用字母表示数及整式（提高）知识讲解

1 用字母表示数及整式（提高）知识讲解 【学习目标】 1.知道字母能表示什么；能用字母写出简单问题中的数量关系； 2. 能按要求列出代数式，会求代数式的值； 3.会识别单项式系数与次数、多项式的项与系数； 4.理解并掌握单项式、多项式、整式等概念，弄清它们之间的区别与联系. 【要点梳理】 要点一、字母表示数 用字母表示数之后，有些数量之间的关系用含有字母的式子表示，看上去更加简明，更 具有普遍意义了．举例：如果用 a、b 表示任意两个有理数，那么加法交换律可以用字母表 示为：a＋b＝b＋a．乘法交换律可以用字母表示为：ab＝ba 要点二、代数式 1.代数式的定义：诸如：16n ，2a+3b ，34 ， ， 等式子，它们都是用运算符号把 数和字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个数或一个字母也是代数式. 要点诠释： 带等号或不等号的式子不是代数式，如 ， ， 等都不是代数式. 2.列代数式： 在解决实际问题时，常常先把问题中与数量有关的词语用代数式表示出来，即列出代数 式，使问题变得简洁，更具一般性． 要点诠释：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式； （5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写. 3.代数式的值：一般地，用具体数值代替代数式中的字母，按照代数式中的运算关系计算得 出的结果，叫做代数式的值. 要点三、整式 1.单项式 （1）单项式的定义：如 ， ，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单 项式，单独的一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释：单项式一定是代数式，但若分母中含有字母的代数式，如 就不是单项式，因 为它无法写成数字与字母的乘积． （2）单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数． 要点诠释： ①确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数． ②圆周率 π 是常数，单项式中出现 π 时，应看作系数． ③当一个单项式的系数是 1 或-1 时，“1”通常省略不写． ④单项式的系数是带分数时，通常写成假分数，如： 写成 ． 2 n 2)( ba + 3 3x = 3 3x > 3 3x ≠ 22xy− 1 3 mn 5 m 2114 x y 25 4 x y2 （3）单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 要点诠释：没有写指数的字母，实际上其指数是 1，计算时不能将其遗漏． 2．多项式 (1)多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式． 要点诠释：“几个”是指两个或两个以上． (2)多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 要点诠释： ①多项式的每一项包括它前面的符号． ②一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 是一个三项式． (3)多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数． 要点诠释： ①多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数． ②一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出． （4）升幂排列与降幂排列：把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来,叫 做把多项式按这个字母降幂排列；若按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 多项式按这个字母升幂排列． 如:多项式 2x3y2-xy3+ x2y4-5x4-6 是六次五项式,按 x 的降幂排列为 -5x4+2x3y2+ x2y4-xy3-6,在这里只考虑 x 的指数,而不考虑其它字母;按 y 的升幂排列 为-6-5x4+2x3y2-xy3+ x2y4． 要点诠释： ①重新排列多项式时,每一项一定要连同它的正负号一起移动； ②含有两个或两个以上字母的多项式,常常按照其中某一个字母的升幂排列或降幂排列． 3.整式：单项式与多项式统称为整式． 要点诠释： （1）单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式 必是代数式，但反过来就不一定成立． （2）分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式． 【典型例题】 类型一、字母表示数 1．填空： (1)某商场将一种商品 A 按标价的 9 折出售(即优惠 10%)仍可获利 10%，若商场商品 A 的标 价为 a 元，那么该商品的进价为________元(列出式子即可，不用化简)． （2）有 a 名男生和 b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖．男生每人搬了 40 块，女生 每人搬了 30 块．这 a 名男生和 b 名女生一共搬了　　块砖（用含 a．b 的代数式表示）． 【思路点拨】和、差形式的代数式要在单位前把代数式括起来. 【答案】(1) ；(2)（40a+30b） 【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价”、“标价”、“利润”、“利润率”、“打折”等 问题，打几折就是标价的十分之几． 【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系： 26 2 7x x− − 2 1 2 1 2 1 90% 10% 1 a +3 (1)利润＝售价－进价; (2)利润率＝ ． 举一反三： 【变式】（2015•自贡）为庆祝战胜利 70 周年，我市某楼盘让利于民，决定将原价为 a 元/ 米 2 的商品房价降价 10%销售，降价后的销售价为（　　） 　 A．a﹣10% B． a•10% C． a（1﹣10%） D． a（1+10%） 【答案】C． 类型二、代数式 2．为了节约能源，某单位按以下规定收取每月电费：用电不超过 140 度，按每度 0.43 元收费；如果超过 140 度，超过部分按每度 0.57 元收费． （1）若某用户 10 月份用去 a 度电，则他应缴多少电费？ （2）若该用户 11 月份用了 150 度电，则该缴多少电费？ 【思路点拨】当 a﹥140，应付费用分为两部分，一部分为 0.43×140 元， 另一部分为 0.57×（a-140）元. 【答案与解析】 解：（1）当 a≤140 时，电费为 0.43a 元； 当 a＞140 时，电费为： 元. （2）因为用电量为 150 度，大于 140 度， 因此把 a＝150 代入代数式 ，得 （元）. 因此，该缴电费 65.9 元. 【总结升华】根据 a 的不同取值，分别对应不同的代数式． 举一反三： 【变式 1】一个堤坝的截面是等腰梯形，最上面一层铺石块 a 块，往下每层多铺一块，最下 面一层铺了 b 块，共铺了 n 层，共铺石块 块？当 a＝20，b＝40，n＝17 时，堤坝的这 个截面铺石块 块？ 【答案】 （a＋b）n，510 块. 【变式 2】代数式 （a＋b）n 的意义. 【答案】答案不唯一，举一例：设某两数为 ，则 表示“这两个数平均数的 n 倍. 类型三、整式 3．（2015•杭州模拟）整式﹣0.3x2y，0， ， ， ，﹣2a2b3c 中是 单项式的个数有（　　） 　 A．2 个 B． 3 个 C． 4 个 D． 5 个 【答案】C． -售价 进价 进价 0.43 140 0.57 ( 140) (0.57 19.6)a a× + × − = − 0.57 19.6a − 0.57 150 19.6 65.9× − = 1 2 1 2 a b、 ( )a b n+1 24 【解析】 解：整式﹣0.3x2y，0， ， ， ，﹣2a2b3c 中， 单项式有：﹣0.3x2y，0， ，﹣2a2b3c，共 4 个． 【总结升华】根据单项式的定义：数或字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或字 母也是单项式，即可得出答案． 举一反三： 【高清课堂：整式的概念 例 1】 【变式】下列代数式： ， 其中单项式是_______________，多项式是_______________. 【答案】①②③，④⑥ 4．已知多项式 ． (1)求多项式各项的系数和次数． (2)如果多项式是七次五项式，求 m 的值． 【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项 的系数是-6，次数是 3；第 二项 的系数是-7，次数是 3m+1；第三项 的系数是 ，次数是 4；第四项 系数是-l，次数 3；第五项-5 系数是-5，次数是 0． (2)由多项式是七次五项式，可得 的次数是 7，即 3m-1+2＝7，解得 m＝2． 【总结升华】对于单项式 的次数为 3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对 用字母表示多项式的次数或系数有较深地认识． 举一反三： 【高清课堂：整式的概念 ------练习题---3】 【变式】多项式 是关于 的二次三项式，求 a 与 b 的差的相反数． 【答案】 5．（2016•延庆县一模）已知：x2﹣5x=6，请你求出代数式 10x﹣2x2+5 的值． 【思路点拨】先把 10x﹣2x2+5 变形为﹣2（x2﹣5x）+5，然后把 x2﹣5x=6 整体代入进行计 算即可． 3 2 2 3 32 1 11; ; ; ; 2 ; - 23 2 a x yab x x y x y yx +− − + +π① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 3 2 3 1 2 246 7 53 m xxy x y y x y−− − + − − 26xy− 3 1 27 mx y−− 34 3 x y 4 3 2x y− 3 1 27 mx y−− 3 1 27 mx y−− ( ) 34 ba x x x b− − + − x ( ) ( ) 4 0 4 2 2 4 2 2. a a b b a b − = = ∴ = =  ∴− − = − − = − 解：由题意得5 【答案与解析】 解：10x﹣2x2+5 =﹣2（x2﹣5x）+5， ∵x2﹣5x=6， ∴原式=﹣2×6+5=﹣12+5=﹣7． 【总结升华】本题考查了代数式求值：先根据已知条件把代数式进行变形，然后利用整体代 入进行求值． 　6 【巩固练习】 一、选择题 1．已知 a，b 互为相反数，c、d 互为倒数，则代数式 2（a＋b）－3cd 的值为（ ）． A.2 B.－1 C.－3 D.0 2．当 x＝3 时，代数式 px3＋qx＋1 的值为 2002，则当 x＝－3 时，代数式 px3＋qx＋1 的值 为（ ）． A.2000 B.－2002 C.－2000 D.2001 3．关于代数式 的值，下列说法错误的是 （ ）． A.当 a＝ 时，其值为 0 B.当 a＝－3 时，其值不存在 C.当 a≠－3 时，其值存在 D.当 a＝5 时，其值为 5 4.某同学爬一楼梯，从楼下爬到楼顶后立刻返回楼下已知该楼梯长 S 米，同学上楼速度是 a 米/分，下楼速度是 b 米/分，则他的平均速度是（ ）米/分． A、 B、 C、 D、 5．（2015•通辽）下列说法中，正确的是（　　） 　 A．﹣ x2 的系数是 B． πa2 的系数是 　 C．3ab2 的系数是 3a D． xy2 的系数是 6．一组按规律排列的多项式： ， ， ， ，…，其中第 10 个式子 是( )． A． B． C． D． 二、填空题 7.一项工程，甲单独做 a 小时完成，乙单独做 b小时完成，则甲、乙合做此项工程所需的时 间为 小时． 8．代数式 ， ， ， ，0， 中是单项式的是________，是 多项式的是________． 9.（2015•扬州）若 a2﹣3b=5，则 6b﹣2a2+2015=　 　． 10． 是关于 x、y 的五次单项式，且系数为 3，则 a+b 的值为________． 11．（2016 春•龙泉驿区期中）多项式 3x2+πxy2+9 中，次数最高的项的系数是　 　． 12. 如图所示，在一个三角点阵中，从上向下数有无数多行，其中各行点数依次为 2，4， 6，…，2n，…，请你探究出前 n 行的点数和所满足的规律．若前 n 行点数和为 930，则 n＝ ________． 2 1 3 a a − + 1 2 2 ba + ba s + b s a s + b s a s s + 2 a b+ 2 3a b− 3 5a b+ 4 7a b− 10 19a b+ 10 19a b− 10 17a b− 10 21a b− 2 3 mn 2 35 3 x y 2 x y− 2 3ab c− 3 1a a+ − 2 1bax y −−7 三、解答题 13. 某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元该商场为促销制定 了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额打九 折付款八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练习本 x（x≥ 10）本. (1).用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额. (2).若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本 30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方 式才更省钱？ 14.（2014 秋•吉林校级期末）要是关于 x、y 的多项式 my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y 不含三次项， 求 2m+3n 的值． 15.（2016 春•滨海县校级月考）做大小两个纸盒，尺规如下（单位：cm） 长 宽 高 小纸盒 a b c 大纸盒 3a 2b 2c （1）做这两个纸盒共用料多少平方厘米？（结果用含 a、b、c 的代数式表示） （2）做成的大纸盒比小纸盒的容积大多少立方厘米？（结果用含 a、b、c 的代数式表示） 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 2. 【答案】C； 3. 【答案】D； 4. 【答案】D； 【解析】平均速度等于总路程除以总时间，即上下楼梯的总路程 2s，总时间是上楼时间： ，下楼时间： ，所以答案选Ｄ． 5.【答案】D． 【解析】A、﹣ x2 的系数是﹣ ，故本选项错误； B、 πa2 的系数是 π，故本选项错误； C、3ab2 的系数是 3，故本选项错误； D、 xy2 的系数 ，故本选项正确． a s b s8 6．【答案】B 【解析】观察每个式子知，每个多项式都是二项式，且 a、b 的指数与式子的个数 n 之间 的关系是 a 的指数为 n，b 的指数为 2n-1，而且含 a 项的系数都是 1，含 b 项的系数为 ， 即第 n 个式子为 ，所以第 10 个式子是 ． 二、填空题 7. 【答案】 ； 【解析】甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 ，合作的工作效率为 ，合作的工作 时间为 ． 8. 【答案】 ， ， ，0 ； ， ； 【解析】单项式是数与字母的乘积，多项式是单项式的和． 9.【答案】2005． 【解析】6b﹣2a2+2015=﹣2（a2﹣3b）+2015=﹣2×5+2015=﹣10+2015=2005． 10.【答案】1； 【解析】由-a＝3，2+b-1＝5，得 a＝-3，b＝4，则 a+b＝-3+4＝1． 11.【答案】π； 【解析】解：多项式 3x2+πxy2+9 中，最高次项是 πxy2，其系数是 π． 故答案为：π． 12. 【答案】30． 【解析】2+4+6+…+2n＝930，即 2(1+2+3+…n)＝930，2× 即 n(n+1)＝ 930，故 n＝30． 三、解答题 13. 【解析】 解:设买练习本 x,则得两种购买方法的代数式为: (1) 代数式分别为: 25×10+5(x-10), (25×10+5x)×90% ． (2) 把 x＝30 分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10)＝25×10+5(30-10)＝350， (25×10+5x)×90%＝(25×10+5×30)×90%＝360 ． 所以选择第一种优惠方式. 14.【解析】 解：my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y=（m+2）y3+（3n﹣1）x2y+y， ∵关于 x、y 的多项式 my3+3nx2y+2y3﹣x2y+y 不含三次项， ∴m+2=0，3n﹣1=0， ∴m=﹣2，n= ， ∴2m+3n 1( 1)n+− 1 2 1( 1)n n na b+ −+ − 10 19a b− 1 1 1 a b + 1 a 1 b 1 1 a b + 1 1 1 a b + 2 3 mn 2 35 3 x y 2 3ab c− 2 x y− 3 1a a+ − 1 9302 n n + =9 =2×（﹣2）+3× =﹣3． 15.【解析】 解：（1）根据题意，做两个纸盒需用料 2ab+2bc+2ac+12ab+8bc+12ac=14ab+10bc+14ac， 答：做这两个纸盒共用料（14ab+10bc+14ac）平方厘米． （2）根据表格中数据可知，大纸盒比小纸盒的容积大 3a×2b×2c﹣abc=11abc， 答：做成的大纸盒比小纸盒的容积大 11abc 立方厘米．