簧释放时将球竖直向上抛出，若球上 升到 3m 高处时具有 2m/s 的速度。则弹簧原来的弹性势能为 ( ) A.0.2J B.2.74J C.2.94J D.3.14J 3、质量为 m 的物体以速度 竖直上抛，上升的最大高度为 H.若以抛出点为参考平面，则当 物体的动能和重力势能相等时( ) A.物体距地面高度为 B.物体的动能为 C.物体的动能为 D.物体的重力势能为 4、（2015 山东模拟）如图，一物体 m 在沿斜面向上的恒力 F 作用下，由静止从底端沿光 滑的斜面向上做匀加速直线运动，经时间 t 力 F 做功为 60J，此后撤去恒力 F，物体又经 t 时间回到出发点，若以地面为零势能点，则下列说法不正确的是(　　) A．物体回到出发点时的动能是 60J B．开始时物体所受的恒力 F＝2mgsinθ C．撤去力 F 时，物体的重力势能是 45J D．动能与势能相同的位置在撤去力 F 之前的某位置 【答案】B 【解析】由功能关系可知，前一个时间 t 内，力 F 做的功等于此过程中物体机械能的增 量，也等于前一个时间 t 末时刻物体的机械能；撤去外力 F 后，物体的机械能守恒，故物体 回到出发点时的动能是 60J，A 正确；设前一个时间 t 末时刻物体速度为 v1，后一个时间 t mgt kv = v g v 2 2 mgH2 1 2 2 1 mv 2 4 1 mv14 末时刻物体速度为 v2 ，由 (两段时间内物体位移大小相等)得：v 2 ＝2v1 ，由 知， ，因此撤去 F 时，物体的重力势能为 60J－15J＝45J，C 正确； 动能和势能相同时，重力势能为 30J，故它的相同的位置一定在撤去力 F 之前的某位置，D 正 确；由 ， 可得： ，故 B 错误． 5、如图所示,在水平台面上的 A 点,一个质量为 m 的物体以初速度 抛出,不计空气阻力, 当它到达 B 点时的动能为( ) A. B. C. D. 6、（2016 江西上饶二模）如图所示，在固定倾斜光滑杆上套有一个质量为 m 的圆环，杆与 水平方向夹角 α=30°，圆环与竖直放置的轻质弹簧上端相连，弹簧的另一端固定在地面上的 A 点，弹簧处于原长 h。让圆环沿杆由静止滑下，滑到杆的底端时速度为零。则在圆环下滑 过程中（ ） A. 圆环和地球组成的系统机械能守恒 B. 当弹簧垂直于光滑杆时圆环的动能最大 C. 弹簧的最大弹性势能为 mgh D. 弹簧转过 60°时，圆环的动能为 7、半径为 r 和 R（r＜R）的光滑半圆形槽，其圆心均在同一水平面上，如图所示，质量相 等的两物体分别自半圆形槽左边缘的最高点无初速地释放，在下滑过程中两物体（ ） A．机械能均逐渐减小 B．经最低点时动能相等 2 mgh 1 2 1 2 2 v v vt −= 2 2 1 60J2 mv = 2 1 1 15J2 mv = 1sin vF mg m t θ− = 2 1( )sin v vmg m t θ − −= 4 sin3F mg θ= 0v mgHmv +2 02 1 mghmv +2 02 1 mghmgH − )(2 1 2 0 hHmgmv −+15 C．两球在最低点加速度大小不等 D．机械能总是相等的 8、如图所示，两个内壁光滑、半径不同的半球形碗，放在不同高度的水平面上，使两碗口 处于同一水平面（设为零势能面），现将质量相同的两个小球（小球半径远小于碗的半径） 分别从两个碗的边缘由静止释放，当两球分别通过碗的最低点时（ ） A．两球的速度大小相等 B．两球的速度大小不相等 C．两球的机械能不相等 D．两球对碗底的压力大小不相等 9、如图所示，固定在竖直平面内的光滑 3/4 圆弧轨道 ABCD，其 A 点与圆心等高，D 点为 轨道最高点，AC 为圆弧的一条水平直径，AE 为水平面。现使小球自 A 点正上方 O 点处由 静止释放，小球从 A 点进入圆轨道后能通过轨道最高点 D。则 （ ） A.小球通过 D 点时速度可能为零 B.小球通过 D 点后,一定会落到水平面 AE 上 C.小球通过 D 点后，一定会再次落到圆轨道上 D.O 点可能与 D 点等高 10、水平光滑直轨道 ab 与半径为 R 的竖直半圆形光滑轨道 bc 相切，一小球以初速度 沿 直轨道向右运动，如图所示，小球进入圆形轨道后刚好能通过 c 点，然后小球做平抛运动落 在直轨道上的 d 点，则（ ） 0v16 A.小球到达 c 点的速度为 B.小球到达 B 点时对轨道的压力为 C.小球在直轨道上的落点 d 与 b 点距离为 2R D.小球从 c 点落到 d 点所需时间为 二、填空题 1、如图所示，圆弧轨道 AB 是在竖直平面内的 1/4 圆周，在 B 点，轨道的切线是水平 的。一质点自 A 点从静止开始下滑，不计滑块与轨道间的摩擦和空气阻力，则在质点刚要 到达 B 点时加速度大小为 ，刚滑过 B 点时的加速度大小为 。 2、、如图所示，离地面 1m 高的水平光滑桌面上放一根长 0.5m 的均匀铁链，其中 0.3m 悬挂在桌边外，铁链质量为 10kg，它由静止开始下滑，当下端刚好着地时速率 为 (g=10m/s2)。 3、如图所示，质量为 m 的小球沿斜面轨道由静止开始下滑，接着 又在一个半径为 R 的竖直圆环上运动。若所有摩擦均不计，则小球至 gR 5mg 2 R g17 少应从 高的地方滑下，才能顺利通过圆环最高点。在这种 情况下，小球通过圆环底端时对圆环的压力大小为 4、右图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图.整个雪道由倾斜的助滑雪道 AB 和着陆雪道 DE,以及水平的起跳平台 CD 组成,AB 与 CD 圆滑连接，运动员从助滑雪道 AB 上由静止 开始,在重力作用下,滑到 D 点水平飞出,不计飞行中的空气阻力,经 2 s 在水平方向飞行了 60 m,落在着陆雪道 DE 上.已知从 B 点到 D 点运动员的速度大小不变.(g 取 10 m/s2) 则（1）运动员在 AB 段下滑到 B 点的 速度大小为 。 （2）若不计阻力,运动员在 AB 段下滑过程中下降的高度为 。 三、计算题 1、如图所示，一个 圆弧形光滑细圆管轨道 ABC，放置在竖直平面内，轨道半径为 R，在 A 点与水平地面 AD 相接，地面与圆心 O 等高，MN 是放在水平地面上长为 3R、厚 度不计的垫子，左端 M 正好位于 A 点．将一个质量为 m、直径略小于圆管直径的小球从 A 处管口正上方某处由静止释放，不考虑空气阻力． （1）若小球从 C 点射出后恰好能打到垫子的 M 端，则小球经过 C 点时对管的作用力大 小和方向如何？ （2）欲使小球能通过 C 点落到垫子上，小球离 A 点的最大高度是多少？ 3 418 2、如图所示，在同一竖直平面内的两正对着的相同半圆光滑轨道，相隔一定的距离， 虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动，今在最高点 A 与最低点 B 各放一个压力传感器， 测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与 距离 x 的图像如图，g 取 10 m/s2，不计空气阻力，求： （1）小球的质量为多少？ （2）若小球的最低点 B 的速度为 20 m/s， 为使小球能沿轨道运动，x 的最大值为多少？ 3、图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图，首先在发动机作用下，探测 器受到推力在距月球表面高度为 h1 处悬停(速度为 0，h1 远小于月球半径)；接着推力改变， 探测器开始竖直下降，到达距月面高度为 h2 处的速度为 v；此后发动机关闭，探测器仅受重 力下落到月面，已知探测器总质量为 m(不包括燃料)，地球和月球的半径比为 k1，质量比为 k2，地球表面附近的重力加速度为 g，求： (1)月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小； (2)从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化． 【思路点拨】本题利用探测器的落地过程将万有引力定律，重力加速度概念，匀变速直 线运动，机械能等的概念融合在一起考查．设计概念比较多，需要认真审题．19 4、如图所示，在同一竖直平面内，一轻质弹簧一端固定，另一自由端恰好与水平线 AB 平齐， 静止放于倾角为 53°的光滑斜面上。长为 L=9cm 的轻质细绳一端固定在 O 点，另一端系一 质量为 m=1kg 的小球，将细绳拉至水平，使小球在位置 C 由静止释放，小球到达最低点 D 时， 细绳刚好被拉断。之后小球在运动过程中恰好沿斜面方向将弹簧压缩，弹簧的最大压缩量为 x=5cm。(g 取 10m/s2，sin 53°=0.8，cos 53°=0.6) 求： (1)细绳受到的拉力的最大值； (2)D 点到水平线 AB 的高度 h； (3)弹簧所获得的最大弹性势能 Ep。 【答案与解析】 一、选择题 1、【答案】A 【解析】设物块刚脱离地面时上升的距离为 x。物块刚脱离地面时弹簧的拉力大于物块 的重力，则有： 因 A 点匀速运动，则有： ，A 正确；物块脱离地面后弹簧的拉力大于重力， 物块做加速运动，B 错；物块脱离地面后向上运动的过程中弹簧的弹力对其做正功，机械能 增加，C 错；由于外力做正功，所以整个过程中弹簧、物块、地球所组成的系统机械能增加， D 错。 故选 A。 2、D 解析：机械能守恒，弹簧原来的弹性势能转化为重力势能和动能， mgmg kx x k = =， x mgt v kv = =20 选 D。 3、BD 解析：物体上升的最大高度为 (1)不是距地面的高度，A 错。 当物体的动能和重力势能相等时 (2) 重力势能 ，D 对。 由(1) (2) 动能 ,C 错,B 对。选 BD。 4、B 解析：平抛运动机械能守恒， A 点的重力势能 关键是要求出小球下落的高度 求得 所以 B 点的动能 5、B 解析：根据机械能守恒定律 解得 6、【答案】CD 【解析】圆环沿杆滑下，滑到杆的底端的过程中有两个力对圆环做功，即环的重力和 弹簧的拉力。所以圆环的机械能不守恒，如果把圆环和弹簧组成的系统作为研究对象，则系 统的机械能守恒，A 错；当圆环沿杆的加速度为零时，其速度最大，动能最大，此时弹簧处 于伸长状态，给圆环一个斜向上的拉力，B 错；根据功能关系可知，当圆环滑到杆的底端时 其速度为零，重力势能全部转化为弹性势能，此时弹性势能最大，等于重力势能的减小量即 为 mgh，C 正确；弹簧转过 60°角时此时弹簧仍为原长，以圆环为研究对象，利用动能定理 得： ，D 正确。 故选 CD。 7、D 解析：它们初态的机械能相等，没有任何能量损失，机械能守恒，A 错，D 对。经最低点时 21 2 2 hmg mv⋅ = 21= 3.142pE mgh mv J+ =弹 2 2 vH g = 21 2 22 Pmv mgh mgh mgh E= + = = 21 4pE mv= 2 1 4 2 vh Hg = = 1 1 2 2k pE E mgh mg H mgH= = = = kB kAE E mgy= + PAE mgy= y 2 0 1 32tan30 3 gty x v t = = = 02 3 3 vt g = 2 2 021 2 3 vy gt g = = 2 0 2 4 83 3PA kAE mgy mv E J= = = = 6 8 14kB kAE E mgy J J= + = + = 2 0 1 ( )2 kBmv mgH E mg H h+ = + − 2 0 1 2kBE mv mgh= + 2 0 1 2kAE mv=21 动能不相等，大圆最低点的动能大，B 错。两球在最低点加速度都是向心加速度， 代入 ，与半径无关，加速度相等，C 错。故选 D。 8、B 解析：最低点时的速度 ,半径不等速度不等，A 错，B 对。两球初态的机械 能相等，机械能守恒，C 错。两球对碗底的压力大小 相等，与半径大小无关。D 错。故选 B。 9、B 解析：小球通过 D 点时的最小速度 ,A 错。小球通过 D 点后做平抛运动， 解得 ,所以一定会落到水平面 AE 上，B 对，C 错。O 点如果与 D 点等高，小球不能到达 D 点，D 错。 10、ACD 解析：小球进入圆形轨道后刚好能通过 c 点，重力提供向心力， ，A 对。 小球到达 B 点时对轨道的压力 ,不等于 ，B 错。 平抛运动 解得 , C 对，D 对。 二、填空题 1、 解析：在质点刚要到达 B 点时的加速度是向心加速度，先求 B 的速度 根据机械能守恒定律 则 2va R = 2v gR= 2va gR = = v gR= 2vN mg m R − = 2v gRm m mgR R = = 2N mg= v gR= x vt= 21 2R gt= 2x R R= > v gR= 2 0vN mg m R − = 5mg x vt= 212 2R gt= 4 2R Rt g g = = 2x R= 2 ,g g 2v gR= 2 2 2v gRa gR R = = =22 刚滑过 B 点时的加速度为平抛运动的加速度， 2、 解析：取地面为零势面，初态的重力势能 桌面上的部分： 桌面外的部分： （注意重心） 初态的动能 刚好着地，末态的重力势能 （重心在距地 0.25 处） 末态的动能 根据机械能守恒定律 解得下端刚好着地时速率 3、(1)2.5R (2)6mg 解析：通过圆环最高点的最小速度是重力提供向心力 (1) 根据机械能守恒定律 (2) 联立(1) (2) 解得 球通过圆环底端时的速度为 ， 对底端和最高点应用机械能守恒定律 将(1)代入求得 在圆环底端端由牛顿第二定律 解得 4、（1）30 m/s （2）45 m  解析：（1）运动员从 D 点飞出时的速度 依题意,下滑到助滑雪道末端 B 点的速度大小是 30 m/s （2）在下滑过程中机械能守恒,有 下降的高度 a g′ = 3.6 /v m s= 1 2 215 5pE mg mg= × = 1 3 1(1 0.3) 0.515 2pE mg mg′ = × − × = 1 0kE = 2 0.25pE mg= 2 2 1 2kE mv= 1 1 1 2 2p p k p kE E E E E′+ + = + 210.51 0.4 0.25 2mg mg mg mv+ = + 13.2 / 3.6 /v m s m s= = 2vmg m R = 2v gR= 212 2mgh mg R mv= ⋅ + 2.5h R= v′ 2 21 1 22 2mv mv mgR′ = + 2 5v gR′ = 5v gR′ = 2vN mg m R ′− = 6N mg= 30 /xsv m st = = 21 2mgh mv= 2 452 vh mg = =23 三、计算题 1、（1） ，方向竖直向下。（2） 解析：（1）小球离开 C 点做平抛运动，落到 M 点时水平位移为 R，竖直下落高度为 R， 根据运动学公式可得： 运动时间 从 C 点射出的速度为 设小球以 经过 C 点受到管子对它的作用力为 N，由向心力公式可得 ， 由牛顿第三定律知，小球对管子作用力大小为 ，方向竖直向下。 （2）小球下降的高度最高时，小球运动的水平位移为 4R，打到 N 点。 设能够落到 N 点的水平速度为 ，根据平抛运动求得： 设小球下降的最大高度为 H，根据机械能守恒定律可知， 2、（1） （2） 解析：（1）设轨道半径为 R，由机械能守恒定律； 　　 　　（1） 对 B 点： 　　（2） 对 A 点： 　　（3） 由（1）（2）（3）式得： 两点压力差　 （4） 由图象得：截距 得 （5） （2）因为图线的斜率 得 　（6） 在 A 点不脱离的条件为： 　（7） 1 2 mg 2 2 1 gtR = g Rt 2= 21 gR t Rv == R vmNmg 2 1=− 2 2 1 mg R vmmgN =−= 1 2 mg gRt Rv 84 2 == 2 22 1)( mvRHmg =− RRg vH 52 2 2 =+= kgm 05.0= mx 5.17= 2 21 1(2 )2 2B Amv mg R x mv= + + 2 1 B N vF mg m R − = 2 2 A N vF mg m R + = 1 2 26N N mgxFN F F mg R ∆ = − = + 36 =mg kgm 05.0= 2 1mgk R = = mR 1= Av Rg≥ 5H R= 1v 2v24 由（1）（5）（6）（7）式得： 　（8） 3、（【答案】(1) 　 　(2) 【解析】(1)设地球质量和半径分别为 M 和 R，月球的质量、半径和表面附近的重力加速度 分别为 M′、R′和 g′，探测器刚接触月面时的速度大小为 vt，由 和 得 ，由 vt2－v2＝2g′h2 得 (2)设机械能变化量为ΔE，动能变化量为ΔEk，重力势能变化量为ΔEp. 由ΔE＝ΔEk＋ΔEp，有 得 4、【答案】(1)30N　(2)0.16m　(3)2.9J 【解析】(1)小球由 C 点到 D 点，由机械能守恒定律得 解得 在 D 点由牛顿第二定律得 解得 F=30N 由牛顿第三定律知细绳受到的最大拉力为 30N. (2)由 D 点到 A 点小球做平抛运动，则 联立解得 h=0.16m. (3)小球从 C 点到将弹簧压缩至最短的过程中，小球与弹簧组成的系统机械能守恒，则 Ep＝mg(L＋h＋xsin 53°) mx 5.17= 2 1 2 2 k gk 2 2 1 2 2 2k ghv k + 2 2 1 1 2 2 1 ( )2 kmv mg h hk − − 2 M mmg G R ′′ = ′ 2 Mmmg G R = 2 1 2 2 kg gk ′ = 2 2 1 2 2 2 t k ghv v k = + 2 2 2 1 2 1 1 2 2 21 ( )2 k gh kE m v m ghk k ∆ = + − 2 2 1 1 2 2 1 ( )2 kE mv mg h hk ∆ = − − 2 1 1 2mgL mv= 1 2v gL= 2 1vF mg m L − = 2 2yv gh= 1 tan53 yv v ° =25 代入数据解得 Ep＝2.9