探索规律（提高）知识讲解

1 探索规律（提高）知识讲解 【学习目标】 1. 通过观察、分析、总结等一系列过程，经历探索数量关系，并运用代数式表示规律，通 过运算验证规律是否正确的过程； 2.会用代数式表示简单问题中的数量关系，能用合并同类项、去括号等法则验证所探索的规 律是否正确； 3.通过动手操作、观察、思考，体验数学活动是充满着探索性和创造性的过程. 【要点梳理】 要点一、规律探索型问题常见类型 1、数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或不等式，然后猜想其中蕴含的规律，反映了由特殊 到一般的数学方法，考查了学生的分析、归纳、抽象、概括能力.一般解法是先写出数式的 基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间 相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式. 要点诠释：由于寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思 想的运用.解题中应注意先从特殊的结果入手寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 2、图形规律 根据一组相关图形的变化，从中总结图形变化所反映的规律.解决这类图形规律问题的方 法有两种，一种是数图形，将图形转化成数字规律，再用数字规律的解决问题，一种是通过 图形的直观性，从图形中直接寻找规律. 要点诠释：图案、图表具有直观、形象、简明，包含的信息量多等特点，解决此类问题需要 把“形”转化为“数”，考查数形结合的数学思想. 3、数表规律 解决本题的方法一般是先看行（或列）的规律，再以列（或行）为单位用数列找规律方 法找规律.有时也需要看看有没有一个数是上面两数或下面两数的和或差等.有时还需要先 局部看，再整体找规律. 要点二、规律探索型问题解题技巧 1、抓住条件中的变与不变 找数学规律的题目，都会涉及到一个或者几个变化的量.所谓找规律，多数情况下，是指 变量的变化规律. 所以，抓住了变量，就等于抓住了解决问题的关键.而这些变量通常按照 一定的顺序给出，揭示的规律，常常包含着事物的序列号. 2、化繁为简，形转化为数 有些题目看上去很大、图形很复杂，实际上，关键性的内容并不多.对题目做一番认真地 分析，去粗取精，取伪存真，把其中主要的、关键的内容抽出来，题目的难度就会大幅度降 低，问题也就容易解决了. 3、要进行计算尝试 找规律，当然是找数学规律.而数学规律，多数是函数的解析式.函数的解析式里常常包 含着数学运算.因此，找规律，在很大程度上是在找能够反映已知量的数学运算式子.所以， 从运算入手，尝试着做一些计算，也是解答找规律题的好途径. 4、寻找事物的循环节 有些题目包含着事物的循环规律，找到了事物的循环规律，其他问题就可以迎刃而解. 【典型例题】 类型一、数式规律2 1．在下列数列里，写出后面两个数： （1）1，10，3，13，5，16，7，19， ， ，… （2）2，5，6，10，18，20，54，40， ， ，… （3）4，16，36，64， ，144，196， ，…， （4）0，1，2，3，6，11，20， ， ，… （5） ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，…. 【答案】（1）9，22； （2）162，80； （3）100，256； （4）37，68；（5） ． 【解析】 解：（1）这个数列中，奇数位上的数后一项总比前一项多 2，偶数位上的数后一项总比前 一项多 3． （2）这个数列中，奇数位上数后一项总是前一项的 3 倍，偶数位上的数后一项是前一项的 2 倍． （3）同除以 4 后可得新数列：1、4、9、16…，很显然是位置数的平方． （4）这个数列中某项的数等于它前面 3 项数之和． （5）根据已知得出：符号的变化规律为 ，分子与分母的变化规律，分子依次差 4 的数，分母是依次差 3 的数，进而得出第 n 个数分子的规律是（4n-3），分母的规律是 3n， 进而得出这一组数的整体的变化规律． 【总结升华】（1）（2）（4）的第 n 项不容易用一个代数式表示出来，（3）的第 n 项为 4n2， （5）的第 n 项为 ． 举一反三： 【变式】（2015•包头）观察下列各数：1， ， ， ，…，按你发现的规律计算这列数的 第 6 个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 解：观察该组数发现：1， ， ， ，…， 第 n 个数为 ， 当 n=6 时， = = ． 1 3 5 6 − 9 9 13 12 − 17 15 21 18 − 25 21 29 24 − 11 37,9 30 − 1( 1)n+− 1 4 3( 1) 3 n n n + −−3 2．（2016 春•丰县校级期中）我们知道简便计算的好处，事实上，简便计算在好多地 方都存在，观察下列等式： 152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4×100+25=1225，… （1）根据上述格式反应出的规律填空：952=　 　； （2）设这类等式左边两位数的十位数字为 a，请用一个含 a 的代数式表示其结果； （3）这种简便计算也可以推广应用：个位数字是 5 的三位数的平方，请写出 1952 的简便计 算过程及结果． 【思路点拨】（1）观察给定等式，发现变化规律“等式左边为 15 右边为 1×2，等式左边为 25 右边为 2×3，等式左边为 35 右边为 3×4”，依此规律即可求出 952 的值； （2）结合（1）的发现，总结出规律“（a5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25”； （3）将（2）的规律延伸，即可依照规律得出结论． 【答案与解析】 解：（1）观察：152=1×2×100+25=225，252=2×3×100+25=625，352=3×4× 100+25=1225，…， 发现：等式左边为 15 右边为 1×2，等式左边为 25 右边为 2×3，等式左边为 35 右边为 3× 4，∴952=9×10×100+25=9025． 故答案为：9×10×100+25=9025． （2）根据（1）的规律得出结论： （a5）2=a×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25． （3）结合（2）的规律可知：1952=19×20×100+25=38025． 【总结升华】本题考查了规律型中的数字的变化类，解题的关键是找出变化规律“（a5）2=a ×（a+1）×100+25=100a（a+1）+25”．解决该题型题目时，根据给定等式子的变化，找出 变化规律是关键． 举一反三： 【变式】观察下面组成的图案和算式，解答问题： 1+3=4=22； 1+3+5=9=32； 1+3+5+7=16=42； 1+3+5+7+9=25=52； （1）请猜想 1+3+5+7+9+…+19= ； （2）请猜想 1+3+5+7+9+…+（2n-1）+（2n+1）+（2n+3）= . 【答案】（1）100；（2） . 类型二、图表规律 3．用火柴棒按图中的方式搭图： 2( 2)n +4 (1) 填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 火柴棒根数 (2) 第 N 个图形需要多少根火柴？ 【思路点拨】在解此类问题时，方法很明确；就是把图形型问题转化为数字型问题，再从数 字的特点来寻找出规律来解答. 【答案与解析】 解：（1）显然，第一个图形中有 3 根火柴棒；第二个图形中有 9 根火柴棒；第三个图形中 有 18 根火柴棒；第四个图形中有 30 根火柴棒；……，所以填写表格如下： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 火柴棒根数 3 9 18 30 45 63 （2） 解法一：3=1×3； 9=3×3=（1+2）×3； 18=6×3=（1+2+3）×3； 30=10×3=（1+2+3+4）×3；…… 因此，第 N 个图形中的火柴棒的根数为：（1+2+3+…+N）×3 根，即为 . 解法二：3=3； 9=3+6； 18=3+6+9； 30=3+6+9+12；…… 因此，第 N 个图形中的火柴棒的根数为： 3+6+9+…+3N＝3（1+2+3+…+N）＝ . 【总结升华】在数图形的数量时，如能掌握：先单一、后 2 个复合、再 3 个复合……依次类 推，数出相应所有的结论，这样做不易重复和遗漏. 3 (1 ) 2 N N+ 3 (1 ) 2 N N+5 举一反三： 【变式】从一个三角形的一个顶点向它的对边引一条线段，此时图中共有 3 个三角形（如图 2）；若再向它的对边引一条线段，此时图中共有 6 个三角形（如图 3）；……依次类推，则 第 N 个图中共有 个三角形？ 【答案】 4．（2015•庐阳区二模）将正整数按如图所示的规律排列下去．若用有序实数对（m， n）表示第 m 排、从左到右第 n 个数，如（3，2）表示实数 5． （1）图中（7，3）位置上的数　 　；数据 45 对应的有序实数对是　 　． （2）第 2n 行的最后一个数为　 　，并简要说明理由． 【思路点拨】根据如图所示的排列规律，可得每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字 都是奇数，偶数行的数字都是偶数． （1）首先判断出前 3 个奇数行的数字最大是 17，所以第 7 排、从左到右第 3 个数是 23，即 图中（7，3）位置上的数是 23；然后判断出前 4 个奇数行的数字最大是 31，进而判断出数 据 45 是第 5 个奇数行的第 7 个数，即第 9 行的第 7 个数，即它对应的有序实数对是（9， 7），据此解答即可． （2）因为第 2n 排的最后一个数是从 2 开始数的第（2+4+6+…+2n）个正偶数，所以第 2n 行 的最后一个数为：2（2+4+6+…+2n）= =2n（n+1），据此解答即可． 【答案】23、（9，7）、2n（n+1）． 【解析】 解：根据分析，可得 （1）图中（7，3）位置上的数是 23；数据 45 对应的有序实数对是（9，7）． （2）第 2n 行的最后一个数为 2n（n+1）， 理由：因为第 2n 排的最后一个数是从 2 开始数的第（2+4+6+…+2n）个正偶数，所以此数为 2（2+4+6+…+2n）= =2n（n+1）． 故答案为：23、（9，7）、2n（n+1）． ( 1) 2 N N +6 【总结升华】此题主要考查了探寻数列规律问题，注意观察总结规律，并能正确的应用规律， 解答此题的关键是判断出：每行数字的个数等于行数，而且奇数行的数字都是奇数，偶数行 的数字都是偶数． 举一反三： 【变式】（本溪）根据图中数字的规律，在最后一个空格中填上适当的数字． 【答案】738． 提示： ． 5．观察下列球的排列规律(其中●是实心球，○是空心球)： ●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●…… 从第 1 个球起到第 2004 个球止，共有实心球 个. 【答案】602； 【解析】 解： 这些球，从左到右，按照固定的顺序排列，每隔 10 个球循环一次，循环节是 ●○○●●○○○○○.每个循环节里有 3 个实心球.我们只要知道 2004 包含有多少个循 环节，就容易计算出实心球的个数. ∵2004÷10＝200……4， ∴2004 个球里有 200 个循环节，还余 4 个球. 200 个循环节里有 200×3=600 个实心球，剩下的 4 个球里有 2 个实心球. 所以，一共有 602 个实心球. 【总结升华】解决此题的关键是找到规律：每 10 个球一组；第 1，4，5 为实心球，第 2， 3，6，7，8，9，10 个为空心球． 举一反三： 【变式 1】白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑排列的珠子，前 2002 个中有几个 是黑的？ 【答案】 解：白︳黑白︳黑黑白︳黑黑黑白︳黑黑黑黑白︳黑黑黑黑黑白︳…… 设 1+2+…+n＞2002；即 n（n+1）/2＞2002；解得 n＞63； 当 n=62 时，1+2+..+62=1953；所以一共有 62 个白色的珠子； 即黑色的珠子为 2002-62=1940 个 【变式 2】如图，一串有黑有白，其排列有一定规律的珠子，被盒子遮住一部分，则这串珠 子被盒子遮住的部分有 颗． 【答案】27 81 9 9 738× + =7 【巩固练习】 一、选择题 1．为庆祝“六·一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示： 按照上面的规律，摆 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ）. A． B． C． D． 2.请你观察表一，寻找规律．表二、表三、表四分别是从表一中截取的一部分，其中 a、b、 c 的值分别为（ ）. A．20、29、30 B．18、30、26 C．18、20、26 D．18、30、28 3.（2015•淄博）从 1 开始得到如下的一列数：1，2，4，8，16，22，24，28，… 其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于 100 的个数为（　　） A．21 B．22 C．23 D．99 4.伸出你的左手，从大拇指开始如图示那样数数：1，2，3，4……数到2013时，你数到的手 指是（　　）. A.小指 B.无名指 C.中指 D.食指 5.（2016•河南校级模拟）下列数据具有一定的排列规律： 若整数 2016 位于第 a 行，从左数第 b 个数，则 a+b 的值是（　　） A．63 B．126 C．2015 D．1002 6.已知整数 ，…满足下列条件： ， ， ， n 2 6n+ 8 6n+ 4 4n+ 8n 1 2 3 4, , ,a a a a 1 0a = 2 1 1a a= − + 3 2 2a a= − + 1 2 3 4 5 … 2 4 6 8 10 … 3 6 9 12 15 … 4 8 12 16 20 … 5 10 15 20 25 … … … … … 18 c 32 12 15 a 20 24 25 b 表二 表三 表四 表一8 ，…，依此类推，则 的值为（　　）. A.－1005 B.－1006 C.－1007 D.－2012 二、填空题 7.（2015•酒泉）古希腊数学家把数 1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中 1 是第 一个三角形数，3 是第 2 个三角形数，6 是第 3 个三角形数，…依此类推，那么第 9 个三角 形数是　　，2016 是第　　个三角形数． 8．有数组：（1，1，1），（2，4，8），（3，9，27），…，则第 100 组的三个数之和 . 9. 一个用数字 1 和 0 组成的 2003 位数码，其排列规律是：101101110101101110……则这个 数码中数字“0”共有 个． 10.观察下列等式： 2＝2＝1×2 2＋4＝6＝2×3 2＋4＋6＝12＝3×4 2＋4＋6＋8＝20＝4×5 …… （1）可以猜想，从 2 开始到第 n（n 为自然数）个连续偶数的和是__________； （2）当 n＝10 时，从 2 开始到第 10 个连续偶数的和是_______________. 11. 13+23=9=（1+2）2； 13+23+33=36=（1+2+3）2； 13+23+33+43=（1+2+3+4）2，…， 则 13+23+33+43+…+993+1003= . 12. 在数学竞赛的颁奖会上，10位获奖者每位都相互握手祝贺，则他们共握了 次手.如 果有n位获奖者，则他们共握了 次手. 13.（2016•泉州）找出下列各图形中数的规律，依此，a 的值为　 ． 三、解答题 14．（2015•广东模拟）观察下列等式： 第一个等式：a1 = = ﹣ ； 第二个等式：a2 = = ﹣ ； 第三个等式：a3 = = ﹣ ； 第四个等式：a4 = = ﹣ ． 按上述规律，回答以下问题： （1）用含 n 的代数式表示第 n 个等式：an=　 　=　 ﹣ 　； （2）式子 a1+a2+a3+…+a20= ﹣ 　． 4 3 3a a= − + 2012a9 15. 观察下面的图形（每个正方形的边长均为 1）和相应的等式，探究其中的规律： ⑴ 写出第五个等式，并在左边画出与之对应的图示； ⑵ 猜想并写出与第 n 个图形相对应的等式． 16. 用棋子摆出下列一组图形： （1）填写下表： 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图形中的棋子 （2）照这样的方式摆下去，写出摆第 个图形棋子的枚数； （3）如果某一图形共有 99 枚棋子，你知道它是第几个图形吗？ 【答案与解析】 一、选择题 1．【答案】A； 2．【答案】D； 【解析】观察表一，寻找规律:每个数可以看成它所在的行数与列数的乘积，由表一得： 12＝4×3,15＝5×3，a＝6×3=18；由表二得：20＝4×5,24＝4×6,25＝5×5，b＝5×6＝ 30；由表三得：18＝6×3,32＝8×4，c＝7×4＝28. 3. 【答案】A． n 1 11 1 2 2 = × + 21 11 2 2 2 2 2 + = × + × 21 11 2 3 3 3 2 2 + + = × + × 21 11 2 3 4 4 4 2 2 + + + = × + × ……10 【解析】由题意知：1，2，4，8，16，22，24，28，…由此可知，每 4 个数一组， 后面依次为 36，42，44，48，56，62，64，68，76，82，84，88，96，故小于 100 的个数 为：21 个. 4．【答案】A； 【解析】从大拇指到小指再到食指的过程堪称一个循环，一个循环就是 8， ∵2013÷8=251…5，余数是 5，所以是从大拇指开始第五个，就是小指. 5. 【答案】B； 【解析】解：设第 n 行中最大的数为 an（n 为正整数）， 观察，发现规律：a1=1，a2=1+2=3，a3=1+2+3=6，…， ∴an=1+2+…+n= ． 令 an≤2016，即 ≤2016， 解得：﹣64≤n≤63． ∴1≤n≤63， 即整数 2016 为 63 行的最后一个数． ∴a+b=63+63=126． 6. 【答案】B； 【解析】解：a1=0， a2=－|a1＋1|=－|0+1|=－1， a3=－|a2＋2|=－|－1＋2|=－1， a4=－|a3＋3|=－|－1＋3|=－2， a5=－|a4＋4|=－|－2＋4|=－2， …， 所以，n 是奇数时，an= ，n 是偶数时，an= ， a2012＝ ． 二、填空题 7.【答案】45，63． 【解析】第 9 个三角形数是 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，1+2+3+4+…+n=2016， n（n+1）=4032，解得：n=63．故答案为：45，63． 8．【答案】1010100； 【解析】观察可得：第一个数表示序列号，第二数是序列号的平方，第三个数是序列号 的立方，所以第 100 组数是（100，1002，1003）. 9．【答案】668； 【解析】 ，“0” 的个数： . 10.【答案】（1）n（n＋1）； （2）110 . 11.【答案】50502； 【解析】从给出的三个条件式子中不难发现各式的特点：从 1 开始的几个连续自然数的 立方和，等于这几个数的和的平方.不难找到第 N 个式子为： 13+23+33+……+N3=（1+2+3+……+N）2． 1 2 n −− 2 n− 2012 10062 − = − 2003 9 222 5÷ =  3 222 2 668× + =11 因此，13+23+33+43+……+993+1003＝（1+2+3+4+……+99+100）2＝50502． 12．【答案】45， ； 【解析】 . 13.【答案】226. 【解析】解：根据题意得出规律：14+a=15×16， 解得：a=226； 故答案为：226． 三、解答题 14.【解析】 解：（1）an= = ﹣ ； （2）a1+a2+a3+…+a20= ﹣ + ﹣ + ﹣ +…+ ﹣ = ﹣ ． 故答案为 ， ﹣ ； ﹣ ． 15．【解析】 解：（1） ，图示如下： （2）与第 n 个图形相对应的等式： . 16. 【解析】 解：（1） 图形编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ 图形中的棋子 6 9 12 15 18 21 （2） 3（n+1） （3） 3（n+1）=99， n=32，是第 32 个图形. ( 1) 2 n n − 10 9 452 × = 21 11 2 3 4 5 5 52 2 + + + + = × + × 21 11 2 3 2 2n n n+ + + + = +