数轴 知识讲解

1 数轴——知识讲解 【学习目标】 1．理解数轴的概念及三要素，能正确画出数轴； 2．能用数轴上的点表示有理数，初步感受数形结合的思想方法； 3．能利用数轴比较有理数的大小． 【要点梳理】 要点一、数轴 定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 要点诠释： （1）定义中的“规定”二字是说原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据需要“规 定”的．通常，习惯取向右为正方向． （2）长度单位与单位长度是不同的，单位长度是根据需要选取的代表“1”的线段，而长度单位是为度量 线段的长度而制定的单位．有 km、m、dm、cm 等． 要点二、数轴的画法 （1）画一条直线（通常画成水平位置）； （2）在这条直线上取一点作为原点，这点表示 0； （3）规定直线上向右为正方向，画上箭头； （4）再选取适当的长度，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次标上 1，2，3，…从原点向左，每隔 一个单位长度取一点，依次标上-1，-2，-3，… 要点诠释： （1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取． （2）确定单位长度时根据实际情况，有时也可以每隔两个（或更多的）单位长度取一点． 要点三、数轴与有理数的关系 任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不都表示有理数，还可以表示其他数， 比如 ． 要点诠释： （1）一般地，数轴上原点右边的点表示正数，左边的点表示负数；反过来也对，即正数用数轴上原点右 边的点表示，负数用原点左边的点表示，零用原点表示． （2）一般地，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 【典型例题】 类型一、数轴的概念及画法 1．（2015 秋•沧州期末）下列各图中，能正确表示数轴的是（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】根据数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，即可解答． 【答案】D 【解析】解：由数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，可知 D 正确； 故选：D． 【总结升华】数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不 可． 2．（2015•徐州校级模拟）一只蚂蚁沿数轴从点 A 向右直爬 15 个单位到达点 B，点 B 表示的数为﹣2， 则点 A 所表示的数为（　　） π2 A. 15 B. 13 C. -13 D.-17 【答案】D 【解析】设点 A 所表示的数为 x，x+15=﹣2，解得：x=﹣17，故选：D． 【总结升华】本题考查的是数轴的知识，掌握数轴的概念和性质是解题的关键，点在数轴上的运动规律是 向左减，向右加． 举一反三： 【变式】如图为北京地铁的部分线路．假设各站之间的距离相等且都表示为一个单位长．现以万寿路站为 原点，向右的方向为正，那么木樨地站表示的数为________，古城站表示的数为________；如果改以古城 站为原点，那么木樨地站表示的数变为________． 【答案】3，-5，8 类型二、利用数轴比较大小 3．在数轴上表示 2.5，0， ，-1，-2.5， ，3 有理数，并用“＜”把它连接起来． 【思路点拨】根据数轴的三要素先画好数轴，表示数的字母要依次对应有理数，然后根据在数轴上表示的 两个数，右边的数总比左边的数大，比较大小． 【答案与解析】 如图所示，点 A、B、C、D、E、F、G 分别表示有理数 2.5，0， ，-1，-2.5， ，3． 由上图可得： 【总结升华】注意数轴上整单位的点一般用细短线表示，而表示题目中的数的点，应画成实心的小圆 点． 举一反三： 【变式 1】（2014 秋•埇桥区校级期中）有理数 a、b 在数轴上的位置如图所示，下列各式不成立的是（　　） A．b﹣a＞0 B．﹣b＜0 C．﹣a＞﹣b D．﹣ab＜0 【答案】D 【变式 2】填空： 大于 且小于 的整数有______个； 比 小的非负整数是____________． 【答案】11；0，1，2，3 4．若 p，q 两数在数轴上的位置如下图所示，请用“＜”或“＞”填空． 3 4 − 114 3 4 − 114 3 12.5 1 0 1 2.5 34 4 − < − < − < < < < 7 63− 7 67 5 333 ①p______q； ②－p______0； ③－p______－q； ④－p______q； 【答案】＞；＜；＜；＞ 【解析】根据相反数的几何意义，将 p，q，-p，-q 均表示在数轴上，如下图： 　　　　　　　　 然后再根据数轴上右边的数比左边的数大，及原点右边的点表示大于 0 的正数，而原点左边的点表示小于 0 的负数，可得上述答案．　 【总结升华】在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．正数都大于 0；负数都小于 0；正数大 于 一 切 负 数 ．4 【巩固练习】 一、选择题 1．如图所示的数轴中，画得正确的是( ) 2．下列说法正确的是( ) A．数轴上一个点可以表示两个不同的有理数 B．数轴上的两个不同的点表示同一个有理数 C．有的有理数不能在数轴上表示出来 D．任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点 3.（2014•衡阳一模）如图所示，在数轴上点 A 表示的数可能是（　　） A．1.5 B.-1.5 C.-2.6 D.2.6 4.（2015•东城区二模）如图，数轴上有 A，B，C，D 四个点，其中到原点距离相等的两个点是（　　） A. 点 B 与点 D B. 点 A 与点 C C. 点 A 与点 D D. 点 B 与点 C 5．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是 1 厘米，若在这条数轴上任意画出一条长为 2004 厘米的线段 AB，则线段 AB 盖住的整点的个数是( ) A．2002 或 2003 B．2003 或 2004 C．2004 或 2005 D．2005 或 2006 6．北京、纽约等 5 个城市的国际标准时间(单位：小时)可在数轴上表示如图 若将两地国际标准时间的差简称为时差，则（ ） A．首尔与纽约的时差为 13 小时 B．首尔与多伦多的时差为 13 小时 C．北京与纽约的时差为 14 小时 D．北京与多伦多的时差为 14 小时 二、填空题 7．（2016 春•新泰市校级月考）不大于 4 的正整数的个数为　 　． 8．数轴上到-3 的距离等于 2 的数是 ________． 9．数轴上点 A、B 的位置如图所示，若点 B 关于点 A 的对称点为 C，则点 C 表示的数为 ． 10.（2014 秋•埇桥区校级期中）长为 2 个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖　　　　　　个整数点． 11．如图，点 A，B 在数轴上对应的实数分别为 m，n，则 A，B 间的距离是 ．（用含 m，n 的式子 表示） 12．已知－1＜a＜0＜1＜b，请按从小到大的顺序排列－1，－a，0，1，－b 为__________．5 三、解答题 13．把下列各数在数轴上表示出来，并用“＞”号把它们连接起来． +2，0， ，-2，-1.5， 14．（2015 秋•碑林区期中）某中学位于东西方向的人民路上，这天学校的王老师出校门去家访，她先向东 走 100 米到聪聪家，再向西走 150 米到青青家，再向西走 200 米到刚刚家． （1）如果把这条人民路看作一条数轴，以向东为正方向，以校门口为原点．请你在这条数轴上标出他们 三家与学校的大概位置（一格表示 50 米）． （2）聪聪家与刚刚家相距多远？ （3）聪聪家向西 210 米是体育场，体育场所在的点表示的数是多少？ 15．在数轴上有三个点 A、B、C（如图）．请回答： （1）写出数轴上距点 B 三个单位的点所表示的数； （2）将点 C 向左移动 6 个单位到达点 D，用“＜”号把 A、B、D 三点所表示的数连接起来； （3）怎样移动 A、B、C 中的两个点才能使三个点所表示的数相同（写出一种移动方法即可）． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】B 【解析】A 错，没有正方向；B 正确，满足数轴的三要素；C 错，负数排列错误；D 错，单位长度不统 一． 2．【答案】D 【解析】A、B、C 都错误，因为所有的有理数都能在数轴上表示出来，但数轴上的点不都表示有理 一个有理数在数轴上只有一个表示它的点．数轴上表示有理数的点一个点对应一个有理数． 3.【答案】C 【解析】：∵点 A 位于﹣3 和﹣2 之间，∴点 A 表示的实数大于﹣3，小于﹣2． 4.【答案】C. 5．【答案】C 【解析】若线段 AB 的端点与整数重合，则线段 AB 盖住 2005 个整点；若线段 AB 的端点不与整点重合， 则线段 AB 盖住 2004 个整点．可以先从最基础的问题入手．如 AB＝2 为基础进行分析，找规律，所以答案： C． 6．【答案】B 【解析】本题以“北京等 5 个城市的国际标准时间”为材料，编拟了一道与数轴有关的实际问题．从选 项上分析可得：两个城市之间相距几个单位长度，两个点之间的距离即为时差．所以首尔与纽约的时差为 14 小时，首尔与多伦多的时差为 13 小时，北京与纽约的时差为 13 小时，北京与多伦多的时差为 12 小时， 因此答案：B． 二、填空题 7．【答案】4 个. 【解析】解：如图所示： 1-3 2 1126 由数轴上 4 的位置可知：不大于 4 的正整数有 1、2、3、4 共 4 个． 故答案为：4 个． 8．【答案】-5 或-1 【解析】若该数在-3 的左边，这个数为-3-2=-5；若该数在-3 右边，则该数为-3+2=-1；所以答案为： -5 或-1． 9．【答案】－5 【解析】首先确定 C 点应在原点的左边即为负数，又点 A 与点 B 之间的距离为 4，再由对成性得：点 C 表示的数为-5． 10．【答案】3 【解析】如图所示：长为 2 个单元长度的木条放在数轴上，最多能覆盖 3 个整数点． 11．【答案】n-m 【解析】∵n＞0，m＜0．∴它们之间的距离为：n-m 12．【答案】－ b ＜-1＜0＜-a＜1 三、解答题 13．【解析】解：在数轴上表示出来如图所示． 根据这些点在数轴上的排列顺序，从右至左分别用“＞”连接为： +2＞ ＞0＞-1．5＞-2＞ 14.【解析】 解：（1）如图所示： ； （2）150+200=350（米）； （3）体育场所在点所表示的数是 100﹣210=﹣110． 15．【解析】 解：（1）因为点 B 所表示的数是-2，则距点 B 三个单位的点所表示的数有-2-3=-5，-2+3=1； （2）点 C 向左移动 6 个单位到达点 D，则点 D 表示的数为-3，所以-4＜-3＜-2． （3）把 A 点向右移动 2 个单位，C 点向左移动 5 个单位．（答案不唯一） 112 1-3 2