整式的加减（一）——合并同类项（提高）知识讲解

1 整式的加减（一）——合并同类项（提高） 【学习目标】 1．掌握同类项及合并同类项的概念，并能熟练进行合并； 2. 掌握同类项的有关应用； 3. 体会整体思想即换元的思想的应用． 【要点梳理】 【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 同类项】 要点一、同类项 定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项．几个常数项也是 同类项． 要点诠释： (1)判断几个项是否是同类项有两个条件：①所含字母相同；②相同字母的指数分别相等， 同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可． (2)同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关． (3)一个项的同类项有无数个，其本身也是它的同类项． 要点二、合并同类项 1. 概念：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 2．法则：合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变． 要点诠释：合并同类项的根据是乘法的分配律逆用，运用时应注意： (1)不是同类项的不能合并，无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄； (2)系数相加(减)，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)． 【典型例题】 类型一、同类项的概念 1． 判别下列各题中的两个项是不是同类项： (1)-4a2b3 与 5b3a2；(2) 与 ；(3)-8 和 0；(4)-6a2b3c 与 8ca2． 【答案与解析】 (1)-4a2b3 与 5b3a2 是同类项；(2)不是同类项；(3)-8 和 0 都是常数，是同 类项；(4)-6a2c 与 8ca2 是同类项． 【总结升华】辨别同类项要把准“两相同，两无关”，“两相同”是指：①所含字母相同；② 相同字母的指数相同；“两无关”是指：①与系数及系数的指数无关；②与字母的排列顺序 无关．此外注意常数项都是同类项. 2．（2016•邯山区一模）如果单项式 5mxay 与﹣5nx2a﹣3y 是关于 x、y 的单项式，且它 们是同类项．求 （1）（7a﹣22）2013 的值； （2）若 5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且 xy≠0，求（5m﹣5n）2014 的值． 【思路点拨】（1）根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得关于 a 的方程，解 方程，可得答案； （2）根据合并同类项，系数相加字母部分不变，可得 m、n 的关系，根据 0 的任何整数次幂 都得零，可得答案． 2 21 3 x y z− 2 21 3 xy z−2 【答案与解析】解：（1）由单项式 5mxay 与﹣5nx2a﹣3y 是关于 x、y 的单项式，且它们是同 类项，得 a=2a﹣3，解得 a=3； ∴（7a﹣22）2013=（7×3﹣22）2013=（﹣1）2013=﹣1； （2）由 5mxay﹣5nx2a﹣3y=0，且 xy≠0，得 5m﹣5n=0， 解得 m=n； ∴（5m﹣5n）2014=02014=0． 【总结升华】本题考查了同类项，利用了同类项的定义，负数的奇数次幂是负数，零的任何 正数次幂都得零． 举一反三： 【变式】（2015•石城县模拟）如果单项式﹣xa+1y3 与 x2yb 是同类项，那么 a、b 的值分别为 （　　） A. a=2，b=3 B. a=1，b=2 C. a=1，b=3 D. a=2，b=2 【答案】C 解：根据题意得：a+1=2，b=3， 则 a=1． 类型二、合并同类项 【高清课堂：整式加减（一）合并同类项 例 2】 3．合并同类项： ； ； ; （注：将“ ”或“ ”看作 整体） 【思路点拨】同类项中，所含“字母”，可以表示字母，也可以表示多项式，如（4）． 【答案与解析】 （1） （2） （3）原式= （4） 【总结升华】无同类项的项不能遗漏,在每步运算中照抄. 举一反三： 【变式 1】 ( ) 2 21 3 2 4 3 2 5x x x x− + + − − ( ) 2 2 2 22 6 5 2 5 6a b ab b a− + + − ( ) 2 2 23 5 4 2 6 2 5yx xy xy x y xy− + − + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 3 2 34 3 1 2 1 5 1 4 1x x x x− − − − − + − 1x − 1 x− ( ) ( ) ( )2 2 23 2 2 3 4 5 1 1x x x x x x= − + − + + − = + − = + −原式 ( ) ( )2 2 2 26 6 5 5 2 2a a b b ab ab− + − + + =原式= ( ) ( )2 2 25 6 2 2 4 5x y x y xy xy xy− + + − + + + 2 24 5x y xy= + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 3 3 2 33 1 5 1 2 1 4 1 2 1 6 1x x x x x x   = − − − + − − − − = − − − −   原式3 化简：（1） （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b) 【答案】原式 （2） (a-2b)2+(2b-a)-2(2b-a)2+4(a-2b) =(a-2b)2-2(a-2b)2+4(a-2b)-(a-2b) =(1-2)(a-2b)2+(4-1)(a-2b) =-(a-2b)2+3(a-2b). 4.（2015•大丰市一模）若﹣2amb4 与 5a2bn+7 的和是单项式，则 m+n=　 　． 【思路点拨】两个单项式的和仍是单项式，这说明﹣2amb4 与 5a2bn+7 是同类项． 【答案】-1 【解析】解：由﹣2amb4 与 5a2bn+7 是同类项，得 ， 解得 ． m+n=﹣1， 故答案为：﹣1． 【总结升华】要善于利用题目中的隐含条件． 举一反三： 【变式】若 与 可以合并，则 　　， 　　 . 【答案】 类型三、化简求值 5. 化简求值： （1）当 时，求多项式 的值． （2）若 ， 求多项式 的值． 【答案与解析】（1）先合并同类项，再代入求值： 原式= 3 2 31 3 1 2 5 4 3 3xy x y xy x− − − + 3 3 2 3 21 1 2 3 1 1 2 3( ) ( )5 3 3 4 5 3 3 4xy xy x x y xy x y= − + − − = − + − − 3 22 1 .15 12xy x y= − − − 35 xa b 30.2 ya b− x = y = 3, 3± ± 1, 2a b= = − 3 2 3 2 39 9 1 115 52 4 2 4ab a b ab a b ab a b− − + − − − 24 3 (3 2) 0a b b+ + + = 2 22(2 3 ) 3(2 3 ) 8(2 3 ) 7(2 3 )a b a b a b a b+ − + + + − + 3 2 39 1 9 11( ) (5 ) 52 2 4 4a b ab a b− + + − − − −4 = 将 代入，得： （2）把 当作一个整体，先化简再求值： 原式= 由 可得： 两式相加可得： ，所以有 代入可得：原式= 【总结升华】此类先化简后求值的题通常的步骤为：先合并同类项，再代入数值求出整式的 值． 举一反三： 【高清课堂：整式的运算（一）—合并同类项 例 4】 【变式】 . 【答案】 类型四、综合应用 6. 若多项式-2+8x+(b-1)x2+ax3 与多项式 2x3-7x2-2(c+1)x+3d+7 恒等，求 ab-cd. 【答案与解析】 法一：由已知 ax3+(b-1)x2+8x-2≡2x3-7x2-2(c+1)x+(3d+7) ∴ 解得： ∴ab-cd=2×(-6)-(-5)×(-3)=-12-15=-27. 法二：说明：此题的另一个解法为：由已知 (a-2)x3+(b+6)x2+[2(c+1)+8]x-(3d+9)≡0. 因为无论 x 取何值时，此多项式的值恒为零.所 3 2 34 5a b a b− − − 1, 2a b= = − 3 2 3 3 2 34 5 4 1 ( 2) 1 ( 2) 5 19a b a b− − − = − × × − − × − − = − (2 3 )a b+ 2 2(2 8)(2 3 ) ( 3 7)(2 3 ) 10(2 3 ) 10(2 3 )a b a b a b a b+ + + − − + = + − + 24 3 (3 2) 0a b b+ + + = 4 3 0,3 2 0a b b+ = + = 4 6 2a b+ = − 2 3 1a b+ = − 210 ( 1) 10 ( 1) 20× − − × − = 3 4 2 2 3 2 33 2 3 6 2 2已知 与 是同类项，求代数式 的值a bx y xy b a b b a b+ −− − − + ( ) ( ) ( ) 3 4 2 2 3 2 3 2 2 3 3 2 3 32 3 2 3 1, 2 4. 2, 6. 3 6 2 2 3 2 6 2 4 , 2, 6 6 4 2 6 228. a bx y xy a b a b b a b b a b b b a b a b b a b a b + −− ∴ + = − = ∴ = − = − − + = − + − + = − ∴ = − = = − × − × =   解： 与 是同类项， 当 时，原式 2, 1 7, 8 2( 1), 2 3 7. a b c d =  − = − = − + − = + 2, 6, 5, 3. a b c d =  = − = −  = −5 以它的各项系数皆为零，即从而得 解得： 【总结升华】若等式两边恒等，则说明等号两边对应项系数相等；若某式恒为 0，则说明各 项系数均为 0；若某式不含某项，则说明该项的系数为 0． 举一反三： 【变式 1】若关于 x 的多项式-2x2+mx+nx2+5x-1 的值与 x 的值无关，求(x-m)2+n 的最小值. 【答案】 -2x2+mx+nx2+5x-1=nx2-2x2+mx+5x-1=(n-2)x2+(m+5)x-1 ∵ 此多项式的值与 x 的值无关， ∴ 解得: 当 n=2 且 m=-5 时， (x-m)2+n=[x-(-5)]2+2≥0+2=2. ∵(x-m)2≥0， ∴当且仅当 x=m=-5 时，(x-m)2=0，使(x-m)2+n 有最小值为 2. 【变式 2】若关于 的多项式： ，化简后是 四次三项式，求 m+n 的值． 【答案】分别计算出各项的次数，找出该多项式的最高此项： 因为 的次数是 ， 的次数为 ， 的次数为 ， 的次 数为 ， 又因为是三项式 ,所以前四项必有两项为同类项，显然 是同类项，且合并 后为 0， 所 以 有 ， ． 2 0, 5 0. n m − =  + = 2 5 n m =  = − ,x y 2 2 2 3 3 32m m m mx y mx y nx y x y m n− − − −+ + − + + 2 2mx y− m 2mmx y− 1m − 3 3mnx y − m 32 mx y−− 2m − 2 2 3 3m mx y nx y− −与 5,1 0m n= + = 5 ( 1) 4m n+ = + − = 2 0, 6 0, 2( 1) 8 0, (3 9) 0. a b c d − =  + = + + = − + = 2, 6, 5, 3. a b c d =  = − = −  = −6 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015•广西）下列各组中，不是同类项的是（　　） A. 52 与 25 B. ﹣ab 与 ba C. 0.2a2b 与﹣ a2b D. a2b3 与﹣a3b2 2．代数式 的值( )． A．与 x，y 都无关 B．只与 x 有关 C．只与 y 有关 D．与 x、y 都有关 3． 三角形的一边长等于 m+n，另一边比第一边长 m-3，第三边长等于 2n-m，这个三角形的 周长等于( )． A．m+3n-3 B．2m+4n-3 C．n-n-3 D．2，n+4n+3 4. 若 为自然数，多项式 的次数应为 （ ）． A． B． C． 中较大数 D． 5.（2016•高港区一模）下列运算中，正确的是（　　） A．3a+2b=5ab B．2a3+3a2=5a5 C．5a2﹣4a2=1 D．5a2b﹣5ba2=0 6. 如图所示，是一个正方体纸盒的平面展开图，其中的五个正方形内都有一个单项式，当 折成正方体后，“?”所表示的单项式与对面正方形上的单项式是同类项，则“?”所代表的 单项式可能是( )． A．6 B．d C．c D．e 7．若 A 是一个七次多项式，B 也是一个七次多项式，则 A+B 一定是( )． A．十四次多项式 B．七次多项式 C．不高于七次的多项式或单项式 D．六次多项式 二、填空题 1. （1） ；（2） ；（3） 2. 找出多项式 中的同类 项 、 、 。 3. （2016 春•永春县校级月考）若 与﹣3ab3﹣n 的和为单项式，则 m+n=　 　． 4．当 k＝ 时，代数式 中不含 xy 项． 5．按下面程序计算：输入 x=3，则输出的答案是　　． 2 3 3 2 3 33 10 6 3 6 7 2x y x x y x y x y x− − + + − + − ,m n 4m n m nx y ++ + m n ,m n m n+ 2 _____ 7xy xy+ = 2 2_____ 2a b a b− − = 2 2_____ _____ 3 2m m m m+ + + = − 2 2 2 27 2 7 4 2 7ab a b a b ab− + + − − 2 2 13 3 83x kxy y xy− − − −7 6．把正整数依次排成以下数阵： 1， 2， 4 ， 7，… … 3， 5， 8，… … 6， 9， … … 10， … … 如果规定横为行，纵为列，如 8 是排在 2 行 3 列，则第 10 行第 5 列排的数是 ____________ 三、解答题 1. （2014 秋•嘉禾县校级期末）若单项式 a3bn+1 和 2a2m﹣1b3 是同类项，求 3m+n 的值． 2．先化简，再求值． (1) ，其中 x＝-2， ； (2) ．其中 a＝1，b＝-2． 3．试说明多项式 的值与字母 x 的 取值无关． 4．要使关于 的多项式 不含三次项，求 的值． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】D 2．【答案】B 【解析】合并同类项后的结果为 ，故它的值只与 有关． 3．【答案】B 【 解 析 】 另 一 边 长 为 ， 周 长 为 ． 4．【答案】C 【解析】 是常数项，次数为 0，不是该多项式的最高次项． 5．【答案】D 【解析】解：A、3a+2b 无法计算，故此选项错误； B、2a3+3a2 无法计算，故此选项错误； C、5a2﹣4a2=a2，故此选项错误； D、5a2b﹣5ba2=0，正确． 故选：D． 6．【答案】D 【解析】题中“?”所表示的单项式与“5e”是同类项，故“?”所代表的单项式可能是 e，故选 D． 7．【答案】C 3 2 3 2 2 21 22 3 5 7 53 3x x y x x y xy xy− + + + + − 1 2y = 3 3 39 9 1 115 52 4 2 4ab a b ab a b ab a b− − + − − − 3 3 2 2 3 3 2 2 3 31 2 0.5 2 32x y x y y x y x y y x y y− + − + + + − − ,x y 3 2 3 23 2mx nxy x xy y+ + − + 2 3m n+ 33 2x− − x 3 2 3m n m m n+ + − = + − 2 3 2 2 4 3m n m n n m m n+ + + − + − = + − 4m n+8 二、填空题 1. 【答案】 2. 【答案】 3. 【答案】4. 【解析】解：∵ 与﹣3ab3﹣n 的和为单项式， ∴2m﹣5=1，n+1=3﹣n， 解得：m=3，n=1． 故 m+n=4． 故答案为：4． 4. 【答案】 【解析】合并同类项得： ．由题意得 ．故 ． 5. 【答案】12 【解析】根据输入程序，列出代数式，再代入 x 的值输入计算即可． 由表列代数式：（x3﹣x）÷2 ∵x=3，∴原式=（27﹣3）÷2=24÷2=12． 6. 【答案】101 【 解 析 】 第 10 行 的 第 一 个 数 是 ： 1+2+3+…+10=55 ， 第 10 行 的 第 5 个 数 是 ： 55+10+11+12+13=101． 三、解答题 1.【解析】解：由 a3bn+1 和 2a2m﹣1b3 是同类项，得 ， 解得 ． 当 m=2，n=2 时，3m+n=3×2+2=6+2=8． 2.【解析】（1）原式 ．当 ， 时，原式＝1； （2）原式 ，当 ， 时，原式＝5． 3.【答案】5 【解析】根据题意得：m﹣1=2，n=2，则 m=3，n=2．故 m+n=3+2=5． 4.【解析】原式= 要使原式不含三次项，则三次项的系数都应为 0，所以有： ，即有： 2 25 ; ( 3 ) ; 2 , 3xy a b m m− − 2 2 2 27 7 2 4 2 7ab ab a b a b− − − +与 、 与 、 与 1 9 − 2 213 3 83x k xy y + − − − −   13 03k− − = 1 9k = − 3 2 7x x y= + + 2x = − 1 2y = 35 5a b= − − 1a = 2b = − 3 2( 2) (3 1)m x n xy y+ + − + 2 0, 3 1 0m n+ = − = 12, 3m n= − =9 所以 ．12 3 2 ( 2) 3 33 + = × − + × = −m n