有理数的加减法（提高）知识讲解

1 有理数的加减法（提高） 【学习目标】 1．掌握有理数加法的意义，法则及运算律，并会使用运算律简算； 2．掌握有理数减法的法则和运算技巧，认识减法与加法的内在联系，体会其中蕴含的转化 的思想； 3．熟练地将加减混合运算统一成加法运算，理解运算符号和性质符号的意义，运用加法运 算律合理简算，并且会解决简单的实际问题. 【要点梳理】 要点一、有理数的加法 1.定义：把两个有理数合成一个有理数的运算叫作有理数的加法． 2.法则：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对 值减去较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得 0； （3）一个数同 0 相加，仍得这个数． 要点诠释：利用法则进行加法运算的步骤： (1)判断两个加数的符号是同号、异号，还是有一个加数为零，以此来选择用哪条法 则． (2)确定和的符号(是“+”还是“－”)． (3)求各加数的绝对值，并确定和的绝对值(加数的绝对值是相加还是相减)． 3.运算律： 文字语言 两个数相加，交换加数的位置，和不变加法 交换 律 符号语言 a+b＝b+a 文字语言 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加， 和不变 有理 数加 法运 算律 加法 结合 律 符号语言 (a+b)+c＝a+(b+c) 要点诠释：交换加数的位置时，不要忘记符号． 要点二、有理数的减法 1.定义： 已知两个数的和与其中一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法，例如：(-5)+? ＝7，求？，减法是加法的逆运算． 要点诠释：（1）任意两个数都可以进行减法运算． （2） 几个有理数相减，差仍为有理数，差由两部分组成：①性质符号；②数字即数的 绝对值． 2.法则：减去一个数，等于加这个数的相反数，即有： ． 要点诠释： 将减法转化为加法时，注意同时进行的两变，一变是减法变加法；二变是把减 数变为它的 相反数”．如： 要点三、有理数加减混合运算 将加减法统一成加法运算，适当应用加法运算律简化计算. ( )a b a b− = + −2 【典型例题】 类型一、有理数的加法运算 1．（2015 秋•江都市月考）阅读下题的计算方法． 计算 ． 解：原式= = =0+（﹣ ） =﹣ 上面这种解题方法叫做拆项法，按此方法计算： ． 【思路点拨】根据拆项法，可把整数结合在一起，分数结合在一起，再根据有理数的加法， 可得答案． 【答案与解析】 解：原式=[（﹣2011）+（﹣ ）]+[（﹣2010）+（﹣ ）]+[4022+ ]+[（﹣1）+ （﹣ ）] =[（﹣2011）+（﹣2010）+4022+（﹣1）]+[（﹣ ）+（﹣ ）+ +（﹣ ）] =0+（﹣ ） =﹣ ． 【总结升华】本题考查了有理数的加法，拆项法是解题关键． 举一反三： 【高清课堂：有理数的加减法 382681 有理数的加法例 2】 【 变 式 1 】 计 算 ： (1) -7 +10 ； (2) (- )+(-7.3) ； (3) 1 +(-2 ) ； (4) 7 +(-3.8)+(-7.2) 【答案】（1）原式= ； （2）原式= ；（3）原式= ； （4）原式= 2 1 6 1 2 1 4 1 3 1 5 1 1 1 1 1 2(10 7 ) (9 7) (1 ) 26 2 6 2 3 + − = − + − = (0.5 7.3) 7.8− + = − 1 1 1(2 1 ) 13 4 12 − − = − 7.2 7.2 3.8 0 3.8 3.8− − = − = −3 【变式 2】计算： 【答案】 【变式 3】计算： ． 【答案】解法一： →同号 的数一起先加 ． 解法二： →同分母，互为相反数的数，或几个数可以凑整的数分别结合相加 ． 类型二、有理数的减法运算 2． (1)2-(-3)； (2)0-(-3.72)-(+2.72)-(-4)； (3) ． 【思路点拨】此题是有理数的减法运算，先按照减法法则将减法转化为加法，再按照有理数 的加法进行计算． 【答案与解析】本题可直接利用有理数的减法法则进行计算． (1)2-(-3)＝2+3＝5 (2)原式＝0+3.72+(-2.72)+4＝(0+4)+(3.72-2.72)＝4+1＝5 （3）原式= 【总结升华】算式中的“+”或“-”既可以看作运算符号按法则进行计算，也可以看作是性 质符号按多重符号化简进行计算. 类型三、有理数的加减混合运算 3．计算：（1）-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72； 1 1 51 12 3 6  − + + −   1 1 5 1 1 5 1 1 51 1 1 1 ( 1 1) 12 3 6 2 3 6 2 3 6       − + + − = − − + + − = − + + − + + − = −             1 1( 6) ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 64 4    + + + + − + + + − + + + + + + + − + −       1 1( 6) ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 64 4    + + + + − + + + − + + + + + + + − + −       1 1( 6) ( 3) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 3.3) ( 6) ( 16) 64 4       = + + + + + + + + + + + + − + − + − + −             ( 23.55) ( 31.55) 8= + + − = − 1 1( 6) ( 3.3) ( 3) ( 6) ( 0.3) ( 8) ( 6) ( 16) 64 4    + + + + − + + + − + + + + + + + − + −       1 1( 6) 6 [( 3.3) ( 3) ( 0.3)] [( 6) ( 6)] [( 16) ( 8)]4 4     = + + + + − + − + + + + + − + + + − + +         0 0 0 ( 8) 8= + + + − = − 4 137 3  + −   4 1 1 4 16( 3 ) (3 ) 27 3 3 7 21 + − = − − = −4 （2）11-12+13-15+16-18+17； （3） （4） （5） ； （6） 【答案与解析】 （1）观察各个加数，可以发现-3.72 与 3.72 互为相反数，把它们分为一组； 4.18、-2.93 与-1.25 的和为 0，把它们分为一组可使计算简便． 解：-3.72-1.23+4.18-2.93-1.25+3.72 ＝(-3.72+3.72)+(4.18-2.93-1.25)-1.23 ＝0+0-1.23＝-1.23 （2）把正数和负数分别分为一组． 解：11-12+13-15+16-18+17 ＝(11+13+16+17)+(-12-15-18) ＝57+(-45)＝12 （3）仔细观察各个加数，可以发现两个小数的和是-1，两个整数的和是 29，三个分数通分 后也不难算．故把整数、分数、小数分别分为一组． 解： （4）3.46 和 1.54 的和为整数,把它们分为一组；-3.87 与 3.37 的和为-0.5，把它们分为一 组； 与 易于通分，把它们分为一组； 与 同分母，把它们分为一组． 解： （5）先把整数分离后再分组． 解： 注：带分数中的整数与分数分离时，如果这个数是负数，那么分离得到的整数与分数 1 1 13.76 39 5 68 4.76 2 13 6 2 − − + − − + 5 1 1 33.46 4 3.87 2 1.54 3.376 3 4 4 + − − − + + + 1 3 5 53 5 4 62 4 6 18 − + + − 1 32.25 3 2 1.8758 4 + − + 1 1 13.76 39 5 68 4.76 2 13 6 2 − − + − − + 1 1 1(3.76 4.76) ( 5 2 1 ) ( 39 68)3 6 2 = − + − − + + − + 1 ( 6) 29 22= − + − + = 54 6 1 3 − 12 4 − 3 4 5 1 1 33.46 4 3.87 2 1.54 3.376 3 4 4 + − − − + + + 5 1 1 3(3.46 1.54) ( 3.87 3.37) (4 ) ( 2 )6 3 4 4 = + + − + + − + − + 1 15 ( 0.5) 4 ( 1 ) 4.5 3 7.52 2 = + − + + − = + = 1 3 5 53 5 4 62 4 6 18 − + + − 1 3 5 53 5 4 62 4 6 18 = − − + + + + − − 1 3 5 5( 3 5 4 6) ( )2 4 6 18 = − + + − + − + + − 18 27 30 100 36 − + + −= + 29 36 =5 都是负数，例如 ． （6）如果按小数、整数分组，效果似乎不是很好．可先将小数和分数统一后再考虑分组． 解： 【总结升华】计算多个有理数相加时，必须先审题，分析特点，寻找规律，然后再去计 算．注意在交换加数的位置时，要连同符号一起交换. 举一反三： 【变式】（2014•甘肃模拟）5.6+[0.9+4.4﹣（﹣8.1）]． 【答案】解：原式=5.6+0.9+4.4+8.1=19． 类型四、有理数的加减混合运算在实际中的应用 【高清课堂：有理数的加减法 382681 有理数加减的应用】 4．（2014 秋•郑州期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案， 故又称“龟背图”，中国 古代数学史上经常研究这一神话． （1）现有 1，2，3，4，5，6，7，8，9 共九个数字，请将它们分别填入图 1 的九个方格中， 使得第行的三个数、每列的三个数、斜对角的三个数之和都等于 15； （2）通过研究问题（1），利用你发现的规律，将 3，5，﹣7，1，7，﹣3，9，﹣5，﹣1 这九个数字分别填入图 2 的九个方格中，使得横、竖、斜对角的所有三个数的和都相等． 【答案与解析】 解：（1）15÷3=5， ∴最中间的数是 5，其它空格填写如图 1； （2）如图 2 所示． 【总结升华】本题考查了有理数加法，熟知“九宫图”的填法是解题的关键． 举一反三： 1 13 32 2 − = − − 1 32.25 3 2 1.8758 4 + − + (2.25 2.75) (3.125 1.875)= − + + 0.5 5 4.5= − + =6 【变式】某产粮专业户出售粮食 8 袋，每袋重量(单位：千克)如下： 197，202，197，203，200，196，201，198． 计算出售的粮食总共多少千克? 【答案】法一：以 200(千克)为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，则 这 8 个数的差的累计是：(-3)+(+2)+(-3)+(+3)+0+(-4)+(+1)+(-2)＝-6 200×8+(-6)＝1594(千克) 答：出售的粮食共 1594 千克． 法二：197+202+197+203+200+196+201+198＝1594(千克) 答 ： 出 售 的 粮 食 共 1594 千 克 ．7 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015•怀化）某地一天的最高气温是 12℃，最低气温是 2℃，则该地这天的温差是（　　） 　 A． ﹣10℃ B． 10℃ C． 14℃ D． ﹣14℃ 2.（2016•仪征市一模）比﹣1 小 2015 的数是（　　） A．﹣2014 B．2016 C．﹣2016 D．2014 3.如果三个数的和为零，那么这三个数一定是( )． A．两个正数，一个负数 B．两个负数，一个正数 C．三个都是零 D．其中两个数之和等于第三个数的相反数 4. 若 , , 则 与 的和是 ( ) 　　A. 　　　B. 　　　C. 　　　D. ． 5.下列判断正确的是（ ） A．两数之差一定小于被减数． B．若两数的差为正数，则两数都为正数． C．零减去一个数仍得这个数． D．一个数减去一个负数，差一定大于被减数． 6．某粮店出售的三种品牌的面粉袋上，分别标有质量为(25±0.1)kg，(25±0.2)kg，(25± 0.3)kg 的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 ( ) A．0.8kg B．0.6kg C．0.5kg D．0.4kg 二、填空题 7.有理数 在数轴上对应点位置如图所示，用“＞”或“＜”填空： （1）｜a｜______｜b｜；（2）a＋b＋c______0： （3）a－b＋c______0； （4）a＋c______b； （5）c－b______a． 8.（2015 春•广饶县校级月考）小明存折中原有 450 元，取出 260 元，又存入 150 元，现在 存折中还有______元． 9. 若 a ，b 为整数，且|a-2|+| a -b|＝1，则 a+b＝________． 10．某地的冬天，半夜的温度是-5°C，早晨的温度是-1°C，中午的温度是 4°C.则 (1)早晨的温度比半夜的温度高________度； (2)早晨的温度比中午的温度低________度. 11．北京与纽约的时差为-13（负号表示同一时刻纽约时间比北京时间晚）.如果现在是北京 时间 15：00，那么纽约时间是______________ 12. 数学活动课上，王老师给同学们出了一道题：规定一种新运算“☆”对于任意两个有理 数 a 和 b，有 a☆b＝a-b+1，请你根据新运算，计算(2☆3)☆2 的值是 . 三、解答题 13.计算题 0, 0a b> < a b< a b , ,a b c8 （1） ； （2） （3） （4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100 的值． （5） ； （6） 14.（2014 秋•万州区校级月考）数轴上到原点的距离小于 3 的整数的个数为 x，不大于 3 的 正整数的个数为 y，绝对值等于 3 的整数的个数为 z，求：x+y+z 的值． 15.（2016•南海区校级模拟）股民李星星在上周星期五以每股 11.2 元买了一批股票，下表 为本周星期一到星期五该股票的涨跌情况 求：（1）本周星期三收盘时，每股的钱数． （2）李星星本周内哪一天把股票抛出比较合算，为什么？ 星期 一 二 三 四 五 每股涨跌/元 +0.4 +0.45 ﹣0.2 +0.25 ﹣0.4 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B． 2. 【答案】C 【解析】解：根据题意得：﹣1﹣2015=﹣2016， 故选 C. 3. 【答案】D 【解析】若 ，则 或 或 ，所以 D 正确. 4．【答案】D 【解析】( )的符号与绝对值较大的 一致为负的，并用较大的绝对值减去较小的绝 对值，即有 . 5. 【答案】D 【解析】A 错误，反例：2-（-3）=5，而 5＞2；B 不对，反例：2-（-3）=5，而-3 为负 数；C 错误，0-2=-2，0-（-2）=2，所以零减去一个数得这个数的相反数. 6．【答案】B 【解析】因为最低重量为 24.7kg，最大重量为 25.3kg，故质量最多相差 25.3-24.7＝ 0.6kg． 二、填空题 7. 【答案】＜，＜，＞，＞，＞ 【解析】由图可知： ，且 ，再根据有理数的加法法则可得答 3 40 1 ( 1) ( 5) | 4 |7 7     + − − − − − + − − + −         2 1 2 10 21 33 4 3 4      − + + − − − +           4 4 4 4 49 99 999 9999 999995 5 5 5 5 + + + + 1 1 1 1 1 8 24 48 80 120 + + + + 2 3 1 2( ) ( )3 2 5 5 − − − + − − + − 0a b c+ + = a b c+ = − b c a+ = − a c c+ = − a b+ b ( )b a− − b a c> > 0, 0b a c< < >9 案. 8.【答案】340 【解析】450﹣260+150=290+150=340（元）． 9．【答案】2,6,3 或 5 【解析】当|a-2|＝1，| a -b|＝0 时，得：a+b＝6 或 2；当|a-2|＝0，| a -b|＝1 时， 得：a+b＝3 或 5； 10．【答案】(1)4 (2) 5 【解析】 (1)-1-（-5）=4 (2) -1-（+4）= -5 11．【答案】2：00　 【解析】15：00+(-13)=2：00． 12. 【答案】 -1 【解析】(2☆3)☆2＝(2☆3)-2+1＝2-3+1-2+1＝-1 三、解答题 13. 【解析】（1）原式 （2）原式 （3）原式 = ． （4）1+(-2)+(-3)+4+5+(-6)+(-7)+8+…+97+(-98)+(-99)+100 ＝[1+(-2) + (-3)+4]+[5+(-6) + (-7)+8]+…+[97+(-98) + (-99)+100] ＝0+0++…+0＝0． （5） （6）原式 14.【解析】 解：根据数轴，到原点的距离小于 3 的整数为 0，±1，±2，即 x=5， 不大于 3 的正整数为 1，2，3，即 y=3， 绝对值等于 3 的整数为 3，﹣3，即 z=2， 3 41 [ 1 5 ] 4 5 ( 5) 107 7 = − − + − + + = − − = 2 1 2 10 21 33 4 3 4      = − + + + + + −           2 1 2 121 33 4 3 4 = − + + − 2 2 1 121 3 21 3 183 3 4 4    = − + + − = − + = −       1 1 1 110 100 1000 100005 5 5 5               + − + + − + + − + + −                             1100000 5   + + −     1 1 1 1 1(10 100 1000 10000 100000) 5 5 5 5 5           = + + + + + − + − + − + − + −                     111110 ( 1) 111109= + − = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 24 48 80 120 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 + + + + = + + + +× × × × × 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5( ) ( )2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 2 2 12 24 = − + − + − + − + − = − = 2 3 1 2 2 3 1 2 2 3 1 2 83[ ( )] [ ( )]3 2 5 5 3 2 5 5 3 2 5 5 30 = − − − − − − = − − − − − − − − = − − − − = −10 所以 x+y+z=10． 15.【解析】解：（1）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）=11.85（元）， 则本周星期三收盘时，该只股票每股为 11.85 元； （2）根据题意得：11.2+0.4+0.45+（﹣0.2）+0.25=12.1（元）， 则本周该只股票最高价 12.1 元出现在周四，李星星本周四把股票抛出比较好．