丰富的图形世界（提高）知识讲解

1 丰富的图形世界（提高）知识讲解 【学习目标】 1．认识常见几何体的基本特征，能对这些几何体进行正确的识别和简单的分类，并能从组 合图形中分离出基本几何体； 2．认识点、线、面、体的基本含义，了解点、线、面、体之间的关系； 3．能辨认和画出从不同方向观察立方体及其简单组合体得到的形状图； 4．了解直棱柱、圆柱、圆锥的侧面展开图，能根据展开图想象和制作立体模型． 【要点梳理】 要点一、立体图形 1． 定义： 图形的各部分不都在同一平面内，这样的图形就是立体图形，如长方体、圆柱、圆锥、 球等．棱柱、棱锥也是常见的立体图形． 【高清课堂：多姿多彩的图形 397362 空间图形的分类】 要点诠释： 常见的立体图形有两种分类方法： 2． 棱柱的相关概念： 在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱．通常根据底 面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱、六棱柱……它们底面图形的形状分 别为三角形、四边形、五边形、六边形……（如下图） 要点诠释：（1）棱柱所有侧棱长都相等．棱柱的上、下底面的形状相同，侧面的形状都是 平行四边形． （2）长方体、正方体都是四棱柱． （3）棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形，斜棱柱的侧面是平行 四边形． 3．点、线、面、体：2 长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等都是几何体,几何体也简称体；包围 着体的是面,面有平的面和曲的面两种；面和面相交的地方形成线，线也分为直线和曲线两 种；线和线相交的地方形成点．从上面的描述中我们可以看出点、线、面、体之间的关 系． 此外，从运动的观点看：点动成线，线动成面，面动成体． 要点二、展开与折叠 有些立体图形是由一些平面图形围成，将它们的表面适当剪开，可以展开成平面图形， 这样的平面图形称为相应立体图形的展开图． 要点诠释：(1)不是所有的立体图形都可以展成平面图形．例如，球便不能展成平面图形． (2)不同的立体图形可展成不同的平面图形；同一个立体图形，沿不同的棱剪开， 也可得到不同的平面图． 要点三、截一个几何体 用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面的形状可能是三角形、四边形、 五边形、六边形或圆等等． 要点四、从三个方向看物体的形状 一般是从以下三个方向：(1)从正面看；(2)从左面看；(3)从上面看．从这三个方向看 到的图形分别称为正视图(也称主视图)、左视图、俯视图．（如下图） 【典型例题】 类型一、立体图形 1．将图中的几何体进行分类，并说明理由． 【思路点拨】首先要确定分类标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、 锥、球来划分． 【答案与解析】 解：若按形状划分：(1)(2)(6)(7)是一类，组成它的各面全是平面；(3)(4)(5)是一类，组 成它的面至少有一个是曲面． 若按构成划分：(1)(2)(4)(7)是一类，是柱体；(5)(6)是一类，即锥体；(3)是球体． 3 【总结升华】先根据立体图形的底面的个数，确定它是柱体、锥体还是球体，再根据其侧面 是否为多边形来判断它是圆柱(锥)还是棱柱(锥)． 类型二、点、线、面、体 2. 18 世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存 在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问 题： (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 你发现顶点数(V)、面数(F)、棱数(E)之间存在的关系式是_______ _； (2)一个多面体的面数比顶点数大 8，且有 30 条棱，则这个多面体的面数是________； (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而 成，且有 24 个顶点，每个顶点处都有 3 条棱．设该多面体外表面三角形的个数为 x 个，八 边形的个数为 y 个，求 x+y 的值． 【思路点拨】根据四面体、长方体、正八面体，正十二面体的顶点数、面数和棱数，总结出 顶点数（v）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式，再用这个关系式解答后面的问题． 【答案与解析】 解：(1)6， 6， V+F-E＝2； (2)20； (3)这个多面体的面数为 x+y，棱数为 条， 根据 V+F-E＝2 可得 24+(x+y)-36＝2， ∴ x+y＝14． 【总结升华】欧拉公式：V（顶点数）+F（面数）-E（棱数）＝2 【变式】（2014•宁波）如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三 角形，那么这个多面体叫做棱锥．如图是一个四棱柱和一个六棱锥，它们各有 12 条棱．下 列棱柱中和九棱锥的棱数相等的是（　　） 24 3 362 × =4 五棱柱 B. 六棱柱 C. 七棱柱 D. 八棱柱 【答案】B 解：九棱锥侧面有 9 条棱，底面是九边形，也有 9 条棱，共 9+9=18 条棱， A、五棱柱共 15 条棱，故 A 误； B、六棱柱共 18 条棱，故 B 正确； C、七棱柱共 21 条棱，故 C 错误； D、八棱柱共 24 条棱，故 D 错误； 3．将如右图所示的两个平面图形绕轴旋转一周，对其所得的立体图形，下列说法正确 的是（　　） A．从正面看相同 B．从左面看相同 C．从上面看相同 D．三个方向都不相同 【答案】D 【解析】首先考虑三角形和长方形旋转后所得几何体的形状，然后再根据两种几何体从不同 方向看所得到的图形做出判断． 【总结升华】“面动成体”，要充分发挥空间想象能力判断立体图形的形状． 举一反三： 【变式】如图把一个圆绕虚线旋转一周，得到的立体图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 类型三、展开与折叠 4．（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为“全 国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与“文”字 所在的面上标的字应是（　　）5 A. 全 B. 明 C. 城 D. 国 【答案】 C 【解析】由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”． 【总结升华】培养空间想想能力的方法有两种，一是通过动手操作来解决；二是通过想象进 行确定． 举一反三： 【变式】说出下列四个图形(如图所示)分别是由哪个立体图形展开得到的? 　　 【答案】 (1)正方体；(2)圆柱；(3)三棱柱；(4)四棱锥． 类型四、截一个几何体 5．用一个平面去截一个正方体，如果截去的几何体是一个三棱锥，请回答下列问题： （1）截面一定是什么图形？ （2）剩下的几何体可能有几个顶点？ 【思路点拨】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有 7 个点， 当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有 8 个点，当截面截取由 2 条棱 中点和一顶点组成的面时剩下几何体有 9 个顶点．当截面截取由三棱中点组成的面时，剩 余几何体有 10 个顶点． 【答案与解析】 （1）如果截去的几何体是一个三棱锥，那么截面一定是一个三角形； （2）剩下的几何体可能有 7 个顶点、或 8 个顶点、或 9 个顶点、或 10 个顶点，如图所 示． 【总结升华】截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关． 类型五、从三个方向看物体的形状 6．（2016 春•潮南区月考）如图所示的是某个几何体的三视图． （1）说出这个立体图形的名称；6 （2）根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积． 【思路点拨】（1）从三视图的主视图看这是一个矩形，而左视图是一个扁平的矩形，俯视图 为一个三角形，故可知道这是一个直三棱柱；（2）根据直三棱柱的表面积公式计算即可． 【答案与解析】 解：（1）这个立体图形是直三棱柱； （2）表面积为： ×3×4×2+15×3+15×4+15×5=192． 【总结升华】本题主要考查由三视图确定几何体和求几何体的表面积等相关知识，考查学生 的空间想象能力． 举一反三： 【高清课堂：多姿多彩的图形 397362 大显身手】 【变式】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有 一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？ 【答案】几何体的形状不唯一， 最少需要小方块的个数： ， 最多需要小方块的个数： ． 3 2 2 2 1 10+ + + + = 3 3 2 3 1 16× + × + = 主视图 俯视图7 丰富的图形世界（提高）巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015•新乐市一模）下面四个图形是多面体的展开图，其中不是棱柱的展开图的是（　　） A. B. C. D. 2．用一个平面去截一个圆柱体，截面的形状不可能是（　　）． A．长方形　 　 　 　 B．圆　 　 　 　 C．椭圆　 　 　 　 D．等腰梯形 3．将一个直角三角形绕它的最长边(斜边)旋转一周得到的几何体是如图中的( )． 4．如图是由几个相同的小正方体搭成的几何体从正面、左面、上面观察所得到的图形，则 搭成这个几何体的小正方体的个数是（ 　 ）． A．5 B．6 C．7 D．8 5．（2016•福建龙岩市）如图所示正三棱柱的主视图是（　　） A． B． C． D． 6．将如图所示表面带有图案的正方体沿某些棱展开后，得到的图形是（　　）．8 A． B． C． D． 二、填空题 7．（2016•宁夏）由若干个相同的小正方体组合而成的一个几何体的三视图如图所示，则组 成这个几何体的小正方形个数是__________个. 8．一个正方体的每个面分别标有数字 1，2，3，4，5，6，根据图中该正方体 A，B，C 三种 状态所显示的数字，可推出“?”处的数字是________． 9．（2015•青岛）如图，在一次数学活动课上，张明用 17 个边长为 1 的小正方形搭成了一个 几何体，然后他请王亮用其他同样的小正方体在旁边再搭一个几何体，使王亮所搭几何体恰 好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体（不改变张明所搭几何体的形状），那 么王亮至少还需要　　个小立方体，王亮所搭几何体的表面积为　　． 10．如图所示，是由一些相同长方体的积木块搭成的几何体的三视图，则此几何体共由 ________块长方体的积木搭成． 11．用一个平面去截三棱柱，截面的边数最多是_______，用一个平面去截四棱柱，截面的 边数最多是_______，用一个平面去截五棱柱，截面的边数最多是_______， 12． (1)一张纸对折后，纸上会留下一道折痕，用数学知识可解释为________，与之原理相 同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)； (2)黑板擦在黑板上擦出一片干净的区域，用数学知识可解释为________，与之原理相同的 例子还有_______ _(尽量多举出几种来)； (3)数学课本绕它的一边旋转，形成了一个圆柱体，用数学知识可解释为________，与之原9 理相同的例子还有_______ _(尽量多举出几种来)． 三、解答题 13．如图所示，一长方体的长、宽、高分别是 10 cm、8 cm、6 cm，有一只蚂蚁从 A 点出发 沿棱爬行，每条棱不允许重复，则蚂蚁回到 A 点时，最多爬行多少厘米?并把蚂蚁所爬行的 路线用字母按顺序表示出来． 14．(1)一个梯形 ABCD，如图所示，画出绕 AB 所在直线旋转一周所形成的几何体从正面看， 从上面看，从左面看所得到的图形． (2)梯形绕 BC 所在直线旋转一周形成什么图形? (3)梯形绕 DC 所在直线旋转一周形成什么图形? 15．（2014 秋•扶沟县期末）将图中的几何体进行分类，并说明理由． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】D 【解析】A、6 个正方形能围成一个正方体，所以，这是正方体的展开图；故本选项错误； B、6 个长方形可以围成长方体．所以，这是长方体的展开图；故本选项错误； C、三个长方形和两个三角形能围成一个三棱柱，所以，这是三棱柱的展开图； 故本选项错误．D、一个四边形和四个三角形能围成四棱锥，所以，这是四棱锥 的展开图；故本选项正确. 2．【答案】D 3．【答案】D 【解析】选项 A 中圆柱是以长方形绕其一边所在直线旋转得到的，选项 B 中圆锥是以直 角三角形绕其直角边所在直线旋转得到的，选项 C 中几何体是以直角梯形绕其10 下底所在的直线旋转得到的，选项 D 中几何体是两个圆锥倒放在一起的，以直 角三角形绕其斜边所在直线旋转得到的，故选 D． 4．【答案】B 【解析】如图，其中正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数． 5．【答案】B 【解析】解：正三棱柱的主视图中前面正对的一条棱是可以看到的， 要用实线标出，所以其主视图平行排列的两个矩形. 故选 B． 6．【答案】C 【解析】由原正方体知，带图案的三个面相交于一点，而通过折叠后 A、B 都不符合， 且 D 折叠后图案的位置正好相反，所以能得到的图形是 C． 二、填空题 7．【答案】5 【解析】解：综合三视图，我们可以得出，这个几何模型的底层有 3+1=4 个小正方体， 第二有 1 个小正方体，因此搭成这个几何体模型所用的小正方体的个数是 4+1=5 个． 8．【答案】6 【解析】与 l 相邻的四个面分别为 4、5、2、3，则 1 的对面为 6，再由 B 可知 3 的对面 为 4，由 A 可知 5 的对面为 2，可推出“?”处的数字为 6． 9．【答案】19，48． 【解析】∵亮所搭几何体恰好可以和张明所搭几何体拼成一个无缝隙的大长方体， ∴该长方体需要小立方体 4×32=36 个， ∵张明用 17 个边长为 1 的小正方形搭成了一个几何体， ∴王亮至少还需 36﹣17=19 个小立方体， 表面积为：2×（9+7+8）=48. 10．【答案】4 　【解析】如右图，其中长方形中的数字表示该位置上的小长方体的个 数． 11．【答案】5、6、7 【解析】截面能经过几个面，得到的形状就是几边形． 12．【答案】(1)面与面相交得到线，相邻的墙面相交所成的线；长方体的六个面相交所成的 线；圆柱的侧面与底面相交所成的曲线等． (2)线动成面，汽车的雨刷在挡风玻璃上刷出一片干净的区域；刷漆时刷子刷出 的漆面． (3)面动成体，半圆绕它的直径旋转形成一个球面． 三、解答题 13．【解析】 解：10×4+8×2+6×2＝68(cm)，所以最多爬行 68cm． 路线：A→B→C→D→H→G→F→E→A． 14．【解析】 解：(1)如图所示．11 (2)梯形 ABCD 绕 BC 所在直线旋转一周形成是的圆台． (3)梯形 ABCD 绕 DC 所在直线旋转一周形成的是圆柱和一段圆柱挖去同底的一个圆锥的 复合体． 15．【解析】 解：分类首先要确定标准，可以按组成几何体的面的平或曲来划分，也可以按柱、锥、球来 划分． （1）长方体是由平面组成的，属于柱体． （2）三棱柱是由平面组成的，属于柱体． （3）球体是由曲面组成的，属于球体． （4）圆柱是由平面和曲面组成的，属于柱体． （5）圆锥是由曲面与平面组成的，属于锥体． （6）四棱锥是由平面组成的，属于锥体． （7）六棱柱是由平面组成的，属于柱体． 若按组成几何体的面的平或曲来划分：（1）（2）（6）（7）是一类，组成它的各面全是平面； （3）（4）（5）是一类，组成它的面至少有一个是曲面， 若按柱、锥、球来划分：（1）（2）（4）（7）是一类，即柱体；（5）（6）是一类，即锥体； （3）是球体．