《整式及其加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解

1 《整式及其加减》全章复习与巩固（提高）知识讲解 【学习目标】 1、进一步理解用字母表示数的意义，能分析简单问题的数量关系，并用代数式表示. 2、理解代数式的含义，能解释一些简单代数式的实际背景或几何意义，体会数学与世界的 联系. 3、会求代数式的值，能解释值的实际意义，能根据代数 式的值推断代数式反映的规律. 4．理解并掌握单项式与多项式的相关概念； 5．理解整式加减的基础是去括号和合并同类项，并会用整式的加减运算法则，熟练进行整 式的加减运算、求值； 6．深刻体会本章体现的主要的数学思想----整体思想． 【知识网络】 【要点梳理】 要点一、代数式 诸如：16n ，2a+3b ，34 ， ， 等式子，它们都是用运算符号(＋、－、×、 ÷、乘方、开方)把数和表示数的字母连接而成的，像这样的式子叫做代数式，单独的一个 数或一个字母也是代数式． 要点诠释：代数式的书写规范： （1）字母与数字或字母与字母相乘时，通常把乘号写成“· ”或省略不写； （2）除法运算一般以分数的形式表示； （3）字母与数字相乘时，通常把数字写在字母的前面； （4）字母前面的数字是分数的，如果既能写成带分数又能写成假分数，一般写成假分数的 形式； （5）如果字母前面的数字是 1，通常省略不写． 要点二、整式的相关概念 1．单项式：由数字或字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单 项式． 要点诠释：（1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2．多项式：几个单项式的和叫做多项式．在多项式中，每个单项式叫做多项式的项． 要点诠释：（1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． 2 n 2)( ba +2 （3）多项式的次数是 n 次，有 m 个单项式，我们就把这个多项式称为 n 次 m 项式． 3. 多项式的降幂与升幂排列： 　　把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个 字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把 这个多项式按这个字母升幂排列． 要点诠释：（1）利用加法交换律重新排列时，各项应带着它的符号一起移动位置； 　　（2）含有多个字母时，只按给定的字母进行降幂或升幂排列． 4．整式：单项式和多项式统称为整式． 要点三、整式的加减 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项．所有的常数项都 是同类项． 要点诠释：辨别同类项要把准“两相同，两无关”： （1）“两相同”是指：①所含字母相同；②相同字母的指数相同； （2）“两无关”是指：①与系数无关；②与字母的排列顺序无关． 2．合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项． 要点诠释：合并同类项时，只是系数相加减，所得结果作为系数，字母及字母的指数保持不 变． 3．去括号法则：括号前面是“+”，把括号和它前面的“+”去掉后，原括号里各项的符号都 不改变；括号前面是“-”，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里各项的符号都要改 变． 4．添括号法则：添括号后，括号前面是“+”，括号内各项的符号都不改变；添括号后，括 号前面是“-”，括号内各项的符号都要改变． 5．整式的加减运算法则：几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减 号连接，然后去括号，合并同类项． 要点四、探索与表达规律 寻找规律并用字母表示这一规律体现了从特殊到一般和归纳、猜想的数学思想的运用. 解题中应注意先从特殊的结果寻找规律，再用字母表示，最后加以验证. 【典型例题】 类型一、代数式 1．某商场文具部的某种毛笔每支售价 25 元，书法练习本每本售价 5 元.该商场为促销 制定了如下两种优惠方式：第一种：买一支毛笔附赠一本书法练习本；第二种：按购买金额 打九折付款.八年级（5）班的小明想为本班书法兴趣小组购买这种毛笔 10 支，书法练习本 x （x≥10）本. (1)用代数式分别表示两种购买方式应支付的金额. (2)若小明想为本班书法兴趣小组购买书法练习本 30 本,试问小明应该选择哪一种优惠方式 才更省钱. 【思路点拨】小明应该选择哪一种优惠方式才更省钱，是由购买的练习本的数量来确定的， 把两种方式所应付的钱数，表示成练习本数量的代数式，进而比较代数式的值的大小． 【答案与解析】 解:设买练习本 x,则得两种购买方法的代数式为: (1) 代数式分别为: 25×10+5(x-10), (25×10+5x) ×90%3 （2）把 x=30 分别代入两个代数式: 25×10+5(x-10) ＝25×10+5(30-10) ＝350（元） (25×10+5x) ×90%＝(25×10+5×30) ×90% =360 （元） 所以选择第一种优惠方式． 【总结升华】本题这一类方案的选择问题是中考中经常出现的题目类型． 类型二、整式的相关概念 2．（2016 春•新泰市期中）下列说法正确的是（　　） A．1﹣xy 是单项式 B．ab 没有系数 C．﹣5 是一次一项式 D．﹣a2b+ab﹣abc2 是四次三项式 【思路点拨】根据多项式是几个单项式的和，数字因数是单项式的系数，字母指数和是单项 式的次数，多项式中次数最高的单项式的次数是多项式的次数，每个单项式是多项式的项， 可得答案． 【答案】D． 【解析】解：A、1﹣xy 是多项式，故 A 错误； B、ab 的系数是 1，故 B 错误； C、﹣5 是单项式，故 C 错误； D、﹣a2b+ab﹣abc2 是四次三项式，故 D 正确； 故选：D． 【总结升华】本题考查了多项式，多项式中次数最高的项的次数是多项式的次数，每个单项 式是多项式的项． 举一反三： 【变式 1】（2014•佛山）多项式 2a2b﹣ab2﹣ab 的项数及次数分别是（　　） A．3，3 B．3，2 C．2，3 D．2，2 【答案】A 2a2b﹣ab2﹣ab 是三次三项式，故次数是 3，项数是 3． 【 变 式 2 】 若 多 项 式 是 关 于 的 二 次 三 项 式 ， 则 ， ，这个二次三项式为 . 【答案】 类型三、整式的加减运算 3．若 是同类项，求出 m, n 的值，并把这两个单项式相加. 【答案与解析】 解：因为 是同类项， 所以 解得 当 且 时， . 3 1( 4) 5 ( 2)nm x x x n m−+ + − − − + x ________m = ________n = 4, 3,− 2 5 9x x− − 3 1 5 2 12 1 3 5 m nm nx y x y− −+−与 3 1 2 12 1 5 3 5 m nm nx y x y− −+−与 3 1 5, 2 1 1. m n − =  − = 2, 1. m n =  = 2m = 1n = 5 5 5 53 1 5 2 12 1 4 2 4 2 14( ) ( )3 5 3 5 3 5 15 m nm nx y x y x y x y x y x y− −++ − = − = − =4 【总结升华】同类项的定义中强调，除所含字母相同外，相同字母的指数也要相同.其中， 常数项也是同类项.合并同类项时，若不是同类项，则不需合并. 举一反三： 【变式】合并同类项． (1) ； (2) ． 【答案】 (1)原式＝ (2)原式 ． 4. （2015 春•无锡校级期中）已知 x=2015，求代数式（2x+3）（3x+2）﹣6x（x+3） +5x+16 的值”时，马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的，这是 为什么？请你说明原因． 【答案与解析】 解：原式=6x2+4x+9x+6﹣6x2﹣18x+16=22， 结果不含 x，故原式化简后与 x 的取值无关， 则马小虎把“2015”看成了“2051”，但是他的运算结果却是正确的 【总结升华】原式利用多项式乘以多项式，以及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得 到最简结果，根据结果不含 x，即可得证．此题考查了整式的加减﹣化简求值，熟练掌握运 算法则是解本题的关键． 举一反三： 【变式 1】已知 A＝x2＋2y2－z2，B＝－4x2＋3y2＋2z2，且 A＋B＋C＝0，则多项式 C 为 ( )． 　　A．5x2－y2－z2　　　　B．3x2－5y2－z2 　　C．3x2－y2－3z2 　　　D．3x2－5y2＋z2 【答案】B 【变式 2】先化简代数式 ，然后选取一个使原式有 意义的 a 的值代入求值． 【答案】 2 2 2 23 4 4 5 2 2x xy y x xy y− + − + − 3 2 3 2 39 9 1 115 52 4 2 4xy x y xy x y xy x y− − + − − − 2 2(3 5) ( 4 2) (4 2)x xy y− + − + + − 2 22 2 2x xy y= − − + 3 2 3 2 39 11 9 15 54 4 2 2xy x y x y x y   = − − + − + − −       3 2 34 5x y x y= − − − 2 22 1 1(3 5 1) 53 3 3a a a a a   − − − + − −     2 22 1 1(3 5 1) 53 3 3a a a a a   − − − + − −     2 22 1 1[ (3 5 1 5)]3 3 3a a a a a= − − − + − −5 ． 当 时，原式＝0-0-4＝-4． 【变式 3】(1) (x＋y)2－10x－10y＋25＝(x＋y)2－10(______)＋25; 　　　　(2) (a－b＋c－d)(a＋b－c－d)＝[(a－d)＋(______)][(a－d)－(______)]． 【答案】（1）x＋y；　　　　（2）－b＋c，－b＋c 类型四、化简求值 5. （1）直接化简代入 　当 时，求代数式 15a2－{－4a2＋[5a－8a2－(2a2－a)＋9a2]－3a｝的值． 　（2）条件求值 　　已知(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0，求 3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 的值． 　（3）整体代入 　　(鄂州)已知 ，求 的值． 　【思路点拨】对于化简求值问题，要先看清属于哪个类型，然后再选择恰当的方法进行 求解. 【答案与解析】 解：（1）原式=15a2－[－4a2＋(5a－8a2－2a2+a＋9a2)－3a] 　　　　　　=15a2－[－4a2＋(6a－a2)－3a] 　　　　　　=15a2－(－4a2＋6a－a2－3a) 　　　　　　=15a2－(－5a2＋3a) 　　　　　　=15a2+5a2—3a=20a2—3a 　　　　当 时，原式= = = 　　（2）由(2a＋b＋3)2＋｜b－1｜＝0 可知：2a＋b＋3=0，b－1=0，解得 a= -2，b=1. 　　　　3a－3[2b－8＋(3a－2b－1)－a]＋1 　　　　=3a－3(2b－8＋3a－2b－1－a)＋1 　　　　=3a－3(2a－9)＋1 　　　　=3a－6a+27＋1 　　　　=28—3a 　　　　由 a= -2 　　　　则 原式=28—3a=28+6=34 （3）∵ ，∴ ． ∵ ． 所以 的值为 2010． 2 22 1 16[ (3 4)]3 3 3a a a a= − − − − 2 22 1 16( 3 4)3 3 3a a a a= − − + + 22 8 16( 4)3 3 3a a a= − − + + 22 8 16 43 3 3a a a= + − − 28 14 43 3a a= − − 0a = 2 1 0m m+ − = 3 22 2009m m+ + 2 1 0m m+ − = 2 1m m+ = 2 2 22 2009m m m+ + + 3 2 2 2009m m m= + + + 3 2 2( ) 2009m m m= + + + 2 2( ) 2009m m m m= + + + 2 2009m m= + + 1 2009= + 2010= 3 22 2009m m+ +6 【总结升华】整体代入的一般做法是对代数式先进行化简，然后找到化简结果与已知条件之 间的联系． 举一反三： 【变式】已知 ，求代数式 的值． 【答案】 设 ，则 ，原式 ． 又因为 ＝6，所以原式 ． 类型五、探索与表达规律 6. 如图，在 2005 年 3 月的日历上： (1)任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为 x，则其余两个数分别为 ； (2)用一个矩形框出四个数 ，请用一个等式表示 a、b、c、d 之间的关系: ； (3) 用 一 个 十 字 框 任 意 框 出 5 个 数 ， 设 中 间 一 个 数 为 a ， 则 框 出 的 5 个 数 的 和 为 ． 【思路点拨】日历上一竖列相邻的两个数相隔 7，一横行相邻的两个数相差 1，据此很容易 求出本题答案． 【答案】（1）x－7，x＋7；（2） a＝b－1＝c－7＝d－8； （3）5a． 【解析】（1）（3）较简单； （2）b 比 a 大 1，所以 b＝a＋1；c 比 a 大 7，所以 c＝a＋7；d 比 c 大 1，所以 d＝c＋1． 由 b＝a＋1 得 a＝b－1 ①，由 c＝a＋7 得 a＝c－7 ②，由 d＝c＋1 得 c＝d－1 ③，将③代 入②得 a＝c－7＝（d－1）－7＝d－8 ④． 由①②④得：a＝b－1＝c－7＝d－8． 【总结升华】解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系． 举一反三： 【变式】如图，是由边长为 1 的正方形按照某种规律排列而成的： 2 6a b a b − =+ 2(2 ) 3( ) 2 a b a b a b a b − +++ − 2a b pa b − =+ 1 2 a b a b p + =− 32p p = + p 3 12 6 126 2 = × + =7 (1)观察图形，填写下表： (2)推测第 n 个图形中，正方形的个数为_______，周长为________． (用含n 的代数式表示) 【答案】（1） （2）5n+3， 10n+8． 类型六、综合应用 7. 对于任意有理数 x，比较多项式 与 的值的大小． 【答案与解析】 解： ∵ ∴无论 x 为何值， ＞ ． 【总结升华】本题考查整式的加减，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并 同类项的法则，这是各地中考的常考点． 举一反三： 【变式】如果关于 x，y 的多项式 与 的差不含二次项， 求 的值． 【答案】 解：原式＝ 24 5 2x x− + 23 5 2x x− − 2 2 2 2 2(4 5 2) (3 5 2) 4 5 2 3 5 2 4x x x x x x x x x− + − − − = − + − + + = + 2 4 0x + > 24 5 2x x− + 23 5 2x x− − 2( 2 )mx xy x+ − 2(3 2 3 )x nxy y− + mn 2 2( 2 ) (3 2 3 )mx xy x x nxy y+ − − − +8 ＝ 由题意知，则 ， ∴ ． ∴ ． 2( 3) (2 2 ) 3m x n xy x y− + + − − 3 0, 2 2 0m n− = + = 3, 1m n= = − 3( 1) 1mn = − = −9 【巩固练习】 一、选择题 1．A、B、C、D 均为单项式，则 A+B+C+D 为( )． A．单项式 B．多项式 C．单项式或多项式 D．以上都不对 2．下列计算正确的个数 （ ） ① ；② ； ③ ； ④ ； ⑤ A．2 B．1 C．4 D．0 3．现规定一种运算：a * b ＝ ab + a - b，其中 a，b 为有理数，则 3 * 5 的值为( )． A．11 B．12 C．13 D．14 4．化简 (n 为正整数)的结果为( )． A．0 B．-2a C．2a D．2a 或-2a 5．已知 a-b＝-3，c+d＝2，则(b+c)-(a-d)为( )． A．-1 B．-5 C．5 D．1 6. 有理数 a，b，c 在数轴上的位置如右图所示，则 （ ） A．－2b B．0 C．2c D．2c－2b 7．（2015•临沂）观察下列关于 x 的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，… 按照上述规律，第 2015 个单项式是（　　） 　 A．2015x2015 B． 4029x2014 C． 4029x2015 D． 4031x2015 8．如果 是关于 的二次三项式，那么 m，n 应满足的条件是( )． A．m＝1，n＝5 B．m≠1，n＞3 C．m≠-1，n 为大于 3 的整数 D．m≠-1，n＝5 二、填空题 9．（2015•大丰市一模）若﹣2amb4 与 5a2bn+7 是同类项，则 m+n=　 　． 10． （1） （___________）； （2）2a－3（b－c）＝___________． （3） (________)＝7x+8． 11．当 b＝________时，式子 2a+ab-5 的值与 a 无关． 12．若 ，则 ________． 13.某服装店打折出售服装，第一天卖出 a 件，第二天比第一天多 12 件，第三天是第一天的 2 倍，则该服装店这三天共卖出服装________件. 14.当 k=__________时，多项式 x2－3kxy－3y2－ xy－8 中不含 xy 项. abba 523 =+ 325 22 =− yy yxxyyx 222 54 =− 532 523 xxx =+ xyxyxy =+− 33 1( 1) ( 1)n na a+− + − a c c b b a+ + − − + = 32 ( 1) nm a a −− + + a −=+− 222 xyxyx 25 6 1x x− + − 4 5a b c− + = 30( )b a c− − = 3 110 15．（2016•河北）若 mn=m+3，则 2mn+3m﹣5mn+10=　 　． 16．如图，是用棋子摆成的图案，摆第 1 个图案需要 7 枚棋子，摆第 2 个图案需要 19 枚棋 子，摆第 3 个图案需要 37 枚棋子，按照这样的方式摆下去，则摆第 6 个图案需要 枚 棋子，摆第 n 个图案需要 枚棋子． 三、解答题 17.（2016 春•高密市校级月考）先化简，再求值． （a2+1）﹣3a（a﹣1）+2（a2+a﹣1），其中a=﹣1． 18．已知： 为有理数， ，求 的值． 19. 如图所示，用三种大小不同的六个正方形 和一个缺角的正方形拼成长方形 ABCD, 其中，GH=2cm, GK=2cm, 设 BF=x cm, （1）用含 x 的代数式表示 CM= cm, DM= cm. （2）若 x=2cm，求长方形 ABCD 的面积. 20. 测得一弹簧的长度 L(厘米)与悬挂物体的质量 x(千克)有下面一组对应值： 试根据表中各对对应值解答下列问题： (1)用代数式表示挂质量为 x 千克的物体时的弹簧的长度 L． (2)求所挂物体的质量为 10 千克时，弹簧的长度是多少？ (3)若测得弹簧的长度是 18 厘米，则所挂物体的质量为多少千克？ (4)若要求弹簧的长度不超过 20 厘米，则所挂物体的质量不能超过多少千克？ 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C 【解析】若 A、B、C、D 均为同类项，则 A、B、C、D 的和为单项式，否则为多项式，故 选 C． a 3 2 1 0a a a+ + + = 2 3 4 20121 ...a a a a a+ + + + + + … C M A D F B H E G K11 2．【答案】D 3. 【答案】C 【解析】按规定的运算得：3*5＝3×5+3-5＝13． 4. 【答案】A 【解析】分析两种情况，当 n 为偶数时， ， ，当 n 为奇数时， ， ，无论哪种情况，结果都是 0． 5．【答案】C 【解析】(b+c)-(a-d)＝b+c-a+d＝-a+b+c+d＝-(a-b)+(c+d) 当 a-b＝-3，c+d＝2 时，原式＝-(-3)+2＝5，所以选 C． 6．【答案】B 7. 【答案】C． 8．【答案】D 【解析】由题意得：n-3＝2 且 m+1≠0，得 n＝5 且 m≠-1． 二、填空题 9.【答案】﹣1． 【解析】由﹣2amb4 与 5a2bn+7 是同类项，得 ，解得 ．m+n=﹣1. 10.【答案】 11.【答案】-2 【解析】2a+ab-5＝(2+b)a-5．因为式子的值与 a 无关，故 2+b＝0，所以 b＝-2． 12.【答案】-24 【解析】因为 与 互为相反数，又因为 ， 所以 ，由此可得 ． 13.【答案】4a+12； 【解析】 ． 14.【答案】－ ； 【解析】 ，解得 ． 15．【答案】1； 【解析】解：原式=﹣3mn+3m+10， 把 mn=m+3 代入得：原式=﹣3m﹣9+3m+10=1， 故答案为：1. 16.【答案】127, . 【解析】∵第 1 个图形需要 7=1+6×1 枚棋子， 第 2 个比第 1 个多 12 个，即 1+6×（1+2）枚， ( 1) 1n− = 1( 1) 1n+− = − ( 1) 1n− = − 1( 1) 1n+− = 2 2; 2 3 3 ; 5 13 7xy y a b c x x− − + − − a b c− + b a c− − 4 5a b c− + = 4 5b a c− − = − 430( ) 30 245b a c  − − = × − = −   ( 12) 2 4 12a a a a+ + + = + 9 1 13 03k− − = 1 9k = − 133 2 ++ nn12 第 3 个比第 2 个多 18 个，即 1+6×（1+2+3）枚， 第 4 个比第三个多 24 个，即 1+6×（1+2+3+4）=61 枚． ……, ∴第 n 个比第(n-1)个多 6n 个，即 1+6×（1+2+3+4+…+n）=3n2+3n+1 枚． 三、解答题 17.【解析】 解：原式= a2+1﹣3a2+3a+2a2+2a﹣2=5a﹣1， 当 a=﹣1 时， 原式=﹣5﹣1=﹣6． 18.【解析】 解： 19.【解析】 解：（1） （或 ）. （2）长方形的长为： cm, 宽为： cm. 所以长方形的面积为： . 20.【解析】 解：(1) . (2)将 ，代入 ，得 （㎝） ∴所挂物体的质量为 10 千克时，弹簧的长度是 17㎝. (3)将 ，代入 ，得 ，解得 ∴若测得弹簧的长度是 18 厘米，则所挂物体的质量为 12 千克. (4)∵弹簧的长度不超过 20 厘米，即 L≤20， ∴ ≤20，得 ≤16 ∴若要求弹簧的长度不超过 20 厘米，则所挂物体的质量不能超过 16 千克. 2,x + 2 2x + 3x 2 2 14x x x x x+ + + + + + = 4 2 4 2 2 10x + = × + = 21401014 cm=× 0.5 12L x= + 10x = 0.5 12L x= + 0.5 12 0.5 10 12 17L x= + = × + = 18L = 0.5 12L x= + 18 0.5 12x= + 12x = 0.5 12x + x 2 3 4 2012 2 3 5 2 3 2009 2 3 1 ... 1 (1 ) (1 ) ... (1 ) 1 0 1 a a a a a a a a a a a a a a a a a + + + + + + = + + + + + + + + + + + + + = + =