知识讲解 闭合电路的欧姆定律（提高）

1 物理总复习：闭合电路的欧姆定律 【考纲要求】 1、知道电源电动势的意义及其内、外电压的关系，闭合电路的欧姆定律，会对电路 进行动态分析； 2、知道知道闭合电路中功率的分配关系； 3、能对含电容器电路的相关物理量进行计算。 【考点梳理】 考点一、闭合电路的欧姆定律 （一）电动势 1、电源 　　使导体两端存在持续电压，将其他形式的能转化为电能的装置。 2、电动势 要点诠释： 　　（1）物理意义：反映不同电源把其他形式的能转化为电能本领大小的物理量。电动势 大，说明电源把其他形式的能转化为电能的本领大；电动势小，说明电源把其他形式的能转 化为电能的本领小。 　　定义公式为 ，其单位与电势、电势差相同。该物理量为标量。 　　（2）大小：等于外电路断开时的路端电压，数值上也等于把 1C 的正电荷从电源负极 移到正极时非静电力所做的功。 　　（3）电动势的方向：电动势虽是标量，但为了研究电路中电势分布的需要，我们规定 由负极经电源内部指向正极的方向（即电势升高的方向）为电动势的方向。 （二）闭合电路的欧姆定律 1、内容 　　闭合电路中的电流跟电源电动势成正比，跟内、外电路电阻之和成反比，这个结论叫做 闭合电路欧姆定律。 2、表达式 　　（1）电流表达式 （2）电压表达式 3、适用范围 　　外电路是纯电阻的电路。 4、路端电压 U 要点诠释： 　　外电路两端的电压，即电源的输出电压， 　　（1）当外电阻 R 增大时，I 减小，内电压减小，路端电压 U 增大。当外电路断开时， I=0，U=E。 　　（2）当外电阻减小时，I 增大，内电压增大，路端电压减小。当电源两端短路时， 外电阻 R=0, U=0， 。 　　（3）路端电压也可以表示为 。 也可以得到路端电压随外电阻增大而增大的结论。 5、路端电压与电流的关系（U 一 I 图象） WE q = 非 EI R r = + rE IR Ir U U= + = + U E Ir= − EI r = 1 ER EU IR rR r R = = =+ +2 要点诠释： 　　如下左图所示为 U－I 图象，由 知，图线为一条直线，与纵轴交点为电源电 动势，与横轴交点为短路电流，直线的斜率的绝对值等于电源内阻。 　　由于一般电源的内阻 r 很小，故外电压 U 随电流 I 的变化不太明显，实际得到的图线往 往很平，只画在坐标纸上的上面一小部分，为充分利用坐标纸，往往将横轴向上移，如下右 图所示的实验图线。此时应注意，图线与横轴的交点 ，并非短路电流，不可盲目用它求内 阻，但图线与纵轴的交点仍代表电动势 E，图线斜率的绝对值仍等于内阻 r。 　 6、闭合电路中的功率 要点诠释： 　　（1）电源的总功率： ； 　　（2）电源内耗功率： ； 　　（3）电源的输出功率： （4）电源的输出功率随外电阻的变化规律 电源的输出功率为 当 时， 有最大值，即 ， 与外电阻 R 的这种函数关系可用如图的图象 定性地表示： 　　 　　由图象还可知，对应于电源的非最大输出功率 P 可以有两个不同的外电阻 R1 和 R2， 当 时，若 R 增大，则 增大；当 时，若 R 增大，则 减小。 （5）电源效率 电源效率：指电源的输出功率与电源的功率之比， 即 . 对纯电阻电路： . 所以当 R 增大时，效率 提高，当 时，电源有最大输出功率，效率仅为 50%，效率并 不高。 考点二、含电容器电路的分析 U E Ir= − 1I =rP EI IU IU P P= = + +总 出 内 2=P I r P P= −总内 内 2=P IU EI I r P P= − = −出 总 内 2 2 2 2 22 2= ( )( ) ( ) 4 4 E E R EP I R R R rR r R r Rr rR = = = −+ − + + 出 R r= P出 2 = 4m EP r出 P出 R r< P出 R r> P出 =P IU U P IE E η = =出 2 2 1 ( ) 1 I R R rI R r R r R η = = =+ + + η R r=3 要点诠释：在直流电路中，当电容器充放电时，电路里有充、放电电流。一旦电路达到稳定 状态时，电容器在电路中就相当于一个阻值无限大的元件，电容器可看作断路，简化电路时 可去掉。分析和计算含电容器电路时，需注意以下几点： 1、电路稳定后，由于电容器所在支路无电流通过，所以在此支路中的电阻上无电压降， 因此电容器两极板间的电压就等于该支路两端的电压。 2、当电容器和电阻并联后接入电路时，电容器两极板间的电压与其并联电阻两端的电 压相等。 3、电路的电流、电压变化时，将会引起电容器的充、放电。如果电容器两端电压升高， 电容器将充电；如果电压降低，电容器将放电。电荷量变化由 计算。 考点三、动态电路的分析 要点诠释：根据欧姆定律及串、并联电路的性质，来分析电路中某一电阻变化而引起的整个 电路中各部分电学量的变化情况，常见方法如下： 　　（1）程序法 　　基本思路是“部分→整体→部分”，即从阻值变化的部分入手，由串并联规律判知 的变化情况，再由欧姆定律判知 和 的变化情况，最后由部分电路欧姆定律判知各部 分物理量的变化情况。 　　分析解答这类习题的一般步骤是： ①确定电路的外电阻以及外电阻 如何变化。 ②根据闭合电路欧姆定律 ，确定电路的总电流如何变化。 ③由 ，确定电源的内电压如何变化。 　④由 ，确定电源的外电压（路端电压）如何变化。 　⑤由部分电路欧姆定律确定干路上某定值电阻两端的电压如何变化。 　⑥确定支路两端的电压如何变化以及通过各支路的电流如何变化。 　　此类题型还可用“并同串反”规律判断。所谓“并同”，即某一电阻增大时，与它并联 或间接并联的电阻中的电流、两端电压、电功率都将增大，反之则减小。所谓“串反”，即 某一电阻增大时，与它串联或间接串联的电阻中的电流、两端电压，电功率都将减小。 　（2）极限法：即因变阻器滑片滑动引起电路变化的问题，可将变阻器的滑动端分别滑至 两个极端去讨论。 　（3）特殊值法：对于某些双臂环路问题，可以采取代入特殊值去判定，从而找出结论 【典型例题】 类型一、对电动势概念的理解 例 1、蓄电池的电动势是 2V，说明电池内非静电力每移动 1C 的电荷做功 J， 其电势能 （填“增大”或“减小”），是_____能转化为 能的过程。 【答案】2；增大；化学、电。 【解析】电动势的大小反映了电源把其他形式的能转化为电能的本领，即非静电力移动单位 正电荷从电源负极至正极所做的功。蓄电池是化学能转化为电能的过程。 举一反三 【变式】铅蓄电池的电动势为 2 V，这表示（ ） Q C U∆ = ∆ R总 I总 U外 R外 = EI R r+总 外 =U I r总内 U E U= −外 内4 A. 电路中每通过 1 C 电荷量，电源把 2 J 的化学能转变为电能 B. 无论接不接入外电路，蓄电池两极间的电压都为 2 V C. 蓄电池在 1 s 内将 2 J 的化学能转变为电能 D. 蓄电池将化学能转变为电能的本领比一节干电池（电动势为 1.5 V）的大 【答案】AD 类型二、闭合电路的分析与计算 例 2、图示电路中，R1＝12Ω，R2＝6Ω，滑动变阻器 R3 上标有“20Ω2A”字样，理想电 压表的量程有 0-3V 和 0-15V 两档，理想电流表的量程有 0-0.6A 和 0-3A 两档。闭合电键 S， 将滑片 P 从最左端向右移动到某位置时，电压表、电流表示数分别为 2.5V 和 0.3A；继续向 右移动滑片 P 到另一位置，电压表指针指在满偏的 1/3，电流表指针指在满偏的 1/4，则此 时电流表示数为__________A，该电源的电动势为__________V。 【思路点拨】根据电阻的变化分析电流电压的变化，确定量程，进而确定电流电压的大小， 再根据电路的串并联关系进行计算。 【答案】（1） （2） 【解析】（1）滑片 P 向右移动的过程中，连入电路的电阻在增大，电流表示数在减小，电压 表示数在增加，由此可以确定电流表量程选取 0～0.6 A，电压表量程选取的是 0～15 V，（电 压表示数还将变大，指在满偏的 1/3，0-3V 的量程的 1/3 只有 1A，所以选 0～15 V） 电流表的示数为 （2）电压表的示数为 当电压表的示数为 ，电流表的示数为 R2 的电流 ， 干路电流为 由闭合电路欧姆定律得： 联立以上两式代入数据解得： . 内阻 。 【总结升华】解决闭合电路的欧姆定律问题时，要注意分析电路特点（串、并联关系），电 流表、电压表的读数是哪一个电阻上的或那一部分电路的，找出干路电流。闭合电路欧姆定 律的应用计算通常有两种方法：一是充分利用题目的已知条件结合欧姆定律列方程求解，有 0.15I A= 7.5E V= 1 0.6 0.154I A A= × = 1 15 53 V V× = 1 2.5U V= 1 0.3I A= 1 2 1 2 RI IR = 1 2 1 2 1 2 R RI I I IR += + = 1 2 1 1 1 1 1 1 1 2 R RE U I R Ir U I R I rR += + + = + + 7.5E V= 1.56r = Ω5 时求电流 I 是关键，I 是联系内外电路的桥梁；二是根据具体问题可以利用图像法，会带来 更多方便。 举一反三 【变式】如图所示的电路中，当 S 闭合时电压表和电流表（均为理想电表）的示数各为 1.6V 和 0.4A。当 S 断开时，它们的示数各改变 0.1V 和 0.1A，求电源的电动势。 【答案】 ， 。 【解析】方法一：当 S 闭合时，R1 、R2 并联接入电路，由闭合电路的欧姆定律得 当 S 断开时，只有 R1 接入电路，外电阻变大，电压表读数变大，电流表读数变小， 由闭合电路的欧姆定律得 联立解得 ， 。 方法二：图像法：利用 U－I 图像如图所示；因为图线的斜率 ， 由闭合电路的欧姆定律 . 【高清课堂：电路中的能量问题例 3】 例 3、如图所示，E、r、R1 为一定值电阻，R2 为滑动变阻器。（1）当 R2 为何值时，PR2 最大；（2）当 R2 为何值时，PR1 最大？ 【思路点拨】求最大功率问题一是写出功率的表达式进行分析，这比较麻烦，二是根据最大 输出功率的条件进行等效代换。 【答案】（1）当 时，PR2 最大；（2）当 R2 = 0 时，R1 的功率最大。 【解析】（1）R2 的功率为： 2E V= 1r = Ω 1 1 1.6 0.4E U I r r= + = + 2 2 (1.6 0.1) (0.4 0.1)E U I r r= + = + + − 2E V= 1r = Ω 1Ur I ∆= = Ω∆ 1 1 1.6 0.4 2E U I r r V= + = + = 2 1R R r= +6 最小值是当 即 时取得。 （2）电阻 R1 的功率为： 可见，当 R2 = 0 时，R1 的功率最大。 【总结升华】把定值电阻和电源作为一个等效电源，其电动势为 E，内阻则变为 ， 即等效电源的内阻为 r1。本题的等效电源 ，等效电源的内阻为 。 等效电源法：将含有电源的某一部分电路等效为一个新的电源，这个等效电源的电动势等于 其接入电路两端开路时的电压，等效电源的内电阻等于这部分电路的电阻与实际电源内阻的 总电阻（内阻为 ）。最大输出功率 。 举一反三 【变式 1】如图所示的电路中，电池组的内阻 r = 4Ω，外电阻 R1= 2Ω，当滑动变阻器 R2 的 电阻调为 4Ω时，电源内部的电热功率是 4W，则（1）电源的最大输出功率是________； （2）欲使 R2 的电功率达到最大值，则 R2 应调为________。 【答案】（1）6.25W.（2）6Ω. 【解析】（1）由题意知 ， ，求得电流 . 电源电动势 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 2 R E EP I R RR R r R rR R  = = = + +    ++    1 1 2 2 1 2 2 2 2R r R rR R R r R R + ++ ≥ × = + 1 2 2 R rR R += 2 1R R r= + 1 2 2 1 1 2 1 R EP I R RR R r  = =  + +  1r r R= + 2E V= 1 1r r R= + 1r r R= + 2 max 14 EP r = =4P W内 2P I r=内 1I A= 1 2( ) 10E I R R r V= + + =7 电源的最大输出功率 . （2）用“等效电源法”求解。等效内电阻为 由前面的结论当外阻等于内阻时输出功率最大，所以 R2 应调为 6Ω. 【变式 2】如图所示，电路中电源的电动势 E=5V，内阻 r=10Ω，固定电阻 R=90Ω，R0 是可 变电阻，在 R0 从零增加到 400Ω的过程中，求 （1）可变电阻 R0 上消耗的热功率最大条件和最大功率。 （2）电池的内电阻 r 和固定电阻 R 上消耗的最小热功率之和。 （3）电源的最大输出功率及此时电源的效率。 【答案】（1） 时， 最大， ；（2） （3） ， 【解析】（1）可变电阻 R0 上消耗的热功率为 则当 ，即 时， 最大， 其最大值 （2）当电流最小时，内电阻 r 和固定电阻 R 上消耗的热功率最小，此时 R0 应调至到最大阻 值 400Ω，内阻 r 和固定电阻 R 上消耗的最小热功率之和为 （3）由 ，且 可判断出：当 时，电源有最大输出功率 2 100 6.254 4 4m EP W Wr = = =× 1 2 4 6R r+ = + = Ω 0 100R = Ω 0P 0max 1 16P W= min 0.01P W= max 0.225P W=出 90%η = [ ] 2 2 2 2 0 0 0 2 0 0 0 ( ) 4( ) E EP I R RR R r R R r R rR  = = ⋅ = + + − +  + + 2 0 0 25 ( 100) 400 WR R = − + 0 100 0R − Ω = 0 100R = Ω 0P 0max 25 1 400 16P W W= = 2 min 0 ( ) 0.01EP R r WR R r  = ⋅ + = + +  0R R r+ > R r> 0 0R = 2 max 0.225EP R WR r  = ⋅ = + 出8 此时效率为 类型三、非纯电阻电路的分析及计算 非纯电阻电路：如果电路中除电阻外还有能把电能转化为其他形式能的元件（电动机、 电解槽），称为非纯电阻电路，特点是：（1）不遵循欧姆定律： .（2）电流做功除 了转化为内能外，还转化成其他形式的能： 。计算电功、电热要用各自的定义 式。 电动机的功率：设内电阻为 r，两端电压为 U，通过的电流为 I， 电动机的总功率： 电动机损耗功率： 电动机输出功率： 【高清课堂：电路中的能量问题例 4】 例 4、微型吸尘器的直流电动机内阻一定，当加上 0.3V 的电压时，通过的电流为 0.3A， 此时电动机不转。当加在电动机两端的电压为 2.0V 时，电流为 0.8A，这时电动机正常工作， 则吸尘器的效率为________。 【思路点拨】对电动机等非纯电阻电路，电动机正常工作时，部分电路的欧姆定律不再适用， 电动机的功率只能用 UI，这是电动机的总功率。一部分是输出的机械功率，另一部分是线 圈电阻的发热功率。 【答案】 【解析】电动机不转动，输出机械功率为零，电能全部转化为电阻生热——纯电阻电路。 ， ，电动机内阻 . ， ，吸尘器（电动机）正常工作 电动机总功率: 电动机内阻热功率： 电动机输出功率： 90%R R r η = =+ U IR> 2IUt I Rt> P UI=总 2 2= UP I r r ≠热 =P P P−总输出 热 60%η = 1 0.3U V= 1 0.3I A= 1 1 1Ur I = = Ω 2 2U V= 2 0.8I A= 2 2 1.6P U I W= = 2 2= 0.64P I r W=损 = =0.96P P P W− 损输出9 电动机总效率： 。 【总结升华】对非纯电阻电路，电功率（总的）等于热功率与转化为除热能外其它形式的能 的功率之和， 。对含有电动机的电路： 。 举一反三 【变式】四川省“十二五”水利发展规划指出，若按现在供水能力测算，我省供水缺口极大， 蓄水提水是目前解决问题的重要手段之一。某地要把河水抽高 20m，进入蓄水池，用一台电 动机通过传动效率为 80％的皮带，带动效率为 60％的离心水泵工作。工作电压为 380V，此 时输入电动机的电功率为 19kW，电动机的内阻为 0.4Ω。已知水的密度为 1×103kg/m3，重 力加速度取 10m/s2。求： （1）电动机内阻消耗的热功率； （2）将蓄水池蓄入 864 m3 的水需要的时间（不计进、出水口的水流速度） 【答案】（1）1×103W（2）2×l04s。 【解析】（1）设电动机的电功率为 P，则 P=UI ① 设电动机内阻 r 上消耗的热功率为 ，则 Pr=I2r ② 代入数据解得 =1×103W ③ （2）设蓄水总质量为 M，所用抽水时间为 t。已知抽水高度为 h，容积为 V，水的密度为 ρ，则 M=ρV ④ 设质量为 M 的河水增加的重力势能为 ，则 ⑤ 设电动机的输出功率为 P0，则 P0=P－Pr ⑥ 根据能量守恒定律得 P0t×60%×80%=△Ep ⑦ 代人数据解得 t=2×l04s ⑧ 类型四、含电容器电路的分析 例 5、(2015 湖南省衡阳市高三质检) 如图所示，平行金属板中带电质点 P 原来处于静止状 态，不考虑电流表和电压表对电路的影响，R1 的阻值和电源内阻 r 相等．当滑动变阻器 R4 的滑片向 b 端移动时，则( ) A．R3 上消耗的功率逐渐增大 B．电流表读数减小，电压表读数增大 C．电源的输出功率逐渐增大 0.96100% 100% 60%1.6 P P η = × = × =输出 =P P P+电 热 其它 =P P P+总 热 机械 rP rP PE∆ PE Mgh∆ =10 D．质点 P 将向下运动 【答案】CD 【解析】当滑动变阻器 R4 的滑片向 b 端移动时，其接入电路的电阻减小，外电路总电 阻减小，根据闭合电路欧姆定律分析得知干路电流 I 增大．电容器板间电压等于 R3 的电 压．R4 减小，AB 间并联部 分的总电阻减小，则 R3 的电压减小，R3 上消耗的功率逐渐减小， 电容器板间场强减小，质点 P 所受的电场力减小，所以质点 P 将向下运动．流过电流表的 电流 IA=I-I3，I 增大，I3 减小，则 IA 增大，所以电流表读数增大．R4 的电压 U4=U3-U2，U3 减小，U2 增大，则 U4 减小，所以电压表读数减小．由于 R1 的阻值和电源内阻 r 相等，则外 电路总电阻大于电源的内阻 r，当外电阻减小时，电源的输出功率逐渐增大．故 AB 错误，CD 正确． 举一反三 【变式】如图所示的电路中，R1 、R2、 R3 均为可变电阻，当开关 S 闭合后，两平行金属板 MN 中有一带电液滴正好处于静止状态。为使带电液滴向上加速运动，可采取的措施是（ ） A．增大 R1 B．减小 R2 C．减小 R3 D．增大 MN 间距 【答案】B 【解析】由题意知带电液滴带负电，带电液滴原来处于静止状态，则电场力与重力平衡．为 了让带电液滴向上加速运动，只要增大电场力即可，减小 R2 或增大 R3，都可使电场力增大， B 项正确；若增加两板间距，电场强度减小，带电液滴将向下加速运动，不符合题意．故正 确选项为 B。 类型五、动态电路的分析 例 6、（2016 上海卷）如图所示电路中，电源内阻忽略不计。闭合电建，电压表示数为 U，电流表示数为 I；在滑动变阻器 R1 的滑片 P 由 a 端滑到 b 端的过程中 A. U 先变大后变小 B. I 先变小后变大 C. U 与 I 比值先变大后变小11 D. U 变化量与 I 变化量比值等于 R3 【答案】BC 【解析】据题意，由于电源内阻不计，电压表的示数总是不变，故选项 A 错误；滑片 滑动过程中，电阻 R1 的阻值先增大后减小，电压不变，所以电流表示数先减小后增加，故 选项 B、C 正确；由于电压表示数没有变化，故选项 D 错误。 故选 BC。 举一反三 【变式】如图所示电路，电源内阻不可忽略。开关 S 闭合后，在变阻器 R0 的滑动端向下滑 动的过程中，（ ） A．电压表与电流表的示数都减小 B．电压表与电流表的小数都增大 C．电压表的示数增大，电流表的示数减小 D．电压表的示数减小，电流表的示数增大 【答案】A 【解析】滑片下移，则滑动变阻器接入电阻减小，则总电阻减小，电路中总电流增大，内阻 两端电压增大，则由闭合电路欧姆定律可知，电路的路端电压减小，故电压表示数减小； 由欧姆定律可知，R1 上的分压增大，故并联部分电压减小，即可知电流表示数减小，故 A 正确，BCD 错误。 类型六、利用电源的外特性曲线和导体的伏安特性曲线解题 将电源（E，r）与一个电阻相连，即电源向电阻供电，在 U－I 坐标系中画出电源的外 特性曲线和电阻 R 的伏安特性曲线，其交点（I，U）的坐标乘积 UI 为电源的输出功率，也 就是 R 的功率。利用上述联系可借助图像解题。 例 7、（2015 河南省洛阳市高三模拟）如图所示，直线 A 为电源 a 的路端电压与电流的关系 图象，直线 B 为电源 b 的路端电压与电流的关系图象，直线 C 为一个电阻 R 的两端电压与 电流的关系图象，将这个电阻 R 分别接到 a、b 两电源上，那么（ ）12 A．R 接到 a 电源上，电源的效率较高 B．R 接到 b 电源上，电源的输出功率较大 C．R 接到 a 电源上，电源的输出功率较大，但电源效率较低 D．R 接到 b 电源上，电阻 R 的发热功率和电源的效率都较高 【答案】C 【解析】电源的效率 ． 由图看出，电阻 R 接在电源 a 上时电路中电流为 ， 短路电流为 I，根据闭合电路欧姆定律 得到，R=r，a 电源的效率为 50%．由图看 出，电阻 R 接在电源 b 上时 ，则电源 b 的效率大于 50%．故 A 错误；电源的图线 与电阻 R 的 U-I 图线的交点表示电阻 R 接在该电源上的工作状态，由图读出电阻 R 接在电 源 a 的电压和电流较大，电源 a 的输出功率较大．故 B 错误；由分析可知，R 接到 a 电源上， 电源的输出功率较大，电源效率较低．故 C 正确，D 错误． 举一反三 【变式】已知将电阻 R1 与 R2、分别接在同一电池组的两极时消耗的电功率相同，电池组向 两个电阻供电时的电流分别是 I1 和 I2，电池组内阻消耗的功率分别是 和 ，电池组的 效率分别是 和 ，电阻两端的电压分别是 U1 和 U2，若 I1＜I2，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】依题意可画出电源的外特性曲线和 R1 、R2、的伏安特性曲线，因为 ， I1＜I2，所以 R1 、R2 的相对关系如图所示。由图可知 ， ，故 A、B 对。又 因为 ，故 ，C 对。又因为 ，故 ，D 错，故本题答案为 ABC。 UI U EI E η = = 2 I EI R r = + 50%U E ＞ 1P′ 2P′ 1 η 2 η 1 2R R> 1 2U U> 1 2 η η> 1 2P P′ ′> 1 1 2 2U I U I= 1 2R R> 1 2U U> UI U EI E η = = 1 2 η η> 2P I r′ = 1 2P P′ ′