知识讲解 电场的能的特性（提高）知识讲解

1 物理总复习：电场的能的特性 【考纲要求】 1、理解电势差的概念及定义，会计算电场力做功及两点间电势差； 2、理解电势的概念，知道电势与电势差的关系，电势差与零电势的选取无关； 3、知道在电场中沿着电场线的方向电势越来越低； 4、知道什么是电势能，电场力做功与电势能改变的关系； 5、知道什么是等势面，理解在同一等势面上移动电荷时，电场力不做功； 6、知道电场线与等势面垂直，沿电场线方向，电势逐渐降低。 【考点梳理】 考点一、电场力做功的特点和电势能 1、电场力做功与路径无关 　　电荷在电场中移动时，静电力做功跟重力做功相似，只与电荷的起始位置和终止位置有 关，与电荷经过的路径无关。 2、电势能 　　由于移动电荷时静电力做功与路径无关，只与始末位置有关，这种与位置有关的电荷在 电场中具有的势能，叫电势能，用 表示，单位是 J。 3、电场力做功与电荷电势能变化的关系 　　电场力对电荷做正功时，电荷电势能减少；电场力对电荷做负功时，电荷电势能增加。 电势能增加或减少的数值等于电场力做功的数值。根据电场力做功与电势能变化的关系可以 看出功与电势差的关系，即 。 4、电荷在某点具有的电势能，等于静电力把它从该点移动到零势能位置时所做的功，即电 势能是相对的。 　　通常把电荷在离场源电荷无限远处的电势能规定为零，或把电荷在大地表面上的电势能 规定为零。 5、电势能的物理意义 　　是描述电荷在电场中做功本领大小的。 6、电场力做功，且只有电场力的功与电势能的变化相对应。 　　每一种势能都对应一种特定的力，势能的变化只与这个特定的力的功有关。 要点诠释： 用类比法理解： 重力场：（1）重力场中同一位置上不同质量物体的重力势能不同；（2）在重力作用下移动 物体，即重力做正功时，重力势能减少；外力反抗重力作用移动物体，即重力做负功时，重 力势能增加；（3） ，对同一物体而言，重力做的功（重 力势能的变化量）只与两点位置的高度差( )有关。 静电场：（1）电场中的同一位置上不同电量电荷的电势能不同；（2）在电场力作用下移动 电荷，即电场力做正功时，电势能减少，外力反抗电场力作用移动电荷，即电场力做负功时， 电势能增加；（3） ，对同一电荷而言，电 场力做的功（电势能的变化量）只与两点位置的电势差（ ）有关。 考点二、电势、等势面 1、电势 　　（1）电荷在电场中某一点的电势能与它的电荷量的比值，叫做这一点的电势。 PE ( )AB P PA PB A B ABW E E E q qUϕ ϕ= −∆ = − = − = AB P PA PBW E E E mg h= −∆ = − = ∆ h∆ ( )AB P PA PB A B ABW E E E q qUϕ ϕ= −∆ = − = − = ABU2 　　（2）电势的定义公式是 ，单位是 V。适用比值定义的物理量。 （3）对电势概念的理解 　　要点诠释： ①电势的固有性 　　电势 是表示电场能量属性的一个物理量，电场中某点处电势的大小是由电场本身的条 件决定的，与在该点处是否放着电荷、电荷的电性、电荷量均无关，这和许多用比值定义的 物理量相同，如前面学过的电场强度，初中学过的密度、电阻。 　　②电势的相对性 　　电势是相对的，根据公式，只有先确定了某点的电势为零以后，才能确定电场中其他点 的电势。电场中某点的电势跟零电势位置的选择有关。在理论确定中，对不是无限大的带电 体产生的电场，选择无限远处为零电势；在实际处理问题中，又常取大地为零电势，对于给 定的电场，电场中的一点只能对应着一个电势。 　　③电势是标量 　　电势是只有大小、没有方向的物理量，在规定了零电势后，电场中各点的电势可以是正 值，也可以是负值。正值表示该点电势高于零电势；负值表示该点电势低于零电势。显然， 电势的符号只表示大小，不表示方向。当规定无限远处为零电势后，正电荷产生的电场中各 点的电势均为正值，负电荷产生的电场中各点的电势均为负值。且越靠近正电荷的地方电势 越高，越靠近负电荷的地方电势就越低。 2、等势面（1）电场中电势相同的各点构成的面叫做等势面。在同一等势面上移动电荷时， 静电力不做功。 　　（2）等势面的特点和应用 　　①在同一等势面内任意两点间移动电荷时，电场力不做功。 　　②在空间没有电荷的地方两等势面不相交。 　　③电场线总是和等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面。 　　④在电场线密集的地方，等差等势面也密集。在电场线稀疏的地方，等差等势面也稀 疏。 　　⑤等势面是虚拟的。 3、典型电场的电场线及等势面 要点诠释： 　（1）匀强电场：垂直于电场线的一簇平面。间距相等、平行。 　　 （2）点电荷的电场：以点电荷为球心的一簇球面。电场线越密，等势面也越密。 （3）等量异种电荷： PE q ϕ = ϕ3 　　 　　①连线上：由正电荷到负电荷电势逐渐降低。中点电势为零。 ②中垂线上：中点电势为零。各点电势相等且都等于零。也就是说：中垂面是电势为零 的等势面。 ③电势的正负以中垂面为界，正电荷一边电势为正，负电荷一边电势为负。 （4）等量同种正点电荷 　　 　　　　 ①连线上：中点电势最低；若是等量同种负点电荷，连线上中点电势最高。 ② 中点电势等于单个点电荷在该点电势的两倍。例如：一个电荷单独存在时在 O 点 的电势是 5 伏，那么等量同种正点电荷的中点的电势就是 10 伏。 ③中垂线上：由中点到无穷远电势逐渐降低，无穷远电势为零。对中垂线而言，中点 电势最高。 4、等势面的应用 　　（1）由等势面可以判断电场中各点电势的高低及差别。 　　（2）由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力做功的情况。 　　（3）由等势面和电场线垂直，可知等势面的形状分布，可以绘制电场线，从而确定电 场的大体分布。 考点三、电势差、电势差与场强的关系 1、电势差 　　电场中两点间电势的差值叫做电势差，选择不同的位置作为电势零点，电场中某点的电 势会改变，但电场中两点间电势差不会改变，电场中两点电势差不具备相对性，是绝对的。 2、电势差表达式 　　A、B 间电势差 ； B、A 间电势差 ，显然 。 3、静电力做功与电势差的关系 或 4、匀强电场中两点间的电势差等于电场强度与这两点沿电场方向的距离的乘积。 　　即 5、电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势 AB A BU ϕ ϕ= − BA B AU ϕ ϕ= − AB BAU U= − AB ABW qU= AB AB WU q = ABU Ed=4 要点诠释：电场强度与电势差的关系式也可写做 ，它的意义是：匀强电场中电场 强度的大小等于两点间的电势差与两点沿电场强度方向上距离的比值。或者说，电场强度在 数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。 【典型例题】 类型一、电场力做功与电势差的计算 【高清课堂：电场中能的性质例 1】 例 1、以无穷远为零电势，电子在 A 点具有的电势能为 5eV，则 = V；将电子 从 A 点移到无穷远，则电场力做功为 J，若将该电子从 A 移到 B，克服电场力做 功为 10eV，则 V。 【思路点拨】电势的定义是单位正电荷在某点具有的电势能，克服电场力做功的意思是电场 力做负功。 【答案】 ； ； 。 【解析】根据 ，A 点电势 。 上式中 ，求功根据 ， 电场力做功 。 将该电子从 A 移到 B，克服电场力做功 ，根据 则 AB 间的电势差 。 【总结升华】电子带负电，这几个量都是标量，应将负号带进去计算；电势为 ，说明 该点电势比电势零点（或无穷远处）低 5 伏； 说明 A 点电势比 B 点电势高 10 伏， B 点电势应为 15 伏。场源电荷相当于一个负的点电荷。 举一反三 【变式 1】（2015 江苏卷）两个相同的负电荷和一个正电荷附近的电场线分布如图所示，c 时两负电荷连线的中点，d 点在正电荷的正上方，c、d 到正电荷的距离相等，则 A．a 点的电场强度比 b 点的大 B．a 点的电势比 b 点的高 C．c 点的电场强度比 d 点的大 ABUE d = A ϕ ABU = 5V− 198.0 10 J−× 10V PE q ϕ = 5 5P A E eV Ve e ϕ = = = −− − 5A A AV Uϕ ϕ ∞ ∞= = − = A AW qU∞ ∞= 19 191.6 10 ( 5) 8.0 10A AW qU J J− − ∞ ∞= = − × × − = × 10ABW eV= − AB ABW qU= 10 10AB AB W eVU Vq e −= = =− 5V− 10ABU V= −5 D．c 点的电势比 d 点的低 【答案】ACD 【解析】逐项判断: A.根据电场线的疏密判断，a 点电场强度比 b 大，A 正确；B.根据 沿电场线电势降低，a 点的电势比 b 低，B 错误；C.根据电场的叠加原理，c、d 点的电场都 是正电荷与两个相同的负电荷形成的电场的叠加，c 点两个相同的负电荷形成的电场互相抵 消、d 点两个相同的负电荷形成的电场方向与正电荷形成的电场方向相反，而 c、d 点与正 电荷距离相等，所以 c 点电场强度比 d 大，C 正确；D.根据 U=Ed 的原理，c、d 点与正电荷 距离相等，但正电荷到 c 间电场强度比到 d 间电场强度大，所以电势降落大，所以 c 点的电 势比 d 低，D 正确。 【点评】本题考查电场强度与电势，难度，中等。 【高清课堂：电场中能的性质例 2】 【变式 2】如图所示，在某电场中沿 ABCDA 移动电子，电场力分别做功为 ， ， 。则以下判断正确的是( ) A、D 点的电势最高，且 B、C 点的电势最高，且 C、B 点的电势最高，且 D、A 点的电势最高，且 【答案】D 【解析】由 可知 故 AB 均错。 故 故 结合分析可知 故 所以正确选项为 D。 类型二、匀强电场中 的应用 【高清课堂：电场中能的性质例 4】 4ABW eV= − 2BCW eV= − 3CDW eV= A B ϕ ϕ< A B ϕ ϕ< A D ϕ ϕ< D B ϕ ϕ> WU q = 4 4AB AB W eU V Vq e −= = =− − A B ϕ ϕ> 2 2BC BC W eU V Vq e −= = =− − B C ϕ ϕ> 3 3CD CD W eU V Vq e = = = −− − C D ϕ ϕ< D B C ϕ ϕ ϕ> > ( 4 2 3) 3AD AD W eU V Vq e − − += = =− − A D ϕ ϕ> UE d =6 例 2、图中 A、B、C、D 是匀强电场中一边长为 10cm 的正方形的四个顶点。已知 A、 B、C 三点的电势分别为 ， ， 。由此可得 D 点电势 V，电场强度 E= N/C。 【思路点拨】已知几点的电势求另外一点的电势，基本方法是作图，找出一条等势线。 【答案】7V； 【解析】题目中告诉我们的几个电势的值是有特点的，可以构造出能帮助我们解题的等势线， 这是我们解决这个问题的突破口。由题意可知，A、C 两点的电势差 ， 由于在匀强电场中，中间等分点的电势差相等，我们可以连接 AC，并把 AC 三等分，每等 分的电势差为 5 伏，如图 1 所示，两个等分点 M、N 点的电势分别为 7V 和 2V，就找到了 与 B 点电势相等的点 N，连接 BN 就是一条电势为 2 伏的等势线。 接下来，我们过 M 点做 BN 的平行线 MD，就构造出一条电势为 7V 的等势线，所以 D 点 的电势为 7V。 将 MD 延长与 AB 相交，相交于点 Q，Q 点的电势为 7 伏，位于 AB 的中点。 根据电场线与等势面（线）垂直的特点，做出电场线如图，方向由高电势指向低电势。 过 A 点的电场线与 QD 交于 P 点。 要求电场强度，根据 ，U 是匀强电场中两点的电势差，d 是这两点沿场强方向 上的距离。分析图中几何关系，QD=5 cm，AP=2 cm， ，d=AP. 所以场强 V/m。 【总结升华】这类题的基本解法是：连接两点，找第三点的等势点，作等势线，进而确定场 强的方向及大小。一般情况下，连接最高电势点和最低电势点，在连线上寻找第三点的等势 点。如本题另一解法：AB 的中点 Q，电势为 7 伏，AQ=QB，两段的电势差都为 5 伏，沿 AB 方向延长 5cm 到 R 点，则 R 点电势比 B 点低 5 伏，即-3 伏，连接 RC 为一条等势线，RC 平行于 QD，所以 D 点的电势为 7 伏。或者这样理解：从 Q 到 R 电势降低了 10 伏，那么从 D 到 C 电势也降低了 10 伏，则 D 点电势等于 7 伏。 另外求场强时，d 是沿场强方向上的距离。如果已知的两点距离不沿着电场线方向，应 投影到电场方向上，看投影距离。如本题的 d 是 AP 的长度。 作图法是很麻烦，对给出的任意几点的电势必须用作图法求解，但对特殊图形呢？如 12A Vϕ = 2B Vϕ = 3C Vϕ = − D ϕ = 12 ( 3) 15ACU V V= − − = UE d = 5 5 12 7 5APU V= − = 2 5 / 50 5 / 111.8 2 5 10 AP AP UE V m V md − = = = × 7 正方向、长方形、平行四边形等形状，有没有快捷的解法呢？如图是在匀强电场中一个平行 四边形，如果已知三点的电势，另一点的电势为多少呢？ 从图形可以看出 AB 与 CD 沿场强方向的距离相等，设一个检验电荷+q 在电场力作用 下从 A 点运动到 B 点，电场力做功为 W；同样将这个电荷从 C 点运动到 D，电场力做功也 为 W，根据 ，说明 AB 与 CD 的电势差相等，即 。 结论：在匀强电场中，沿场强方向相等距离上的电势差相等。 如上图中 A、B、C 三点的电势分别为 10V、4V、12V，D 点电势为多少伏？ AB 的电势差为 10V－4V=6V，CD 的电势差也应为 6V，12－ =6V，所以 D 点电势 为 6V。这样就非常简捷了。 举一反三 【变式 1】a、b、c、d 是匀强电场中的四个点，它们正好是一个矩形的四个顶点。电场线与 矩形所在的平面平行。已知 a 点的电势是 20V，b 点的电势是 24V，d 点的电势是 4V，如图。 由此可知，c 点的电势为（ ） A、4V B、8V C、12V D、24V 【答案】B 【解析】 ， ，则 。 计 算 上 下 方 向 也 一 样 。 ， ， 则 。 【变式 2】如图所示，在 平面内有一个以 为圆心、半径 R=0.1m 的圆，P 为圆周上的 一点， 、 两点连线与 轴正方向的夹角为 。若空间存在沿 轴负方向的匀强电场， 场强大小 ，则 、 两点的电势差可表示为( ) AB AB CD CDW qU qU W= = = AB CDU U= DU 20 4 16adU V V V= − = 24 16bc ad dU U V U V= = − = 8dU V= 20 24 4abU V V V= − = − 4 4dc ab dU U V U V= = − = − 8dU V= xOy O O P x θ y 100 /E V m= O P8 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】在匀强电场中，两点间的电势差 U=Ed，而 d 是沿场强方向上的距离，所以 ，故： ，选项 A 正确。 【变式 3】电荷量 的电荷在匀强电场中由 A 点移动至 B 点时电场力做的 功为 ，若把它从电场中的 A 点移至电场中的 C 点电场力做的功为 ， 已知 A、B 连线与 A、C 连线夹 120°角，AB=9cm，AC=4.5cm，求： （1）A、B 两点的电势差 （2）匀强电场的电场强度。 【答案】（1） ；（2） V/m。 【解析】依据已知电场力做功求出电势差，再根据匀强电场中场强和电势差的关系确定场强 关系，反之亦然。 （1）据题意作出图如图。由 得 （2）又 延长 BA 至 D，使 AD=AB/2=(9.0/2)cm=4.5cm. 由 知 ， 则 故 . 连接 CD，CD 即为此电场中的一条等势线，过 A 作 CD 的垂线 与 CD 交于 P。根据电场线和等势面（线）垂直，且指向电势低的一方，故应由一条电场线 10sin (V)opU θ= − 10sin (V)opU θ= 10cos (V)opU θ= − 10cos (V)opU θ= sinOPd R θ= −  100 ( 0.1 sin ) 10sin ( )OPU Vθ θ= × − × = − 52.0 10q C−= − × 46.0 10 J−× 43.0 10 J−− × 30V− 380E = AB ABW qU= 4 5 6.0 10 302.0 10 AB AB WU V Vq − − ×= = = −− × 4 5 3.0 10 152.0 10 AC AC WU V Vq − − − ×= = =− × UE d = 2BA AD U U = 1 1 152 2AD BA ABU U U V= = − = AC ADU U= C D ϕ ϕ=9 沿此垂线，且场强方向由 A 指向 P，由 ，其中 ，故场强 E 的大 小为 类型三、由粒子运动判断电场力做功和电势能变化 例 3、图中虚线为一组间距相等的同心圆，圆心处固定一带正电的点电荷。一带电粒子 以一定初速度射入电场，实线为粒子仅在电场力作用下的运动轨迹，a、b、c 三点是实线与 虚线的交点。则该粒子（ ） A．带负电 B．在 c 点受力最大 C．在 b 点的电势能大于在 c 点的电势能 D．由 a 点到 b 点的动能变化大于有 b 点到 c 点的动能变化 【思路点拨】判断粒子的电性一般根据“合力指向轨迹凹的一侧”，判断电势高低根据电场 线的方向，判断动能的增大减小、电势能的增大减小根据电场力做功，分析力的方向位移的 方向。 【答案】CD 【解析】由粒子运动轨迹可判断粒子受斥力作用粒子带正电，A 选项错误；离电荷距离越近 受斥力越大，故 a 点受力最大，B 选项错误；由 b 点到 c 点的运动过程中电场力对粒子做正 功，电势能减小，故 b 点电势能大于 c 点电势能，C 选项正确；ab 与 bc 处于等距离同心圆 上 ， 靠 近 电 荷 的 电 场 强 度 较 大 ， 结 合 可 判 断 电 势 差 , 电 场 力 做 功 , 结合动能定理可知由 a 点到 b 点的动能变化大于由 b 点到 c 点的动能 变化，D 选项正确。 【总结升华】这类题往往条件是“粒子仅在电场力作用下的运动轨迹”，判断电场力的方向： 可以用“合力（电场力）方向指向曲线凹的一侧”，本题指向上方，与电场线方向相同，故粒 子带正电荷；本题也可以看出粒子受排斥力，结论相同。比较电势能大小和动能大小根据电 场力做功判断：本题分析方法：由 a 点到 b 点，电场力向上，位移也向上，方向相同，电场 力做正功，动能增大，电势能减小，a 点的动能小于 b 点的动能，a 点的电势能大于 b 点的 电势能，同理可以比较 b 点和 c 点的动能、电势能的大小。本题“间距相等的同心圆”不是等 势面，距离相等的两段电势差大小的比较：离电荷近的电场线密，等势面就密，所以离电荷 近的电势差大， 电场力做的功就多，动能的变化量就大，电势能的变化量也大。 本题由 a 点到 b 点、b 点到 c 点电场力都做正功，因此由 a 点到 b 点动能的增加量大于 b 点 到 c 点的，由 a 点到 b 点电势能的减少量大于 b 点到 c 点电势能的减少量。另外，与粒子的 运动轨迹方向无关。 举一反三 AP AP UE d = cos30APd AC=  2 15 / 380 /cos30 4.5 10 3 / 2 APUE V m V mAC − = = = × × U Ed= ab bcU U> W qU= ab bcW W> W qU=10 【变式 1】如图，在点电荷 Q 产生的电场中，将两个带正电的试探电荷 、 分别置于 A、B 两点，虚线为等势线。取无穷远处为零电势点，若将 、 移动到无穷远的过程中外力克 服电场力做的功相等，则下列说法正确的是（ ） A．A 点电势大于 B 点电势 B．A、B 两点的电场强度相等 C． 的电荷量小于 的电荷量 D． 在 A 点的电势能小于 在 B 点的电势能 【答案】C 【解析】将正的点电荷从电场中移到无穷远处要克服电场力做功，说明点电荷 Q 带负电， 在负的点电荷电场中离负电荷越远处电势越高，因此 A 点电势小于 B 点电势，A 项错误； 离点电荷越远处电场强度越小，B 项错误；A 点与无穷远处的电势差 U1 比 B 点与无穷远处 的电势差 U2 大，由于两电荷移到无穷远处克服电场力做功相等，因此有 ，因 此 q1 小于 q2 ，C 项正确；由于两电荷移到无穷远处克服电场力做功相等，因此有 ，即 ，因此两电荷在 A、B 两点的电势能相等，D 项错误。 【变式 2】两个固定的等量异号电荷所产生电场的等势面如图所示，一带负电的粒子以某一 速度从图中 A 点沿图示方向进入电场在纸面内飞行，最后离开电场，粒子只受静电力作用， 则粒子在电场中 （ ） A．作直线运动，电势能先变小后变大 B．作直线运动，电势能先变大后变小 C．做曲线运动，电势能先变小后变大 D．做曲线运动，电势能先变大后变小 【答案】C 【解析】这是一个等量异种点电荷电场中电势分布的模型。带负电的粒子开始在零电势线上， 1q 2q 1q 2q 1q 2q 1q 2q 1 1 2 2qU q U= 00q 21 −=− BA q ϕϕ BA q ϕϕ 21q =11 电势能为零，进入电场后在电场力的作用下向上偏转，做曲线运动，电场力做正功，电势能 减小，最后出电场，电势能又增大为零，因此电子整个过程做曲线运动，电势能先变小后变 大，C 项正确。 类型四、电场与力学综合问题 例 4、（2016 上海卷）如图（a），长度 L=0.8m 的光滑杆左端固定一带正电的点电荷 A，其 电荷量 Q= ；一质量 m=0.02kg，带电量为 q 的小球 B 套在杆上。将杆沿水平方 向固定于某非均匀外电场中，以杆左端为原点，沿杆向右为 x 轴正方向建立坐标系。点电荷 A 对小球 B 的作用力随 B 位置 x 的变化关系如图（b）中曲线Ⅰ所示，小球 B 所受水平方向 的合力随 B 位置 x 的变化关系如图（b）中曲线Ⅱ所示，其中曲线Ⅱ在 0.16≤x≤0.20 和 x≥0.40 范围可近似看作直线。求：（静电力常量 ） （1）小球 B 所带电量 q； （2）非均匀外电场在 x=0.3m 处沿细杆方向的电场强度大小 E； （3）在合电场中，x=0.4m 与 x=0.6m 之间的电势差 U。 （4）已知小球在 x=0.2m 处获得 v=0.4m/s 的初速度时，最远可以运动到 x=0.4m。若小 球在 x=0.16m 处受到方向向右，大小为 0.04N 的恒力作用后，由静止开始运动，为使小球能 离开细杆，恒力作用的做小距离 s 是多少？ 【答案】（1） （2） （3）800v （4）0.065m 【解析】（1）由图可知，当 x=0.3m 时， N 因此 C （2）设在 x=0.3m 处点电荷与小球间作用力为 F2， F 合=F2+qE 71.8 10 C−× 9 29 10 N m / Ck = × ⋅ 61 10 C−× 43 10 N / C× 1 2 0.018qQF k x= = 2 61 1 10F xq kQ -= = ´12 因此 电场在 x=0.3m 处沿细秆方向的电场强度大小为 3 ，方向水平向左。 （3）根据图像可知在 x=0.4m 与 x=0.6m 之间合力做功大小 ，又 ,可得 (4)由图可知小球从 x=0.16 到 x=0.2m 处， 电场力做功 小球从 x=0.2m 到 x=0.4m 处 由图可知小球从 到 处 电场力做功 =－0.004×0.4= 由动能定理 + + + =0 解得 = 举一反三 【变式】如图所示，MN 为一固定的竖直放置的光滑绝缘细杆，杆与以正点电荷 Q 为圆心， r 为半径的圆周交于 B、C 两点，B、C 相距 h。穿在杆上的质量为 m、电量为 q 的带正电小 球从杆上 A 点由静止起下滑，已知 。已知 A、B 间的距离亦为 h，小球到达 C 点的速 度大小为 ，求： （1）小球到达 B 点时速度的大小； （2）A、B 两点的电势差 为多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】（1）带电小球从 A 到 C 电场力做功 ，根据动能定理 即 解得 由于 BC 两点都在+Q 电场的圆周上，圆周是一个等势面，带电小球从 B 到 C 电场力不做功， 2 4 6 0.012 0.018 N / C 3 10 N / C1 10 F FE q - - - -= = =- ´´ 合 ´ 410 N / C 40.004 0.2 8 10 JW −= × = × qU W= 800VWU q = = 4 1 0.03 0.04 6 10 J2W −×= = × 2 3 2 1 1.6 10 J2W mv −= − = − × 0.4mx = 0.8mx = 3W 31.6 10−− × J 1W 2W 3W F s外 s 1 2 3 =0.065mW W W F + +− 外 q Q≤ 3Cv gh= ABU Bv gh= 1 2ABU mghq = − ACW 21 2GAC AC CW W mv+ = 212 2AB Cmg h W mv+ = 1 2ACW mgh= −13 所以 从 A 到 B 应用动能定理 即 解得 。 （ 2 ） 根 据 。 说 明 A 点 电 势 比 B 点 电 势 低 。 1 2AB ACW W mgh= = − 21 2GAB AB BW W mv+ = 21 1 2 2 Bmgh mgh mv− = Bv gh= 1 2 AB AB WU mghq q = = −14 【巩固练习】 一、选择题 1、（2016 江苏卷）一金属容器置于绝缘板上，带电小球用绝缘细线悬挂于容器中，容器内 的电场线分布如图所示．容器内表面为等势面，A、B 为容器内表面上的两点，下列说法正 确的是(　　) A．A 点的电场强度比 B 点的大 B．小球表面的电势比容器内表面的低 C．B 点的电场强度方向与该处内表面垂直 D．将检验电荷从 A 点沿不同路径移到 B 点，电场力所做的功不同 2、如图所示，实线为电场线，虚线为等势线，且 AB=BC，电场中的 A、B、C 三点的场强 分别为 EA、EB、EC，电势分别为 、 、 ，AB、BC 间的 电势差分别为UAB、UBC，则下列关系中正确的有（ ） A. ＞ ＞ 　　　 B. EC＞EB＞EA C.　UAB＜UBC　　　　　　　　 D.　 UAB＝UBC 3、如图所示，在y轴上关于0点对称的A、B两点有等量同种点电荷+Q，在x轴上C点有点电 荷－Q且CO=OD，∠ADO=600。下列判断正确的是（ ） A. O 点电场强度为零 B. D 点电场强度为零 C. 若将点电荷+q 从 O 移向 C，电势能增大 D.若将点电荷-q 从 O 移向 C，电势能增大 4、如图所示，在两等量异种点电荷的电场中，MN 为两电荷连线 的中垂线，a、b、c 三点所在直线平行于两电荷的连线，且 a 与 c 关于 MN 对称，b 点位于 MN 上，d 点位于两电荷的连线上。以下判断正确的是 （ ） A．b 点场强大于 d 点场强 B．b 点场强小于 d 点场强 Aϕ Bϕ Cϕ Aϕ Bϕ Cϕ15 C．a、b 两点的电势差等于 b、c 两点间的电势差 D．试探电荷+q 在 a 点的电势能小于在 c 点的电势能 5、（2016 海南卷）如图，一带正电的点电荷固定于 O 点，两虚线圆均以 O 为圆心，两实线 分别为带电粒子 M 和 N 先后在电场中运动的轨迹，a、b、c、d、e 为轨迹和虚线圆的交点。 不计重力。下列说法说法正确的是（ ） A．M 带负电荷，N 带正电荷 B．M 在 b 点的动能小于它在 a 点的动能 C．N 在 d 点的电势能等于它在 e 点的电势能 D．N 在从 c 点运动到 d 点的过程中克服电场力做功 6、两个等量异种点电荷位于 轴上，相对原点对称分布，正确描述电势 随位置 变化规 律的是图（ ） 7、空中 P、Q 两点处各固定一个点电荷，其中 P 点处为正点电荷，P、Q 两点附近电场的等 势面分布如图所示，a、b、c、d 为电场中的四个点。则（ ） A．P、Q 两点处的电荷等量同种 B．a 点和 b 点的电场强度相同 C．c 点的电热低于 d 点的电势 D．负电荷从 a 到 c，电势能减少 8、静电场在 x 轴上的场强 E 随 x 的变化关系如图所示，x 轴正向为场强正方向，带正电的 点电荷沿 x 轴运动，则点电荷（） x ϕ x16 A. 在 x2 和 x4 处电势能相等 B. 由 x1 运动到 x3 的过程电势能增大 C. 由 x1 运动到 x4 的过程电场力先增大后减小 D. 由 x1 运动到 x4 的过程电场力先减小后增大 9、空间有一沿 x 轴对称分布的电场，其电场强度 E 随 x 变化的图像如图所示。下列说法正 确的是 （ ） A. O 点的电势最低 B. x2 点的电势最高 C. x1 和－x1 两点的电势相等 D. x1 和 x3 两点的电势相等 10、如图所示，一电场的电场线分关于 y 轴（沿竖 直方向）对称，O、M、N 是 y 轴上的三个点，且 OM=MN。 则（ ） Ａ．M 点的电势比 P 点的电势高 Ｂ．将负电荷由 O 点移动到 P 点，电场力做正功 Ｃ．M、N 两点间的电势差大于 O、M 两点间的电势差 Ｄ．在 O 点静止释放一带正电粒子，该粒子将沿 y 轴做 直线运动 11、图中虚线为匀强电场中与场强方向垂直的等间距平行直线，两粒子 M、N 质量相等， 所带电荷量的绝对值也相等，现将 M、N 从虚线上的 O 点以相同速率射出，两粒子在电场 中运动的轨迹分别如图中两条实线所示。点 a、b、c 为实线与虚线的交点，已知 O 点电势 高于 c 点。若不计重力，则（ ） A、M 带负电荷，N 带正电荷 B、N 在 a 点的速度与 M 在 c 点的速度大小相同 C、N 在从 O 点运动至 a 点的过程中克服电场力做功 D、M 在从 O 点运动至 b 点的过程中，电场力对它做的功 等于零 12、位于 A、B 处的两个带有不等量负电的点电荷在平面内电势分布如图所示，图中实线表 示等势线，则（ ） A. a 点和 b 点的电场强度相同 B. 正电荷从 c 点移到 d 点，电场力做正功 C. 负电荷从 a 点移到 c 点，电场力做正功 D. 正电荷从 e 点沿图中虚线移到 f 点，电势能先减小后增大17 13、如图所示，在 x 轴上关于原点 O 对称的两点固定放置等量异种点电荷+Q 和－Q，x 轴 上的 P 点位于－Q 的右侧。下列判断正确的是（ ） 　A．在 x 轴上还有一点与 P 点电场强度相同 　B．在 x 轴上还有两点与 P 点电场强度相同 　C．若将一试探电荷+q 从 P 点移至 O 点，电势能增大 　D．若将一试探电荷+q 从 P 点移至 O 点，电势能减小 二、计算题 1、如图所示，空间有一场强为 E、水平向左的匀强电场，一质量为 m、电荷量为+q 的 滑块（可视为质点）在粗糙绝缘水平面上由静止释放，在电场力的作用下向左做匀加速直线 运动，运动位移为 L 时撤去电场。设滑块在运动过程中，电荷量始终保持不变，已知滑块 与水平面间的动摩擦因数为 μ。 （1）画出撤去电场前滑块运动过程中的受力示意图，并求出该过程中加速度 a 的大小； （2）求滑块位移为 L 时速度 v 的大小； （3）求撤去电场后滑块滑行的距离 x。 2、如图所示，长度为l的轻绳上端固定在O点，下端系一质量为m，电荷量为+q的小球。 整个装置处于水平向右，场强大小为 的匀强电场中。重力加速度为g。 （1）求小球在电场中受到的电场力大小F； （2）当小球处于图中A位置时，保持静止状态。若剪断细绳，求剪断瞬间小球的加速 度大小a； （3）现把小球置于图中位置B处，使OB沿着水平方向，轻绳处于拉直状态。小球从位 置B无初速度释放。不计小球受到的空气阻力，求小球通过最低点时的速度大小v。 q mg 4 3 Ｌ E 18 3、如图甲，在水平地面上固定一倾角为 θ 的光滑绝缘斜面，斜面处于电场强度大小为 E、方向沿斜面向下的匀强电场中。一劲度系数为 k 的绝缘轻质弹簧的一端固定在斜面底端， 整根弹簧处于自然状态。一质量为 m、带电量为 q（q>0）的滑块从距离弹簧上端为 s0 处静 止释放，滑块在运动过程中电量保持不变，设滑块与弹簧接触过程没有机械能损失，弹簧始 终处在弹性限度内，重力加速度大小为 g。 （1）求滑块从静止释放到与弹簧上端接触瞬间所经历的时间 t1 （2）若滑块在沿斜面向下运动的整个过程中最大速度大小为 vm，求滑块从静止释放到速度 大小为 vm 过程中弹簧的弹力所做的功 W； （3）从滑块静止释放瞬间开始计时，请在乙图中画出滑块在沿斜面向下运动的整个过程中 速度与时间关系 v-t 图象。图中横坐标轴上的 t1、t2 及 t3 分别表示滑块第一次与弹簧上端接触、 第一次速度达到最大值及第一次速度减为零的时刻，纵坐标轴上的 v1 为滑块在 t1 时刻的速 度大小，vm 是题中所指的物理量。（本小题不要求写出计算过程） 4、 如图所示，一质量为 m 的塑料球形容器放在 桌面 上，它的内部有一劲度系数为 k 的轻弹簧，弹 簧直立地固定于容器内壁的底部，弹簧上端经绝缘物系住一只带正电 q、质量也为 m 的小球 静止，现从加一个向上的场强为 E 的匀强电场起，到容器对桌面压力减为零时为止。求： （1）小球的电势能改变量； （2）容器对桌面压力减为零时小球的速度大小。 【答案与解析】 θ S0 E 甲 t v t1 t2 t3O v1 vm 乙19 一、选择题 1、【答案】C　 【解析】 电场线的疏密反映电场的强弱，电场线越密，电场越强，据图可知，B 点的 电场强度比 A 点大，选项 A 错误；沿电场线电势降低，小球表面的电势比容器内表面的高， 选项 B 错误；容器内表面为等势面，而电场线总与等势面垂直，故 B 点的电场强度方向与 该处内表面垂直，选项 C 正确．A、B 两点等势，将检验电荷从 A 点沿不同路径移到 B 点， 电场力做功均为零，选项 D 错误． 故选 C。 2、ABC 解析：由电场线的疏密可知，C 点最密，A 点最稀，则 B 对；沿电场线方向电势降低，A 点 电势最高，C 点最低，则 A 对；AB=BC，AB 的平均电场强度小于 BC 的，所以 UAB＜UBC， C 对 D 错。故选 ABC。 3、BD 解析：等量同种电荷中点的电场强度为零，但这里在 C 点多了一个点电荷，显然 O 点电场 强度不为零。根据“合力等于分力”的模型，AB 两点的正电荷在 D 点的场强方向沿 x 轴正方 向，大小等于 ，－Q 在 D 点的场强方向沿 x 轴负方向，大小等于 ， 根据几何关系， ，所以 D 点电场强度为零，B 对。若将点电荷+q 从 O 移向 C， 电场力方向向左，位移向左，电场力做正功，电势能减小，C 错；若将点电荷－q 从 O 移向 C，电场力做负功，电势能增大，D 对。故选 BD。 4、BC 解析：根据等量异种点电荷的电场的分布特点和叠加原理可知 A 错误，B 正确；因为 a、b、 c 三点所在直线平行于两电荷的连线，且 a 与 c 关于 MN 对称，a、b 两点的电势差等于 bc 两点间的电势差，C 正确；根据等量异种点电荷的电场的分布特点，a 点的电势高于 c 点的 电势，所以试探电荷+q 在 a 点的电势能大于在 c 点的电势能，D 错误。 5、【答案】ABC 【解析】如图所示，M 粒子的轨迹向左弯曲，则所受电场力向左，可知 M 受到引力作 用，故 M 带负电，而 N 粒子的轨迹向下弯曲，则带电粒子所受的电场力向下，说明 N 受到 了斥力作用，故 N 带正电，A 正确；由于虚线是等势面，故 M 从 a 到 b 电场力对其做负功， 动能减少，B 正确；d 和 e 在同一等势面上，N 移动时不做功，电势能不变，C 正确；N 带 正电，从 c 到 d，电场力做正功，选项 D 错误。 故选 ABC。 2AB AD QE k r = 2C CD QE k r = AB CE E=20 6、A 解析：等量异种电荷中点的电势为零，点电荷的电势与电荷量成正比，与距离成反比，靠近 正电荷一侧的电势为正，靠近负电荷一侧的电势为负，则只有选项 A 正确。 7、D 解析：根据等势线及电场线（根据电场线垂直等势线画出即可）分布特点可知 PQ 两点处为 等量异种电荷；其中 a、b 两点电场强度大小相等，方向不同；由电场线的分布及走向可知 c 点电势高于 d 点的电势；负电荷由 a 点到 c 点电场力做正功，电势能减小；正确选项为 D 8、【答案】 BC 【思路】由图可以看出在 0—x1 处场强为正，x1—+∞处场强为负方向，沿着电场线的方 向电势降低，对于正电荷而言电势降低则电势能减小。 【解析】x2-x4 处场强为 x 轴负方向，则从 x2 到 x4 处逆着电场线方向移动，电势升高， 正电荷在 x4 处电势能较大，故 A 错误；x1-x3 处场强为 x 轴负方向，则从 x1 到 x3 处逆着电场 线方向移动，电势升高，正电荷在 x3 处电势能较大，故 B 正确；由 x1 运动到 x4 的过程中， 由图可以看出电场强度的绝对值先增大后减小，故电场力先增大后减小，故 C 正确 D 错误。 【点评】本题考查从图象获取信息的能力；由 U=Ed，所以 U-x 图象组成图形的面积还 可以表示电势差。 9、C 解析：A、B、从图象可以看出，电场强度的大小和方向都沿 x 轴对称分布，沿着电场强度 的方向，电势一定降低，故根据其电场强度 E 随 x 变化的图象容易判断，O 点的电势最高， 故 A 错误，B 也错误；C、由于 x1 和－x1 两点关于 x 轴对称，且电 场强度的大小也相等，故从 O 点到 x1 和从 O 点到－x1 电势降落相 等，故 x1 和－x1 两点的电势相等，因而 C 正确； D、由于沿着电场强度的方向，电势一定降低，故从 O 点到 x1 和从 O 点到 x3 电势都是一直 降落，故 x1 和 x3 两点的电势不相等，故 D 错误；故选 C。 10、AD 解析：由图和几何关系可知 M 和 P 两点不处在同一等势线上（可以做一个弧形等势面向下 凹就可以看出），而且有 ，A 对；将负电荷由 O 点移到 P 要克服电场力做功，即电 场力做负功，B 错；根据 ，O 到 M 的平均电场强度大于 M 到 N 的平均电场强度， 所以有 ，C 错。从 O 点释放正电子后，电场力做正功，该粒子将沿 y 轴做加速 直线运动。 11、BD 解析：题中“虚线为匀强电场中与场强方向垂直的等间距平行直线”说明图中的虚线为等势线， “O 点电势高于 c 点”说明场强方向竖直向下，N 受到的电场力向上，M 受到的电场力向下， 所以 M 带正电荷，N 带负电荷，A 错；M 点从 O 点到 b 点的过程中（同一条等势线）电场 力对粒子做功等于零，D 正确；O 到 a 的电势差等于 O 到 c 的两点的电势差，而且电荷和 质量大小相等，而且电场力都做的是正功，根据动能定理得 a 与 c 两点的速度大小相同，但 方向不同，B 对。故选 BD。 12、CD 解析：电场线的疏密可以表示电场的强弱，方向也不同，可见 A 错误；正电荷从 c 点移到 d 点，电场力做负功，负电荷从 a 点移到 c 点，电场力做正功，所以 B 错误，C 正确；正电荷 从 e 点沿图中虚线移到 f 点，电场力先做正功，后做负功，但整个过程电场力做正功，D 正 M P ϕ ϕ> U Ed= OM MNU U>21 确。 13、AC 解析：根据等量正负点电荷的电场分布可知，在 x 轴上还有一点与 P 点电场强度相同，即 和 P 点关于 O 点对称，A 正确。若将一试探电荷+q 从 P 点移至 O 点，电场力先做正功后做 负功，所以电势能先减小后增大。一般规定无穷远电势为零，过 0 点的中垂线电势也为零， 所以试探电荷+q 在 P 点时电势能为负值，移至 O 点时电势能为零，所以电势能增大，C 正 确。 二、计算题 1、（1） （2） （3） 解析：（1）滑块沿轨道向左运动过程中的受力如图所示。 根据牛顿运动定律： 又因为 所以 （2）滑块向左做匀加速直线运动，根据运动学公式： 所以 （3）滑块在水平面上运动的整个过程中，根据动能定理有 2、（1） （2） （3） 解析：（1）小球所受的电场力  （2）根据平行四边形定则，小球受到的重力和电场力的的合力 根据牛顿第二定律 所以，小球的加速度 （3）根据动能定理有 qEa gm µ= − 2( )qEv g Lm µ= − ( 1)qEx Lmgµ= − 0mg N qE f ma − = − = f Nµ= qEa gm µ= − 2 2v aL= 2( )qEv g Lm µ= − ( ) 0 0qEL mg L xµ− + = − ( 1)qEx Lmgµ= − 3 4 mg ga 4 5= 2 2 2 glglv = = mgEqF 4 3== 3 4F Eq mg= = mgEqF 4 5)()mg 22 =+= （合 =F ma合 ga 4 5= N mg qE f22 解得： 3、（1） ; （2） ; （3）如图。 解析：本题考查的是电场中斜面上的弹簧类问题。涉及到匀变速直线运动、运用动能定理处 理变力功问题、最大速度问题和运动过程分析。 （1）滑块从静止释放到与弹簧刚接触的过程中作初速度为零的匀加速直线运动，设加速 度大小为 a，则有 ① ② 联立①②可得 ③ （2）滑块速度最大时受力平衡，设此时弹簧压缩量为 ，则有 ④ 从静止释放到速度达到最大的过程中，由动能定理得 ⑤ 联立④⑤可得 （3）如图 02 1 2 −=− mvEqlmgl 2 2 2 glglv = = 0 1 2 sin mst qE mg θ= + 2 0 1 sin( sin ) ( )2 m mg qEW mv mg qE s k θθ += − + ⋅ + sinqE mg maθ+ = 2 0 1 1 2s at= 0 1 2 sin mst qE mg θ= + 0x 0sinmg qE kxθ + = 2 0 1( sin ) ( ) 02m mmg qE x x W mvθ + ⋅ + + = − 2 0 1 sin( sin ) ( )2 m mg qEW mv mg qE s k θθ += − + ⋅ +23 4、（1） （2） （1）未加电场时，弹簧压缩了 容器对桌面压力减为零时，弹簧的伸长量 小球向上移动 小球的电势能减少了 （2）弹簧初态的压缩量与末态的伸长量相等，故弹性势能的改变量为零.因此电势能的减少 量等于小球的动能和重力势能的增量。 即 解得 。 2Eqmg k ( )Eq mg g k − 1 mgx k = 2 mgx k = 1 2 2mgx x x k = + = 2 k EqmgE Eqx k ∆ = = 22 1 2 Eqmg mgx mvk = + ( )Eq mg gv k −=