《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高）知识讲解

1 《有理数及其运算》全章复习与巩固（提高） 【学习目标】 1．理解有理数及其运算的意义，提高运算能力． 2．能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对 值的意义，会求有理数的相反数与绝对值． 3．体会转化、归纳等思想；掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及混合运算并能解 决简单的实际问题． 4． 会用科学记数法表示数． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、有理数的相关概念 1．有理数的分类： （1）按定义分类： （2）按性质分类： 要点诠释：（1）用正数、负数表示相反意义的量； （2）有理数“0”的作用： 作用 举例 表示数的性质 0 是自然数、是有理数 表示没有 3 个苹果用+3 表示，没有苹果用 0 表示2 表示某种状态 表示冰点 表示正数与负数的界点 0 非正非负，是一个中性数 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线． 要点诠释：（1）一切有理数都可以用数轴上的点表示出来，数轴上的点不都表示的是有理 数，如 ． （2）在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大． 3．相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数，0 的相反数是 0． 要点诠释：（1）一对相反数在数轴上对应的点位于原点两侧，并且到原点的距离相等， 这两点是关于原点对称的． （2）求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“ ”号即可． （3）多重符号的化简：数字前面“ ”号的个数若有偶数个时，化简结果为 正，若有奇数个时，化简结果为负． 4．绝对值： （1)代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值 是 0． 数 a 的绝对值记作 ． （2)几何意义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离． 要点二、有理数的运算 1 ．法则： （1）加法法则：①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的 异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值．③ 一个数同 0 相加，仍得这个数． （2）减法法则：减去一个数，等于加这个数的相反数．即 a-b=a+(-b) ． （3）乘法法则：①两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．②任何数同 0 相 乘，都得 0． （4）除法法则：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数．即 a÷b=a· (b≠ 0) ． （5）乘方运算的符号法则：①负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；②正数的任 何次幂都是正数，0 的任何非零次幂都是 0． 　 (6)有理数的混合运算顺序：①先乘方，再乘除，最后加减；②同级运算，从左到右进行； ③如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行． 要点诠释：“奇负偶正”口诀的应用： （1）多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：－[－（－3）]=－3， －[+（－3）]=3． （2）有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果 中积的符号，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）× 00 C π − − a 1 b ( 0) | | 0 ( 0) ( 0) a a a a a a > = = − 0； |a|=-a 时， a0，则（ ） A．ab0 C．a>0 且 b a b c+ < a c a c− = + b c c a− > − 1 2n nS a a a= + + +… 1 2 n n S S ST n + + += … nT 1a 2a na 1a 2a 500a 1a 2a 500a10 11．一种零件的尺寸在图纸上是 （单位：mm），表示这种零件加工要求最大不超过 ________，最小不小于________． 12．（2016•巴中）|﹣0.3|的相反数等于　 ． 13．如图，有理数 对应数轴上两点 A，B，判断下列各式的符号： ________0； ________0； 0； ________0． 14．已知 满足 ，则代数式 的值是 15．某地探空气球的气象观测资料表明，高度每增加 1 千米，气温大约降低 6℃．若该地地 面温度为 21℃，高空某处温度为-39℃，则此处的高度是 千米． 16．观察下列算式： ， ， ， ，请你 在观察规律之后并用你得到的规律填空： ． 三、 解答题 17．（2016 春•新泰市校级月考）计算： （1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13） （2）（﹣1.5）+4 +2.75+（﹣5 ） （3）（﹣8 ）+（﹣7.5）+（﹣21 ）+（+3 ） （4）（﹣24）×（﹣ + + ） 18.（2015•燕山区一模）为了节能减排，近期纯电动出租车正式上路运行．某地纯电动出租 车的运价为 3 公里以内 10 元；超出 3 公里后每公里 2 元；单程超过 15 公里，超过部分每公 里 3 元．小周要到离家 10 公里的博物馆参观，若他往返都乘坐纯电动出租车，共需付车费 多少元？ 19．已知三个互不相等的有理数，即可以表示为 1，a+b，a 的形式，又可表示为 0， ，b 的形式，且 x 的绝对值为 2，求 的值． 20．一粒米微不足道，平时总会在饭桌上毫不经意地掉下几粒，甚至有些挑食的同学会把整 碗米饭倒掉．针对这种浪费粮食现象，老师组织同学们进行了实际测算，称得 500 粒大米约 重 10 克．现在请你来计算 （1）一粒大米重约多少克？ （2）按我国现有人口 13 亿，每年 365 天，每人每天三餐计算，若每人每餐节约一粒大米， 一年大约能节约大米多少千克？（用科学记数法表示） （3）假若我们把一年节约的大米卖成钱，按 2 元∕千克计算，可卖得人民币多少元？（用 科学记数法表示） 0.05 0.027+ − ,a b a b+ a b− ( )( )________a b a b+ − 2( 1)ab ab + , ,a b c ( )( )( ) 0, 0a b b c c a abc+ + + = < a b c a b c + + 23451 =+× 24462 =+× 25473 =+× 24 8 4 6× + = 250___________ =+× b a 2008 2009 2( ) ( ) ( )a b ab a b ab x+ + − + − +11 （4）对于因贫困而失学的儿童，学费按每人每年 500 元计算，卖得的钱可供多少名失学儿 童上一年学？ （5）经过以上计算，你有何感想和建议？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C. 【解析】∵|﹣0.6|＜|+0.7|＜|+2.5|＜|﹣3.5|，∴﹣0.6 最接近标准，故选：C． 2．【答案】 D 【 解 析 】 当 为 0 时 ， ； 当 为 正 数 时 ， ； 当 为 负 数 时 ， 3．【答案】 B 【解析】只有④正确，其他均错． 4．【答案】C 【解析】 ， ，所以 或 5．【答案】C 【解析】 6．【答案】C 【解析】由图可知： ，又 ，所以 7．【答案】C 【解析】由图可知： ，且 表示数轴上数 对应点与数 对应 点之间的距离，此距离恰好等于数 对应点到原点的距离与数 对应点到远点 的距离之和，所以选项 C 正确． 8．【答案】C 【解析】∵ ， ，…， 的“理想数”为 2004， ∴ ， ∴ ． 8 ， ， ， … ， 中 ， ； ； ； … ， ∴ 8， ， ，…， 的理想数为： 二、填空题 9．【答案】1 b a b a− = b a b a− < b a b a− > n m≥ 2, 5n m= ± = − 7m n+ = − 3− ( 3.6) 15, 11.4x x− − = = 4b a− = 2 9b a− = 5a = − 0a b c< < < c a c a− = − a c a c 1a 2a 500a 1 2 500 2004500 S S S+ + + = 1 2 500 2004 500S S S+ + + = × 1a 2a 500a 1 8S ′ = 2 18S S′ = + 3 28S S′ = + 500 5008S S′ = + 1a 2a 500a 1 2 3 500 1 2 500 501 8 8 8 8 8 8 501 501 501 S S S S S S ST + + + + + + + + + × + + + += =  8 501 2004 500 2008501 × + ×= =12 【解析】不论 a 是正数、0、负数，a 与-a 都互为相反数，∴④正确. 10.【答案】±3，±2． 【解析】结合数轴和绝对值的意义，得绝对值小于 4 而不小于 2 的所有整数±3，±2. 11．【答案】 7.05mm, 6.98mm 【解析】7+0.05=7.05mm, 7-0.02=6.98mm. 12．【答案】-0.3 【解析】解：∵|﹣0.3|=0.3， 0.3 的相反数是﹣0.3， ∴|﹣0.3|的相反数等于﹣0.3． 故答案为：﹣0.3． 13．【答案】>， >， >， < 【解析】由图可得： ,特殊值法或直接推理可得： ． 14．【答案】1 【解析】 又 可得：三数必一负两正，不防设： ，代入原式计算即可． 15．【答案】 10 【解析】21-（-39）÷6×1=10（千米）. 16．【答案】 【解析】观察可得规律为： . 三、解答题 17．【解析】 解：（1）24+（﹣22）﹣（+10）+（﹣13） =24﹣22﹣10﹣13 =2﹣23 =﹣21； （2）（﹣1.5）+4 +2.75+（﹣5 ） =﹣1.5﹣5.5+4.25+2.75 =﹣7+7 =0； （3）（﹣8 ）+（﹣7.5）+（﹣21 ）+（+3 ） =﹣8 ﹣21 ﹣7.5+3.5 =﹣30﹣4 =﹣34； 1, 1 0a b> − < < 0, 0,ab a b< + > 20, 1 0a b ab− > + > ( )( )( ) 0,a b b c c a+ + + = 0abc < 0, 0, 0a b a c> = − < > 248 52 4 50× + = 2( 4) 4 ( 2)n n n× + + = +13 （4）（﹣24）×（﹣ + + ） =﹣24×（﹣ ）﹣24× ﹣24× =16﹣18﹣2 =﹣4． 18.【解析】 解：由 3＜10＜15，得到车费为 2[10+2（10﹣3）]=48（元）， 则共付车费 48 元． 19．【解析】解：由 1，a+b，a 与 0， ，b 相同， 由 得：分母有 ，所以 又由三数互不相等，所以 ， 化简得： ， ， ， ∴ ． 20．【解析】 解：（1）10÷500≈0.02（克） 答：一粒大米重约 0.02 克． （2）0.02×1×3×365×1300000000÷1000=2.847×107（千克） 答：一年大约能节约大米 2.847×107 千克． （3）2×2.847×107=5.694×107（元） 答：可卖得人民币 5.694×107 元． （4）5.694×107÷500=1.1388×105 答：可供 11388 名失学儿童上一年学． （5）一粒米虽然微不足道，但是我们一年节约下来的钱数大的惊人．所以提倡节约，杜绝 浪费，我们要行动起来． b a b a 0a ≠ 0a b+ = 1b = b aa = 1a = − 1b = 0a b+ = 1ab = − 2008 2009 2( ) ( ) ( ) 0 1 1 4 2a b ab a b ab x+ + − + − + = − − + =