有理数的乘除（提高）知识讲解

1 有理数的乘除（提高） 【学习目标】 1．会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】 要点一、有理数的乘法 1.有理数的乘法法则：（1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同 0 相乘，都得 0． 要点诠释： (1) 不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘． （2）当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)×(-3)， 不应该写成-2×-3． 2. 有理数的乘法法则的推广：（1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决 定．当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0． 要点诠释：（1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数． (2)几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对 值相乘． (3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0．反之，如果积为 0，那么至少有 一个因数为 0． 3. 有理数的乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab＝ba． （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等．即： abc＝(ab)c＝a(bc)． （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积 相加．即：a(b+c)＝ab+ac． 要点诠释：（1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换． （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其 中的几个因数相乘．如 abcd＝d(ac)b．一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同这 几个数相乘，再把积相加．如 a(b+c+d)＝ab+ac+ad． （3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把 运算律“逆用”． 要点二、有理数的除法 1.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数． 要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是 ，-2 和 是互 相依存的； (2)0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数)． 2. 有理数除法法则： 1 2 − 1 2 −2 法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 . 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. 要点诠释：（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些． （2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数． （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对 值． 要点三、有理数的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定 积的符号，最后算出结果． 要点四、有理数的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有 括号，则先算括号里面的． 【典型例题】 类型一、有理数的乘法运算 1．计算：(1) ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20)； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0． 【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘．因数是小 数的要化为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分．几个数相乘，有一个因数为零， 积就为零． (1) ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)…(19-20) ； (3)(-5)×(-8.1)×3.14×0＝0． 【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无 关．当因数中有一个数为 0 时，积为 0．但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负 因子必须加括号. 2.（2015 秋•碑林区期中）简便计算： （1）（﹣48）×0.125+48× （2）（ ）×（﹣36） 【思路点拨】（1）利用乘法的分配律先提取 48，再进行计算即可得出答案；（2）运用乘法 分配律进行计算即． 【答案与解析】解：（1）（﹣48）×0.125+48× 1 ( 0)a b a bb ÷ = ≠ 5 4( 3) 1 ( 0.25)6 5  − × × − × −   5 4( 3) 1 ( 0.25)6 5  − × × − × −   5 9 1 93 6 5 4 8 = − × × × = − 19 - ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 1= − × − × − ×⋅⋅⋅× − = − 个（ 1）相乘3 =48×（﹣ + ﹣ ） =48×0 =0； （2）（ ）×（﹣36） =﹣20+27﹣2 =5． 【总结升华】此题考查了有理数的乘法，用到的知识点是乘法的分配律，解题的关键是运用 乘法分配律进行计算． 举一反三： 【变式】用简便方法计算： (1) ； (2) ． 【答案】 （1）原式 ． (2) ＝(-3.14)×35.2+(-3.14)×2×23.3+(-3.14)×18.2 ＝-3.14×(35.2+46.6+18.2) ＝-3.14×100 ＝-314． 类型二、有理数的除法运算 3．计算： 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分 数，带分数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分．但要注意除法没有分配 律． 【答案与解析】 解： 【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出 结果． 2 2 1 513 0.34 ( 13) 0.343 7 3 7 − × − × + × − − × 3.14 35.2 6.28 ( 23.3) 1.57 36.4− × + × − − × 2 1 2 5( 13) ( 13) 0.34 0.343 3 7 7       = − × + − × + × − + × −            2 1 2 5( 13) 0.343 3 7 7       = − × + + × − −             ( 13) 1 0.34 ( 1) 13 0.34 13.34= − × + × − = − − = − 3.14 35.2 6.28 ( 23.3) 1.57 36.4− × + × − − × 1 7( 49) 2 ( 3)3 3  − ÷ − ÷ ÷ −   1 7( 49) 2 ( 3)3 3  − ÷ − ÷ ÷ −   3 3 1( 49) 7 7 3    = − × − × × −       3 3 149 37 7 3  = − × × × = −  4 举一反三： 【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例 1（3）】 【变式】计算： 【答案】原式 类型三、有理数的乘除混合运算 4.计算： 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算．乘除运算是同一级 运算，再应按从左到右的顺序进行． 举一反三： 【变式】计算： 【答案】 类型四、有理数的加减乘除混合运算 5. 计算： 【答案与解析】 方法 1： 方法 2： 所以 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算 括号内的，然后再进行除法运算，也可以仿照方法 2 利用倒数关系巧妙解决，如果按 a÷(b+c) ＝a÷b+a÷c 进行分配就错了． 举一反三： 【变式】（2014•沐川县二模）观察下列等式（式子中的“！”是一种数学运算符号） 1!=1，2!=2×1，3!=3×2×1，4!=4×3×2×1，…， 1 1 1( 3 ) ( 2 ) ( 1 )3 3 5 − ÷ − ÷ − 10 3 5 25( ) ( ) ( )3 7 6 21 = − × − × − = − 9 481 ( 16)4 9 − ÷ × ÷ − 9 4 4 4 181 ( 16) 81 14 9 9 9 16  − ÷ × ÷ − = − × × × − =   1 4 410 ( 2)8 9 3 − ÷ × ÷ − 1 4 410 ( 2)8 9 3 − ÷ × ÷ − 1 9 4 1 81 9 4 1 24310 8 4 3 2 8 4 3 2 16  = − × × × − = × × × =   1 2 1 1 2 30 3 10 6 5    − ÷ − + −       1 2 1 1 2 30 3 10 6 5    − ÷ − + −       1 20 3 5 12 1 30 30 10 − + −   = − ÷ = −       2 1 1 2 1 3 10 6 5 30    − + − ÷ −       2 1 1 2 ( 30) 103 10 6 5  = − + − × − = −   1 2 1 1 2 1 30 3 10 6 5 10    − ÷ − + − = −      5 那么计算： =　　． 【答案】 解： = = ． 类型五、含绝对值的化简 6. 已知 a、b、c 为不等于零的有理数，你能求出 的值吗? 【思路点拨】先分别确定 a、b、c 的取值，再代入求值． 【答案与解析】 解：分四种情况： (1)当 a、b、c 三个数都为正数时， ； (2)当 a、b、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设 a 为负数，b、c 为正数， ； (3)当 a、b、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设 a 为正数，b、c 为负数， ； (4) 当 a 、 b 、 c 三 个 数 都 为 负 数 时 ， 综上， 的值为： 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三： 【高清课堂：有理数乘除 381226 有理数除法例 2】 【变式】计算 的取值. 【答案】(1)当 a＞0、b＞0 时， ； (2)当 a＜0、b＜0 时， ； (3)当 a＞0，b＜0 时， ； (4)当 a＜0，b＞0 时， ． | | | | | |a b c a b c + + | | | | | | 1 1 1 3a b c a b c a b c a b c + + = + + = + + = | | | | | | 1 1 1 1a b c a b c a b c a b c −+ + = + + = − + + = | | | | | | 1 1 1 1a b c a b c a b c a b c − −+ + = + + = − − = − | | | | | | ( 1) ( 1) ( 1) 3a b c a b c a b c a b c − − −+ + = + + = − + − + − = − | | | | | |a b c a b c + + 3, 3,1, 1− − a b a b + 1 1 2a b a b = + = + =原式 1 1 2a b a b −= + = − − = −−原式 1 1 0a b a b = + = − =−原式 1 1 0a b a b −= + = − + =原式6 综 上 ， 的 值 为 ：a b a b + 2, 2,0−7 【巩固练习】 一、选择题 1．（2015•自贡） 的倒数是（　　） 　 A．﹣2 B． 2 C． D． 2. 若|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0，则(x+1)(y-2)(z+3)的值为( )． A．48 B．-48 C．0 D．xyz 3．已知 a＜0，-1＜b＜0，则 a，ab，ab2 由小到大的排列顺序是( )． A．a＜ab＜ab2 B．ab2＜ab＜a C．a＜ab2＜ab D．ab＜a＜ab2 4. 若“!”是一种数学运算符号，并且 1!＝1，2!＝2×1!，3!＝3×2×1，4!＝4×3×2× 1，……，则 的值是为（ ） A． B．99! C．9900 D．2! 5. 下 列 计 算 ： ① 0-(-5) ＝ -5 ； ② ； ③ ； ④ ；⑤若 ，则 x 的倒数是 6．其中正确的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 6.一个纸环链，纸环按红黄绿蓝紫的顺序重复排列，截去其中的一部分，剩下部分如图所示， 则被截去部分纸环的个数可能是（　 　） （A）2010 （B）2011 （C）2012 （D）2013 7.（2016•台湾）算式 2.5÷[（ ﹣1）×（2+ ）]之值为何？（　　） A.﹣ B.﹣ C.﹣25 D.11 二、填空题 8．（2015 秋•岱岳区期末）计算﹣ （﹣ ）的结果是　 ． 9．已知 ， ，且 ，则 的值是________． 10.如果 ，则化简 = . 100! 98! 50 40 ( 3) ( 9) 12− + − = − 2 9 3 3 4 2  × − = −   ( 36) ( 9) 4− ÷ − = − ( 2) 3x = − × | | 4x = 1| | 2y = 0xy < x y 0y x< < x xy x xy + … … 红 黄 绿 蓝 紫 红 黄 绿 黄 绿 蓝 紫8 11.某商场销售一款服装，每件标价 150 元，若以八折销售，仍可获利 30 元，则这款服装每 件的进价为_____元． 12. 在 与 它 的 倒 数 之 间 有 个 整 数 ， 在 与 它 的 相 反 数 之 间 有 个 整 数 ， 则 = . 13.如果有理数 都不为 0，且它们的积的绝对值等于它们积得相反数，则 中最少有 个负数，最多有 个负数. 14. 已知 ，则 ____________． 三、解答题 15.计算：（1）计算： （2） （3） （4）(-9)÷(-4)÷(-2) (5) （6）2004×20032003-2003×2004200404 16.已知：a、b 互为相反数，c、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，则 的结果是多少？ 17．（2014 秋•泗阳县校级期末）若“！”是一种数学运算符号，并且 1！=1，2！=2×1，3！ =3×2×1，4！=4×3×2×1…． 求 的值． 18.用计算器计算下列各式，将结果写在横线上： ； ； ； （1）你发现了什么规律，请用字母 （ 为正整数）表示. （2）不用计算器，直接写出结果 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A. 2.【答案】B 3.5 a 3.5 b ( ) ( ) 2a b a b+ ÷ − × , , ,a b c d , , ,a b c d 11 7 3 13( ) ( 48)12 6 4 24 − + − × − 1 1( 370) 0.25 24.5 ( 25%) 54 2    − × − + × + − × −       1 5( 3) 3 (8 11) 23 6  − ÷ − ÷ − − − ×   )2004 11)(12003 1()15 1)(4 11)(13 1)(2 11( −−…−−−− ( ) | |cd a b m mm + + − 999 21 _________× = 999 22 _________× = 999 23 _________× = 999 24 _________× = n n 999 29 _________× =9 【解析】由|x-1|+|y+2|+|z-3|＝0 可求得 x＝1，y＝-2，z＝3， 所以(x+1)(y-2)(z+3)＝2×(-4)×6＝-48． 3.【答案】C 【解析】利用特殊值法，取 a＝-2，b＝ ，则 ab＝-2× ， ，易比 较得到． 4.【答案】C 【解析】这类问题需根据题中所给的运算法则计算即可． 100!=100×99×98×…×2×1，98 !＝98×97×…×2×1，故原式＝100×99＝9900 5.【答案】B 【解析】②③正确． 6.【答案】D 【解析】从图可得，截下的部分应该为：蓝 紫 红 黄 绿 |蓝 紫 红 黄 绿|，…，|蓝 紫 红 黄 绿|蓝 紫 红， 每 5 个一个循环，总个数应该是被 5 除余 3 的数，所以答案应为：2013 7．【答案】A 【解析】解：2.5÷[（ ﹣1）×（2+ ）] =2.5÷[（﹣ ）× ] =2.5÷（﹣2） =﹣ ． 故选：A． 二、填空题 8.【答案】3. 【解析】解：原式= =3， 故答案为：3． 9.【答案】-8 【解析】因为|x|＝4，所以 x＝4 或-4．同理， 或 ．又因为 ，所以 x、y 异号．所以 ． 10.【答案】0 【解析】 ； ，所以和为 0. 11.【答案】90 【解析】依题意列式为：150×0.8-30＝90． 12.【答案】-5 1 2 − 1 2  −   1= 2 1 2ab = − 1 2y = 1 2 − 0xy < 8x y = − 0, 1xx x > = 0, 0, 1xyx y xy > < = −10 【解析】由题意可得： ，代入计算得：-5 13. 【答案】1； 3 【解析】 四个数的积的绝对值等于它们积得相反数，可得这四个数的积为 负数，所以负因子的个数为奇数个，从而可得最少有 1 个，最多有 3 个. 14. 【答案】-1 三、解答题 15. 【解析】 （1） （2）因为 ．从而加数中都含有 ，所以逆用乘法分配律，可使运算简 便． 原式 （3）原式= (4)原式＝-9÷4÷2＝ (5) 原 式 = =- =- （6）原式= 2004×2003×10001-2003×2004×10001=0. 16.【解析】由题意得 a+b＝0，cd＝1，m＝1 或 m＝-1． 当 m＝1 时，原式 ； 当 m＝-1 时，原式 ． 综合可知： 的结果是 0 或-2． 17.【解析】 解：∵1！=1，2！=2×1，3！=3×2×1，4！=4×3×2×1…， ∴ = =9900． 18.【解析】20979，21978，22977，23976 （1） ，其中 表示 ； （2）28971 3, 7a b= = , , ,a b c d 11 7 3 13( ) ( 48)12 6 4 24 − + − × − 11 7 3 13( 48) ( 48) ( 48) ( 48)12 6 4 24 = × − − × − + × − − × − 44 56 36 26 2= − + − + = 1 0.25 25%4 = = 1 4 1 1 11 1370 24.54 4 2 4 = × + × + × 11 1370 24.5 2 4  = + + ×   1400 1004 = × = 6 18 3-3 3+3 ( 3) 2 9 65 5 5 × × − − × = − + + = 1 1 99 4 2 8 − × × = − 2004 2003)2003 2002()5 4(4 3)3 2(2 1 ×−×…×−××−× 2004 2003 2003 2002 5 4 4 3 3 2 2 1 ××…×××× 2004 1 1 0 1 |1| 01 = + × − = 1 0 ( 1) | 1| 21 = + × − − − = −− ( ) | |cd a b m mm + + − ____ _________________________ 999 2 2( 1)97(10 )n n n× = − − ____ ab 10a b+11