绝对值与相反数（提高）知识讲解

1 绝对值与相反数（提高） 【学习目标】 1．借助数轴理解绝对值和相反数的概念； 2．知道|a|的绝对值的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系； 3．会求一个数的绝对值和相反数，并会用绝对值比较两个负有理数的大小； 4．通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用． 【要点梳理】 要点一、相反数 1．定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数．特别地，0 的相反数是 0． 要点诠释： （1）“只”字是说仅仅是符号不同，其它部分完全相同． （2）“0 的相反数是 0”是相反数定义的一部分，不能漏掉． （3）相反数是成对出现的，单独一个数不能说是相反数． （4）求一个数的相反数，只要在它的前面添上“-”号即可． 2．性质： （1）互为相反数的两数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等（这两个点关于原 点对称）． （2）互为相反数的两数和为 0． 要点二、多重符号的化简 多重符号的化简，由数字前面“-”号的个数来确定，若有偶数个时，化简结果为正， 如-{-[-(-4)]}=4 ；若有奇数个时，化简结果为负，如-{+[-(-4)]}=-4 ． 要点诠释： 　（1）在一个数的前面添上一个“＋”，仍然与原数相同，如＋5＝5，＋（－5）＝－5． 　（2）在一个数的前面添上一个“－”，就成为原数的相反数．如－（－3）就是－3 的相 反数，因此，－（－3）＝3． 要点三、绝对值 1．定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值，例如+2 的绝对 值等于 2，记作|+2|=2；-3 的绝对值等于 3，记作|-3|=3． 要点诠释： （1）绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是 0．即对于任何有理数 a 都有： （2）绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距 离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小． （3）一个有理数是由符号和绝对值两个方面来确定的． 2．性质： ( 0) | | 0 ( 0) ( 0) a a a a a a > = = − a b> 1a b = a b= 1a b < a b< 0m n+ = ,m n 0m n+ = m n= −3 类型二、多重符号的化简 2．化简下列各数． ① ； ② ； ③ ；④ ；⑤ 【答案】①6； ② ；③6；④-6；⑤6 【解析】① 表示-6 的相反数，所以 ； ② 表示+6 的相反数，所以 ； ③ 前面共有 2 个“-”号，为偶数个，而“+”可以省略，所以 ； ④ 中共有 3 个“-”号，即奇数个，而“+”可以省略，所以 =-6； ⑤ 中共有 4 个“-”号，即偶数个，而 “+”可以省略，所以 【总结升华】多重符号化简的规律解决这类问题较为简单．即数一下数字前面有多少个负 号．若有偶数个，则结果为正；若有奇数个，则结果为负． 类型三、绝对值的概念 3．如果|x|＝6，|y|＝4，且 x＜y．试求 x、y 的值． 【思路点拨】6 和-6 的绝对值都等于 6，4 和-4 的绝对值都等于 4，所以要注意分类讨论． 【答案与解析】因为|x|＝6，所以 x＝6 或 x＝-6； 因为|y|＝4，所以 y＝4 或 y＝-4； 由于 x＜y，故 x 只能是-6，因此 x＝-6，y＝±4． 【总结升华】已知绝对值求原数的方法：(1)利用概念；(2)利用数形结合法在数轴上表示出 来．无论哪种方法但要注意若一个数的绝对值是正数，则此数有两个，且互为相反数．此外， 此题 x＝-6，y＝±4，就是 x＝-6，y＝4 或 x＝-6，y＝-4． 举一反三： 【变式】如果数轴上的点 A 到原点的距离是 6，则点 A 表示的数为 ． 如果｜x－2｜＝1，那么 x＝ ； 如果｜x｜＞3，那么 x 的范围是 ． 【答案】6 或-6；1 或 3； 或 类型四、比较大小 4． 比较下列每组数的大小： (1)-(-5)与-|-5|；(2)-(+3)与 0；(3) 与 ；(4) 与 ． 【思路点拨】先化简符号，去掉绝对值号再分清是“正数与零、负数与零、正数与负数、两 个正数还是两个负数”，然后比较． 【答案与解析】 (1)化简得：-(-5)＝5，-|-5|＝-5． ( 6)− − ( 6)− + [ ( 6)]− − + { [ ( 6)]}− − − + { [ ( 6)]}− − − − 6− ( 6)− − ( 6) 6− − = ( 6)− + ( 6) 6− + = − [ ( 6)]− − + [ ( 6)] 6− − + = { [ ( 6)]}− − − + { [ ( 6)]}− − − + { [ ( 6)]}− − − − { [ ( 6)]} 6− − − − = x>3 x 4 3 5 4 − < − − 3 0a c− >5 6 ． 已知a 、b 为有理数，且满足： ，则 a=_______ ，b=________． 【答案与解析】由 ， ， ， 可得 ∴ 【总结升华】由于任何一个数的绝对值大于或等于 0，要使这两个数的和为 0，需要这两个 数都为 0．几个非负数的和为 0，则每一个数均为 0． 举一反三： 【变式】已知 b 为正整数，且 a、b 满足 ，求 的值． 【答案】 由题意得 ∴ 所以， 类型七、绝对值的实际应用 7．一只可爱的小虫从点 O 出发在一条直线上来回爬行，假定向右爬行的路程记为正数， 向左爬行的路程记为负数，小虫爬行的各段路程(单位：cm)依次记为：+5，-3，+10，-8， -6，+12，-10，在爬行过程中，如果小虫每爬行 1cm 就奖励 2 粒芝麻，那么小虫一共可以得 到多少粒芝麻? 【思路点拨】总路程应该为小虫爬行的距离和，和方向无关. 【答案与解析】小虫爬行的总路程为： |+5|+|-3|+|+10|+|-8|+|-6|+|+12|+|-10|＝5+3+10+8+6+12+10＝54(cm) 小虫得到的芝麻数为 54×2＝108(粒) 答：小虫一共可以得到 108 粒芝麻． 【总结升华】此题是绝对值的应用问题，当求爬行路程是即为各数的绝对值之和，如果求最 后 所 在 的 位 置 时 即 为 各 数 之 和 ， 最 后 看 正 负 来 决 定 方 向 . 1 2 2ba =6 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015•漳州）﹣ 的相反数是（　　） A . B .- C .-3 D .3 2．在①+（+1）与-（-1）；②-（+1）与+（-1）；③+（+1）与-（+1）；④+（-1）与-(-1)中， 互为相反数的是（ 　 ）． A． ①② B． ②③ C． ③④ D． ②④ 3．满足|x|＝-x 的数有( )． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．无数个 4．已知 ，则 a 的值是( )． A．3 B．-3 C． D． 或 5．a、b 为有理数，且 a＞0、b＜0，|b|＞a，则 a、b、-a、-b 的大小顺序是( )． A．b＜-a＜a＜-b B．-a＜b＜a＜-b C．-b＜a＜-a＜b D．-a＜a＜-b＜b 6．下列推理：①若 a＝b，则|a|＝|b|；②若|a|＝|b|，则 a＝b；③若 a≠b，则|a|≠|b|； ④若|a|≠|b|，则 a≠b．其中正确的个数为( )． A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二、填空题 7．数轴上离原点的距离小于 3.5 的整数点的个数为 , 距离原点等于 3.5 的点的个数为 , 则 ． 8．已知 与 互为相反数， 与 互为相反数，又 ，则 = ． 9．（2015 春•广饶县校级月考）1 的相反数是　　；　　的相反数是它本身． 10．绝对值不大于 11 的整数有 个． 11．（2016•江西校级模拟）如果 m，n 互为相反数，那么|m+n﹣2016|=　 ． 12．若 ，则 0；若 ，则 ． 三、解答题 13．（2014 秋•娄底期末）若有理数 x、y 满足|x|=5，|y|=2，且|x+y|=x+y，求 x﹣y 的 值． 14．（2016 春•桐柏县期末）若|a+1.2|+|b﹣1|=0，那么 a+（﹣1）+（﹣1.8）+b 等于多少？ 15．阅读下面的材料： 1 3 1 3 1 | 3|a = − 1 3 1 3 + 1 3 − m n 3 ____m n− = x y y z 2z = z x y− + 1a a = − a a a≥ a7 　　点 A、B 在数轴上分别表示实数 a、b，A、B 两点之间的距离表示为∣AB∣，当 A、B 两 点中有一点在原点时，不妨设点 A 在原点，如图 1-1-1,∣AB∣＝∣OB∣=∣b∣=∣a-b∣； 当 A、B 两点都不在原点时: 　 　　 　　 　　①如图 1-1-2，点 A、B 都在原点的右边: 　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=b-a=∣a-b∣； 　　②如图 1-1-3，点 A、B 都在原点的左边: 　　　∣AB∣=∣OB∣-∣OA∣=∣b∣-∣a∣=-b-（-a）=∣a-b∣； 　　③如图 1-1-4，点 A、B 在原点的两边: 　　　∣AB∣=∣OA∣+∣OB∣=∣a∣+∣b∣=a+（-b）=∣a-b∣， 　　综上，数轴上 A、B 两点之间的距离∣AB∣=∣a-b∣．　 　回答下列问题: 　　①数轴上表示 2 和 5 的两点之间的距离是_________，数轴上表示-2 和-5 的两点之间的 距离是________，数轴上表示 1 和-3 的两点之间的距离是___________； 　　②数轴上表示 x 和-1 的两点 A 和 B 之间的距离是________，如果∣AB∣=2， 那么 x 为 __________． 　　③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的 x 的取值范围是______________． 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A 2．【答案】C 【解析】先化简在判断，①+（+1）=1，-（-1）=1，不是相反数的关系；②-（+1）=-1， +（-1）=-1，不是相反数的关系；③+（+1）=1，-（+1）=-1，是相反数的关系；④+（-1） =-1，-(-1)=1，是相反数的关系，所以③④中的两个数是相反数的关系，所以答案为：C 3．【答案】D 【解析】x 为负数或零时都能满足|x|＝-x，故有无数个． 4．【答案】D 【解析】∵ ，∴ ，∴ 5．【答案】A 【解析】画数轴，数形结合． 6．【答案】C 【解析】①正确；②错误，如|-2|＝|2|，但是-2≠2；③错误，如-2≠2，但是|-2|＝ |2|；④正确．故选 C． 二、填空题 7．【答案】1 【解析】由题意可知： ，所以 1 3a = 1 3a = ± 1 3a = ± 7, 2m n= = 2 7 3 2 1m n− = − × =8 8．【答案】-2 【解析】因为 均为 的相反数，而一个数的相反数是唯一的，所以 ， ， 而 为 的相反数，所以 为-2，综上可得：原式等于-2． 9.【答案】 ，0. 10.【答案】23 　 【解析】要注意考虑负数．绝对值不大于 11 的数有：-11 、-10……0 、1 ……11 共 23 个． 11.【答案】2016. 【解析】解：∵m，n 互为相反数， ∴m+n=0， ∴|m+n﹣2016|=|﹣2016|=2016； 故答案为 2016． 12．【答案】＜；任意数. 三、解答题 13.【解析】 ∵|x|=5， ∴x=±5， 又|y|=2， ∴y=±2， 又∵|x+y|=x+y， ∴x+y≥0， ∴x=5，y=±2， 当 x=5，y=2 时，x﹣y=5﹣2=3， 当 x=5，y=﹣2 时，x﹣y=5﹣（﹣2）=7． 14.【解析】 解：∵|a+1.2|+|b﹣1|=0， ∴a+1.2=0，b﹣1=0， ∴a=﹣1.2，b=1， ∴a+（﹣1）+（﹣1.8）+b=﹣3． 15．【解析】①∣2-5∣=3，∣-2-（-5）∣=3，∣1-（-3）∣=4． 　　　　　 ②∣AB∣=∣x-（-1）∣=∣x+1∣． 　　 　　　　　∵∣AB∣=2，∴∣x+1∣=2， 　　 　　　　　∴x+1=2 或-2，∴x=1 或-3． 　　 　 　③令 x+1=0，x-2=0，则 x=-1，x=2． 　　 　　　　　将-1、2 在数轴上表示出来，如图 1-1-5， 　　 　　　　　则-1、2 将数轴分为三部分 x＜-1、-1≤x≤2、x＞2． 　　 　　　　　当 x＜-1 时，∣x+1∣+∣x-2∣=-（x+1）+〔-（x-2）〕=-2x+1＞3； 　　 　　　　　当-1≤x≤2 时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+2-x=3; ,x z y z x= 2z = y z y 213 −9 　　 　　　　　当 x＞2 时，∣x+1∣+∣x-2∣=x+1+x-2=2x-1＞3． 　　 　　　　　∴∣x+1∣+∣x-2∣的最小值是 3，相应的 x 的取值范围是-1≤x≤2．