知识讲解 简谐运动

1 物理总复习：简谐运动 【考纲要求】 1、知道简谐运动的周期性和对称性 2、知道描述简谐运动的物理量 3、会分析振动过程中的位移、回复力、加速度、动能、势能等物理量的变化特点 4、知道简谐运动的振动方程。 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、简谐运动 1、定义：物体在跟偏离平衡位置的位移大小成正比，并且总指向平衡位置的回复力的作用 下的振动叫简谐运动。表达式为： 2、几个重要的物理量间的关系： 要熟练掌握做简谐运动的物体在某一时刻（或某一位置）的位移 、回复力 F、加速度 、速度 这四个矢量的相互关系。 （1）由定义知： ，方向与位移方向相反。 （2）由牛顿第二定律知： ,方向与位移方向相反。 （3）由以上两条可知： ，方向与位移方向相反。 （4） 和 、F、 之间的关系最复杂：当 、 同向（即 、 F 同向，也就是 、 反向）时 一定增大；当 、 反向（即 、 F 反向，也就是 、 同向）时， 一定减小。 要点诠释： 物体从 A 由静止释放，从 A→O→B→O→A，经历一次全振动，图中 O 为平衡位置，A、 B 为最大位移处，设向右 O→A 为正方向。 （1）位移：只要在平衡位置正方向就为正，只要在平衡 位置负方向就为负，与运动方向无关； （2）加速度、回复力：始终指向平衡位置； （3）速度：必须按规定的正方向确定； （4）特殊点 O、A、B 物理量的特点： F kx= − x a v F x∝ a F∝ a x∝ v x a v a v v x v v a v v x v2 平衡位置 O 点：位移为零、回复力为零、加速度为零、速度最大、动能最大、势能为零。 正的最大位移 A 点： 位移正向最大、回复力最大（指向 O，图中向左）、加速度最大（指向 O，图中向左）、 速度为零、动能为零、势能最大。 负的最大位移 B 点： 位移负向最大、回复力最大（指向 O，图中向右）、加速度最大（指向 O，图中向右）、 速度为零、动能为零、势能最大。 （5）运动特点：从平衡位置 O 向 A（或 B）运动，速度越来越小，加速度（回复力）越 来越大，做加速度增大的减速运动，是变减速运动；从 A（或 B）向平衡位置 O 运动，速 度越来越大，加速度（回复力）越来越小，做加速度减小的加速运动，是变加速运动。 3、描述简谐运动的物理量： 振动的最大特点是往复性或者说是周期性。因此振动物体在空间的运动有一定的范围， 用振幅 A 来描述；在时间上则用周期 T 来描述完成一次全振动所需的时间。 （1）振幅 A 是描述振动强弱的物理量。 （2）周期 T 是描述振动快慢的物理量。周期由振动系统本身的因素决定，叫固有周期。 （3）频率也是描述振动快慢的物理量。周期与频率的关系是 。 4、表达式： 其中 A 是振幅， ， 是 t=0 时的相位，即初 相位或初相。 5、简谐运动的能量特征：振动过程是一个动能和势能不断转化的过程，振动物体总的机械 能的大小与振幅有关，振幅越大，振动的能量越大。简谐运动的振幅不变，总的机械能守恒。　　 考点二、简谐运动的图像 1、简谐运动的图像 　　以横轴表示时间 t，以纵轴表示位移 ，建立坐标系，画出的简谐运动的位移——时间 图象都是正弦或余弦曲线。 （1）从平衡位置开始计时，函数表达式为 ，图象如图 1。 （2）从最大位移处开始计时，函数表达式 ，图象如图 2。 　　　　 2、振动图像的物理意义 　 表示振动物体的位移随时间变化的规律，即任一个时刻质点的位移。 3、从图像中可以知道 　　（1）任一个时刻质点的位移 （2）振幅 A （3）周期 T 　　（4）速度方向：由图线随时间的延伸就可以直接看出 　　（5）加速度：加速度与位移的大小成正比，而方向总与位移方向相反。只要从振动图 象中认清位移（大小和方向）随时间变化的规律，加速度随时间变化的情况就迎刃而解了。 　　例、一质点做简谐振动，其位移 与时间 t 的关系曲线如图所示，由可知（ ） 　　A．质点振动频率是 4Hz　　 B．t＝2s 时，质点的加速度最大 　　C．质点的振幅为 2cm　　 D．t＝3s 时，质点所受合外力最大 【答案】BC 【解析】由图可知，振动周期为 T＝4s，因而振动频率 f=0.25Hz，所以选项 A 错误。图中 t 1f T = sin( )x A tω ϕ= + 2 2 fT πω π= = ϕ x sinx A tω= cosx A tω= x3 ＝2 秒点是振动平衡位置，质点在平衡位置时所受合外力为零，速度最大，加速度为零；质 点在最大位移处所受合外力最大，加速度最大，速度为零，因而选项 B 正确，选项 D 错误。 振幅是质点偏离平衡位置的最大位移，由图可见，质点偏离平衡位置的最大位移为 2cm，振 幅为 2cm，因而选项 C 正确。 考点三、典型的简谐运动 1、弹簧振子 　（1）周期 ，与振幅无关，只由振子质量和弹簧的劲度系数决定。 （2）可以证明，竖直放置的弹簧振子的振动也是简谐运动，周期公式也是 。 这个结论可以直接使用。 　　在水平方向上振动的弹簧振子的回复力是弹簧的弹力；在竖直方向上振动的弹簧振子的 回复力是弹簧弹力和重力的合力。 2、单摆 （略） 考点四、受迫振动与共振 1、受迫振动 　　物体在周期性变化的驱动力作用下的振动叫受迫振动。物体做受迫振动时，振动稳定后 的频率等于驱动力的频率，跟物体的固有频率没有关系。 2、共振 　　是一种特殊的受迫振动，当驱动力的频率跟物体的固有频率相等时，受迫振动物体的振 幅最大，这种现象叫共振。声音的共振叫共鸣。 要点诠释：（1）共振曲线：如图所示，共振曲线以驱动力频率为横 坐标，以受迫振动的振幅为纵坐标。它直观地反映了驱动力频率对 受迫振动振幅的影响，由图可知， 与 越接近，振幅 A 越 大；当 = 时，振幅 A 最大。 （2）受迫振动中系统能量的转化 　　受迫振动不是系统内部动能和势能的转化，而是与外界时刻进行着能量交换，系统的机 械能也时刻变化。 （3）发生共振时，驱动力对振动系统总是做正功，总是向系统输入能量，使系统的机械能 逐渐增加，振动物体的振幅增大。 　　当驱动力对系统做的功与摩擦力做的功以及介质阻力做的功之和相 等时，振动系统的机械能不再增加，振幅不再增大。 　　例、如图为一单摆的共振曲线，根据图象解答： 　　（1）该单摆的摆长约为多少？ 　　（2）共振时单摆的振幅多大？ 【答案】（1） （2）振幅 A＝8cm 【解析】（1）从共振曲线可知，单摆的固有频率 f=0.5Hz， 由单摆的周期公式 知频率 所以摆长 2 mT k π= 2 mT k π= f驱 f固 f驱 f固 1l m 2 lT g π= 1= 2 gf lπ 2 2= 14 gl mfπ 4 　（2）从共振曲线可知：单摆发生共振时，振幅 A＝8cm。 【典型例题】 类型一、简谐运动的图像 利用简谐运动的图象可以确定： 　（1）可以确定振动物体在任一时刻的位移。如图中，对应 、 时刻的位移分别为 ， 。 　（2）确定振动的振幅。图中最大位移的值就是振幅，如图表示振动的振幅是 10cm。 　（3）确定振动的周期和频率。振动图象上一个完整的正弦（余弦）图形在时间轴上拉开 的“长度”表示周期。 由图可知，OD、AE、BF 的间隔都等于振动周期，T=0.2s，频率 。 　（4）确定各质点的振动方向。例如图中的 时刻，质点正远离平衡位置向位移的正方向 运动；在 时刻，质点正向着平衡位置运动。 　（5）比较各时刻质点加速度的大小和方向。例如在图中 时刻质点位移 为正，则加速 度 为负（向下指向 O）， 时刻 为负，则加速度 为正（向上指向 O），又因为 ，所以 。 例 1、（2016 北京卷）如图所示： 弹簧振子在 M、N 之间做简谐运动．以平衡位置 O 为原点，建立 Ox 轴．向右为 x 轴正 方向．若振子位于 N 点时开始计时，则其振动图像为(　　) 1t 2t 1=+7x cm 2 =-5x cm 1= 5f HzT = 1t 3t 1t 1x 1a 2t 2x 2a 1 2>x x 1 2>a a5 【答案】A　 【解析】弹簧振子的初始位置 N 点位于 x 轴的正向位移处．选项 A 正确，选项 B、C、 D 不正确． 故选 A。 举一反三 【变式 1】一质点简谐运动的振动图象如图所示。 　（1）该质点振动的振幅是 ；周期是 ；初相是________。 　（2）写出该质点简谐运动的表达式，并求出当 t=1s 时质点的位移。 【答案】（1）A=8cm，T=0.2s， ；（2） 【解析】（1）由质点振动图象可得 A=8cm，T=0.2s， 　 （2） rad/s 质点简谐运动表达式为 ，当 t=1s 时， 。 【变式 2】如图所示为一弹簧振子的振动图象。求： 　　（1）从计时开始经过多长时间弹簧振子第一次达到弹性势能最大？ 　　（2）在第 2s 末到第 3s 末这段时间内弹簧振子的加速度、速度、动能、弹性势能各是 怎样变化的？ 　　（3）该振子在前 100s 内的总位移是多少？路程是多少？ 【答案】（1） （2）略（3） 路程是 5 米。 【解析】（1）由图可知，在计时开始的时刻弹簧振子恰好沿 轴正方向通过平衡位置 O，此 时弹簧振子具有最大动能，随着时间的延续，速度不断减小，而位移逐渐增大，经 ，其位移达到最大，此时弹性势能最大。 　（2）由图知，在 t=2s 时，弹簧振子恰好通过平衡位置，此时加速度为零，随着时间的延 续，位移值不断增加，加速度的值也变大，速度值不断变小，动能不断减小，弹性势能逐渐 增大；当 t=3s 时，加速度的值达到最大，速度等于零，动能等于零，弹性势能达到最大值。 　（3）振子经过一周期位移为零，路程为 5×4cm=20cm，前 100s 刚好经过了 25 个周期， 所以前 100s 内振子位移 ，路程 =20×25cm=500cm=5m。 类型二、简谐运动具有往复性、对称性和周期性　 例 2、一位游客在千岛湖边欲乘坐游船，当日风浪较大，游船上下浮动．可把游船浮动简化 成竖直方向的简谐运动，振幅为 20 cm，周期为 3.0 s．当船上升到最高点时，甲板刚好与码 cm s = 2 πϕ =8sin (10 + )cm2x t ππ =8x cm = 2 πϕ 2= 10T πω π= =8sin (10 + )cm2x t ππ =8x cm 1t s= =0x x = 14 Tt s= =0x s6 头地面平齐．地面与甲板的高度差不超过 10 cm 时，游客能舒服地登船．在一个周期内，游 客能舒服登船的时间是(　　) A．0.5s B．0.75s C．1.0s D．1.5s 【答案】C 【解析】本题考查简谐运动的知识点和建模能力．从平衡位置开始计时，游船的振动方 程 游客要舒服地登船需满足的条件 Δx＝20－x≤10， 解得 0.25 s≤t≤1.25 s， 故游客能舒服地登船的时间Δt＝1.0 s，选项 C 正确． 性。 举一反三 【高清课堂：简谐运动例 4】 【变式 1】一个弹簧振子在 A、B 间做简谐运动，O 为平衡位置，如图甲所示，以某一时刻 t=0 为计时起点，经 1/4 周期，振子具有正方向最大的加速度，那么在图乙所示的振动图线 中，能正确反应振子的振动情况是（以向右为正方向）（ ） 【答案】D 【解析】以某一时刻 t=0 为计时起点，经 1/4 周期，振子具有正方向最大的加速度，说明振 子从平衡位置向负方向运动到最大位移处。 【高清课堂：简谐运动例 1】 【变式 2】弹簧振子以 O 点为平衡位置做简谐振动。从 O 点开始计时，振子第一次到达 M 点时用了 0.3s，又经过 0.2s 第二次通过 M 点，则振子第三次通过 M 点还要经过的时间可能 是（ ） A．1/3s B．8/15s C．1.4s D．1.6s 【答案】AC 【解析】本题涉及的知识有简谐运动周期、简谐运动的对称性。将物理过程模型化，画出具 体的图景如图所示：分两种情况： 第一种情况：如图（a）所示， O 点表示振子的平衡位 置，OB 或 OC 表示振幅，振子由 O 向 C 运动，从 O 到 C 所需时间为 1/4 周期，由于简谐运动具有对称性，故振子 2=20sin cm3x t π    7 从 M 到 C 点和 C 到 M 点所用的时间相等，则 , 秒， 又由图可知， 从振子第一次经过 M 点到第三次经过 M 点所用时间恰为一个周期，所以从 第二次经过 M 点到第三次经过 M 点所用时间为 秒。故 C 正确。 第二种情况：如图（b）所示，还是要先求出周期。 振子由 O 到 B 运动，由于对称性，由 O 到 B 第一次 到 M 点再到 C 的时间是四分之三个周期， , 所以 , 第三次经过 M 的时间 秒。故 A 也正确。　 【总结升华】本题的关键是：分析周期性，弄清物理图景，判断各种可能性．解题方法是将 物理过程模型化、分段分析、讨论。 类型三、竖直弹簧振子的物理模型 【高清课堂：简谐运动例 5】 例 3、两木块质量分别为 m、M，用劲度系数为 K 的轻弹簧连在一起，放在水平地面上， 将木块 1 压下一段距离后释放，它就上下做简谐振动。在振动过程中木块 2 刚好始终不离开 地面（即它对地面最小压力为零）。求木块 1 的最大加速度，木块 2 对地面的最大压力。 【答案】 【解析】本题是竖直方向上做简谐运动的弹簧振子问题。最低点在开始释放时的位置，平衡 位置在弹力等于重力的位置。当弹簧处于伸长至最长状态时，M 刚好对地面压力为零，故 弹簧中弹力 F=Mg，此时 m 有最大加速度， 由 解以上两式得 m 的最大加速度为 。 由对称性，当 m 运动至最低点时，加速度为 ，弹簧中弹力大小为 ，对木块 1 弹力方向 向上，应用牛顿第二定律 解得 。但此时弹簧是处于压缩状 态，对木块 2 受力分析：重力向下、弹力向下、支持力向上， 支持力 故木块 2 对地面的最大压力： 【总结升华】竖直方向上做简谐运动的弹簧振子与水平方向振动的弹簧振子一样具有对称 性、周期性，最大位移处加速度最大。本题是简谐运动与动力学相结合的典型问题，要结合 牛顿第二定律求解。 1 0.20.3 0.44 2T = + = 1.6T = 0.2 1.4t T= − = 30.4= 4T′ 1.6 3T′ = 10.2 3t T′ ′= − = = M ma gm + 2( )N M m g= + =F mg ma+ = M ma gm + a F′ =F mg ma′− = +2F Mg mg′ =2 +2 =2( )N F Mg Mg mg M m g′= + + 2( )N M m g= +8 举一反三 【变式 1】悬挂在竖直方向上的弹簧振子，周期 T=2 秒，从最低点位置向上运动时开始计时， 在一个周期内的振动图像如图所示，关于这个图像下列哪些说法正确（ ） A. 时，振子的加速度为正，速度也为正 B. 时，振子的加速度为负，速度也为负 C. 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 D. 时，振子的速度为零，加速度为负的最大值 【答案】C 【解析】 时，由图像知，振子向下运动，振子的加速度向下为负，速度向下为负， A 错； 时，振子向下运动，振子的加速度向上为正，速度向下为负，B 错； 时，振子在最高点，振子的速度为零，加速度向下为负的最大值，C 对； 时，振子 在平衡位置向下运动，振子的速度最大向下为负，加速度为零，D 错，故选 C。 【变式 2】 如图所示，弹簧下面挂一质量为 m 的物体，物体向上做振幅为 A 的 简谐运动，当物体振动到最高点时，弹簧正好为原长。则物体在振动过程中（ ） 　　A.物体在最低点时的弹力大小应为 2mg 　　B.弹簧的弹性势能和物体的动能总和保持不变 　　C.弹簧的最大弹性势能等于 2mgA 　　D.物体的最大动能应等于 mgA 【答案】AC 【解析】由弹簧振子做简谐运动的对称性，在最高点时物体所受合力为 mg，方向向下，所 以在最低点物体所受合力也为 mg，方向向上，所以此时弹力大小为 2mg，A 项正确；振动 过程中物体的动能、重力势能与弹簧的弹性势能之和守恒，所以 B 项错；当小球的动能和 重力势能之和最小时（物体在最低点），弹簧的弹性势能最大，物体由最高点运动到最低点 过程中，重力势能减少 2mgA，动能不变，所以此位置的弹性势能为 2mgA，C 项正确；当 物体在平衡位置时，动能最大，但由最高点运动到平衡位置过程中，重力势能减少了 mgA， 一部分转化为动能，一部分转化为弹性势能，所以物体的最大动能一定不是 mgA，D 项错。 【变式 3】如图所示，质量为 m 的木块放在弹簧上，与弹簧一起在竖直方向上做简谐运动。 当振幅为 A 时，物体对弹簧的最大压力是物体重力的 1.5 倍，则物体对弹簧的最小弹力是多 大？要使物体在振动中不离开弹簧，振幅不能超过多大？ 【答案】 【解析】当木块运动到最低点时，对弹簧弹力最大， ， 此时由牛顿第二定律得： 所以加速度 =1.25t s =1.7t s =1.0t s =1.5t s =1.25t s =1.7t s =1.0t s =1.5t s min =0.5F mg =2A A′ max =1.5mgF max - =F mg ma =0.5a g9 当木块运动到最高点时，对弹簧弹力最小，此时由牛顿第二定律得： 由运动的对称性知，最高点与最低点的加速度大小相等，即 代入求得，最小弹力 在最高点或最低点: 回复力 ，所以弹簧的劲度系数 。 物体在平衡位置下方处于超重状态，不可能离开弹簧，只有在平衡位置上方可能离开弹簧。 要使物体在振动过程中恰好不离开弹簧，物体在最高点的加速度 ，此时弹簧的弹力为 零，若振幅再大，物体便会脱离弹簧。物体在最高点刚好不离开弹簧时，回复力为重力，所 以 ，则振幅 类型四、受迫振动和共振现象分析 物体做受迫振动时振动频率与物体固有频率无关，由驱动力频率 决定。受迫振动的振幅 A 与驱动力的频率 的关系——共振曲线 （如图所示）， 表示振动物体的固有频率，当 时振幅最 大，即达到共振。 例 4、如图所示，是一个单摆的共振曲线(取 g=10 m/s2) A. 此单摆的摆长约为 2.8m B. 此单摆的周期约为 0.3s C. 若摆长增大，共振曲线的峰将向上移动 D.若摆长增大，共振曲线的峰将向左移动 【答案】AD 【解析】由共振曲线可知，单摆的固有频率为 ， 故周期 B 错。 摆长 ，A 对。若摆长增大， 周期增大，频率变小，共振曲线的峰值将向左移动，C 错 D 对。故选 AD。 【总结升华】共振的条件是：驱动力的频率 等于振动物体的固有频率。根据周期公式判 断共振曲线的峰值将向哪边移动。 举一反三 【变式 1】铁轨上每根钢轨长 12.5m，若支持车厢的弹簧固有频率为 2Hz，那么列车以多大 速度行驶时，车厢振动的最历害? min- =mg F ma =0.5a g min =0.5F mg = =0.5F kA ma mg=回 = 2 mgk A =a g =mg kA′ =2mgA Ak ′ = f f固 =f f固 0 =0.3f Hz 1 10= 3T sf = 2 lT g π= 2= =2.84 gl mfπ f10 【答案】 25m/s 【解析】 匀速运行列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击，由于每一根钢轨长度 相等，所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动。共振的条件是驱动 力的频率等于系统的固有频率，周期 ，当 ，产生共振，即可求出速度。 所以 【变式 2】某同学看到一只鸟落在树枝上的 P 处，树枝在 10s 内上下振动了 6 次，鸟飞走后， 他把 50g 的砝码挂在 P 处，发现树枝在 10s 内上下振动了 12 次，将 50g 的砝码换成 500g 砝 码后，他发现树枝在 15s 内上下振动了 6 次，你估计鸟的质量最接近 （ ） 　　A．50g 　　　 B．200g　　 C．500g 　　D．550g 【答案】B 【解析】本题是一个估算题，直接给出的条件少，这类问题的处理方法是对题目的已知条件 进行大胆、合理地“修整”，寻找隐含的条件、规律。 鸟在树枝上时，树枝振动的周期 挂上 50g 的砝码时，树枝振动周期 挂上 500g 的砝码时，树枝振动的周期 由 于 ， 所 以 鸟 的 质 量 m 应 满 足 50g ＜ m ＜ 500g ， 故 B 选 项 正 确 。 LT v = 1 2vf T L = = = = 2 12.5 / =25 /v fL m s m s= × 0 10 5 =1.76 3T s s= = 1 10 =0.8312T s s= 2 15 =2.56T s s= 1 0 2T T T<