有理数的意义－知识讲解

1 有理数的意义 【学习目标】 1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量； 2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 【要点梳理】 要点一、正数与负数 像+3、+1.5、 、+584 等大于 0 的数，叫做正数； 像－3、－1.5、 、－584 等 在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号， “+”常省略，但 “-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上 升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0 既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类： （2）按正数、负数与 0 的关系分类：　 　　　 　　 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为 1 的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数， 但无限不循环小数不是分数，例如 ． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【典型例题】 类型一、正数与负数 1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程” 一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入 100 元记作+100 元．那么﹣80 元表示 （　　） A．支出 20 元 B．收入 20 元 C．支出 80 元 D．收入 80 元 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【答案】C 【解析】解：根据题意，收入 100 元记作+100 元， 则﹣80 表示支出 80 元． 故选：C． 1 2 + 1 2 − π2 【总结升华】本题考查了正数和负数，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对 具有相反意义的量． 举一反三： 【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例 3（1）】 【变式 1】（2015•太仓市模拟）一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大 米中质量不合格的是（　　） A．50.0 千克 B．50.3 千克 C．49.7 千克 D．49.1 千克 【答案】D． 解：“50±0.5 千克”表示最多为 50.5 千克，最少为 49.5 千克． 【变式 2】（1）如果收入 300 元记作+300 元，那么支出 500 元用___________ 表示，0 元表 示__________ . 　 (2)若购进 50 本书，用-50 本表示，则盈利 30 元如何表示？ 【答案】(1)-500 元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式 3】如果 60m 表示“向北走 60m”，那么“向南走 40m”可以表示为（ ）． 　　A．－20m 　　　B．－40m 　　　C．20m 　　　D．40m 【答案】B 2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做 7 个为标准，超过 的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中 8 名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3， 1，0 （1） 这 8 名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？ 【答案与解析】（1）由题意可知：正数或 0 表示达标， 而正数或 0 的个数共有 5 个，所以百分率为： ； 答：这 8 名男生有 62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个） 答：他们共做了引体向上 56 个. 【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么. 类型二、有理数的分类 【高清课堂：有理数的意义 356786 概念的应用例 2】 3．下面说法中正确的是( )． A． 非负数一定是正数． B． 有最小的正整数，有最小的正有理数． C． 一定是负数． D ．正整数和正分数统称正有理数． 5 100% 62.5%8 × = a−3 【答案】D 【解析】(A)不对，因为非负数还包括 0；(B) 最小的正整数为 1，但没有最小的正有理数； (C)不对，当 为负数或 0 时，则 为正数或 0，而不是负数；(D)对 【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表 示这个有理数. 举一反三： 【变式 1】判断题： （1）0 是自然数，也是偶数．（ ） （2）0 既可以看作是正数，也可以看成是负数.（ ） （3）整数又叫自然数.（ ） （4）非负数就是正数，非正数就是负数.（ ） 【答案】√， ， ， 【变式 2】下列四种说法，正确的是( ). 　　(A)所有的正数都是整数 　　　　　　(B)不是正数的数一定是负数 　　(C)正有理数包括整数和分数　　　　 (D)0 不是最小的有理数 【答案】D 4．请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里. 　　　　　　1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265, ， . 　　　　　　正整数集合:{ 　　　　　…}， 负整数集合:{　　　　　 …}， 　　　　　　整数集合:{　　　　　 …}， 正分数集合:{　　　　 …}， 负分数集合:{　　　　　　 …}，分数集合:{ 　　　　　…}， 非负数集合：{　　　　　　 …}，非正数集合：{ 　　　　　…}. 【答案】正整数： 1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265， ； 　　负分数： -3.88， ； 分数：0.0708，3.14159265， ，-3.88， ； 非负数： 1,0.0708， 3.14159265，0， ； 非正数：-700, -3.88, 0, 【解析】 a a− × × × 7 23 − 7 23 − 7 23 − 7 23 −4 【总结升华】填数的方法有两种：一种是逐个考察，一一进行填写；二是逐个填写相关的集合， 从给出的数中找出属于这个集合的数.此外注意几个概念：非负数包括 0 和正数；非正数包 括 0 和负数. 举一反三： 【变式】（2014 秋•惠安县期末）在有理数 、﹣5、3.14 中，属于分数的个数共有　　 个． 【答案】2. 类型三、探索规律 5．某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第 1 组取 3 粒，第 2 组取 5 粒，第 3 组取 7 粒，第 4 组取 9 粒， .按此规律，那么请你推测第 n 组应该有种子是 粒. 【答案】( ) 【解析】第 1 组取 3 粒，第 2 组取 5 粒，第 3 组取 7 粒，第 4 组取 9 粒， ，由此我们观 察 到 的 粒 数 与 组 数 之 间 有 一 定 关 系 ： ， ， ， ， ，按此规律，第 n 组应该有种子数（ ）粒. 【总结升华】研究一列数的排列规律时，其中的数与符号往往都与序数有关. 举一反三： 【变式 1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3， ，根据这个规律，那么第 2010 个数是： 【答案】-3 【变式 2】观察下列有规律的数： 根据其规律可知第 9 个数是： 【 答 案 】  12 +n  1123 +×= 1225 +×= 1327 +×= 1429 +×=  12 +n  ,,30 1,20 1,12 1,6 1,2 1  90 15 【巩固练习】 一、选择题 1. （2014•甘肃模拟）下列语句正确的（　　）个 （1）带“﹣”号的数是负数； （2）如果 a 为正数，则﹣a 一定是负数； （3）不存在既不是正数又不是负数的数； （4）0℃表示没有温度． A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2.关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 (　 ) 　　A．0 是整数　　　 B．0 是偶数 　　C．0 是正整数　　 D．0 既不是正数也不是负数 3.如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 (　 ) 　　A．前进-18 米的意义是后退 18 米 　　B．收入-4 万元的意义是减少 4 万元 　　C．盈利的相反意义是亏损 　　D．公元-300 年的意义是公元后 300 年 4.一辆汽车从甲站出发向东行驶 50 千米，然后再向西行驶 20 千米，此时汽车的位置是 (　 ) 　　A．甲站的东边 70 千米处　　 B．甲站的西边 20 千米处 　　C．甲站的东边 30 千米处　　 D．甲站的西边 30 千米处 5．在有理数中，下面说法正确的是（ ） A．身高增长 和体重减轻 是一对具有相反意义的量 B．有最大的数 C．没有最小的数，也没有最大的数 D．以上答案都不对 6.下列各数是正整数的是 （ ） A．－1 B．2 C．0．5 D． 2 二、填空题 1．（2014 秋•朝阳区期末）如果用+4 米表示高出海平面 4 米，那么低于海平面 5 米可记 作　　． 2．在数 中，非负数是______________；非正数 是 __________. 3．把公元 2008 年记作+2008，那么-2008 年表示 . 4．既不是正数，也不是负数的有理数是 . 5．（2016 春•温州校级期中）如果向东行驶 10 米，记作+10 米，那么向西行驶 20 米，记作　 _________米． 6．是整数而不是正数的有理数是 . 7．既不是整数，也不是正数的有理数是 . 8．一种零件的长度在图纸上是（ ）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米， 加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米. cm2.1 kg2.1 03.0 02.010+ −6 三、解答题 1．说出下列语句的实际意义. （1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14 元 （4）上升-2m (5)向南走-7m 2．（2014 秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列 6 个数填入这两 个圈中合适的位置． ﹣28%， ，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0. 3．（2015 秋•赣州校级期末）随着人们的生活水平的提高，家用轿车越来越多地进入普通家 庭．小明家买了一辆小轿车，他连续记录了 7 天中每天行驶的路程，以 50km 为标准，多于 50km 的记为“+”，不足 50km 的记为“﹣”，刚好 50km 的记为“0”，记录数据如下表： 时间 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程（km） ﹣8 ﹣11 ﹣14 0 ﹣16 +41 +8 （1）请你估计小明家的小轿车一月（按 30 天计）要行驶多少千米？ （2）若每行驶 100km 需用汽油 8L，汽油每升 7.14 元，试求小明家一年（按 12 个月计）的 汽油费用是多少元？ 4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出 第 2011 个数是什么吗? (1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，... (2)-1, ,- , , , , , , ,... ,... 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B 　　 　　　 【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误； （2）如果 a 为正数，则﹣a 一定是负数，正确； （3）0 既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误； （4）0℃表示没有温度，错误． 综上，正确的有（2），共一个． 2.【答案】C 【解析】0 既不是正数也不是负数，但 0 是整数，是偶数，是自然数. 3. 【答案】D 【解析】D 错误，公元-300 年的意义应该是公元前 300 年. 4. 【答案】 C 2 1 3 1 4 1 5 1− 6 1 7 1−7 【解析】画个图形有利于问题分析，向东 50 千米然后再向西 20 千米后显然此时汽车在 甲站的东边 30 千米处. 5.【答案】C 【解析】A 错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B 错误，没有最大的数也没有 最小数；C 对. 6. 【答案】B 二、填空题 1.【答案】﹣5 米　　 2.【答案】0.5，100，0， ； ，0，-45 【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数. 3.【答案】公元前 2008 年 【解析】正负数表示具有相反意义的量. 4.【答案】0 【解析】既不是正数也不是负数的数只有零. 5.【答案】-20. 【解析】解：∵向东行驶 10 米，记作+10 米， ∴向西行驶 20 米，记作﹣20 米， 故答案为：﹣20． 6.【答案】负整数和 0 【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和 0. 7.【答案】负分数 【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数. 8.【答案】10， ， 【解析】 表示的数的范围为：大于 ，而小于 ，即大于 而小于 . 三、解答题 1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入 12t ； （2）运进-5t 表示运出 5t； （3）浪费-14 元表示节约 14 元； （4）上升-2m 表示下降 2m； (5)向南走-7m 表示向北走 7m. 提示：“-”表示相反意义的量. 2．【解析】 112 12 2 − 10.03 9.98 03.0 02.010+ − -（10 0.02） （10+0.03） 9.98 10.038 3.【解析】 解：（1） =50， 50×30=1500（km）． 答：小明家的小轿车一月要行驶 1500 千米； （2） ×8×7.14×12=10281.6（元）， 答：小明家一年的汽油费用是 10281.6 元． 4．【解析】（1）9，-10，…，2011，… （2） 1 1 1, ,..., ,...8 9 2011 − −